А. А. Абрамов, Л. Ф. Юхно, Нелинейная сингулярная спектральная задача для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с из- быточными условиями, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2016, том 56, номер 7, 1294–1298

(1)

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

А. А. Абрамов, Л. Ф. Юхно, Нелинейная сингулярная спектральная задача для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с из- быточными условиями, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2016, том 56, номер 7, 1294–1298

DOI: https://doi.org/10.7868/S0044466916070024

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

6 ноября 2022 г., 06:46:29

(2)

НЕЛИНЕЙНАЯ СИНГУЛЯРНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ИЗБЫТОЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

(*119333 Москва, ул. Вавилова , 40, ВЦ ФИЦ ИУ РАН;

**125047 Москва, Миусская пл., 4а, ИПМ РАН;

115409 Москва, Каширское ш., 31, НИЯУ МИФИ) e-mail: alalabr@ccas.ru; yukhno@imamod.ru

Поступила в редакцию 26.01.2016 г.

На полубесконечном интервале рассматривается нелинейная спектральная задача для ли- нейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, дополненной нелокальны- ми условиями, задаваемыми интегралом Стилтьеса. На бесконечности ставится условие ограниченности решения. Кроме этих основных условий, на решение накладываются избы- точные условия, также нелокальные. Предлагается и исследуется устойчивый численный ме- тод решения такой сингулярной переопределенной спектральной задачи. Суть метода состо- ит в том, что сформулированная переопределенная задача заменяется вспомогательной, сов- местной со всей совокупностью условий. Библ. 7.

Ключевые слова: сингулярная система обыкновенных дифференциальных уравнений, нели- нейная спектральная задача, нелокальные дополнительные условия, избыточные условия, численная устойчивость.

DOI: 10.7868/S0044466916070024

ВВЕДЕНИЕ

Исследованию и численным методам решения задач для систем обыкновенных дифференци- альных уравнений с особенностями (в частности, заданных на неограниченном интервале) по- священо много работ. В настоящей работе используются методы и результаты, изложенные в [1].

Для выделения конкретного решения формулируемой далее спектральной задачи, кроме тре- бования его ограниченности, накладываются дополнительные условия. В качестве таких усло- вий берется общий случай нелокальных условий, задаваемых интегралом Стилтьеса (по поводу таких условий см., например, [2], [3]). Кроме этих основных условий, задаются еще избыточные условия, также нелокальные (по поводу таких задач см. [4]). В результате возникает переопреде- ленная спектральная задача, в общем случае не имеющая решения. Эта задача заменяется вспо- могательной системой уравнений, совместной с совокупностью всех заданных (основных и из- быточных) дополнительных условий. Дается метод численного решения построенной таким об- разом вспомогательной спектральной задачи.

Настоящая работа является продолжением работ [5], [6], где рассматриваются сингулярная нелокальная задача для линейной неоднородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с избыточными условиями и нелинейная спектральная задача для системы уравне- ний без особенностей, также с избыточными условиями.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений

(1.1) на полупрямой 0 ≤ t < +∞, где λ ∈ G, G – заданная область в комплексной плоскости, А: [0, +∞) ×

×G→ℂⁿ^×ⁿ – заданная функция, y: [0, +∞) →ℂⁿ – искомая функция при фиксированном λ.

' ( , ) y = A t λ y

УДК 519.622.2

(3)

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 56 № 7 2016

НЕЛИНЕЙНАЯ СИНГУЛЯРНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА 1295

Функция A(t, λ) предполагается непрерывной по совокупности t, λ и аналитической по λ при каждом значении t. Предполагается, что существует A_∞(λ) = , где функция A_∞(λ) ана- литична в G. Будем предполагать также, что для всех λ ∈ G функция A_∞(λ) не имеет собственных значений на мнимой оси.

Решение системы (1.1) подчиним на бесконечности следующему условию:

|y(t)| ограничено при t → +∞. (1.2)

Пусть функция A_∞(λ) при λ ∈ G имеет p собственных значений в левой полуплоскости и n – p значений в правой полуплоскости. В общем случае 0 ≤ p ≤ n. Тогда совокупность решений систе- мы (1.1), удовлетворяющих условию (1.2), является, как показано в [1], p-мерным линейным про- странством. Поэтому при p > 0 для выделения единственного решения дополним условие (1.2) следу- ющим нелокальным условием:

(1.3) где : [0, +∞) × G → ℂ^p^×ⁿ. Интеграл в (1.3) – интеграл Стилтьеса. Будем предполагать, что функция _(t, λ) аналитична по λ при каждом значении t, а функции (t, λ) и ∂_(t, λ)/∂λ имеют ограниченную равномерно в G вариацию по t.

