Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
Ю. А. Криксин, О сходимости метода Ньютона к реше- нию консервативной разностной схемы для задачи клас- сической механики, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1995, том 35, номер 12, 1819–1830
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru под- разумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement
Параметры загрузки:
IP: 178.128.90.69
6 ноября 2022 г., 10:58:08
В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н О Й МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ Ф И З И К И
Том 35, 1995 . "'ч - . №. 12
УДК 5 1 9 . 6 2 : 5 1 7 . 9 3 3
© 1995 г. Ю. А. К Р И К С И Н (Москва)
О СХОДИМОСТИ МЕТОДА НЬЮТОНА К РЕШЕНИЮ КОНСЕРВАТИВНОЙ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ ДЛЯ ЗАДАЧИ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
* Рассматривается метод Ньютона как алгоритм решения нелинейной консервативной разностной схемы для системы уравнений Гамильтона с внешним воздействием. Получена верхняя оценка шага по времени, гарантирующая сходимость итераций к решению схемы. Дана оценка скорости сходимости итераций.
Введение
Принцип консервативности играет важную роль при построении разностных схем для дифференциальных уравнений [1]. Для одной из задач классический механики с N степенями свободы консервативная разностная схема была предложена в [2 ]. Достаточно общей формулировкой задачи о механическом движении является система уравнений Гамильтона сл внешним воздействием, которая находит, в частности, применение при моделировании молекулярных структур на микроуровне [3 ]. Как следует из [2 ], консервативная схема для уравнений Гамильтона является нелинейной, что ставит вопрос о ее разрешимости и разработке эффективного алгоритма нахождения разностного решения.
Одним из популярнейших способов решения нелинейных уравнений в функ
циональных пространствах является метод Ньютона —- Канторовича [ 4 ] , который будет далее сокращенно именоваться методом Ньютона. Преимущество метода Ньютона заключается в его быстрой сходимости, однако итерации Ньютона, вообще говоря, не всегда существуют при достаточно большом числе шагов.
Поэтому исследование итераций на предмет осуществимости и сходимости является весьма актуальным.
Необходимо отметить, что приведенные в [ 4 ] условия сходимости процесса Ньютона не могут быть непосредственно использованы в рамках предлагаемого здесь подхода и требуют некоторой корректировки. Кроме того, требования гладкости по сравнению с тем, что используются в [ 4 ] , могут быть несколько ослаблены. ,
В настоящей работе на основе метода «спрямления траектории» строится консервативная разностная схема для системы уравнений Гамильтона с внешним воздействием [ 5 ] . Показано, что если шаг по времени достаточно мал, то разностное решение может быть найдено как предел итераций Ньютона, скорость сходимости которых квадратична и зависит от величины шага. ^ 7
1820 Ю. А. Крйксин
§ 1. Постановка задачи и основные допущения
Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений Гамильтона с внешним воздействием
(1.1) dq/dt=dH/dp, dp/dt= -dH/dq+f(t,q,p),
где J — время, q — вектор обобщенных координат, р — вектор обобщенных им
пульсов, / = / (t, q, р) — функция со значениями в пространстве импульсов, опи
сывающая внешнее воздействие, Я = Я (t, q, р) — функция Гамильтона (гамиль
тониан), символы d/dq и д/др обозначают операторы градиента по координатам q и импульсам р соответственно.
В целях наибольшей общности будем, считать и.р. элементами гильбертова пространства Ж с нормой 11-11 и скалярным произведением (•, •).
Для выделения единственного решения зададим начальные условия (1.2) q (t0) = q0, р (t0) = р0.
Как следует из (1.1), гамильтониан Я, рассматриваемый как функция времени t на решении q (7), р (t) системы (1.1), Н (t) = Н (t,q (t), р (t)), удовлетворяет тождеству
(1.3). dH/dt = дй/dt + (/, дН/др),
которое можно рассматривать как присущий (1.1) закон изменения гамильтониана.
