2π 1 π −π | X (Ω)| 2 d Ω x [ n ] $% &amp S 1 h [ n ] H (Ω) = H ( e j Ω ) (2 3 &amp n u [ n ] g [ n ] g [ n ] = 0 n ≥ 2 n < 0 H ( e j (π/2) ) = 1 H ( e j Ω ) = H ( e j (Ω−π h [ n ] $%&amp H 1 ( e jΩ ) = 2 − e −jΩ 1 + 1 2 e −jΩ H 2 ( e jΩ e −jΩ + 1 4 e −j2Ω

Σήματα

Ανάλυσ διακριτ

Κωνσταντί Τμήμα Πλη

α‐Συστή

ση  Fou τού χρό

ίνος Κοτρόπ ηροφορικής

Θεσσαλ

ήματα

urier  γ νου ‐ Άλ

πουλος  ς 

λονίκη, Ιούν

για  σή λυτα πρ

νιος 2013 

ήματα  ροβλήμα

και  σ ατα 

 

συστήμα ατα 

Άδ

Το  π εκπ άδε

Χρ

Το  έργο Αρισ ανα

Το  έ και  (Ευρ

 

δειες Χρή

παρόν  εκπα αιδευτικό υ εια χρήσης α

ηματοδό

παρόν  εκπ ου  του  δ στοτέλειο  αδιαμόρφωσ

έργο  υλοπο Δια  Βίου  ρωπαϊκό Κο

ήσης 

αιδευτικό  υ υλικό, όπως αναφέρετα

ότηση 

παιδευτικό  διδάσκοντα

Πανεπιστ ση του εκπα

οιείται  στο  Μάθηση»

οινωνικό Τα

Θεσσαλ υλικό  υπόκ ς εικόνες, π

ι ρητώς.  

υλικό  έχει α.  Το  έργ ήμιο  Θεσσ αιδευτικού 

πλαίσιο  το

»  και  συγχ αμείο) και α

λονίκη, Ιούν ειται  σε  άδ που υπόκειτ

ι  αναπτυχθ γο  «Ανοικ

σαλονίκης»

υλικού.  

ου  Επιχειρη χρηματοδοτ από εθνικού

 

νιος 2013  δειες  χρήση ται σε άλλο

  

θεί  στα  πλ κτά  Ακαδη

»  έχει  χρ

σιακού  Προ τείται  από ύς πόρους.

ης  Creative  ου τύπου άδ

λαίσια  του  ημαϊκά  Μ ρηματοδοτή

 

ογράμματο ό  την  Ευρω

Commons.

δειας χρήση

εκπαιδευτ αθήματα  ήσει  μόνο 

ος  «Εκπαίδε ωπαϊκή  Έν

.  Για  ης, η 

ικού  στο  τη 

ευση  ωση 

 

Fourier

x [ n ]

Fourier

X (Ω)

x [ n ] = 0

n > 0

x [0] > 0

Im{ X (Ω)} = sin Ω − sin 2Ω

!

2π 1

_π

−π | X (Ω)| ² d Ω = 3

" #

x [ n ]

^{$% &'( ) ** +}

,-( '# $./+ 0 $+

S

¹

h [ n ]

H (Ω) = H ( e ^{j Ω} )

⁽²

3 &0 0

(1 / 4) ⁿ u [ n ]

g [ n ]

g [ n ] = 0

n ≥ 2

n < 0

H ( e ^{j (π/2)} ) = 1

H ( e ^{j Ω} ) = H ( e ^{j (Ω−π)} )

" 0

h [ n ]

^{$%&'( # **+}

$+ %( 0 ' 0 .4

'#( $./+ '(

H ₁ ( e ^jΩ ) = 2 − e ^−jΩ 1 + 1

2 e ^−jΩ

H ₂ ( e ^jΩ ) = 1 1 − 1

2 e ^−jΩ + 1 4 e ^−j2Ω

.

" # &(04 '

$#+%(./0

x [ n ]

^&0

y [ n ]

^{2 0 0#' &( 04}

y [ n ] − 1

6 y [ n − 1] − 1

6 y [ n − 2] = x [ n ] .

" # $% &'( ) **+

! $+ 4

Fourier

⁰

X (Ω)

a ⁿ u [ n ]

^'

| a | < 1 .

$#+4 0

Fourier

^{0 1}

( n + 1) α ⁿ u [ n ] .

$+4'($#+(0&

x [ n ] = ( n + r − 1) !

n ! ( r − 1) ! a ⁿ u [ n ] ^{F T} ←→ ^−DT X (Ω) = 1

(1 − α e ^{−j Ω} ) ^r .

$% &'( 5# **+

6 ,- ./

S

^{0 0}

x [ n ] = (4 / 5) ⁿ u [ n ]

^'

y [ n ] = n (4 / 5) ⁿ u [ n ]

(i)

^{" 0}

(ii)

^{" 0 &( 04 2 0 0}

$%&'( # **+

7 $+ " #

x [ n ]

^{(2 &}

8

x [ n ]

^{' (}

n

8

x [ n ]

^{0 0}

N = 8

^'

Fourier

a _k

a ₉ = 6

!

