вычисл. матем. и матем. физ., 1999, том 39, номер 6, 1045–1054

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

В. К. Леонтьев, О некоторых задачах, связанных с булевыми полиномами, Ж.

вычисл. матем. и матем. физ., 1999, том 39, номер 6, 1045–1054

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

6 ноября 2022 г., 10:33:15

1

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 1999, том 39, № 6, с. 1045-1054

УДК 519.7147

О НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ, СВЯЗАННЫХ С БУЛЕВЫМИ

\ ПОЛИНОМАМИ

¹

)

' ©1999 т, В» К . Леонтьев

I (117967 Москва, ГСП-1, Вавилова, 40, ВЦ РАН) Поступила в редакцию 11.09.98 г.

Рассматривается ;Пред став л ение булевых функций в виде полиномов и связанные с этим зада­

чи: факторизация, периодичность и 1-инвариантность. Задача факторизации рассмотрена как для всего кольца булевых полиномов, так и для подкольца симметрических полиномов.

Найдена асимптотика числа периодических булевых функций. Описана структура множества 1-инвариантных полиномов.

1. В В Е Д Е Н И Е

Представление булевых функций полиномами Жегалкина (или просто булевыми полинома­

ми) является одним из распространенных приемов, относящихся к алгебре логики. Важнейшим из достоинств такого представления является его однозначность. Б у л е в ы полиномы играют су­

щественную роль в теории корректирующих кодов (коды Рида-Малера [1]) и в ряде других при­

ложений [2].

В настоящей работе изучаются некоторые параметры и свойства булевых функций, связан­

ных с их полиномиальной представимостью: факторизация, периодичность и т.д. М ы повсюду используем стандартные определения из теории булевых функций, большинство из которых можно найти в [2]. З н а к суммирования X' везде в работе означает суммирование по mod 2, для конъюнкции используются оба стандартных обозначения: о и л.

Существуют различные способы перехода от табличной или "формульной" записи булевой к ее полиномиальному представлению [2], [3]. Здесь и метод неопределенных коэффициентов, и метод, базирующийся на преобразовании "вектора значений функции", и стандартный способ перехода от дизъюнктивной нормальной ф о р м ы К полиному, основанный на формуле х v у = х +

+ у + ху. / Следующее утверждение представляет собой "явную" форму такого выражения.

Пусть 1^П = { 1 , 2 , . . . , п} - отрезок натурального ряда. Если 3 е 1^Ю то через $ обозначим допол­

нение множества 3 в 1^П. Представление функции в виде булева полинома имеет следующий вид:

п

: f(X^{,...,Xⁿ) = У Y ' С:_:Х:...Х:. (1)

Будем считать заданными таблицу T^F функции / и л и множество ее единиц N^f. П о этому зада­

нию требуется определить к о э ф ф и ц и е н т ы с^{{ :>/} . Теорема 1. Справедливо равенство

C

L...L =[

^{У / ( а1 ?} . . . , a j , где {j^l9 = . . . , / J . (2)

a. = ... = a. =0

. J\ Jn-k .

Суммирование в формуле (2) ведется по всем двоичным наборам длины п, имеющим нули в позициях с номерами *j^b ..., jⁿ _ ^k.

Теорема 1 является прямым следствием следующей леммы, которая также будет использо­

ваться в дальнейшем.

Х ) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 96-01-00662).

1045

Лемма 1. Справедливо тождество

/(*„...,*„)= 2,

/ ( « „ ...,а„)(х, + а,).••(*„ + а „ ) , |

которое легко доказывается по индукции, исходя из формулы 1 /(*„ ..:,*„) = xⁿ[f(x^ly...,xⁿ_^{lf 1 )} + Д х „ ...,*„_„())] + / ( * „ . . . , х „ _ „ 0 ) . |

Замечание L Как показывает теорема 1, в "геометрическом" смысле коэффициенты ^{i k} полирома f(x^u ..х^п) есть "интеграл" от этого полинома по ^-мерному интервалу с направлениями Xj = ... = xj ^k =

- О п р и \}^ъ ...Jⁿ_^k) = {i^{b f}. . , i⁴} . j

В дальнейшем нам потребуется полиномиальное представление функций S^b Sⁿ, множест­

вом нулей которых являются, соответственно, "слои" 5 " , ..., В"^п куба В", где | В _{к ~ \ {ХЬ хп)> ^ j}Xi ~~ к I

Утверждение 1. Имеет место равенство

S^m(x^b ...^гх^п).= 1 4 £ G*(*i> . . х „ ) .

