А. А. Белолипецкий, А. М. Тер-Крикоров, Модифицированная теорема Кан- торовича и асимптотические приближения решений сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2016, том 56, номер 11, 1889–1901

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

А. А. Белолипецкий, А. М. Тер-Крикоров, Модифицированная теорема Кан- торовича и асимптотические приближения решений сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2016, том 56, номер 11, 1889–1901

DOI: https://doi.org/10.7868/S0044466916110053

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

6 ноября 2022 г., 16:31:41

МОДИФИЦИРОВАННАЯ ТЕОРЕМА КАНТОРОВИЧА И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ РЕШЕНИЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

© 2016 г. А. А. Белолипецкий*, А. М. Тер-Крикоров**

(*119333 Москва, ул. Вавилова, 40, ВЦ ФИЦ ИУ РАН;

**141700 Долгопрудный, М.о., Институтский пер., 9, МФТИ) e-mail: abelolipet@mail.ru; ter-krikorov@mail.ru

Поступила в редакцию 05.10.2015 г.

Переработанный вариант 26.02.2016 г.

Рассматривается функциональное уравнение , содержащее малый параметр и допускающее регулярное или сингулярное вырождение при . Методами малого пара- метра находится функция , удовлетворяющая уравнению с точностью до невязки . Строится модифицированная последовательность Ньютона, начинающаяся с эле- мента . Существование предела последовательности Ньютона основано на доказывае- мой НК-теореме (новый вариант доказательства теорем Л.В. Канторовича, обосновывающей сходимость итерационной последовательности Ньютона). Отклонение предела последова- тельности Ньютона от начального приближения имеет порядок , что доказыва- ет асимптотичность приближения . Предложенная методика реализуется на примере построения асимптотического приближения системы обыкновенных дифференциальных уравнений на конечном или бесконечном временном интервале с малым параметром при производных, но может быть применена к более широкому классу функциональных уравне- ний с малым параметром. Библ. 9.

Ключевые слова: модифицированная последовательность Ньютона, малый параметр, сингу- лярное вырождение, асимптотические приближения, приближенное решение ОДУ, модифи- цированная теорема Канторовича.

DOI: 10.7868/S0044466916110053

1. НК-ТЕОРЕМА

В этом разделе доказывается новый вариант теоремы Л.В. Канторовича (см. [1]) о решении уравнения в банаховом пространстве. В банаховом пространстве рассмотрим нелинейное функциональное уравнение

. (1.1)

Относительно линейного оператора и нелинейного оператора сделаем следующие пред- положения.

Предположение 1.1. Функция отображает открытый шар банахового пространства в банахово пространство и имеет производную Фреше , удовлетворяющую условию Липшица

.

Предположение 1.2. Область значений оператора A принадлежит пространству . Линейный оператор имеет ограниченный обратный оператор

.

( )

^{,ε =0}

f x ε

ε →0

( )ε

0

xn

( )

^{ε +1}

O ⁿ

( )ε

0

xn

( )^ε

0

xn ^O

( )

^εn+1

( )^ε

0

xn

B1

( )

− =0

Ax f x

A f

f ^UR

( )

^{x0 B1}

B2 ^{f '}

( )

^x

( )

^{2 −}

( )

^{1 ≤ 2 − 1}

' '

f x f x l x x

B2

( )

= − ' 0

L A f x

−¹: 2 → 1, −¹ ≤ κ

L B B L

УДК 519.62

В дальнейшем будем называть элемент начальным приближением, а элемент – невязкой уравнения (1.1).

Пусть .

Предположение 1.3. Справедливы неравенства

, где число r является корнем квадратного уравнения

. (1.2)

Определим итерационную последовательность Ньютона

. (1.3)

Обобщенная теорема Канторовича (НК-теорема). Если выполнены предположения 1–3, то все члены последовательности лежат в замкнутом шаре , последовательность имеет пре- дел и . Скорость сходимости определяется неравенством

.

Для отклонения решения от начального приближения справедливо неравенство

. (1.4)

Доказательство. Заменим уравнение (1.1) эквивалентным уравнением ,

которое в силу предположения 1.2 равносильно уравнению

. (1.5)

Ньютоновская последовательность (1.3) получается применением метода последовательных приближений к уравнению (1.5).

Рассмотрим в шаре функцию

.

