М. К. Балаев, С. Я. Якубов, Корректность смешанной задачи для некоторых клас- сов корректных по Петровскому уравне- ний, Матем. заметки , 1987, том 42, вы- пуск 4, 527–536

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

М. К. Балаев, С. Я. Якубов, Корректность смешанной задачи для некоторых клас- сов корректных по Петровскому уравне- ний, Матем. заметки , 1987, том 42, вы- пуск 4, 527–536

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

6 ноября 2022 г., 06:43:13

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАМЕТКИ

т. 42, № 4 (1987)

КОРРЕКТНОСТЬ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ КОРРЕКТНЫХ

ПО ПЕТРОВСКОМУ УРАВНЕНИЙ М. К. Бадаев, С. Я. Якубов

Как известно, смешанная задача для всего класса кор­

ректных по Петровскому уравнений в частных производ­

ных не исследована. В этой работе выделен некоторый подкласс корректных по Петровскому уравнений, для которых можно ставить и исследовать смешанные задачи.

В 1958 г. в работе С. Л. Соболева [1] показано, как следует ставить смешанную задачу для корректных по Петровскому уравнений с постоянными коэффициентами.

В [1] граничные условия локальны. В работах С. Я. Яку­

бова [2, 3] в случае, когда уравнение по времени имеет второй порядок, изучается смешанная задача с функцио­

нальными условиями, причем для уравнений с перемен­

ными коэффициентами. В настоящей работе в случае, когда уравнение по времени имеет третий порядок, иссле­

дована смешанная задача с функциональными условиями, причем для уравнений с переменными коэффициентами.

Рассмотрим в прямоугольнике [0, Я х [ 0 , 1] уравнение дЧ (t, х) . ( д2к , VI2*-1 /* \ ^а \ д*и (*, х) ,

—гг

+ (

ijsr + L

=

^

^)-sir

- +

+( ^c lr+i;l;>a(^)^>(^)=/(^) а)

© Издательство «Наука». 527 Главная редакция

физико-математической литературы.

«Математические заметки», 1987

с функциональными условиями

Lxu = avuUi) (t, 0) + fivujv) (t, 1) + Txu (/, -) =-- 0

( v = l , . . . , 2 A ) (2) при p < 2A, Z < 2A, | av I + I Pv I Ф 0, v = 1, . . ., 2ky

0 ^ (Zv <J #v+u #v <C 9v+2» ^v — линейный непрерывный функционал в Wqv (О, 1), q<C + !JOi а ПРИ р ^ 2к и 2к <С^

<^ I <^2k -\- p дополнительно

(qrl -t 2fc) (<ZW +2fc)

L^2fc+4M — L^neM(*) = aⁿ^^{x e} (t, 0) + Р„^ви ^s (t, 1) +

+ r^f) (/, •) = 0, (.9 == 1, . . . l-2k) (2') и начальными условиями

u (0, x) = u0 (x), ui (0, x) = ux (x), u"t (0, x) = u2 (x). (3) Как легко заметить, обычно рассматриваемые краевые условия вида

Lvu = axu*v (t, 0) + pvtt^v (t, 1) +

+ S ^ "1 (*viuf (t, 0) + pv j^ (t, 1)) = 0 являются частными случаями (2).

В работе выделен достаточно широкий класс гранич­

ных условий (2)—(2'), для которых задача (1)—(3) при /?.<; 2А, I <^ р -f- 2к корректна, причем уравнение (1) ве­

дет себя как параболическое, в том смысле, что задача (1)—(3) сводится к задаче Коши для дифференциально- операторного уравнения параболического типа.