& = тV т ^ m o d 2

Здесь G^k(x^b .. .,'х^п) есть к-и элементарный симметрический многочлен и

( ( \ к

V т Л п Ы ? 1 ,

о,

V ^т )

= l(mod2),

s0(mod2).

Доказательство. Т а к как S^m - симметрическая функций, т о S,„ = > (X.G..

5 = 0

Осталось определить к о э ф ф и ц и е н т ы a^s. И з (1) и (4) следует

(3)

(4)

щ = с 1,2, ^{. . . Д}

. ~ х = О

S^m( x^{l ?} . . . , x j^:= ] Г . . . , *^ь0 „ . - 0 ) =

{хъ,...,хк}

-

1 1 -

^{2к- К}

V " m o d 2 V ^ / mod 2

при 1 > ш . Далее, ое⁰ = 1, и (3) доказано. ||

П р и м е р 1. Если ф у н к ц и я Д х , , . . . , х^п) обращается в ноль только в точках 1-го слоя, т о из (4)!pie-

дует,. ч т о г /(х^ъ = 5^вСд^. *.*,х^я) - I +

1

^к

1 * т о с * 2

ЖУРНАЛ В Ы Ч М е ж т а ' Л Ь Н О Й МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Т О М 39 № 6 19f9

О НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ, СВЯЗАННЫХ С БУЛЕВЫМИ ПОЛИНОМАМИ 1047 где

Х(п) = ( n - l ) / 2 , rc=l(mod2), л / 2 - 1 , " n = 0 ( m o d 2 ) .

Пример 2. Если функцияДх^{1 ?} ...,х„) обращается в ноль только на слое В^пп, т о S ⁿ = 1 + Х\,..х^п,

Обсудим проблему "делимости" булевых полиномов. При этом рассмотрим две структуры:

кольцо булевых полиномов и подкольцо симметрических булевых полиномов.

Определение 1. Ч е р е з R[x^{,..., x j обозначим кольцо булевых полиномов от п переменных над полем Галуа F² по модулю идеала 3 = {х^{ - х], . . . , . х „ - х^п}. Последнее просто означает, что xj == x^h Ч е р е з R^s[x^b х^п] обозначим подкольцо симметрических булевых полиномов.

Обозначим через №^f множество нулей полинома Д х , , . . . , х^{/ 7}) , т.е. множество точек куба B^tp на которых полином Д х^ь х^п) обращается в ноль. Следующее простое утверждение содержит критерий делимости, справедливый как в кольце R[x^x, ..., x j , так и в R^s[x^x, x j .

Критерий делимости. П о л и н о м / д е л и т с я на g тогда и только тогда, когда N°^g cz №^ff

Этот критерий является весьма удобным при табличном задании п о л и н о м о в / и g. Если ж е / и g заданы формулами, то проверка делимости может быть осуществлена методом неопределен­

ных коэффициентов.

Обоснование критерия является очевидным в случае кольца R[x^x, . . . , x j , так как любая булева функция представима в виде полинома Жегалкина.

Для кольца R^s[x^uх^п] обоснование т а к ж е достаточно очевидно, если учесть тот факт, что множество нулей произвольного симметрического полинома является объединением некоторо­

го числа слоев, и обратно: объединение произвольного числа слоев может быть реализовано как множество нулей некоторого симметрического булева полинома.

Пример 3. П у с т ь / ( x j ) = х^х и g(x^u х²) = 1 + х² + Xjx² - два полинома из /?[х,, х²] . Ясно, что. №^f ==

= {(0, 0), (0, 1)}, №^g == {(0, 1)}, т,е, №^g с №^f. В силу приведенного выше к р и т е р и я , / д е л и т с я на g

И Xj = (1 + Х2 + X|X2)(Xi + Х2 + XjX2).

Пример 4. Имеет место следующее разложение на множители симметрического полинома:

X, •+• Х² = (1 + X, + Х² + Х , Х²) ( 1 + Х , Х²) .

И з приведенного выше критерия легко вывести описание всех неприводимых^{2 )} полиномов в кольцах/?[Х], , . . , x j и/?Дх^{1 ?} . . . , x j .