Так как в шаре производная удовлетворяет условию Липшица, то в силу форму- лы (П2.2) приложения 2 (см. ниже) справедливо неравенство

.

В силу предположения 1.3 замкнутый шар , следовательно,

. (1.6)

Воспользовавшись тем, что

, представим функцию в виде

(1.7)

∈

0 1

x B

( ) ( )

σ x0 = Ax0− f x0

−¹σ

( )

0 = γ

L x

( )

κγ < = − − κγ <

κ

2l 1, r 1 1 1 2l R

l κ ²+ γ = 2

l r r

( ) ( )

( )

+1 = −¹ − ' 0

n n n

x L f x f x x

xn ^Ur

( )

^{x0 xn}

x ^{Ax − f x}

( )

⁼⁰

− ≤ γ2 ⁿ, = −1 1− κγ <2 1

xn x q q l

− ≤ γ

0 2

x x

(

^{A− f'}

( )

^x0

)

^{x = f x}

( )

^{− f'}

( )

^{x0 x}

( ) ( )

⁻

( ( ) ( ) )

= ϕ , ϕ = ¹ − ' 0

x x x L f x f x x

+1 = ϕ( )

n n

x x

( )

⁰

UR x

( )

⁼

( )

⁻

( )

^{0 − '}

( )(

^{0 − 0}

)

F x f x f x f x x x

( )

⁰

UR x ^f'

( )

^x

( )

^{≤ − 0 2, ∈}

( )

⁰

2 ^R

F x l x x x U x

( )

^{0 ⊂}

( )

⁰

r R

U x U x

( )

^{≤ 2, ∈}

( )

⁰

2 ^r

F x lr x U x

( )

⁼

( )

⁺

( )

^{0 + '}

( )(

^{0 − 0}

)

^{, '}

( )

^{0 = − , σ}

( )

^{0 = 0 −}

( )

⁰

f x F x f x f x x x f x A L x Ax f x

( )

ϕ x

( ) ( ( ) ( ) ( )( ) ( ) )

( ) ( ) ( )

( ) ( ( ) ( ) ( ) )

( ) ( )

( ) ( ( ) ( ) )

−

− −

− −

ϕ = + + − − =

= + − = + − − =

= − σ + = − σ +

1

0 0 0 0

1 1

0 0 0 0 0

1 1

0 0 0 0

' '

'

.

x L F x f x f x x x f x x

L F x f x f x x L F x f x A L x

L F x x Lx L F x x x

Отсюда с учетом неравенства (1.6) и равенства (1.2) имеем

,

т.е. оператор отображает замкнутый шар в себя. Из формулы (1.5) получаем, что

Из полученного неравенства _, , следует, что оператор является опе- ратором сжатия в шаре . Так как этот замкнутый шар отображается в себя, то у оператора существует в этом шаре единственная неподвижная точка , являющаяся пределом рекуррент- ной последовательности

.

Кроме того, из этого же неравенства следует, что функция удовлетворяет условию Лип- шица в шаре , т.е. для справедливо неравенство

. (1.8)

Для отклонения решения от начального приближения справедлива оценка .

Используя (1.8), получаем, что скорость сходимости определяется неравенством .

Действительно, имеем

.

В следующем разделе НК-теорема будет использована для исследования сингулярно возму- щенной системы ОДУ, но она допускает и более широкое применение (см. [1]–[4]).

2. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОДУ, СИНГУЛЯРНОЕ ВЫРОЖДЕНИЕ

Рассмотрим задачу Коши для системы из обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) на конечном или бесконечном временном полуинтервале:

, (2.1)

.

Подробный русскоязычный обзор многочисленных работ, посвященных исследованию ре- шений задачи (2.1) при и различных обобщений этой задачи, можно найти в фундамен- тальных работах [5]–[9]. Ниже предлагается модифицированный метод исследования, основан- ный на несколько более простых предположениях.

В дальнейшем – норма вектор-столбца, − норма матрицы , – банахово про- странство столбцов высоты , ограниченных и непрерывных на полуинтервале функций, – кольцо столбцов функций, имеющих ограниченные производные любого порядка

на .

Сделаем ряд предположений.

