#%&$ #$ x b [n n ≤ N − 1 0 n > N 0 n &lt x c [n n 0 ≤ n ≤ N 2N − n N + 1 ≤ n ≤ 2N 0 n > 2N 0 n &lt X a (z) = −1 n=−∞ α −n z −n + ∞ n=0 α n z −n = ∞ n=1 α n z n + ∞ n=0 α n z −n (4)= αz 1 − αz + 1 1 − αz −1 = z(1 − α 2 ) (1 − αz)(z − α) , |α| < |z| < 1 |α|

Σήματα

Μετασχ

Κωνσταντί Τμήμα Πλη

α‐Συστή

χηματισ

ίνος Κοτρόπ ηροφορικής

Θεσσαλ

ήματα

σμός Z  ‐

πουλος  ς 

λονίκη, Ιούν

Λυμένε

νιος 2013 

ς ασκήσ σεις 

 

Άδ

Το  π εκπ άδε

Χρ

Το  έργο Αρισ ανα

Το  έ και  (Ευρ

 

δειες Χρή

παρόν  εκπα αιδευτικό υ εια χρήσης α

ηματοδό

παρόν  εκπ ου  του  δ στοτέλειο  αδιαμόρφωσ

έργο  υλοπο Δια  Βίου  ρωπαϊκό Κο

ήσης 

αιδευτικό  υ υλικό, όπως αναφέρετα

ότηση 

παιδευτικό  διδάσκοντα

Πανεπιστ ση του εκπα

οιείται  στο  Μάθηση»

οινωνικό Τα

Θεσσαλ υλικό  υπόκ ς εικόνες, π

ι ρητώς.  

υλικό  έχει α.  Το  έργ ήμιο  Θεσσ αιδευτικού 

πλαίσιο  το

»  και  συγχ αμείο) και α

λονίκη, Ιούν ειται  σε  άδ που υπόκειτ

ι  αναπτυχθ γο  «Ανοικ

σαλονίκης»

υλικού.  

ου  Επιχειρη χρηματοδοτ από εθνικού

 

νιος 2013  δειες  χρήση ται σε άλλο

  

θεί  στα  πλ κτά  Ακαδη

»  έχει  χρ

σιακού  Προ τείται  από ύς πόρους.

ης  Creative  ου τύπου άδ

λαίσια  του  ημαϊκά  Μ ρηματοδοτή

 

ογράμματο ό  την  Ευρω

Commons.

δειας χρήση

εκπαιδευτ αθήματα  ήσει  μόνο 

ος  «Εκπαίδε ωπαϊκή  Έν

.  Για  ης, η 

ικού  στο  τη 

ευση  ωση 

 

Z

Z

z

^!

! "

α

#$

x a [n] = α ^|n| , 0 < |α| < 1.

^#%&$

#$

x b [n] =

⎧ ⎪

⎪ ⎪

⎨

⎪ ⎪

⎪ ⎩

1 0 ≤ n ≤ N − 1 0 n > N

0 n < 0

#%'$

#$

x c [n] =

⎧ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎨

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎩

n 0 ≤ n ≤ N

2N − n N + 1 ≤ n ≤ 2N 0 n > 2N

0 n < 0

#%($

)

#$

X a (z) = −1 n=−∞

α ⁻ⁿ z ⁻ⁿ + ∞ n=0

α ⁿ z ⁻ⁿ = ∞ n=1

α ⁿ z ⁿ + ∞ n=0

α ⁿ z ⁻ⁿ

= αz

1 − αz + 1

1 − αz ⁻¹ = z(1 − α ² )

(1 − αz)(z − α) , |α| < |z| < 1

|α| .

^#%*$

+ , - %&

Im{z}

Re{z}

|a| |a| ¹

& ./ . ./ & &/

&

.%

.0 .*

.' . .' .*

.0 .%

&

- %&1 2

X a (z)

#$

X b (z) =

N−1

n=0

x b [n] z ⁻ⁿ =

N−1

n=0

z ⁻ⁿ

= 1 − z ^−N

1 − z ⁻¹ = z ^N − 1

z ^{N −1} (z − 1) , z = 0

^#%/$

–

³

N

^,

– N − 1

+ , - %'

N = 4

⁴

π 2

#$

X c (z) = Z{ x b [n − 1] ∗ x b [n] } ⇔ X c (z) = z ⁻¹ X b (z) · X b (z) X c (z) = z ⁻¹ (z ^N − 1) ²

(z ^{N −1} ) ² (z − 1) ² = 1 z ^{2N −1}

(z ^N − 1) ²

(z − 1) ²

^#%0$

+ , - %(

N = 4

3 Re{z}

+56"

N − 1

2π N

Im{z}

& ./ . ./ &

&

.%

.0 .*

.' . .' .*

.0 .%

&

-%'1 2

X _b (z)

N = 4

'

'

'

' 7

Re{z}

Im{z}

+56"

2N − 1

& ./ . ./ &

&

.%

.0 .*

.' . .' .*

.0 .%

&

-%(1 2

X c (z)

N = 4

8

Z

⁴

X(z)

⁴

- %*

#$

X(z)

⁴

Fourier

^-

9 4 !