Те значения λ, при которых уравнение (1.1) имеет нетривиальное решение y(t), удовлетворя- ющее поставленным условиям, называются собственными значениями, а функции y(t) – соб- ственными функциями задачи (1.1)–(1.3).

Пусть, кроме условий (1.2), (1.3), на решение системы (1.1) накладывается условие

(1.4) где : [0, +∞) × G →ℂ^m^×ⁿ, функция (t, λ) удовлетворяет тем же условиям, что и (t, λ).

Хотя условия (1.3), (1.4) могут быть объединены в одно условие подобного типа, мы различаем

“основное” условие (1.3) и “избыточное” (1.4). В [4] для неоднородного уравнения, рассматри- ваемого на конечном отрезке, приведены аргументы в пользу изучения подобной переопреде- ленной задачи и описаны примеры таких задач.

Спектральная задача (1.1)–(1.4) в типичном случае неразрешима. Поэтому, аналогично пред- ложенному в [4] приему, она заменяется следующей (разрешимой) спектральной задачей. Вме- сто уравнения (1.1) рассматривается уравнение

(1.5) в котором функцию g(t, λ), g : [0, +∞) × G →ℂⁿ^×^m, следует задать дополнительно, исходя из вида условий (1.4); η – неизвестный m-столбец, постоянный на [0, +∞).

Будем предполагать, что g(t, λ) непрерывна, аналитична по λ при каждом t и существует

где функция g_∞(λ) аналитична в G.

Итак, вместо (1.1)–(1.4) будем рассматривать спектральную задачу (1.2)–(1.5).

В [4] приведены примеры выбора указанной функции g(t, λ), определяемого избыточными условиями (1.4).

Условие постоянства неизвестной η на [0, +∞) равносильно условию η' = 0.

Поэтому задача (1.2)–(1.5) может быть сформулирована в следующем виде:

|y(t)| ограничено при t → +∞, (1.6)

Для задачи (1.6) соблюден баланс: n + m уравнений и n + m условий.

lim ( , )

t

A t

→+∞ λ

0

(d ( , )) ( )t y t 0,

+∞

λ =

∫

^_

_ _

0

(d ( , )) ( )t y t 0,

+∞

λ =

∫

⁶

6 6 _

' ( , ) ( , ) , y = A t λ +y g t λ η

( ) lim ( , ),

t

g_∞ g t

λ = →+∞ λ

= λ + λ η η = ' ( , ) ( , ) , ' 0,

y A t y g t

0 0

(d ( , )) ( )t y t 0, (d ( , )) ( )t y t 0.

+∞ +∞

λ = λ =

∫

^_

∫

⁶

7*

(4)

Пусть в G задана ограниченная область , замыкание которой лежит в G. Пусть граница Γ этой области состоит из конечного числа кусочно-гладких замкнутых кривых и не содержит соб- ственных значений спектральной задачи (1.6).

Сформулируем следующую задачу: найти число собственных значений задачи (1.6), лежащих в G, и вычислить эти собственные значения.

Далее рассматривается метод решения этой задачи, учитывающий ее специфический вид.

2. АППРОКСИМАЦИЯ ИСХОДНОЙ ЗАДАЧИ НА КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ

Заменим задачу (1.6), поставленную на полупрямой [0, +∞), ее аппроксимацией на конечном отрезке.

Начнем с аппроксимации условия (1.2). При p < n для каждого t, 0 ≤ t < +∞, условие (1.2) эк- вивалентно условию

(2.1) где Φ ∈ℂ⁽ⁿ^–^{p) ×}ⁿ, rankΦ = n – p, ψ ∈ℂⁿ^–^p. В [1] показано, что условие (2.1) (т.е. условие (1.2)) при больших значениях t может быть приближенно заменено условием

(2.2) Входящие сюда функции обладают следующими свойствами:

а) φ_∞(λ) – это (n – p) × n – матрица, строки которой образуют какой-либо базис пространства, порожденного левыми корневыми векторами спектральной задачи

соответствующими собственным значениям μ, лежащим в правой полуплоскости;

б) функция φ_∞(λ) предполагается аналитической в G;

в) ψ_∞(λ) = .