( )

^{κ −}

( )

^κ

( )

ϕ − 0 ≤ ² + ¹σ 0 = ² + γ = , ∈ 0

2 2 ^r

lr lr

x x L x r x U x

ϕ ^Ur

( )

^x0

( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( )

( )

ϕ = − − ≤ κ − ≤ κ − ≤

≤ κ = − − κγ = < ∈

1

0 0 0

0

' ' ' ' '

1 1 2 1, _r .

x L f x f x f x f x l x x

lr l q x U x

( )

ϕ' x ≤ <q 1 ^x∈Ur

( )

^{x0 ϕ}

( )

⁰

Ur x ϕ

x

( )

⁻

( ( ) ( ) )

+1 = ϕ = ¹ − 0

x_n x_n L f x_n f' x x_n ϕ( )x ( 0)

Ur x y z, ∈U_r(x0)

ϕ( )y − ϕ( )z ≤ q y−z

( ) (

^κγ

)

− ≤ = − − κγ = ≤ γ

κ κ + − κγ

0

1 2

1 1 2 2

1 1 2

x x r l l

l l l

− ≤ γ2 ⁿ

xn x q

− − − −

− = ϕ − ϕ ≤ − = ϕ − ϕ ≤ − =

_n ( ) ( _n 1) _n 1 ( ) ( _n 2) ² _n 2

x x x x q x x q x x q x x

=…≤ qⁿ x −x0 ≤ γ2 qⁿ

m

( ) ( )

εdx− , =0, 0 = α, 0≤ < , ε >0

f x t x t T

dt

=( ¹,…, ^m) ,^т =( ¹,…, ^m)^т

x x x f f f

ε → +0

x A A ^Cm

[ )

^0,T

m

[

^0,T

)

[ )

∞^m 0,

C T

[

^0,T

)

Предположение 2.1. Функция имеет в области ограни- ченные частные производные всех порядков.

Из предположения 1.1 следует, что производная удовлетворяет в области условию Липшица

.

Предположение 2.2. Вырожденное уравнение имеет в области единственное решение , ,

Здесь – кольцо бесконечно дифференцируемых на -мерных столбцов функ- ций, имеющих ограниченные производные (см. приложение 1).

Из предположения 2.2 следует, что матрица имеет ограниченные производные всех порядков.

Предположение 2.3. Матрица отрицательно определена в области (см. приложение 3)

. (2.2)

Для выполнения предположения 2.3 достаточно, чтобы при все собственные значе- ния матрицы лежали в полуплоскости _, , и существовал ортонормирован- ный базис из собственных векторов.

Вообще говоря, . Будем искать приближенное решение задачи Коши (2.1) в следую- щем виде:

, (2.3)

(2.4)

Функция удовлетворяет уравнению (2.1) с точностью до невязки

, (2.5)

(2.6)

. (2.7)

Для определения функций разложим функции и

в ряды Тейлора по степеням параметра и приравняем нулю коэффициенты при степе- нях . Невязки будут равны остаточному члену в формуле Тейлора.

Теорема 2.1. Можно так выбрать функции , и положительные числа

и , что для невязки справедливо неравенство _{, ,}

.

Доказательство. Так как , то выражение (2.6) для невязки можно, используя формулу Тейлора (см. приложение 2), представить в виде

(2.8)

( )

^,

f x t ^{Da =}

{ ( )

^{x t, : x ≤a, 0 ≤ <t T}

} ( )

^,

fx x t D_a

(

^1,

)

⁻

(

^2,

)

^{≤ 1− 2}

x x

f x t f x t l x x

Da

( )

∈ ∞

[ )

0 ^m 0,

x t C T ^x0

( )

^{t ≤a/ 6 det fx}

(

^x0

( )

^{t ,t}

)

^{≥ α >1 0.}

[ )

∞^m 0,

C T [0, )T m

(

⁰

( )

^,

)

⁻¹

fx x t t

( )

^,

fx x t D_a

( )

(

^{fx x t h h, ,}

)

^{≤ −δh2, δ > 0}

( )

^{x t, ∈Da}

( )

^,

fx x t Reλ ≤ −δ δ >0

( )

^{≠ α}

0 0 x

( )

^{ε =}

( )

^{ε +}

( )

^{τ ε τ = ε}

_n , _n , _n , , /

x t X t Y t

( ) ( ) ( ) ( )

= =

ε =

∑

ε τ ε =

∑

τ ε

0 0

, , , ,

n n

k k

n k n k

k k

X t x t Y y

( )

^{= −}

( )