В частности, если Я явно не зависит от времени tr а / = 0 , то Я = const.
Подчиним ф у н к ц и и Я и / определенным условиям гладкости. На формальном уровне требования гладкости удобно описать, если использовать к о н с т р у к ц и и
фазового пространства (ф.п.) и расширенного фазовогр пространства (р.ф.п.).
Ф.п. SC' = Ж <g> Ж состоит из точек вида х = (q, р). Линейные операции в нем вводятся обычным образом:
а,х, + <х2х2 = <<*,<?, + a2q2y а,р, + а ^ ) , х< = (qh р,}, i = 1, 2.
Ф.п. 2С можно считать гильбертовым, если ввести в нем скалярное произведение (*i> ^2)2 = ( < 7 i > Яг) + ( P i > Рг) и норму \\x\ii = V(x, х)2.
Р.ф.п. ьС = R1 <g> Ж ® Ж = R.1 ® ЗС совпадает с множеством точек {z: 2 = (U х), t Е R\ х Е 9С}
и также является линейным
. <x,z, + a2z2 = (a,*, 4- a2/2, a,x, + a2x2), z, = oc}, / = 1 , 2 , и гильбертовым
^ ( Z „ -.^2)3- = • +.(^1..^2)-2э . M^Hl =
Далее- обозначения Я (/, p), Я (f, x) и Я (z)7 а также, соответственно, f(U <7['P)» /Х*> *)' и" / (2) считаются эквивалентными.
Основные допущения в отношении функций Я и / сводятся к следующим условиям.
У с л о в и е 1. Функции Я и / определены на открытом множестве 35,
2 5 С 2 £ , содержащем начальную точку z0 = (t0> q0, р0), причем, Я G С2 ( 2 5 , / G C1 ( 2 5 , Дифференцируемость понимается в смысле Фреше [4].
У с л о в и е 2. Если множество
2 5 ( £ ) = { z : z G 2 5 , 1 Я ( г ) 1 < £ }
непусто, то оно замкнуто.
У е л о в и е 3. На всяком непустом множестве 2 5 (Е) (z = х) G3) (£)) выполняются неравенства.
(1.4а) | ™(U.x)\ . ^ M ^ ) . . \\Н'{и.х^^ЩЕ), (1.46) \\f(t,x)\\<F0(£)y
(1.5а) П Я " ( ' , ^ ) » Ь^ ^ 2 (1.56) И/' (/, JC)!^, <
где Я ' и Я " — первая и вторая производные Фреше функции Я , а / ' — первая производная Фреше функции / по пространственной переменной х (при фик
сированном значении 0. В левой части (1.5а) обозначение I! • \г соответствует норме линейного оператора А: 9С*-* ЗС
\\А\г = sup '\\Ax\\, 11x112 = 1 ,
а в левой части (1.56) обозначение II • 1^, — норме линейного оператора В:
9С-*Ж
\\B\X = Sup ПДкИ, lljclt = 1;
У с л о в и е 4. В предположении, что отрезок прямой
[z„ z2] == {z: z = z, + X(z2 - z,),,X G [0, 1 ]}, •-. • X
г д е г , = (г, x,), z2 .='(.£, x2) , целиком лежит в множестве 2 5 справедливы условия
Липшица • ,
(1.6а) П Я " (U х.) - Я " ' ( * , x ^ l l ^ < А (£) Их, - jc2lt, (1.66) . I I A ^ xl) - / ' ( / , j c2) l l2 f l < / 72 (£) Нх,-х2It,.
Несколько необычный вид условий 1—4 связан с тем, что надо включать в рассмотрение возможно более широкий класс функций Я и /, допускающих, в частности, наличие особенностей.'
В соответствии с теорией дифференциальных уравнений в банаховых пространствах [6] задача Коши (1.1), (1.2) имеет единственное решение, которое определено по крайней мере в некоторой окрестности начальной точки / = /0, Я = Яо, Р = Ро- Проблема единственности и разрешимости «в целому задачи Коши
(1.1), (1.2) рассмотрена в работе [7].
