Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
С. И. Кабанихин, А. Н. Черемисин, М. А. Шишленин, Обратная задача опреде- ления обводненности и дебита в вертикальной фонтанной скважине, Сиб. журн.
индустр. матем., 2011, том 14, номер 3, 31–36
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 118.70.116.132
6 ноября 2022 г., 06:07:44
Июль–сентябрь, 2011.ТомXIV,№3(47)
УДК519.622:553.982
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОБВОДНЕННОСТИ И ДЕБИТА В ВЕРТИКАЛЬНОЙ ФОНТАННОЙ СКВАЖИНЕ
∗)С. И. Кабанихин, А. Н. Черемисин, М. А. Шишленин
Рассмотрены прямая и обратная задачи для вертикальной фонтанной скважины.
Прямая задача состоит в определении давления и температуры двухфазного пото- ка по стволу скважины по известным температуре и давлению на глубине(в забое скважины).Обратная задача заключается в определении дебита(количества жид- кости,поступающей из пласта в скважину)и обводненности(процентное содержа- ние воды в общем объеме жидкости)по измеренным в устье скважины давлению и температуре. Предполагается,что давление и температура в забое известны.
Предложен алгоритм решения прямой и обратной задач в случае,когда давление и температура измеряются на поверхности(в устье)скважины. Изучен характер изменения давления и температуры на поверхности как функций дебита и обвод- ненности.Описаны классы эквивалентности решений обратной задачи в пределах заданной погрешности измерений. Приведено численное исследование обратной задачи в окрестности точного решения и анализ устойчивости.
Ключевые слова:вертикальная фонтанная скважина,система обыкновенных диф- ференциальных уравнений,метод Адамса,обратная задача.
Введение. Извлечение нефти из скважин производится либо за счет есте- ственного фонтанирования под действием пластового давления,либо путем ис- пользования одного из механизированных способов подъема жидкости. Обычно в начальной стадии разработки действует фонтанная добыча,а по мере осла- бления фонтанирования скважину переводят на механизированный способ.
Одной из важных задач диагностики состояния скважины является опера- тивное определение изменения дебита скважины и обводненности. В данной работе предложен алгоритм оценивания указанных параметров, основанный на численном моделировании прямой задачи, состоящей в определении давле- ния P (МПа) и температуры T (◦C)по стволу вертикальной фонтанной сква- жины по заданной температуре и давлению в забое скважины. Методы расче- та прямой задачи для фонтанной скважины основаны на решении уравнений тепломассопереноса. Для расчета теплофизических свойств водонефтегазовой смеси используются данные о стандартных характеристиках и компонентном составе нефтегазовой смеси, эмпирических корреляций и др. Также предло- жен алгоритм решения прямой задачи, позволяющий получить распределение давления и температуры по стволу скважины с учетом структуры течения и глубины разгазирования. Дифференциальные уравнения тепломассопереноса решаются численно от забояz=z0 до устья скважиныz= 0.
В обратной задаче требуется определить дебитQl (количество жидкости, поступающей из пласта в скважину) и обводненность Sw (отношение количе- ства воды к количеству жидкости) по измеренным в устье скважины z = 0 давлению и температуре.
∗) Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фунда- ментальных исследований(проект09–01–00746)и ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на2009–2013гг. (госконтракт №14.740.11.0350).
c 2011 Кабанихин С. И.,Черемисин А.Н.,Шишленин М.А.
32 С.И. Кабанихин,А.Н.Черемисин, М.А.Шишленин
В работе[1]предложен алгоритм решения прямой и обратной задач в слу- чае, когда измерения давления и температуры производятся на определенной глубине. В данной работе мы покажем,что для фонтанной скважины данный алгоритм можно применить в случае,когда давление и температура измеряют- ся на поверхности(в устье)скважины.
Важность решения прямой и обратной задач в скважине определяется тем, что в настоящее время только в России эксплуатируется около ста тысяч сква- жин. Установка специального оборудования,позволяющего осуществлять по- стоянный мониторинг работы скважин, процесс сложный и дорогостоящий.