^{+ α}

( )

^{= −}

( )

⁼

0 0 0 0 , _k 0 _k 0 , 1, .

y x y x k n

( )

^ε

_n , x t

( ) ( )

σ = σ1 t,ε + σ τ ε2 ,

( ) ( )

^ε

( ( ) )

σ1 ε = ε − ε

, dXⁿ t, _n , , ,

t f X t t

dt

( ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) )

σ τ ε = − ετ ε + τ ε ετ + ετ ε ετ

2 , dYτⁿ _n , _n , , _n , ,

f X Y f X

d

( )

^…

( ) ( )

^{τ …}

( )

^τ

1 , , _n , 0 , , _n

x t x t y y ^σ1

( )

^t,ε

( )

σ τ ε2 , ε

ε^k,k =1,n

( )

∈ ∞^m

[ )

0, , =1,

xk t C T k n

( )

c n1 ^ε0

( )

^{n σ1}

( )

^{t,ε σ1}

( )

^{t,ε ≤c n}

( )

^εn+1 0< ε < ε0

( )

n

≤ <

0 t T

(

⁰

( )

^,

)

^{= 0}

f x t t σ1

( ) ( _{( )} ) ( ( ) ( ) )

( )

( ( ) ) ( ( ) ( ) ) ( )

=

σ = ε ε − ε − +

+ ∂ ε − + ε ε → +

∑

∂

1 0 0

0

0 2

, , ,

1 ,

, , 0.

!

n

x n

n k

k n

k n k

dX t

f x t t X t x t dt

f x t t

X t x t o

k x

Раскладывая невязку в ряд по степеням параметра , приравнивая нулю коэффициенты при и используя формулы (2.8) и (2.4) , получаем рекуррентную систему уравнений для

определения функций :

, (2.9)

. (2.10)

В формуле (2.10) – однородный многочлен степени (см. приложение 1).

Так как функция и матрица имеют ограниченные частные производ- ные всех порядков, то уравнение (2.9) определяет функцию . Если , то уравнения (2.9), (2.10) определяют функции . Следовательно, . Так как , то найдется такое положитель-

ное число , что при .

В разложении функции по степеням параметра коэффициенты при равны ну- лю. Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в интегральной форме (см. приложение 2), получаем следующее выражение для :

. (2.11)

Так как функция и все ее частные производные ограничены, то из формулы (2.11) сле-

дует, что , , .

Пусть . Из формулы (2.7) для невязки следует, что

. (2.12)

Условия (2.4) сводят задачу определения функции к решению следующей задачи Коши:

. (2.13)

Обозначим через банахову алгебру непрерывных на -мерных функций столбцов с конечной нормой (см. приложение 1).

Теорема 2.2. Найдется такое число , что при ₌ задача (2.13) имеет единственное решение, и .

Доказательство. Запишем уравнение (2.13) в виде

(2.14) Так как , а матрица удовлетворяет условию Липшица, то (см. приложение 2) имеем

(2.15)

σ1 ε

ε,…,εⁿ

( )

^{, =1,}

xk t k n

(

⁰

( )

^,

)

^{= ψ}

( )

x k k

f x t t x t

( )

^{( )}

( ( ) ) ( _{( ) ( )} )

− −

=

ψ = ψ = − ∂ ≥

∑

∂ ^{0 …}

1 0 1 1 1

2

1 ,

'( ), ' , , , 2

!

k j

k k j j k

j

f x t t

x t x t P x t x t k

j x

(

1,…, −1

)

j k

P x x j

( )

x0 t ^fx−1

(

^x0

( )

^{t ,t}

)

( )

∈ ∞

[ )

1 ^m 0,

x t C T

( )

… −

( )

∈ ∞

[ )

1 , , _k 1 ^m 0,

x t x t C T x_k

( )

t ∈C∞^m

[ )

0,T

( )

…

( )

∈ ∞

[ )

1 , , _n ^m 0,

x t x t C T ^x0

( )

^{t ≤a/6}

( )

ε0 n ^Xn

( )

^{t,ε < a/3} 0< ε < ε0

( )

n

( )

σ ε1 ε ε,…,εⁿ

( )

σ ε1

( )

+

( )

⁺

( )

⁺

( ( ) )

+

ε ε

σ ε = −ε + −

∫

ε

1 1

1 1

1 1

0

' ,

, 1

!