Ниже рассмотрим следующие вопросы:
найти такую разностную аппроксимацию задачи (1.1), (1.2), которая удовлет
воряла бы разностному аналогу равенства (1.3), обеспечивающему сохранение гамильтониана Я в случае / = 0 и при отсутствии явной зависимости Я от времени; ' *.
1822 Ю. А. Криксин
получить для построенной аппроксимации формулы метода Ньютона и уста
новить условия осуществимости и сходимости итераций;
дать оценку скорости сходимости итераций.
§ 2. Построение консервативной разностной схемы
Считая, что функция х (t) = (д (*), р (ф является решением системы (1.1), проинтегрируем оба тождества (1.1) в пределах от t до t+ v.
g(t+x)-g(f) = fds — (syg(s):p(s)),
i
t+x
H ^ x ) - p ( o - / ^ ( - ^ ^ / ) | ( s ? ( s ) ) P W ) .
Используя далее обозначения
<7х = Tllq (t+x)-g ( 0 ] , рх = т-*[р (t + т) - р ( 0 ]
и замену переменной интегрирования s = t + Хт, приходим к равенствам (2.1а) дх = f dX^f-(t+lx, д (t + Щ р (t +
о
которые лежат в основе метода «спрямления траектории» — нелинейного аналога метода ломаных Эйлера. Заменим неизвестные функции д (t + Хт), р (t + Хт) в
(2.1) на линейные аппроксимации
(2.2) <v(K) = д + Х ( д - д), Ф (X) = р' + Х{Р-/>), Х е [ 0 , 1 ] ,
где точка. ф.п. (д, р) отвечает моменту времени t, а точка («7, р) — моменту времени t+x. В результате получим нелинейную разностную схему
(2.3) = — , P i = - — + f, _ в которой
Яг = (<7 - (?УТ> Рх = (р - р)/т.
Черта сверху над символом функции обозначает ее среднее значение на отрезке прямой 4[z, z] (z = р), z = + т, д, р)), а именно:
Л = h (z, z) = / d)Ji (t + Хт, ср (X), \J> (X)).
0
Воспользовавшись тождеством
#x = r1 [H'(t + T, x)- H{U x)] = Г1 i~^H(t + Хт, ф (X), ф (XJ) c/X =
0 rfX
= /
rfX^f
(Г+Хт,ф
(X), ф (X))+x-» fdk(*)) + (^ .V (*))]•
и равенствами (2.2), (2.3), после несложных преобразований получим соотношение
( 2 . 4 )
внешне напоминающее (1.3). Правая часть (2.4) обращается в нуль п р и / = 0 и гамильтониане Я, явно не зависящем от времени. Тем самым схема (2.3) является консервативной. ,
Значения q и р на текущем временнбм слое при прямом ходе времени считаются заданными, а значения q и р на верхнем временном слое должны быть определены в результате решения системы нелинейных уравнений ,(2.3).
Следующим шагом является разработка вычислительного алгоритма, результатом которого было бы определение неизвестных значений q и р .
§ 3. Сходимость итераций Ньютона
Пусть в фазовом пространстве 2С задано нелинейное уравнение (3.1) Ф(х) = О,
где Ф е С1 (Ж, <2?), тогда итерационный процесс Ньютона для него может быть формально определен при помощи рекуррентной формулы [4]
(3.2) Яп+] = хя- [Ф' (хя) Г' Ф (£),
где Ф' (х) — производная Фреще функции Ф.
Представим систему разностных уравнений (2.3) в виде уравнения (3.1) в ф.п. «2?, положив ^ -
(3.3а) Ф ( х ) = ( Ф Л х ) , Фр( х ) ) , где
(3.36) ®q(Z) = q-q-T^(z,Z),
(З.Зв) Ф р ( л ) * р - р + т[ ^ - ( 2, Г) - / ( 2, Г ) ]в
х-(д,р),'х = (е>р)> ^ = х), z = (t+x,x).