Будем пользоваться обозначениями: В (Е±1 Е2) — про­

странство линейных ограниченных операторов, действу­

ющих из банахова пространства Е^г в банахово простран­

ство Е²;

R (Я, А) = (А - XI)-1;

Е (A) = {u: UEED (A), \\ u \\Е(А) = \\и || + || Аи ||};

С ( [ 0 , Л ; Е(А1),Е(А1), ...,Е) =

= {и (t): Аги, А2и, . . ., и(п) е С ([0, Т\\ Е)};

при а ЕЕ (0, 1) Са ([0, Г]; Е) — пространство функций и (t) с нормой

Рассмотрим в банаховом пространстве Е задачу Копти для дифференциально-операторного уравнения

и»' (t) + (А + А, (*)) и? (t) + (В + В, (t)) u^f (t) + С + + (С + Сг (0) u(t)=f (t), (4) и (0) = и⁰, и' (0) = щ, и" (0) = гг², (5) где А, В, С, Л^х (£), Д^х (£), Cj (^) — линейные, вообще го­

воря, неограниченные операторы, действующие в Е.

В [4] для эволюционного уравнения второго порядка с постоянными, нормальными, перестановочными опера­

торными коэффициентами, для более общих задач про­

ведено наиболее полное исследование. В [2] выделены классы эволюционных уравнений второго порядка с пе­

ременными, неограниченными операторными коэффициен­

тами, для которых задача Коши корректно разрешима.

ТЕОРЕМА 1. Пусть:

1) замкнутый оператор А имеет всюду плотную об­

ласть определения в Е и \\ R (к, —А)]\ <^ с (1 + | X | )- 1

при Re X > 0;

2) замкнутый оператор ВА~г имеет всюду плотную область определения в Е и при некотором вещественном а

|| R (X, —ВА'1) || < с | X Г1 при Re X > а;

3) замкнутый оператор СА~2 имеет всюду плотную область определения в Е и \\ R (X, — СА~2) || <^ с \ X |- 1

гг/ж Re X > а ;

4) ?г/ж любых е > 0, и ^ D (A) CZ # (Лх (0)

М Л О и К е И и Ц - с (е) 1 и ||; (6)

л/ж любых е > о, w e f l ( i ) n

W c ^ № (0)

И х (0 и | | < е (|| Ли || + || ^ ||) + с (е) || и ||; (7) при любых 8 > 0, и ^ D (A²) CZ # (5)

I й | < 8 || Л «и || + с (8) || гг ||; (8) 5) при любых е > 0, и ^ D {В) {~} D {С) a D (C^x (t))

WC^uW^eqBuW + WCuD + c^Wu^ (9) /г/ж любых 8 > 0, и ^ D (ВА) с D (С)

| С г г | < е | Я Л и | + с (г) \\ и\\; (10) 6) тг/ж некотором е^> 0 и любых J ЕЕ [0, Г], т ЕЕ [0, Г]

|| [ Лх (0 — Лх (т)] w | | < с | ^ — т ^ (|| Ли || + [I гг |j)7 и е В ( Л ) ,

529

n*i(9-£i(*)]4l<c|*-ThM«ll + l|£»ll + ll"ll)' ueD(4fifl(B),

UlClW — ^ l ( T ) ] " l l < c | * —T|e(flJB«|| + ||^I*|H-||l*||), ыеЕ£>(5)П^(0,

| / ( * ) - / ( т ) К с | < - т |^е;

7) щ <= Л (Л2) П Л (С), « i E f l ( i ) n O (5) П D (С), u2(^D (A).

Тогда задача (4), (5) имеет единственное решение из С* ([О, Я ; Е (Л2) П ^ (С), E(A)f]E (В), Е (Л), Е), и

|| и» (t) || + || Аи" (t) J + || Л и' (О || + || Ли' (t) || + + |! А*и (t) |! + || Си (О | | < с (|| Л Ч || + || Си01| +

+ 11^11 + 115^11 + 11^11 + 11^11 +

+ sup ||/(т) ||+ sup JZMz-qMi), *еЕ[0,Л,

те[о,П tt.teeco.t] | T I — т2 |fc '

Д о к а з а т е л ь с т в о . Заменой vx (t) = и" (t), v2 (t) = м' (0 + Аи! (t), v3(t) = u" (t) + Ли' (0 + A2u (t) вопрос о существования решения задачи (4), (5) из С3 ([0, Л ; Е (Л2) П Е (С), E(A)f]E (В), Е (А), Е) сво­