n n

n

n n

n n

d f X t u

t x t u du

n d

( )

^ε

X_n t,

( ) ( )

⁺

σ1 t,ε ≤ c n ε^{n 1} 0< ε < ε0

( )

n 0≤ <t T

= μ

0(0)

x σ2

( ) ( ( ) ) ( )

ε=

σ = τ − μ + τ + μ

τ

0

2 0 dy 0 , 0 , 0

f y f

d

( )

^τ

y0

( )

^{τ − μ + τ}

( ( ) )

⁼

( )

^{= α − μ}

τ

0

0 , 0 0, 0 0

dy f y y

d

[ )

δ^m 0,+ ∞

C

[

^{0,+ ∞}

)

^m

( )

^τ

f _δ ^δτ

( )

≥

= τ

0

sup

Cm

t

f e f

( )

μ ∈0 0, /6a 0 < α − μ ^{α −x0}

( )

^{0 ≤ μ0}

( )

^{τ ≤ α − μ −δτ}

0 2

y e

( ) ( ) ( )

( ) ( ( ) ) ( ) ( )

− μ = Φ = −μ + α

τΦ = μ + τ − μ τ

0

0 0 0

0 0 0

, 0 , 0 ,

, 0 , 0 .

x

x

dy f y y y

d

y f y f y

( )

^{μ, 0 =0}

f ^fx

( )

^{x, 0}

( ) ( )

Φ 0 ≤ 0 τ ²

1 .

y 2l y

Сведем задачу Коши (2.14) к нелинейному интегральному уравнению

(2.16) В силу предположения 2.3 матрица отрицательно определена, если . Пусть . Воспользовавшись неравенством (2.15) и оценивая при каждом норму , получаем, что

Следовательно,

. (2.17)

Пусть есть решение квадратного уравнения

. (2.18)

Число будет вещественным, если . В силу неравенства (2.17) и равенства (2.18) оператор отображает замкнутый шар в себя.

Покажем, что является оператором сжатия в этом шаре. Из формулы (2.16) следует, что (2.19) Так как матрица отрицательно определена, то

(2.20) Воспользовавшись формулой конечных приращений и тем, что производная удовле- творяет условию Липшица, получаем, что

( )

^{( )( )}

( ( ) )

^{( )}

( ) ( ( ) )

τ

μ τ− − μ τ

τ =

∫

^,0 Φ + ^,0 α − μ = τ

0 0 0

0

x x .

f s f

y e y s ds e W y

( )

^{μ, 0}

fx μ <a

δ ∞ ≤ ≤

0 m[0, ) /2

y C r a τ > 0

( ) (

^{0 τ}

)

W y

( )

( )

^{( )( )}

( ( ) )

^{( )}

( )

( )

( )

δ

τ

μ τ− μ τ

τ τ

−δ τ− −δτ −δτ δ − δ

∞

−δτ

τ ≤ ⋅ Φ + ⋅ α − μ ≤

⎛ ⎞

⎜ ⎟

≤ + α − μ ≤ + α − μ ≤

⎜ ⎟

⎝ ⎠

≤ + α − μ

δ

∫

∫ ∫

,0 ,0

0 0

0

2 2 2

0 [0, )

0 0

2

2 2

2 .

x x

m

f s f

s s s

C

W y e y s ds e

l l

e y s ds e e e y e ds

e l r

( )

⁰ _δ[0,_+∞) ^≤ _δ ^{2 + α − μ}

2

Cm

W y l r

r

⎛ α − μ⎞

+ α − μ = = δ⎜ − − ⎟

δ ⎝ δ ⎠

2 2

, 1 1

2 l l

r r r

l

r α − μ < μ = δ0 /2l

W U_r

( )

0 ⊂Cδ^m

[

0,+∞

)

W

( ) ( )

^{( )( )}

( ( ( ) ) ( ( ) ) )

τ

μ τ−

− =

∫

^,0 Φ − Φ

0 0 0 0

0

x .

f s

W y W y e y s y s ds

( )

^{μ, 0}

fx

( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) )

τ

−δτ δ

− ≤

∫

Φ − Φ

0 0 0 0

0 s .