#$ ! -%*:

#$ 9 -

%*:

#$ ; - %*

: 5 4

+ + + + ^Re{z}

|z|=1 Im{z}

−1 ¹

3 1 2 3

-%*1 2 <5 %7'

)

#$ =

Fourier

^2>

x[n]

⁴

Z

;

ROC : 1

3 < |z| < 2.

^#%7$

;

ROC

^{9 &?(4}

9 ;

ROC

^{' (4}

-

#$ 2 ! 4

@

ROC

¹

#&$

1 3 < |z| < 2

#'$

2 < |z| < 3

#$ 3 9 4

"

ROC |z| > 3

#$ "

ROC

–

⁼

ROC

–

⁼

ROC

5

ROC

!

Z

⁼

! 4

#$

X(z) = 1

1 + ¹ ₂ z ⁻¹ , |z| > 1

2 .

^#%%$

#$

X(z) = 1

1 + ¹ ₂ z ⁻¹ , |z| < 1

2 .

^#%A$

#$

X(z) = 1 − ¹ ₂ z ⁻¹

1 + ³ ₄ z ⁻¹ + ¹ ₈ z ⁻² , |z| > 1

2 .

^#%&.$

#$

X(z) = 1 − ¹ ₂ z ⁻¹

1 − ¹ ₄ z ⁻² , |z| > 1

2 .

#%&&$

# $

X(z) = 1 − αz ⁻¹

z ⁻¹ − α , |z| > | 1

α |.

^#%&'$

)

#$ @

Z

⁴

4

x[n] = ( −1

2 ) ⁿ u[n].

^#%&($

5 4

& &

+ ¹ ₂ z ⁻¹

&

− ¹ ₂ z ⁻¹

^&

− ¹ ₂ z ⁻¹ + ¹ ₄ z ⁻² − ¹ ₈ z ⁻³

− ¹ ₂ z ⁻¹

+ ¹ ₂ z ⁻¹ + ¹ ₄ z ⁻² + ¹ ₄ z ⁻²

− ¹ ₄ z ⁻² − ¹ ₈ z ⁻³

x[n] = ( ⁻¹ ₂ ) ⁿ u[n]

#$ 3

x[n] = −( ⁻¹ ₂ ) ⁿ u[−n −1]

^B

&

1 2 z ⁻¹

^&

& '

z

^'

z

^*

z ²

^{C %}

z ³

'

z

'

z

^*

z ²

*

z ²

*

z ²

^%

z ³ x[n] = −( ⁻¹ ₂ ) ⁿ u[−n − 1]

#$

X(z) = 1 − ¹ ₂ z ⁻¹

1 + ³ ₄ z ⁻¹ + ¹ ₈ z ⁻² = 1 − ¹ ₂ z ⁻¹ (1 + ¹ ₄ z ⁻¹ )(1 + ¹ ₂ z ⁻¹ )

= −3

1 + ¹ ₄ z ⁻¹ + 4

1 + ¹ ₂ z ⁻¹ , |z| > 1

2

^#%&*$

x[n] =

− 3(− 1

4 ) ⁿ + 4(− 1 2 ) ⁿ

u[n].

^#%&/$

#$

X(z) = 1 − ¹ ₂ z ⁻¹

1 − ¹ ₄ z ⁻² = 1

1 + ¹ ₂ z ⁻¹ , |z| > 1

2

^#%&0$

x[n] = (− 1

2 ) ⁿ u[n].

^#%&7$

# $ !

α ²

X(z) = 1 − αz ⁻¹

z ⁻¹ − α = 1 − α(z ⁻¹ − α) − α ²

z ⁻¹ − α = −α + 1 − α ² z ⁻¹ − α

= −α + 1 − α ²

−α(1 − α ⁻¹ z ⁻¹ ) = −α − −α ⁻¹ (1 − α ² )

1 − α ⁻¹ z ⁻¹ , |z| > | 1

α |

^#%&%$

x[n] = −αδ[n] − α ⁻¹ (1 − α ² )α ⁻ⁿ u[n]

= −αδ[n] − α ⁻⁽ⁿ⁺¹⁾ (1 − α ² )u[n].

^#%&A$

Z

Z

!

#$

(1 − z ⁻¹ ) ²

(1 − ¹ ₂ z ⁻¹ ) .

^#%'.$

#$

(z − 1) ²

(z − ¹ ₂ ) .

^#%'&$

#$

(z − ¹ ₄ ) ⁵

(z − ¹ ₂ ) ⁶ .

^#%''$

#$

(z − ¹ ₄ ) ⁶

(z − ¹ ₂ ) ⁵ .