дится к вопросу о существовании решения из

С1 ([0, Т];Е (А) X Е (ВА"1) X Е (СЛ"2), Е х Е X Е) задачи

Г (0 = %V (0 + 8 ( 0 7 (t) + ,F (*), (И)

V (0) = 70, (12)

/ M 0 v / / ( 0 \ /"2 \ 7 ( 0 = М О ) , ^ ( 0 = / ( 0 ) , К0 = (и1 + Ли1

4 W7 v ( 0 ' VUJI + ^ + ^ W

а операторы St и 95 (0 задаются матрицами

, _ Л — В А'1 —СА^\ /Ь(0\

3 (= 0 -2М-1 -67Л-» ; 9 5 ( 0 = НО Ь

\ 0 0 — С4-2/ \b(t)'

где

Ь (0 = (-Ai (0 + (^ + Вг (0) Л"1 - ^ (0 А~* + + (С + Сг (0) ^"2 - C i (0 А-*).

Обозначим через В. (Я, Л0), В (X, В0) и В (Я, С0) со­

ответственно резольвенты операторов Л0 = —А, В0 =

= - Я Л "1 и С0= -СА-*.

Нетрудно проверить, что резольвента оператора % опре- деляется формулой R (X, %) = ( #2 (К Щ ) , где

i ? ! ( ^ « ) - (Д(Х,Л0) -R(K Л 0).

. Д0Д (^ 50) М? (Ь, Л 0) Я (X, В0) С0Д (X, С0));

Я2 (К St) = (О Д (X, В0) - # (*, До) ^0Д (^ С0));

Л3 (^ 31) = (О О R (К С0)).

Из условий (1)—(3) следует, что || R (Я,, 91) | | < с | X Г1

при Re X ;> а.

Тогда в силу результатов Хилле (см., например, [5, с. 93]) оператор 9t в пространстве Е X Е X Е порождает полугруппу, аналитическую в секторе, содержащем по­

ложительную полуось, и непрерывную при t ;> 0.

Так как при любом v ЕЕ D (ВА~г) имеем и = A~xv ЕЕ

Е В И ) П В ( В ) . т о и з (7) получим

II Вг (t) А'Ь j| < е (I) v || + || BA-'v II) -Ь с (е) || 4-4; || <

<||Bil"1i;|| + c(e)||i;||. (13) Из (7) и (8) следует || Вг (t) и | | < е Ц А2и \\ + с (г) \\ и \\

Уе > 0, Vw (ЕЕ D (A2) CZ D (В). Отсюда, в свою очередь, для любых 8 > 0, v EE-D (А) имеем

|| Вг (t) A'* v | | < 8 \\Av || + с (8) || A-*v || <

< 8 | | ^ | | + с(8)||1;||. (14) Из (8) для любых 8 >> 0, v (= D (А) имеем

|| В A~'v || < 8 || A2A~*v || + с (8) || A^v || <

< e H i ; | | + C(e)||i;||. (15) Так как для любого и ЕЕ D (СА~²) имеем v = А~²и ЕЕ е D (А2) П D (С), то из (8), (9) следует, что

|! Сг (0 А~2и || < 8 (|| ВА-*и || + || СА-Ч ||) + с (8) || А-*и || <

< в | | С Л - » и | | + с(в)||и||. (16) Из условия (10) для любых е > 0, v ЕЕ D {ВА~г) имеем

|| СА~2и || < 81| В А А~2и || + с (8) || Л"2*; || <

< е || ЯЛ"1!; || + c(e)||i;||. (17)

531

Используя последнее неравенство, для любых е > О, и Е= D (ВА'1) из (9) получаем

|| Сх (t) A~*v || < Е (|| BA~*v || + || CA'*v ||) + с (е) || ^ || <

< Е | | Я Л - ^ | | + с ( е ) | М | . (18) В силу (6), (13)—(18) при любых е > О, V =