W y W y e e y s y s ds

( )

^{, 0}

fx x

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

Φ − Φ = μ + − μ + − μ − =

= μ + + − − μ − ≤ − + − ≤

≤ − + − = − ⋅ +

∫ ∫

∫

0 0 0 0 0 0

1 1

0 0 0 0 0 0

0 0

1

0 0 0 0 0 0 0 0

0

, 0 , 0 , 0

1 , 0 1

1 .

2

x

x x

y y f y f y f y y

f uy u y f y y du l y y uy u y du

l y y u y u y du l y y y y

Подставляя это неравенство в формулу (2.20), получаем, что

Следовательно,

.

Таким образом, оператор сжатия отображает замкнутый шар в себя и, следовательно, имеет единственную неподвижную точку в этом шаре. Отсюда следует, что

.

Преобразуем выражение для функции , определенной равенством (2.7). Вследствие теоре- мы 2.1 функции принадлежат кольцу . В силу формулы Тейлора имеем

. (2.21)

Положим

(2.22)

. (2.23)

Так как функция удовлетворяет уравнению (2.14), то формула (2.7) для невязки после замены (2.13) принимает вид

. (2.24)

Разложим функцию в точке в ряд Тейлора, используя формулу перестанов- ки суммирования в двойной сумме:

(2.25)

Аналогично,

(2.26)

Подставляя выражения (2.25) и (2.26) в формулу (2.24), можно представить выражение для не- вязки в виде

, (2.27)

, (2.28)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) )

( )

τ

−δτ δ

τ

−δτ −δ −δτ

− ≤ − ⋅ + ≤

≤ − ⋅ + ≤ −

δ

∫

∫

0 0 0 0 0 0

0

0 0 0 0 0 0

0

2 2 .

s

s

W y W y l e e y s y s y s y s ds

l lr

e y y y y e ds e y y

( )

^{0 −}

( )

^{0 ≤lr}_δ ^{0 − 0 , lr}_δ ^{= −1 1−2l α − μ}_δ ^<1

W y W y y y

W U_r

( )

0 ⊂Cδ^m

[

0,+∞

)

( )

y0 t

[ )

( )

δ

−δτ +∞

⎛ α − μ⎞

≤ = δ⎜⎝ − − δ ⎟⎠ ≤ α − μ τ ≤ α − μ

0 0, 0

1 1 2 2 , 2

Cm

y r l y e

l

σ2

( )

^…

( )

0 , , _n

x t x t C∞^m

[

0,T

)

( ) ( )

⁻

( ) ^{( )}

= =

ετ ε =

∑

ετ ε = μ + εξ ξ =

∑

μ ε τ + ε¹ μ = ⁰

0 1

, , , 0

n n

k k k n

n k k

k k

X x o x

= 0+ εη, Yn y

( ) ( )

⁻

=

η τ ε =

∑

τ ε ¹

1

,

n

k k k

y

( )

^τ

y0 σ2

( )

^η

( ) ( ) ( )

σ τ ε = ε − μ + + εξ + εη + μ + + μ + εξ

2 , dτ 0 , 0, 0 ,

f y t f y f t

d

(

^{μ + εξ ετ,}

)

f

( )

^{μ, 0}

( ) ( ( ) ( ) ( ) )

( ) ( )

− +

−

= =

μ + εξ ετ = ε μ ξ ετ + μ τ +

∂ μ

+ ε τ ξ + ε

∑∑

∂ ∂^{( ) 1}

2

, , 0 , 0

, 0 .

!

x t

n n k k j j j

j n

k

j k j j k j

f f f

C f

k x t o

( ( ) ) ( ( ) )

( ( ) ) ( ) ( )

( ) _{( )} ( )

− +

−

= =

μ + εξ + τ + εη − μ + τ =

= ε μ + τ ξ + η + ετ μ + +

∂ μ +

+ ε τ ξ + η + ε

∑∑

∂ ∂

0 0

0 0

( )

1 0

2

, , 0

, 0 , 0

, 0 .

!

x t

n n k k j j j

j n

k

j k j j k j

f y t f y

f y f y

f y

C o

k x t

σ2

( ) ( _{( )} ) ( ) ( )

⁺

η τ ε

σ = − μ + τ η τ ε − − − + ε

τ

1

2 0 1 2 3

, _x , 0 , ⁿ

d f y g g g o

d

( ( ) ) ( )

( )

= τ μ + τ − μ

1 _t 0 , 0 _t , 0

g f y f

, (2.29)

. (2.30)

Обозначим через алгебру, элементами которой являются столбцы вещественных или ком- плексных чисел , , . Пусть, далее, – кольцо функций вида

. (2.31)

Если , то формула (2.31) определяет кольцо .