Следствие 1. В кольце R[x^x, x j существует 2^п неприводимых полиномов. К а ж д ы й из них имеет вид

где (а^и ..., а^п) - произвольная точка из В^п,

Следствие 2. В кольце /?Дх^1? x j существует п неприводимых полиномов. Это полиномы S^m(x^x, х^п), заданные формулой (4).

Отметим т а к ж е следующее утверждение, " о б л е г ч а ю щ е е " умножение полиномов в кольце

7?ДХ{, . . , , x j .

Утверждение 2. Справедливо соотношение ¹

2. Ф А К Т О Р И З А Ц И Я Б У Л Е В Ы Х П О Л И Н О М О В

1 +(ос, + х , ) . . . ( а^{/ г} + х,^г),

min{/, п - j}

5 = 0 LV J A J ~^s J.

(4)'

mod 2

Полиномfe R[x\, i j называется приводимым, если существует представление/^ uv, где и, ve IR и и^/и v^f.

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 39 № 6 1999

где G=GJx^b ...,х^п)и г

- 0 при г<к, а суммирование в (4)' ведется по mod2.

m o d 2

V к j

G^k, к = l ( m o d 2 ) , Пример 5. G^xG^k -

[G^k+], /: = 0 ( m o d 2 ) , n > k+ 1.

Пример 6. G³G^k = G^{k + 3}_ • для i - 0, 3 , если /: = /(mod4) и п > Н З .

При вычислении коэффициентов

f \ п удобно использовать теорему Лукаса (см. [1], [4],

V / m o d 2

5]).

Отметим т а к ж е следующие формулы "разложения" для симметрических полиномов. Пусть

!

I < /. | < ... < ik < п !|

р

• 1 ^{< I}

тогда

/ = к

где ^ = {b\)^mod2 и /?• - число покрытий полного /-вершинного графа полными fc-вершиннщми

подграфами. В частности, ||

л I

Р\ = л (1 + Х ; х ) = yA-GfC*,, . . . , x j ,

1 < i < j < n ^—'

. / = 1

где A,,- = (fcf )^{m o d 2} и - число покрытий полного /-вершинного графа ребрами.

Определение 2 (см. [6]). Симметрический полином g(x^l9..., х^п) называется линеаризуемым, ( ли он разлагается в произведение линейных сомножителей.

Пример

7. Для п - 2 все симметрические полиномы, кроме g(x^b х²) = 1 + х^{х² и Д х^{1 9} х²) = х, +

+ х² + х^хх², являются линеаризуемыми. 3

Пример

8. Для п-Ъ линеаризуемыми являются следующие симметрические полиномы: |

Si = 0, g² = 1, £з = G,, g⁴ = - l + G j , g⁵ = G³, j g⁶ - ( l + x¹) ( l + x²) ( l + x²) = 1 + G¹ + G² + G³, I g⁷ = (1 + x , + x²) ( l + x^x + x³) ( l + x² + x³) = 1 + G^X + G². j

Определение 3.

Пусть g(x^x, . . . , * „ ) - п р о и з в о л ь н ы й булев полином. Симметризацией g называ­

ется полином • j

g(x^]9 . . . , xⁿ) = л^cg^G( x^u . . . , xⁿ) . j

G G S i

•I

Здесь Sⁿ - симметрическая группа и |

g ( x^b xⁿ) = g ( x^{G ( 1 )}, x^{C ( r t )}) . I Ясно, что симметризация любого полинома является симметрическим полиномом. \

Пример 9.

Пусть g(x^b х², х³) = х^х(х² + х³). Тогда |

g ( x^{1 ?}x², x³) = х¹( х² + х³) х²( х¹ + х³) х³( х ! + х²) = х , х²х³( х¹+ х²) ( х¹+ х³) ( х² + х³).. j Утверждение 3. Если g(x^x, ..., х^п) - симметрический полином и

g(x,, . . . , x j • = л g^t{x^x, . . . , x j , • " : (5)

i = l ;.

то ! g ( x^b . . . , Xn) = Л £,•(.*„ . . . , Xn) . j (6)

/ = 1 i!

;!