^#%'($

)

5

x[n]

⁴

X(z) = ^∞ _n=0 x[n] z ⁻ⁿ

^<5

z

^{4 !}

X(z)

z = ∞

⁴

z = ∞

z→∞ lim X(z) = ∞.

^#%'*$

#$ ; 4

z→∞ lim

(1 − z ⁻¹ ) ²

(1 − ¹ ₂ z ⁻¹ ) = lim

z→∞

1 − 2z ⁻¹ + z ⁻²

1 − ¹ ₂ z ⁻¹ = lim

z→∞

1 − 2z + z ²

z ² − ¹ ₂ z = 1.

^#%'/$

#$ 2 4

z→∞ lim

(z − 1) ²

(z − ¹ ₂ ) = ∞.

^#%'0$

#$ ; 4

z→∞ lim

(z − ¹ ₄ ) ⁵

(z − ¹ ₂ ) ⁶ = 0.

^#%'7$

#$ 2 4

z→∞ lim

(z − ¹ ₄ ) ⁶

(z − ¹ ₂ ) ⁵ = ∞.

^#%'%$

!

Z

- #$#$ - #$

#$ 2

X(z) = 1 − ¹ ₃ z ⁻¹

1 + ¹ ₃ z ⁻¹

^#%'A$

x[n]

⁹

#$ ;

X(z) = 3

z − ¹ ₄ − ¹ ₈ z ⁻¹

^#%(.$

x[n]

#$ 2

X(z) = ln(1 − 4z), |z| < 1

4 .

^#%(&$

#$

X(z) = 1

1 − ¹ ₃ z ⁻³ , |z| > 3 ^−1/3 .

^#%('$

)

#$ "

&

1 3 z ⁻¹

^{& C}

¹ ₃ z ⁻¹

&

1 3 z ⁻¹

^&

² ₃ z ⁻¹

^C

² ₉ z ⁻²

2 3 z ⁻¹

C

2 3 z ⁻¹

^C

² ₉ z ⁻²

C

2 9 z ⁻²

2 9 z ⁻²

₂₇ ² z ⁻³

x[n] = δ[n] + 2(− 1

3 ) ⁿ u[n − 1] = 2(− 1

3 ) ⁿ u[n] − δ[n].

^#%(($

#$

X(z) = 3

z − ¹ ₄ − ¹ ₈ z ⁻¹ = 3

z(1 − ¹ ₄ z ⁻¹ − ¹ ₈ z ⁻² ) = 3z ⁻¹

(1 − ¹ ₂ z ⁻¹ )(1 + ¹ ₄ z ⁻¹ )

= 4

1 − ¹ ₂ z ⁻¹ − 4

1 + ¹ ₄ z ⁻¹ .

^#%(*$

<; &?' &?* ;

x[n]

^<5

ROC

¹

|z| > ¹ ₂

^B

x[n]

⁴

x[n] = 4( 1

2 ) ⁿ u[n] − 4(− 1

4 ) ⁿ u[n].

^#%(/$

#$ >

Taylor

ln(1 + x)

|x| ≤ 1

¹

X(z) = ln(1 − 4z), |z| < 1 4

= − ^∞

i=1

(4z) ⁱ

i = ⁻¹

l=−∞

(4z) ^−l

l

^#%(0$

x[n] = 1

n 4 ⁻ⁿ u[−n − 1].

^#%(7$

#$ 3 4 !

& &

1 3 z ⁻³

& C

1 3 z ⁻³

^{& C}

¹ ₃ z ⁻³

^C

¹ ₉ z ⁻⁶

C

1 3 z ⁻³

1 3 z ⁻³

^C

¹ ₉ z ⁻⁶

C

1 9 z ⁻⁶

1 9 z ⁻⁶

^C

₂₇ ¹ z ⁻⁹

;

x[n] =

⎧ ⎨

⎩

( ¹ ₃ ) ^n/3 n = 0, 3, 6, 9, . . .

0

.

#%(%$

+ - %/

Z

⁴

X(z)

⁴

x[n]

Y (z)

⁴

y[n] = x[−n + 3]

Y (z)

)

5

X(z) = z

(z ² − z + ¹ ₂ )(z + ³ ₄ ) , |z| > 3

4 .

^#%(A$

D

y[n] = x[−n + 3] = x[−(n − 3)]

^#%*.$

+

+

+

Re{z}

Im{z}

− ³ ₄ ¹ ₂

1 2

− ¹ ₂

-%/1 2 <5 %70

x[−n]

⁽

−n

⁴

Y (z) = z ⁻³ X(z ⁻¹ ) = z ⁻³ z ⁻¹

(z ⁻² − z ⁻¹ + ¹ ₂ )(z ⁻¹ + ³ ₄ )

= ^{8 3}

z (2 − 2z + z ² ) ( ⁴ ₃ + z) .

^#%*&$

;

z = 0

⁴

z = − ⁴ ₃

1± j

⁴

;

x[n]

^2>4

x[−n +3]

⁴

ROC

¹

|z| < ⁴ ₃