Обозначим через конус многочленов с неотрицательными коэффициентами. Из опреде- ления пространства следует, что

. (2.32)

Очевидно, что если , то .

Рассмотрим следующую задачу Коши для системы линейных уравнений:

. (2.33)

Лемма 2.1. Если функция , то решение задачи Коши (2.33) также принадлежит . Доказательство. Так как матрица отрицательно определена, то для соответ- ствующей матрицы Коши справедлива оценка _, (см. приложе- ние 3). Решение задачи Коши (2.33) имеет вид

. (2.34)

Так как , то из равенства (2.34) следует, что

,

.

Теорема 2.3. Уравнения , могут быть последовательно разрешены. Функции

. Для невязки справедлива оценка _, .

Доказательство. Разложим функцию , определенную равенством (2.27), в ряд по сте- пеням параметра и приравняем к нулю коэффициенты при . При получаем уравнение для определения функции :

. (2.35)

В силу формулы (2.28) имеем

. (2.36)

( ) ( ( ) ) ^{( )}

^{− −}

⁽

⁻

⁾

= =

∂ μ +

= τ ε ξ + η − ξ τ ε = ε τ

∑ ∑

^{1 ( )}∂ ∂ ⁰

2 2

, , , , 0

!

n n k k j j j

j j k

j j j k j

j k j

f y

g u u C

k x t

( ) ( )

^{− −}

( ) ( )

− −

= =

⎛∂ μ + ∂ μ ⎞

=

∑

^v τ ε ξ ^v τ ε =

∑

ε τ¹ ⎜⎜⎝ ^{( )}∂ ∂ ⁰ − ∂ ∂^{( )} ⎟⎟⎠ξ

3 2

, 0 , 0

, , ,

!

n n k k j j j j

j k j

j j j k j j k j

j k j

f y f

g C

k x t x t

Em

( )

= 1,…, _m ^т

x x x xi ∈C i =1,m K

( ) ( ) ( ) [ ) ( )

= =

ψ =

∑

ϕ τ τ ϕ τ ∈ + ∞ τ =

∑

τ ∈

1 0

, 0, , ,

n k

m j m

k k k k j j

k j

P C P a a E

( )

δ

[ )

ϕ τ ∈_k C^m 0,+ ∞ K_δ

K+

[ )

δ^m 0,+ ∞ C

( ) ( )

^−δτ

( )

+ δ

ψ τ ≤ p τ e , p τ ∈K , ψ ∈K ϕ ∈K,ψ ∈Kδ ϕψ ∈K_δ

( ( ) ) ( ) ( )

δ

− μ + τ = ψ τ = β ψ ∈ β ∈

τ _x ⁰ , 0 , 0 , , ^m

dy f y y y K E

d

( )

δ

ψ τ ∈K K_δ

(

^{μ + 0}

( )

^{τ , 0}

)

fx y

( )

^τ,

H s ^{H t s}

( )

^{, ≤e−δ τ−( s) 0≤ ≤ τs}

( ) ( ) ( ) ( )

τ

τ =

∫

τ ϕ + β

0

, , 0

y H s s ds Н t

( ) ( )

^−δ

( )

+

ψ s ≤P s e ^s,P s ∈K

( ) ( ) ( ) ( )

^{( )}

( ) ( )

τ τ

−δ τ− −δ −δτ −δτ

τ ≤

∫

τ ⋅ ψ + ⋅ β ≤

∫

+ β ≤ τ

0 0

, , 0 ^{s s}

y H s s ds Н t e P s e ds e Q e

( ) ( )

τ

τ = β +

∫

∈ + 0

Q P s ds K

( )

( )

σ2^k τ, 0 =0,k =1,n

( )

∈ δ

yk t K ^{σ τ ε2}

( )

^{, σ ≤2 P}

( )

^{τ e−δτεn+1} P

( )

τ ∈K+

( )

σ τ ε2 ,

ε ε^k,k =0,n ε =0

( )

^τ

y1

( ( ) ) ( ) ( ) ( )

− μ + τ = τ = −

τ

1

0 , 0 1 1 , 1 0 1 0

x

dy f y y g y x

d

( ( ) ) ( ) ( )

^−δτ δ

≤ τ μ + τ − μ ≤ τ τ ≤ τ ∈

1 _t 0 , 0 _t , 0 1 0 2 , 1

g f y f c y c e g K

Из леммы 2.1 следует, что функция .