ее-

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 39 № 6 1999

О НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ, СВЯЗАННЫХ С БУЛЕВЫМИ ПОЛИНОМАМИ 1049

га я - m

точки x G имеем g^(x) = g^k(x^xm). Рассмотрим два случая:

а) если \<к<т9 т о произведение (хт^к + х + х,й_к + 2 + ... + xw)(xm_* + 2 + ... + xm + xm + l) двух ско­

бок из (7) в точке x^w равно [к(к - ^{l ) ]mod 2} = 0;

б) если ж е / с > ш , т о из аналогичных соображений получаем (хх + ... + хк)(х2 + ... + хк + х) \х _ ^ = 0 . Приведенные в ы ш е рассуждения справедливы при т<п-\,к>2ик<п-\.В случае т-п имеем gk(xln) = (fc)m p d 2; в случае к = п имеем gn(xu хп) = (хх + . . . + х„); в случае = 1 имеем

(Xj, Хп) = Хх ... Хп.

Аналогичные рассмотрения для функции ]^к (х^{9 ..., х^п) (разница лишь в том, что / * ( 0 , . . . , 0) = 1

и fk (х\ ) = 1 при четных к) завершают доказательство.

Теорема 2. Существует всего семь симметрических линеаризуемых функций tx = 0, t2 = 1, t3 = G„ f4 = 1 + G i , /5 = С?я, /6 = l+G,* ... + Gn_l9 .

h = l + G¹ + ... + Gⁿ_¹ + Gⁿ для n>3 и шесть для n = 2.

Определение 4 (см. [6]). Монотонная ф у н к ц и я / ( хь ..., хп) называется линеаризуемой, если она представлена в виде произведения линейных сомножителей.

Примером такой функции является конъюнкция хх ... хп.

Утверждение 4 . Число монотонных линеаризуемых функций от п переменных равно 2^п + 1.

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 39 № 6 1999 Некоторые полиномы из g^t в (6) могут совпадать.

Доказательство. И з (5) следует #

g ( х „ ...Хп) = A gt (хх, ...,Хп).

i - 1

В силу симметрии g, отсюда получаем

g ( x „ . . . , Х „ ) = А Л gi(xl9 ...,Хп) = Л gt(xl9 ...,Хп)9

i = I G € 5Я i = l

что и требовалось доказать.

Замечание 2. Полином g(xx, ..., хп) может существенно зависеть лишь от части переменных {хх, ..., хп}.

Тем не менее при симметризации к нему применяются все перестановки из Sⁿ.

Пример 10. Пусть g(x{9 х2, х3) = хх + х2. Тогда g ( xb xl9 х3) = (хх + х2)(хх + х3)(х2 + х3) = 0.

Н а м в дальнейшем потребуется симметризация линейных функций g(xx, ...,х„) = x^ + . . . + х ^ , / ( х1 ? . . . , x j = + или вычисление линеаризованных ф о р м

gk(x{, ...гхп) = л ( * , . + . . . + * , . ) , Д ( х1 ? ...,хп) = л ( l + xt i + . . . + x ^ ) . (7) Лемма 2. Справедливы формулы

'х^]9 х^п9 k= l ( m o d 2 ) , g^k{x^]y ...,х„) = JO, & = 0 ( m o d 2 ) ,

Xj + . . . + xⁿ⁹ к - n\

f l + G , + ... + G,?, ifc=l(mod2),

. . . , x j = J l + G¹ + . . . + . G^{# I}_^I, £ = 0 ( m o d 2 ) , £ > 3 , [l + Xj + ... + х^и, к = л.

. Пусть xm = (1 ... 10 ... 0) G B ^ . В силу симметрии gk(xl9 xn) , для любой

к = 1

т о г д а / ( 1 , 1) = 0 и, в силу м о н о т о н н о с т и , / = 0;

в) для некоторого / (без ограничения общности / = 1) L^x = хх + ... + x2 r + х'9 тогда/(0, 1, ,.., 1) Ф 0;

отсюда, в силу монотонности, следует, что л и б о / = 0, л и б о / ( х^ь ..., х^п) = х^х ... х^ь где к = 1, 2, .. jj, я.

Таким образом, искомые ф у н к ц и и 0 , 1, х{9 xpcj9 хх . . . х ,г ;;

Замечание 3. Отметим, что хотя с чисто алгебраической точки зрения рассматривавшееся в этом раз­

деле понятие факторизации является естественным, оно вряд ли удовлетворительно в содержательном смысле, на что, в частности, указывают приведенные выше результаты. Возможно, что определенное! су­

жение этого понятия будет иметь позитивные последствия. \ I

3. П Е Р И О Д И Ч Е С К И Е Б У Л Е В Ы Ф У Н К Ц И И j

Определение

5. Ф у н к ц и я р ( х^{ь хп)} называется периодической, если существует ненулевой

вектор h = (h^X9 ..., hⁿ) е В^п такой, что выполняется соотношение II

p(h] +xl9 ...,-hn + xn) = р(хХ9

j

для любой точки x — (xx, ..., Xn) E Bn. j

Пример 11.