Погрешность от замены условия (1.2) условием (2.2) стремится к нулю при t → +∞. Если A(t, λ) и g(t, λ) постоянны по t при достаточно больших значениях t, то для таких значений усло- вие (2.2) строго эквивалентно условию (1.2).

Условия (1.3) и (1.4) аппроксимируются естественным образом: бесконечный верхний предел интеграла заменяется на достаточно большое число.

В результате задача, аппроксимирующая задачу (1.6), формулируется следующим образом.

Фиксируется достаточно большое значение t_∞ и на отрезке [0, t_∞] рассматривается уравнение (1.5), дополненное условиями

(2.3) (2.4) Нужно найти собственные значения этой спектральной задачи, лежащие в . Так как эта задача аппроксимирует задачу (1.6), то будем предполагать, что граница Γ не содержит собственных значений этой задачи.

3. МЕТОД РЕШЕНИЯ АППРОКСИМИРУЮЩЕЙ ЗАДАЧИ

Свойства задачи (1.5), (2.3), (2.4) обеспечивают обоснованность следующего метода ее реше- ния.

Рассмотрим уравнение (1.5) как уравнение относительно y(t) и, пользуясь каким-либо мето- дом переноса граничных условий, перенесем условие (2.3) в точку t = 0. В [1] показано, что этот перенос численно устойчив при достаточно больших значениях t. В результате мы получим со- отношение

где φ⁽⁰⁾∈ℂ⁽ⁿ^–^{p) ×}ⁿ, σ⁽⁰⁾∈ℂ⁽ⁿ^–^{p) ×}^m.

Gˆ

( , ) ( )t y t ( , ),t Φ λ = ψ λ

( ) ( )y t ( ).

∞ ∞

ϕ λ = ψ λ

( ) , xA_∞ λ = μx

( )A⁻1( )g ( )

∞ ∞ ∞

−ϕ λ λ λ η

( ) ( )y t ( )A g⁻1 ( ) ,

∞ ∞ ∞ ∞ ∞

ϕ λ = −ϕ λ λ η

0 0

( ( , )) ( ) 0, ( ( , )) ( ) 0.

t t

d t y t d t y t

∞ ∞

λ = λ =

∫

^_

∫

⁶

Gˆ

(0) (0)

( ) (0)y ( ) , ϕ λ = σ λ η

(5)

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 56 № 7 2016

НЕЛИНЕЙНАЯ СИНГУЛЯРНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА 1297

Отметим, что при использовании некоторых методов переноса граничных условий функции φ⁽⁰⁾(λ) и σ⁽⁰⁾(λ) могут не быть аналитическими (подробности см. далее).

Возьмем какую-либо (p × n)-матричную функцию ω(λ) такую, что ω(λ) аналитична в G и мат- рица при λ ∈ не близка к вырожденной. Поставим при t = 0 граничное условие

(3.1) где α пока неизвестный нам p-столбец. В силу выбора функции ω(λ), краевая задача относитель- но y(t), состоящая из уравнения (1.5), граничного условия (2.3) и граничного условия (3.1), при любом фиксированном η имеет решение и притом единственное.

При больших значениях t условие (3.1) устойчиво переносится слева направо. Действительно, для уравнения (1.5) при больших значениях t многообразие решений в ℂⁿ, полученных таким пе- реносом, почти параллельно пространству, порожденному правыми корневыми векторами мат- рицы A_∞(λ), соответствующими ее собственным значениям, лежащим в правой полуплоскости.

Поэтому эта краевая задача является численно устойчивой и тем самым рассматриваемый вы- числительный процесс также численно устойчив.

Таким образом, задача (1.6) заменяется следующей численно устойчивой краевой задачей от- носительно пары функций y(t) и η(t):

(3.2)

Как показано в [6], такой прием позволяет построить численно устойчивый метод решения рассматриваемой спектральной задачи. Этот метод в рассматриваемом случае реализуется следу- ющим образом.