1 8

₇

n=0 | x [ n ]| ² = 72

$#+,- ./ ' &( 04

y [ n ] − ay [ n − 1] = bx [ n ] + x [ n − 1]

a

^{" #}

b

⁴

| H ( e ^jΩ )| = 1 ∀Ω .

94 : " 0

a =

−1 / 2

^{; 0}

x [ n ] = 1

2 _n

u [ n ] .

$% &'( ) **+

< %( & 2

g [ n ] ^{FT −DT} ←→ G ( e ^{j Ω} ) .

,-(

g [ n ] = x ₍₂₎ [ n ]

x [ n ] Fourier

⁼

X ( e ^{j Ω} )

^"01

α

⁴

0 < α < 2 π

G ( e ^{j Ω} ) = G ( e ^{j (Ω−α)} )

^$%&'(

) ***+

> ,-(

x [ n ]

^{0 0}

N = 8

^'

Fourier

; 4

a _k = − a _k−4

^{0 0 0}

y [ n ] =

1 + (−1) ⁿ 2

x [ n − 1]

/ #

b _k

^'

Fourier

y [ n ]

^#

f [ k ]

⁴

b _k = f [ k ] a _k .

$% &'( ) ??>+

? @

Fourier

⁰

X ( e ^{j Ω} ) = 3

k=0

(1 / 2) ^k 1 − ¹ ₄ e ^{−j (Ω− π 2 k)} .

A 0

x [ n ] = g [ n ] q [ n ] ,

g [ n ]

α ⁿ u [ n ]

q [ n ]

^{0 0}

N

$+" 0

α

$#+" 0

N

$+ -

x [ n ]

^{: $%&'( ) ???+}

* ,-(

x [ n ]

y [ n ]

⁰

X (Ω)

^;

Y (Ω)

Fourier

4

$+44&'0

0 (

x [ n ]

y [ n ]

Fourier

X (Ω) Y ^∗ (Ω)

$#+4 ( $+ 0&

∞ n=−∞

x [ n ] y ^∗ [ n ] = 1 2 π

_π

−π

X (Ω) Y ^∗ (Ω) d Ω .

8 :

$+ A 0 ( $#+ 0

∞ n=−∞

sin( πn/ 4) 2 πn

sin( πn/ 6) 5 πn .

$% &'( 5# ***+

,-(

x [ n ]

0 ≤ n ≤ N − 1

^{" '}

Fourier

;

X ( e ^jΩ )

^{; ( 4 0}

Fourier

X [ k ]

^{$% &'( ) **+}

.

x [ n ]

^{(2 &}

8

x [ n ]

⁽

n

8

x [ n ]

^{0 0}

N = 9

^'

Fourier

c _k

| c ₁₀ | = 7

!

1 9

₉

n=1 | x [ n ]| ² = 98

" 0

x [ n ]

^{$%&'( # **+}

%( 0' 0

N = 6

x [ n ] = 1 + cos

2 π 6 n y [ n ] = sin

2 π 6 n + π

4 z [ n ] = x [ n ] y [ n ] .

$+ " 0 0 '

Fourier

x [ n ]

$#+" 0 0 '

Fourier

y [ n ]

$+ " 0 0 '

Fourier

z [ n ]

^{4 0}

0 '

Fourier.

! ,-(

x [ n ]

^{0 0}

N

^'

Fourier a _k

$+ " ' '

Fourier b _k

| x [ n ]| ²

⁽

a _k

$#+/

a _k

^{; ' '}

b _k

:

6

a ^{|n| F T−DT} ←→ 1 − a ²

1 − 2 a cos Ω + a ² , | a | < 1 .

00 0 0 '

Fou-

rier

^{0 0}

T = 1

x ( t ) = 1

5 − 4 cos(2 π t ) .

7 ,-(

y [ n ] =

sin ^π ₄ n π n

2 ∗ sin Ω c n

π n , |Ω _c | ≤ π.

" 0

Ω c

^'

y [ n ] =

sin ^π ₄ n π n

2

.

< ,-(

Fourier

Y (Ω)

y [ n ] =

sin Ω c n π n

2 0 < Ω c < π.

" 0

Ω c

^{; 4}

Y ( π ) = 0 . 5

> ,- ./

h [ n ]

H (Ω)

¹

0

− π ≤ Ω 0 ≤ π

^;

cos Ω 0 n −→ Ω 0 cos Ω 0 n.

$+ " 0

H (Ω)

$#+" 0

h [ n ]

? ,- ./ ' &( 04

y [ n ] = x [ n ] + x [ n − 1] .

$+ " #

H (Ω)

$#+" 0

$+ " 0' '

$0+ " #

3-dB

* ,-(

x [ n ]

Fourier

X (Ω)

^@2

g [ n ] =

e ^{jΩ 0 n} x [ n ]

$+"0 0'

Fourier

p [ n ] = e ^{jΩ 0 n}

$#+4 0 0&

G (Ω) = X (Ω − Ω 0 )