Л ю б а я линейная функция j

п . I!

С- 0 ' п +

i = \ ' \

является периодической. ! Замечание 4. Нетрудно видеть, что условие несущественности (см. [2]) переменной x^t у функции

f(x^{9 х^п) состоит в следующем утверждении: вектор /, = ( 0 . . . 1 0 . . . 0 ) является периодом функции

i sj

f(x^X9...⁹xⁿ). \

Лемма 3.

Множество всех периодов любой функции образует подпространство В^п. Чи}сло функций, имеющих в качестве множества периодов подпространство В с В^п9 равно 2 , где

к = dimfi. i;

Доказательство.

Первое утверждение леммы очевидно. Пусть теперь В^п/В = {g^xB⁹ g^-кЦ} -

фактор-группа группы В^п по подгруппе В. Задав функцию р с множеством периодов В на сово­

купности точек {#!,-..., g п-к}, мы, очевидно, задаем/? на всем пространстве Вп, так как I

п -к • j

вп = \J^giB. j

Отсюда следует вторая часть леммы. I

Пример

12. Для п-2 имеем следующие периодические функции: \ /, = х^х + х² с периодом Т^х = (1, 1),

f2 = xx + х2 + 1 с периодом Т2 = ТХ9 • | f³ = x^x с периодом Т^ъ - (0, 1),

/4 = хх + 1 с периодом Т4 = Г3, f⁵ = x²c периодом Т⁵ = (1, 0),

f6 = x2 + I с периодом Г6 = Г5. \

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 39 № 6 199^

Доказательство. Если

f(x^]9 ...,х^п) = л Lⁱ(x^X9 .-..⁹х^п)⁹ то возможны следующие варианты:

а) для всех i будет L^t - 1 + Ъ' JC^; ; т о г д а / ( 0 , ..., 0) = 1, в силу монотонности,•/== 1;

б) для некоторого /

2 г

О НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ, СВЯЗАННЫХ С БУЛЕВЫМИ ПОЛИНОМАМИ 1051 К р о м е них, есть еще две тождественные функции: /7 = 0 , /8 = 1.

Пусть теперь {а^ь а ) - все ненулевые точки В^п и T(a^t) - множество булевых функций, имеющих период щ. Ч е р е з Sⁿ(n) обозначим общее число периодических булевых функций.

Теорема 3, Имеет место соотношение Sⁿ(n) ~ 2^{2 + п}.

Доказательство.; Используя формулу решета, получаем следующее представление для Sn(n):

2 " - I

2 - 1

1 < / < 7 < 2Л- 1

(8)

7 = 1

(9) И з леммы 2 следует, что

\T(at)\ = 22"~\ i = 1 , 2 , . . . , 2л- 1 , | r (f l |. ) n r ( f l , . ) | = 2Г

И з (8) и (9), используя неравенство Бонферрони, получаем

\ .• ( 2^я- 1 ) 2²Г ' - ^² ~¹^ 2²'^{! _ 2}< 5^п( « ) < ( 2^{/ г}- 1 ) 2^{2 П}"¹, ^ .^t (10) откуда сразу следует теорема 3.

Замечание 4. Ясно, что оценки типа (10) допускают дальнейшее уточнение, связанное с вычислением

к

параметров ат (п) - числа подмножеств из к ненулевых точек Вп9 имеющих ранг, равный га. В частности,

(Г.

( 2 " "!- 1 ) ( 2л- 1 ) / 3 , к = 39

0, к>4.

И з леммы 2 следует, что ни одна из булевых функций (кроме тождественных) от п перемен­

ных не может иметь Ьолее чем 2п"] период (включая "нулевой"). Эта верхняя граница достига­

ется, например, на счетчике четности:

а2{п) -

к = 2,

I

g(x^u ...,х^п) = а⁰+ ^ а ^ - .

/ = 1

Утверждение 5. Максимальное число периодов у булевой функции от п переменных равно 2п~]. Отметим, ч т о для некоторых специальных классов функций периоды имеют характерную форму.