Однако можно попытаться реализовать мониторинг,если использовать входя- щие в стандартный набор телеметрии погружного насоса датчики на поверх- ности скважины.
Проведен цикл расчетов прямой задачи для заданного диапазона искомых параметров. Получены линии уровня для давления и температуры как функций искомых параметров. Численные расчеты позволили описать классы эквива- лентности решений обратной задачи, т.е. множества пар Ql и Sw, для кото- рых давление и температура почти совпадают. Это позволило выделить линии уровня для постоянных значений давления и температуры и построить набор палеток,который может быть использован при решении обратной задачи.
1. Постановка прямой и обратной задач. Рассмотрим процесс про- хождения жидкости снизу вверх по стволу скважины от забоя до устья. Мате- матическая модель распределения давления и температуры по стволу скважи- ны описывается двумя нелинейными системами обыкновенных дифференциаль- ных уравнений первого порядка(однофазный и двухфазный потоки). Если да- вление P больше давления дегазации 9 МПа, то жидкость состоит из смеси воды и нефти(однофазный поток)и система уравнений имеет вид
∂P
∂z =−10−6gρl−ifr, z∈[z0, zd), (1)
∂T
∂z = 103Cl ρl
αlt(T+ 273)∂P
∂z +103ifr
Clρl −πDiKτ GCl
(T−TΓ), z∈[z0, zd). (2) Здесьzd —точка,в которой давление опускается до уровня дегазацииP(zd) = 9 МПа(точка дегазации).
Если при подъеме жидкости давление P(z) становится меньше давления дегазации 9 МПа, в жидкости появляются пузырьки газа(двухфазный поток) и система уравнений принимает вид
∂P
∂z =−10−6gρ−ifr, z∈(zd,0], (3)
∂T
∂z =
103
Cgl(ρl(1−βg) +ρgβg)[αlt(1−βg)(T+ 273) +βg]∂P
∂z −πDiKτ GCgl
(T−TΓ)
−GogLр GCgl
∂
∂P
ρgβg ρo(1−βg) +ρgβg
!∂P
∂z + 103ifr(1−βg)
Cgl(1−ϕg)(ρl(1−βg) +ρgβg)
"
1 + GogLр GCgl
∂
∂T
ρgβg ρo(1−βg) +ρgβg
!
, z∈(zd,0]. (4)
Для решения прямой задачи к системе (1)–(4)добавляем данные Коши P|z=z0 =P0, T|z=z0 =T0 (5) и условие непрерывности
[P]z=zd = 0, [T]z=zd = 0. (6)
Прямая задача. В(1)–(6)требуется восстановить распределение давле- ния и температуры по стволу скважины. Описание постоянных и функций, входящих в правую часть уравнений(1)–(4),приведены в работе[1].
В данной работе мы исследуем такие значения постоянных и функций,вхо- дящих в правую часть(1)–(4),при которых давлениеP(z)достигает давления дегазации в некоторой внутренней точке скважиныz=zd∈(0,2000).
Анализ уравнений(1)–(4)показывает,что несмотря на нелинейность,воз- можность появления малых величин в знаменателях и существенное изменение вида правой части уравнений (2) и (4) после прохождения точки дегазации z=zdзадача(1)–(6)корректна в окрестности точного решения[2]. Численные расчеты [1]подтвердили это свойство,которое позволяет построить алгоритм решения обратной задачи.
Обратная задача. Предположим, что в устье скважины z = 0устано- влены датчики,измеряющие давление и температуру:
P|z=0=P1, T|z=0=T1. (7) Обратная задача (1)–(7)заключается в определении количества жидкости Ql, поступающей из пласта в скважину (дебит), и ее обводненностиSw по допол- нительной информации(7). Искомые величины входят нелинейно в исходную систему(1)–(4). Нелинейная зависимость искомых величин отQlиSwподробно рассмотрена в работе[1]. Несмотря на то,что зависимость измеряемых величин от искомых параметров достаточно сложна, корректность задачи в окрестно- сти точного решения позволяет оценить интервалы изменения Ql и Sw при измененияхP1 иT1.