Тогда производная Фреше от Ф (х) принимает вид (3.4) Ф' (х) = Е 4- xG (х),
где линейный оператор G может быть записан как (2 х 2)-матрица (3.5а)
элементами которой являются линейные операторы в Ж. Представление (3.5а) оправдано тем, что G действует по правилу
(3.56) Gx = (Gqqq + Gqpp, Gpqq + Gppp)
1824- i
Ю. А. Криксин
при . любом. :х - -(q,p). Н и ж е п р и в о д я т с я в ы р а ж е н и я д л я о п е р а т о р о в Gij = Gtj( x ) :Ж*>Ж = q,p):
( 3 . 6 а ) Gqq = -f№Jj ( ^ (t + Хт; q + X (q - q), p + X(p - />))),
( 3 . 6 6 ) G„
= - /
(t + Kx, q+ \(q- q), p + К(p -Щ ,( 3 . 6 B ) G„ = / Ш ^ ( j | - / ) 1 ^ ^ ^ . ^ ,
( 3 . 6 D ^ = / ^ ^ ( ^ - / ) | ( ( + b , ^ - , ) , P + ^ - r t r
Для получения оценок, связанных с оператором G, будет необходима
Л е м м а 1 . Пусть ограниченный лцнейный оператор Т\ЗС-*9С,
представимый в виде (2 х 2)-матрицы * Т = А В
С D
где Ау В, С и D — линейные операторы в Ж> действует в соответствии с правилом (3.56), т . е. для любого х = р)
Тх = (Ад + Вр\ Сд + Dp);
тогда справедливы неравенства
(3.7) М < П Г И ^ 2М, \
где . " . . ' М = max {ИЛИ, II i? II, ПСИ, IIDII}.
Д.о к а з а т е л ь с т в о. Докажем сначала левое неравенство (3.7). Выберем произвольный элемент из 30 вида е = (eq, 0) (IIeq\\ = 1). Легко видеть, что справедлива цепочка неравенств
ПТ1^2 > \\Те Ig = IL4^lP + IIC^lP > [max (UAeq\\, \)Ceq\\)f.
Полагая е = (0, ёр) (llepll = 1 ) и действуя аналогично, приходим к неравенству
\\Т\2 > max(ll£epll, llZ)epll).
В силу произвольности элементов ерЕ.Жу и справедливости последних неравенств имеет место левое из неравенств (3.7),
Убедимся в справедливости правого неравенства (3.7). В данном случае выберем произвольный "единичный элемент общего вида е = {eq} ер) (\\eq\\2 + llepll2 = 1) и оценим сверху норму Те:
IITell2 = \\Aeq + Bep\t + \\Ceq + Dep\? <
< (1L4II lie, 11+ 115II \\ep\lf'+ (IICII 11^11+ IIPII \\ерЩг<'4МК
Произвольность выбора e приводит к выводу о справедливости правого неравенства (3.7). Лемма доказана.
Следующее утверждение касается получения оценок для линейного оператора G, определенного соотношениями (3.5).
Л е м м а 2. Пусть шар ,
^V(z) = {z': z' Е Z , llz' - zlb «S
где z = (f, p), z' = (f, q\ p'), принадлежит множеству 3) (E). Тогда если вы
полняется неравенство
(3.8) т* + \\q-q\t + llp-pH2 < j i2,
mo справедлива оценка
(3.9) ' 110(^112,2 < Z ^ + iV(£),
где х = (д,р).