Пусть lⁿ = ( 1...1 ) -

Лемма 4. Если f&l9 х„) - симметрическая булева функция, не равная константе, uh- пе­

риод f9 то либо A = 1пЬ либо/= Е.'"= {xt, либо то и другое вместе.

Доказательство. Пусть Sⁿ - симметрическая группа и П е Sⁿ. Для любой точки хе В^п положим Пх = хп ( 1 ). . . хп ( п ). Если А - период ф у н к ц и и / , то, используя симметрию, получаем

Д П ~]( х + ПА)] = Д П- 1х + А) = Д П_ 1х ) = / ( J C ) = Д х + ПА).

Отсюда следует,; ч т о вектор ПА является п е р и о д о м / д л я произвольной перестановки П e-Sn. Если ||А|| = к<п, то множеством п е р и о д о м / я в л я е т с я линейная оболочка ЦВ^пк) "слоя" Впк. Ис­

пользуем теперь следующее очевидное Утверждение 6. Справедлива формула

ЦВ1) -

В", Jfcsl(mod2),

\JB

^nlh & = 0(mod2).

L« = o ;

Ж У Р Н А Л В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н О Й М А Т Е М А Т И К И И М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Й Ф И З И К И том 39 № 6 1999

И з нее следует, что если к < п, то L(B^nk) = ^ J . ^{= Q}B²ⁱ, т.е. множеством п е р и о д о в / я в л я ю т с я в|се векторы четного веса из В^п. П о э т о м у / ( 0 ) =f(B²)=f(Bⁿ4) = ..., т . е . / с о в п а д а е т со счетчиком чет­

ности Е!^Я

Если ж е \\h\\. = я, то h = 1 „ и Ш = /,^г, что не влечет никаких последствий.

Замечание5. По определению, самодвойственная функция f(x^x, ...,х^п) является "антипериодичной"

периодом h = l^tv т.е./(* + lⁿ) = 1 +/(х).

Пример 13.

Нетрудно проверить, что элементарный симметрический полином G²(x^x, х^п) является периодическим с периодом 1^п тогда и только тогда, когда h = l(mod4).

Действительно,

п v 2 y

G

²

(x + l

ⁿ

) = G

²

(x) + £x

ⁱ

+ Yx

^J

+ " = G

²

(x) + ( « - l

• i<j i<j ^

откуда и следует искомое условие.

Пусть 2Р = х^х ... х^п - произвольный моном. Рассмотрим следующее преобразование:

Т(§>) = l + G^l(xⁱ...xⁿ) + ,.. + Gⁿ(x^]...xⁿ),

где, как и ранее,

1 < i , < . . . < /А. < И

Булеву п о л и н о м у / = Z'.™ сопоставим следующий полином:

i = 1

Процедуру проверки того факта, что вектор / = ( 1 . . . 1) является периодом полинома/, обосно­

вывает

Утверждение 7.

Полином f(x^b ...,х^п) имеет период 1^п тогда и только тогда, когда выполнено

следующее тождество: ||

га га

/= 1 / = 1

Пример

1 4 . Если/Oq, х„) = G^fc(jc^L, х^п), то

^ n-k+ 1 ^ 1

л - & + 2

G , _²+ . . . +

v к j и проверка периодичности эквивалентна разрешимости системы сравнении

E=0(mod2), s = 1 Д . п-к + s

V

4. 1 - И Н В А Р И А Н Т Н Ы Е Б У Л Е В Ы П О Л И Н О М Ы | Одна из важных задач, относящихся к булевым полиномам, состоит в нахождении числа ну­

лей (единиц) булева полинома, заданного множеством своих мономов (см. [5], [4], [7], [8]). В q6- щем случае эта задача является /VP-трудной [7] и поэтому определенный интерес представляет

"разрешимые" случаи. Один из таких случаев описывается ниже, и он связан с т а к называемой 1-инвариантностью. В этом случае все "единицы" полинома однозначно соответствуют его мо-

G G

номам и могут б ы т ь выписаны в следующей форме. Если моном х^{х 1} ... х^пп входит в полином g(x,,..., jtⁿ), то точка ( G^b Gⁿ) е В^п является единицей полинома g и все его единицы могут бь^ть

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 39 № 6 1999

О НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ, СВЯЗАННЫХ С БУЛЕВЫМИ ПОЛИНОМАМИ 1053

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 39 № 6 1999

получены таким способом. Таким образом, число 2 ( / > н у л е й 1-инвариантного полинома равно 2" - m(f)9 где m(f) - число м о н о м о в /

Пример 15. Пусты g(xl9 х2) = хх + х2 + хххъ тогда хх (1,0), х2 — - (0, 1), ххх2 —— (1,1). Ясно, что g(l9 0) = g(0, 1) F g ( l , 1) = 1 и других "единиц" у g(xl9 х2) нет.