2. Основные параметры расчетной скважины. Рассмотрим следую- щую модель скважины[1, 3]. Полагаем,что скважина вертикальна,ее глубина 2000 м,диаметр Di= 0,1 м. Плотность нефти в пласте ρor = 818 кг/м3, тем- пература пласта Tr = 80◦C, молекулярная масса пластовой нефти Mo = 179, плотность нефти наверху ρot = 868кг/м3, объемный коэффициент для нефти bo= 1,5,удельная теплоемкость нефтиCo= 2кДж/кг,плотность растворенно- го в нефти газаρgo= 200кг/м3,вязкость газаμg= 0,03мПа с,скрытая теплота растворения газа в нефтиLp= 0,005ккал/моль,газ—метан,удельная тепло- емкость газа Cg = 2,2 кДж/кг, молекулярная масса газа Mg = 16, плотность воды ρw= 1100кг/м3,удельная теплоемкость воды Cw= 4,2 кДж/кг,поверх- ностное натяжение воды на границе с воздухом αwa = 0,072Н/м, ускорение свободного паденияg= 9,81м/с2,геотермический градиентΓ = 3◦Cна100м, средний коэффициент теплопередачиkτ = 0,11.
3. Метод решения прямой задачи. Систему обыкновенных дифферен- циальных уравнений(1)–(4)запишем в сокращенном виде:
d u
dz =G(z, u), z∈(z0,0). (8) Здесь u = (P(z), T(z)) — вектор-функция. Давление и температура в забое заданы:
u|z=z0 = (P0, T0), Z0 = 2000м, P0= 23МПа, T0= 80◦C. (9) Система(8)с начальными данными(9)решается по схеме Адамса4-го порядка:
u1− u0
h =G0; u2− u1
h =G1+1
2∇G1; u3− u2
h =G2+1
2∇G2+ 5 12∇2G2; un+1− un
h =Gn+1
2∇Gn+ 5
12∇2Gn+3
8∇3Gn, n= 3, N−1.
34 С.И. Кабанихин,А.Н.Черемисин, М.А.Шишленин
Здесь
Gn= (P(zn), T(zn)), zn = 2000−nh,
∇Gn=Gn−Gn−1, ∇2Gn=Gn−2Gn−1+Gn−2,
∇3Gn=Gn−3Gn−1+ 3Gn−2−Gn−3,
шаг h = 1 м, N = 2000. Расчет ведется от точки скважины z0 = 2000 м до устья скважины.
Основной целью серии расчетов прямой задачи являлось подтверждение корректности задачи в окрестности точного решения и выявление характера зависимости измеренных величинP(0)иT(0)от искомых параметровQlиSw. Устойчивость решения прямой задачи относительно малых вариацийQl и Sw теоретически следует из того, что система (1)–(6) сводится к операторно- му уравнению Вольтерра второго рода с ограниченно Липшиц-непрерывным ядром [2]. Однако зависимость ядра отQl и Sw настолько сложна, что были проведены серии численных экспериментов,подтверждающих наличие данного свойства у дискретной модели[1].
Решение прямой задачи позволяет построить линии уровня для давления и температуры. Показано [1], что если зафиксировать один из параметров (например, давление), то данному значению давления может соответствовать целый набор значений дебита Qlи обводненностиSw.
Проведенный анализ[1]изменений дебита жидкостиQlи обводненностиSw
показал, что в окрестности 0,01 МПа и 0,1◦C для фиксированных значений давления и температуры решение обратной задачи неоднозначно.