Для определения функций получаем уравнения

, (2.36)

где функции и являются коэффициентами при в разложении функций и . Из формулы (2.29) следует, что

. (2.37)

Разложение функций по степеням параметра не содержит нулевой степени парамет- ра . Коэффициент при , в разложении функции

по степеням параметра выражается через функции .

Если эти функции определены и принадлежат , то коэффициенты при степенях в разложении функции будут принадлежать кольцу . Из формулы (2.29) теперь сле- дует, что коэффициент при в разложении функции принадлежит .

Так как коэффициенты при степенях разложения функции являются многочленами, то из формулы (2.30) следует, что . А поскольку правая часть уравнения (2.36) принад- лежит кольцу , то в силу леммы 2.1. Таким образом, если _, , то и

, . Следовательно, .

Из формулы (2.27) следует, что

. (2.38)

Так как , то из формул (2.29) и (2.30) вытекает, что при выполняется

неравенство , , т.е. .

Теорема 2.4. Найдутся такие числа , что при задача Коши (2.1) имеет решение и

. Доказательство. Возьмем в качестве начального приближения функцию

Так как , то для функции задача (2.1) примет вид

. (2.39)

Пусть – дифференциальный оператор, действующий в банаховом пространстве

функций и определенный для функций _, , а

( )

τ ∈ δ

y1 K

( )

^{τ …}

( )

^τ

2 , , _n

y y

( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )

− μ + τ = τ + τ = − =

τⁱ _x ⁰ , 0 _i ^2,_i g^3,_i , _i 0 _i 0 , 2,

dy f y y g y x i n

d

( )

^τ

2,i

g ^g3,i

( )

^{τ εi g2}

( )

^{τ ε,}

( )

^{τ ε}

3 , g

( )

^{− −}

( ) ( ) [ )

=

τ ε =^,

∑

ⁿ ε τ α τ^{k 1 k l ,} α τ ∈ ^0,+∞ ^, ≥²

l k k

k l

u C l

( )

^{τ ε,}

ul ε

ε ε^j, j ≤ −i 1

( )

^{− −}

=

ξ + η − ξ = η

∑

ξ η ¹

1 l

l l p l p l

l p

C

… − 1, , _i 1

y y

Kδ ε,…,εⁱ⁻¹

(

^{ξ + η − ξ}

)

^{l l} Kδ

ε^{i g2}

( )

^{τ ε,} Kδ

εⁱ ξ

( )

τ ∈ δ 3,j

g K

Kδ yi

( )

τ ∈Kδ y1,…, y_i−1∈K_δ i ≤n

∈ δ

yi K i ≤n y1,…, y_n∈K_δ

( )

⁺

( ( ) ( ) )

+

+

∂ τ ε + τ ε

σ =ε −

∫

∂ε

1 1

1

2 3

2 1

0

, ,

! 1

n n

n

n

g u g u

u du

n

∈ δ

…

1, , _n

y y K 0< ε < ε0

( )

⁺

( )

^−δτ

σ ≤2 ε ¹ τ

c n n P e P

( )

τ ∈K+ σ ∈2 K_δ

( ) ( )

ε n >0,c n 0< ε < ε

( )

n

( )

^,ε

x t

( ) ( ( ) ( ) ) ( )

⁺

=

ε −

∑

ε + ε ≤ ε ¹

0

, /

n

k n

k k

k

x t x t y t c n

( ) ( ( ) ( ) )

=

ε =

∑

ε + ε

0

0

, / .

n k

n k k

k

x t x t y t

ε = = α

0(0, ) (0)

xn x u t( )= x t( )−x t_n⁰( , )ε

( ) ( )

ε = ≡ + ⁰ − ε ⁰( ) = ≤ < ε >

, ( ( ) _n( ), ) dx tⁿ , 0 0, 0 , 0

du F u t f u t x t t u t T

dt dt

= εd A dt

[ )

{ }

= ∈ =

1 ( ) ^m 0, , (0) 0

B u t C T u u t( )∈B1 ^{u t'( )∈Cm}

[

^0,T

)