Определение 6. Полином g*(xb хп), определенный формулой

I re Вп

называется 1-преобразованием полинома g(x).

Так как (/"+ g)* =/** + g*, т о 1-преобразование является линейной операцией. Следующее ут­

верждение показывает, что эта операция является также и инволютивной.

Утверждение 8. Справедливо равенство (g*)* = g.

Доказательство. П о определению имеем

(**>* = X'.vv*(v) = Х ' ^ Х ' ^ ) = . ^ « ( ^ ' Х ^ У = "'

. ve В" ve В" уе Вп уе Вп v е В" .

уе В" v\ vn

Так как

2 Л

^v

* ••= +

то

уе В" '

Тецерь доказательство заканчивается применением леммы 1.

Определение 7. Полином g(xj, х„) называется 1-инвариантным, если g* = g.

Пример 16. Существует ровно ч е т ы р е 1-инвариантных полинома от двух переменных gx = 0, Si - ^х\ + ^х2> 83 ~ ^xl^x2* <?4 ^{= х}\ + ^х2 +'^х\^х2'

Пример 17. Для размерности п = 3 существует шестнадцать 1-инвариантных полиномов, об­

щая ф о р м а которых имеет вид

g(x,, х², х³) - а(х^у+ х² + х³) + p x j x² + ух^хх³

+ (а + Р +

у)х²х³ + 8 x 1 X 2 X 3

при произвольных константах {рс, Р, у, 5}.

П р и м е р 18. 1-Инвариантными являются дизъюнкция и конъюнкция п переменных:

v *,-;= G j + . . . + Gⁿ, . ' л = = G„.

1 = 1 / = 1

Следующее утверждение описывает 1-инвариантные полиномы условием на к о э ф ф и ц и е н т ы . Утверждение 9. Для того чтобы полином

п

g(xl9 . . . , x j = с0 + ] Г c ^ . . ^ - . . . х ^

: * = i { / , ' . . . / * } •

был l-инвариантным, необходимо и достаточно, чтобы его коэффициенты удовлетворяли системе линейных уравнений

к

|i г = 1 1 <r<s<k

простейшим следствием которой являются необходимые условия I-инвариантности с⁰ = 0, с^х = с² = ... = с^п.

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 39 № 6 1995»

Теорема.4. Множество всех 1-инвариантных полиномов является подпространством раз­

мерности 2^{, г}~¹ в пространстве всех булевых полиномов от п переменных.

2" - '

Следствие 3. Число 1-инвариантных полиномов от п переменных равно 2

А в т о р благодарен М.Н. Вялому за ряд полезных советов и, в частности, за "естественную"

формулировку утверждения 8 .

" * I

С П И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы | 1. Мак-Вильямс Дж., Слоэн Н. Теория кодов, исправляющих ошибки. М.: Связь, 1979. j

2. Яблонский СВ. Функциональные построения в fc-значной логике // Тр. МИАН СССР. М , 1958. Т. 151.

С. 5 - 1 4 2 . ¹ |

3. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по курсу дискретной математики. М.: Наука,

1992. |

4. LeontievV., Moreno О. On the boolean polynomials: Preprint Gauss Res. Lab. San-Juan: Univ. of Puerto-Rico,

1 9 9 5 . , I

5. LidlR., Niederreiter H. Finite fields. Cambridge: Univ. Press and Addison Wesley, 1983. || . 6. Алексанян А.А. Дизъюнктивные нормальные над линейными функциями. Ереван: Ереванский ун-т,

1990. j

7. Eherenfeucht A., Karpinski М. The computational complexity of (XOR, AND) counting problems: Preprint.

Bonn: Univ., 1989. j 8. Леонтьев В.К., Морено О. О нулях булевых полиномов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. T.J38.

№ 9 . С. 1 6 0 8 - 1 6 1 5 .