4. Результаты расчетов обратной задачи. В обратной задаче тре- буется определить количество поступающей из пласта в скважину жидко- сти (дебит) Ql и отношение количества воды к количеству нефти (обводнен- ность) Sw из соотношений (1)–(6) по измеренным давлению и температуре P1 иT1 в устье скважины(7).
В численных экспериментах данные для обратной задачи вычислялись при двух различных значениях газового фактораGF0 = 10,50при расходе жидкости Ql= 100т/сут и обводненностиSw= 78 %.
Расчеты прямой задачи показали, что P1 = 2,18 МПа и T1 = 24,4◦C в случаеGF0 = 10,P1= 2,88МПа иT1= 24,92◦Cв случаеGF0= 50.
Определение значения расхода жидкости и обводненности по изменениям давления и температуры проводилось на трех примерах(см. рис. 1–3). Во всех трех примерах предполагалось, что измерение данных проводилось при двух различных уровнях погрешности: 1) 0,25МПа и2,5◦C; 2) 0,025МПа и0,25◦C.
Из рис. 1–3слева направо показаны множества решений обратной задачи при двух различных значениях газового фактора GF0 = 10,50. Горизонталь- ная ось соответствует изменению обводненности Sw/100 %, вертикальная ось соответствует изменению дебиту жидкостиQl. Множество решений обратной задачи заключены внутри соответствующих криволинейных областей. Пер- вой точности соответствует внешний контур рисунка, второй — внутренний контур.
На рис. 1видно,что при уменьшении уровня погрешности измерений мно- жество решений обратной задачи уменьшается. При этом точное решение Ql= 100т/сут иSw= 78 %попадает внутрь обеих областей.
Заключение. Проведен анализ зависимости температуры и давления на поверхности от изменения дебита Ql и обводненности Sw в пласте. Показа- но,что каждому определенному уровню погрешности измерения соответствует связное ограниченное множество решений обратной задачи, диаметр которого уменьшается с уменьшением погрешности измерений.
Рис. 1. ДавлениеP1и температура T1в устье скважины не изменились
Рис. 2. ТемператураT1+ 5◦Cв устье скважины увеличилась
Рис. 3. ДавлениеP1+ 0,5МПа в устье скважины увеличилось
36 С.И. Кабанихин,А.Н.Черемисин, М.А.Шишленин
Построенный алгоритм может быть применен и для решения других по- становок обратных задач,например для решения задачи определения газового фактораGF0 и дебитаQl по заданной обводненностиSw;для задачи определе- ния газового фактора GF0 и обводненности Sw по известному дебиту Ql и из- меренным давлению и температуре на поверхности. Изложенный алгоритм может быть обобщен также на случай криволинейной скважины, применения погружного насоса и т.д.
Замечание. Полученные результаты имеют локальный характер, т. е.
метод позволяет оценивать относительно небольшие изменения искомых пара- метров в силу нелинейной зависимости данных обратной задачи от искомых параметров.
Авторы выражают благодарность В.А.Чеверде за ценные замечания.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кабанихин С.И.,Черемисин А.Н.,Шишленин М.А.Задача определения обводненности и дебита в вертикальной скважине//Сиб.электронные мат.известия. 2010.№7. C.362–
C.379; URL: http://semr.math.nsc.ru/v7/1–394.pdf
2. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи.Новосибирск: Сиб.науч.изд-во, 2009.
3. McCain William D., Jr.The Properties of Petroleum Fluids. Oklahoma: PennWell Books, 1989.
Кабанихин Сергей Игоревич
Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН пр.Акад.Лаврентьева, 6
Институт математики СО РАН пр.Акад.Коптюга, 4
630090г.Новосибирск E-mail: kabanikhin@sscc.ru Черемисин Александр Николаевич Институт теоретической и прикладной механики СО РАН,Тюменский филиал ул.Таймырская, 74
625026г.Тюмень
E-mail: ancheremisin@tnk-bp.com Шишленин Максим Александрович Институт математики СО РАН E-mail: mshishlenin@ngs.ru
Статья поступила7февраля2011г.