= К, i>2>

з) e f l W - f l ( i ) x f l (5Л-

) х я (ел-

)

имеем

II 8 (*) V | | < 3 || ~ A, (t) vt + В, (О Л ' Ч - ^ (О Л - Ч + + (С + Сх (*)) Л~«уя - d («) Л-^з II + 2 || ЛЛ-1^ || <

< с (|| А (*) vx || + || ^ (t) Л " Ч || + || В, (t) A-* v21| + + II В A-1 v, || + || СА~Чг || + || Ct (t) A~*ut || + || Сг (t) A~*vt ||) <

< Е || A^Vl || + с (е) || ^Vl || + е || Я 4 - 4 || + с (е) || i;²1| + + е || СА-Ъ \\ + с (г) || у, II < е || W || + с (е) || F ||, т. е. оператор 8 (<) вполне подчинен Ч в Е X Е X Е.

Тогда согласно известной теореме [5, с. 183] при каждом t f=S [0, Т] оператор 91 + 35 (0 также порождает анали­

тическую полугруппу.

Так как из V = (vt, v2, va) <= D (Щ = D (A) X X D (BA-1) X D (CA-2) e D (BA-^XD (BA'1) XD {CA~2) следует, что A~xvx (= D (В), A'lv2 ^Е D (В), то в силу условия (5) и (15) имеем

| | [ 8 ( 0 - » ( T ) ] F | | <

< с \\\(А¹ (*) - А, (т)) ^Vl || + || (В¹ (t) - В, (т)) А~* (v^t - v²) || + + II (Сг (t) - С, (т)) А-> (va-v,)\\]^c\t-x\* [|| AVl || +

+ || Vl || + || АА~* (vt - i;,) || + || BA'* (vt - v2) || + + Iki - Ъ II + II BA-* (v2 - v3) || + || С A'2 (v2 - v3) || +

+ К - *з 111 < с I * - т |e [|| Avx I! + || BA-% || +

+ ||C4-4|| + KII + K H + . K I I l <

< i С I t — T |^s || V \\E(A)XE(BA-¹)XE(CA-')^

значит, отображение

t _» e (*) : [0, Л -> 5 (Я (4) X E (BA-1) X E (CA~2), E x E x E) удовлетворяет условию Гельдера.

Теперь, применяя к задаче (И), (12) известные резуль­

таты для абстрактных параболических уравнений [6], до­

казываем теорему.

ТЕОРЕМА 2. Пусть:

aicof . a*o* PKOJVI •

• «2A2* P-A+i •

• Ml

4l -

1) I arg a\ <C я/2, если /с четное, | arg а | > л/2, есда /с нечетное, а ф. 0; & ^ 0; с =£ 0;

2) Зе > 0: аа (*, х) <=L С ([0, Л ; Lq (0, 1)), 6а (f, x) е=

РЕ С* ([0, Л ; Lq (0, 1)); са (t, х) <= С ([0, Л ; Lq (0, 1)),.

/(MIECJO, Л ^; м ⁰ ' ¹ ));

3) р < 2/с, Z < 2А; + р и

# 0 ,

где сох, . . ., со2тс — корни уравнения асо2?с + 1 = 0 , пере­

нумерованные так, что Re со7- <С 0 тг/ж / = 1, . . ., к и Re (x)j y> 0 при / = А + 1, . . ., 2fc;

4) rv — линейный непрерывный функционал в Wqv (0, 1) при q <" + оо;

5) и0 (я) ЕЕ W f (0, 1; Lv^ I^Lx = 0, Lvw<2k> |^Li - 0), i*i (*) e W f (0, 1; Lva iJli - 0), щ (x) ^ Wf (0, 1;

Lvu |vLi = 0 ) .