Если каждая из точек xt = р}, г= 1, 2, ф. я. 57 йры подстановке вместо х~ fop) в (3.8) обращает последнее в верное неравенство, то имеет место условие Липшица
(ЗЛО) 1К?(х,) -чС ? ( х г ) 1 1г,2 i s ; ^ [Хз + ^2 (iS)
1
"Xi —^'Ь.'"-"Д о к а з а т е л ь с т в о . Докажем сначала неравенство (3.9). Воспользовав
шись представлением второй «пространственной» производной Фреше И" в виде матрицы
JL / дЯ \ ( дН \
н>> ~ dg \ dg ) dp \ дд )
д / дН \ д / дН \ • . . • dg \ dp ) dp \ dp-)
ш левым.неравенством (3.7), убедимся в том, что норма любой из компонент, этой матрицы, представляющей собой линейный оператор в Ж, ограничена нормой оператора Я " , например
и т. д. • Рассуждая по аналогии с первой частью доказательства леммы 1, убеждаемся
также в том, что
Udf/dgW < r i i z , , , i i a / / a p i i < \\f\
Теперь обратим внимание на то, что аргумент подынтегральных функций в (3.6) ' z(X) = <r+?iT, д + Х(д- д),р + \(р-р))
в силу неравенства (3.8) принадлежит, шару (z), а значит, и множеству 3) (Е). Учитывая неравенства (1.5) и соотношения (3.6), будем иметь следующие оценки: - - '
IIGW!I< 0.5^2 (£), 'lIGJI < 0.5М£)>
mpq\\<Q.S[Li{E) + Fx (E)l \\GPQ\\< 0.5 Щ (E) + i v ( £ ) ] . Из последних неравенств, (3.5) и правой части (3.7). следует- (3.9). f
1826 Ю. А. Криксин
Убедимся в справедливости (3.10). Для этого обратим внимание на то, что разность линейных операторов G (*,) и G (х2) или Я " (х,) и Я " (х2) также имеет
«матричное» представление, например
(3.11) G (х,) — G (х2) = Gqq (х.) - Gqq (х2) Gqp (х.) - Gqp (x2) Gpq (*,) - Gw (x2) Gpp (x.) - Gpp (x2)
Для получения верхней оценки нормы левой части (3.11) заметим, что отрезок [z,, z2], где
V = <* + Хт, g + Л to - <7), Р + *<ft - Р», i = 1, 2, Я <= [0, 1 ],
принадлежит шару (z) и, следовательно, множеству 3) (Е). Это обстоятельство дает возможность, воспользовавшись (1.6), (3.6) и результатом леммы 1, оценить сверху нормы компонент матрицы (3.11):
Щя (*,) - G„ (х2) II < / КЧкЦ (Е) llx, - х^ < \ L>(E) Их, - х2%
• s 0 °
ЩР (хд - G ,p( x2) l 1 < | Ц (Е) Их, - JCt«t
!!GP, (х.) - СрДх2)II < I [A (£) + /^<^Г)1 llx, -
IIGPP (x{) - Gpp (x2) II < I [A (£) + F2 (E)] Ibc, - хЛ.
Учитывая (3.7), приходим к (ЗЛО). Л^мма доказана.
Сформулируем и докажем утверждение о сходимости итераций Ньютона (3.2) к решению системы разностных уравнений (2.3).
Т е о р е м а . Пусть выполняются условия 1—4, Е > 0 и б € (0, 1) —
произвольные постоянные, на текущем временном слое (0 имеет место
неравенство • (3.12) \H(trq,p)\ = 1Я(*, х)1 < Я0
с некоторой положительной постоянной Я0
Ц = Ц (Н0 + е), i ^ 1, 2, 3, Fj = Fr(Ho + г), ; = 0, 1, 2, / б = б (Я0, г) — наименьший положительный корень уравнения
(ЗЛЗ) [Ц + F0 + 26 (L, + i7,) ]2 (е2 - 2L?62) = 2L262;
тогда если шаг по времени х удовлетворяет неравенству
(ЗЛ4) 1т1 < т* (Н0, г, в) = min (т„ х^), где
(3.15) т, = т, (Н0, е) = б [L, + F0 + 26 (L, + Г1,
а % = % (Я0, Б, б) является наименьшим положительным корнем квадратного уравнения относительно х
,(3.16) х(Ц + Г2) [6 + х(Ц + F0)] = 3e [1 -хЩ + Ъ)]2,
то урйвнение (3.1) с функцией Ф (х), определенной в соответствии с (3.3),
имеет в шаре
QB = {х: х ЕЗС, l l x - jcld < 6}
единственное решение х = р), к которому при любом начальном значении x0G Qb сходятся итерации (3.2) со скоростью, оцениваемой неравенством
(3.17) 11хя - *ll2 < [б + т (L, + i^o) ] [1 - х (L, +>,) 'б2 Я-7(1 ~ б2").