Решив краевую задачу (3.2), мы получим представление y(t) в виде

где (t, λ) и (t, λ) – функции, аналитические по λ при каждом значении t. Подставив это пред- ставление y(t) в интегралы (2.4), мы получим соотношения

где c₁₁(λ), c₁₂(λ), c₂₁(λ), c₂₂(λ) – аналитические функции,

Пусть

Собственные значения задачи (3.2) – это нули функции q(λ). В [6] рассмотрен метод решения за- дачи полученного типа.

В [6] рассмотрена также модификация приведенных построений на тот случай, когда g(t, λ) является по t обобщенной функцией, а именно, производной от функции ограниченной вариа- ции. Идея одного из способов этой модификации состоит в том, что соответствующие преобра- зования выполняются, предполагая функцию g(t, λ) непрерывной и аналитической по λ при каж- дом значении t (см. разд. 1), а в окончательно полученных выражениях этого предположения не требуется.

ϕ λ ω λ

(0)( ) ( )

Gˆ

( ) (0)y , ω λ = α

' ( , ) ( , ) , ' 0, y = A t λ +y g t λ η η =

( ) (0)y , (0) , ω λ = α η = β

0 0

( ( , )) ( ) 0, ( ( , )) ( ) 0.

t t

d t y t d t y t

∞ ∞

λ = λ =

∫

^_

∫

⁶

( ) ( , ) ( , ) , y t =3t λ α +4t λ β

3 4

11( ) 12( ) 0, 21( ) 22( ) 0,

c λ α +c λ β = c λ α +c λ β =

11 12

0 0

( ) ( ( , )) ( , ), ( ) ( ( , )) ( , ),

t t

c d t t c d t t

∞ ∞

λ =

∫

^_ λ ³ λ λ =

∫

^_ λ ⁴ λ

21 22

0 0

( ) ( ( , )) ( , ), ( ) ( ( , )) ( , ).

t t

c d t t c d t t

∞ ∞

λ =

∫

⁶ λ ³ λ λ =

∫

⁶ λ ⁴ λ

11 12

21 22

( ) ( )

( ) det .

( ) ( )

c c

q c c

λ λ

λ = λ λ

(6)

4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

1. Метод из работы [1], реализующий аппроксимацию исходной сингулярной задачи задачей без особенностей, примененный в разд. 2, можно использовать также для решения широкого класса сингулярных задач.

2. Для аппроксимации условия (1.2) в работе была использована формула (2.3). В [1] при не- которых дополнительных предположениях приведены способы получения более точных фор- мул.

3. В изложенном в настоящей работе методе возникают функции, возможно, не аналитиче- ские. Это вызвано тем, что в результате применения некоторых методов переноса граничных условий (например, метода ортогональной прогонки, см. [7]) аналитичность некоторых возни- кающих функций может нарушаться. В [6] для этих случаев детально рассмотрены возможные модификации вычислительного процесса.

4. В работе подчеркнута устойчивость переноса граничных условий для больших значений t.

Это свойство метода особенно важно для задач, рассматриваемых на бесконечном интервале.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Abramov A.A., Konyukhova N.B. Transfer of admissible boundary conditions from a singular point for systems of linear ordinary differential equations // Sovjet. J. Numer. Analys. Math. Modelling. 1986. V. 1. № 4. P. 245–

265.

2. Джангирова С.А. О многоточечных задачах для систем обыкновенных дифференциальных уравнений //

Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1987. Т. 27. № 9. С. 1375–1380.

3. Абрамов А.А., Ульянова В.И., Юхно Л.Ф. Нелокальная задача для сингулярной линейной системы обык- новенных дифференциальных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2011. Т. 51. № 7. С. 1228–

1235.

4. Абрамов А.А., Юхно Л.Ф. Решение системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с избыточными условиями // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2014. Т. 54. № 4. С. 585–590.

5. Абрамов А.А., Юхно Л.Ф. Решение сингулярной нелокальной задачи для линейной системы обыкно- венных дифференциальных уравнений с избыточными условиями // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.

2015. Т. 55. № 3. С. 385–392.

6. Абрамов А.А., Юхно Л.Ф. Метод решения нелинейной спектральной задачи для системы обыкновен- ных дифференциальных уравнений с избыточными условиями // Дифференц. ур-ния. 2015. Т. 51. № 7.

С. 866–875.

7. Абрамов А.А. О переносе граничных условий для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (вариант метода прогонки) // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1961. Т. 1. № 3. С. 542–545.