Тогда задача (1)—(3) имеет единственное решение и&С* (Ю, Л ; W? (0, 1; L^v^ |;Ц = 0, L^va(²*> |*li = 0),

W? ( 0 , 1 ; bv^ |»Li = 0), Wf (О, 1; L^v^ l²^ = 0), L , ( 0 , 1)), причем справедлива оценка

II w7(^ -)IUg(o,i) + ll^f (^ •) l l ^ *( 0 t l ) +

+ \\ut{t^)\\ r^ +\\u{t^)\\ * < * ( K ( - ) I I 4fc +

Wq <°'г> W* (0, 1) \ Wg (0,1)

+ 11 M 0 II 2fc + 11 M 0 II ^ + H M O II Ж +

^ ll iv '"w^No, i) n 1V7Vg(o,i) и 2V 'VJVi)

I U / Ml , l l / ( t l , ' ) - / ( T2, Ollr (0,1)4

+ sup ||/(т,.) II + sup -2-—].

te[o,T] ti.t.eEo.r] 11 t2 Is /

Д о к а з а т е л ь с т в о . Чтобы свести задачу (1) — (3) к задаче (4), (5), введем в Lq (0, 1) операторы Л, 5 , С, Лх (г), Z?! (t), Cx (t) равенствами

2 ) ( Л ) = Ж ? (0,1; Lvw 1 ^ = 0), Лгг— бш<2К) (я:) + со0г/ (х),

533

D (В) = Wpq (О, 1; Lvu |*=1 = 0), Bu = buW (x),

D (C) = W\ (0,1; Lvu \Li = 0), Си = cu(l) (x),

D(A1(t))=D(A),

Ai(t)u = 2^Г0 aa (t, x) u<*(x) — co0u (ж), D{Bx(t)) = D{B),

BAt)u=?!~20ba.{t,x)u«{x),

D{p1(t)) = D(C),

Cl(t)u=$~=0Ca(t,x)u<*(x).

Из условий 1 и 3 в силу [2, 3] следует, что при неко­

тором со0 оператор А удовлетворяет условию 1) теоре­

мы 1. При р ^ 2к оператор В А-1 ограничен, откуда сле­

дует выполнение условия 2) теоремы 1. Полная подчи­

ненность оператора Аг (t) оператору А и оператора Br (t) оператору В есть простое следствие известной оценки (см. [7, с. 145]):

I! "( m ) II Vo , 1) < 81| и<»> ||Vo,« + с (8) || и Цуод) (т < п). (19) На самом деле, в силу условия 2) для любых е ^> 0, и ЕЕ D (А) имеем

„(0,1)11 ^U{a) 11^(0,1) <

< С II U 11^(0,1) < 8 || И<*> ||Lg(0f 1) + С (8) || U ||Lg(0,i) <

< е М И Ц( 0 | 1} + С (8) || U ||Lg(o,i) и для любых е > 0, и ^ D (В) имеем

II BAt)u\\Lq(oa)<cXZl\\ba(t, •)l|Lg(0,l)Ha)||Loo(0,1)<

<⁸II^||L⁵(0,1) + C(8)||u||y⁰,^{1 )}. Докажем полную подчиненность оператора В опера­

тору А2. Сначала объясним вложение D (A2)aD (В): и ЕЕ S D (A), AuEE D (А) ==> Lvu = 0, Lv^ ^ = aLvu№) =

= 0 (v = 1, . . ., 2&). Итак, w- (#) удовлетворяет усло­

виям (2), т. е. и Ez D (В). С другой стороны, так как

р <; 2к, то для любых 8 > 0, и ЕЕ D (А²) имеем

II Ви \\^LqiQtl) < с || И<Р> ||^S(o,i).< е||и<"> ||^Vo,i) + с (8) |M|^Lq(0ii) <

< е || 4^аи ||Lg(o,i) + ^с (^е) II ^и \\b^q(o,i)- Следовательно, выполняется условие 4) теоремы 1.

Теперь проверим условие 3) теоремы 1. При I <^ р + -f 2k оператор С А'² ограничен, откуда следует выполне­

ние условия 3 теоремы 1.

Полная подчиненность оператора С^г (t) оператору С следует из (19). Действительно, в силу условия 2) для любых е ]> 0, и ЕЕ D (С) имеем

llc¹(0tt||^{L g ( O i}i⁾<

< С ^ II С* (*, .) ||^{Lg(0i 1}} || UW Н^од) < С || U ||^1 ( о > 1 ) <

< е II u^(l) l|L^q(o,i) + с (б) || u ||^Lfl(0f D <

< 6 || Си Ц^о,!) + С (8) || И ||Lq(0.D.

Докажем теперь полную подчиненность оператора С оператору В А. Сначала объясним вложение D (В A) CZ С D (С) : и е D (ВА) =$ и ЕЕ D (4), Лгг е Я (5) =^

=Ф L^VM, = 0 (v = 1, . . ., 2Л); L^v (аи<^а*> (ж) + со⁰и (*)) =

= 0 (v = 1, . . ., р). Отсюда следует, что

aL^va<*^fc> {х) + щЬ^уи (х) = 0 (v = 1, . . ., 2р). (20) Так как р <^ 2/с, то L^vw (a;) = 0, и тогда условие (20) примет вид L^vu^ (х) = 0 (v = 1, . . ., р).

Следовательно, если 2к <^1 <^2к + р, то функция и (х) удовлетворяет как условиям (2), так и условиям (2'), т. е. и ЕЕ D (С). С другой стороны, так как р <; 2fc, 2/с < I < 2/с + р, то для любых 8 > 0 , w G ^ ifiA) имеем II CU ||^Lfl(oa) < 8 || U(0 ||^{V O i} x) < 8 И It(^«> Ц^{( 0 | 1}} +

+ с (e) || и ||^Lfl(0>1) < e || 5,4 и ll^o,D + с (e) || u Ц^од).

Следовательно, выполняется условие 5) теоремы 1.

Условия 6) и 7) теоремы 1 суть следствия условий 2) и 5) теоремы 2. На самом деле для любого и ЕЕ D (А) имеем

| | [ i 4 i ( t ) - ^ i W l » l b^e( o . i ) <

< с | * - т |« (|| Аи ||t g ( 0 l l ) + || и |Ц⁽⁰⁾¹⁾);

535

! | [ / ?1( 0 - S i ( T ) ] ^ | |Vo , D <

< c | ^ - T | e ( | | ^ rL g ( 0 i l ) + | [ u | |V O f l )) ; а при 2ft < I < 2ft + p, u^D (C)

\\lC1(t)-C1(*)]u\\Lq(t>.i)<

<c\t — %\* (|| Си \\Lq(0tl) + |j и \\Lq(o,i))- Значит, проверены все условия теоремы 1 для задачи (1)—(3), откуда следует утверждение теоремы 2.

Институт математики Поступило и механики АН АзССР 14.06.85

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] S o b o l e v S . L . Sur les problemes mixtes pour les equations aux derivees partielles a deux variables independantes // Calcut­

ta Math. Soc. Com. V . 1958—1959. P . 447—484.

[2] Я к у б о в С. Я . Нелокальная краевая задача для одного класса корректных по Петровскому уравнений // Мат. сб.

1982. Т. 118 (160), вып. 2 (6). С. 2 5 2 - 2 6 1 .

[3] Я к у б о в С. Я . Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения. — Баку: Елм, 1985.

[4] Д е з и н А. А. Об операторных уравнениях второго порядка //

Сиб. мат. журн. 1978. Т. X I X , № 5. С. 1032—1042.

[5] К р е й н С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в ба­

наховом пространстве.— М.: Наука, 1967.

[6] С о б о л е в с к и й П. Е. Об уравнениях параболического типа в банаховом пространстве // Труды ММО. 1961. Т. 10. С. 297—

350.

[7] Б е с о в О. В., И л ь и н В. П., Н и к о л ь с к и й С М . Интегральные представления функций и теоремы вложения.—

М.: Наука, 1975.