Кроме того, само решение х удовлетворяет неравенству (3.18) \H(t+ х, х) -H(t,x)\ < Е .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего заметим, что уравнение (3.13) отно
сительно б и уравнение (ЗЛ6) относительно т обладают наименьшими положи
тельными корнями. Обратим внимание на то, что б = б (Я0, Е) — наименьший положительный корень (3.13)—характеризуется тем свойством, что система
неравенств относительно т ,ч '
(3.19) 21/f (т2 + б2) < Е2, | ti [Z/, + + 26 (L} + i?,) ] < б
при подстановке б ( Я0, Е) вместо параметра б определяет на числовой прямой наибольший сегмент [—т„ т,], который является решением (3.19), где т, — то же самое, что и в (3.15), причем оба неравенства (3,19) в этом случае экви
валентны.
Далее для простоты будем считать, что т > 0, так как случай т = 0 не
интересен, а случай т < 0 рассматривается аналогично.
Поясним роль каждого из неравенств (ЗЛ9). Первое из них согласно условиям 1—4 гарантирует, что при любых х Е Qb и t: \t — t\ < х
\H(t,x) - H(t,x)\ < E ,
. а значит, шар
Ж = {r.?=(7,x)G<%, 11Г-<*, x>lg < т^ + б2} принадлежит множеству 2D (Я0 + Е), где
2D (Е) = {z: z G 2D, 1Я (z)l < Е).
Последнее обстоятельство означает, что функция Ф (х) и линейный оператор
G(x) определены при всех xGQb и в пределах Qb выполняется неравенство (3.20) IKD (х) Из < 6 + т (L, + F0),
а также неравенства (3 9) и (ЗЛО) с Е = Я0 + Е.
Покажем, что второе неравенство (ЗЛ9) обеспечивает существование и един-
1828 Ю. А. Крйксин
ственность решения уравнения (3.1) с функцией Ф из (3.3) в шаре Q&. В самом • деле, уравнение (3.1) может быть переписано в эквивалентном виде: /
х = Г ( х ) , где
Г (х) = х - Ф (х) = х - х$ (х),
z =•(*,*>, z = (t + т, х>.
Так как Ж С 3) (Я0 + е), то, в силу условий 1—4 и второго неравенства (3.19), при любом х Е Qb будем иметь
1!Г (х ) - x l l , = х \\S (х) It < х (Ц + ^0) < б и'при произвольных х,, х2 Е й6 имеем (
ИГ (х,) - Г (х2) II, = х WS (х,) - S (х2) 1^ =
= т I I 1 х 2 + Х(х, - х2) ] ( х , - х2) | |2= =
= х || [х2 + Х(х, - х2)] (х, - х2) | |2 <
м 0 м
< т ( 4 + /•,) Их, - хЛ < ^ Их, -хг\^
Таким образом, отображение Г (х) переводцт шар Qb в себя и является в , нем сжимающим, из чего в соответствии с принципом неподвижной' точки Каччопполи — Банаха [4] следует, что уравнение (3.1) имеет в шаре Qb един
ственное решение.
Покажем также, что из второго неравенства (3.19) следует осуществимость итераций Ньютона (3.2). Нетрудно видеть, учитывая неравенство (см. (3.9))
\\G{x)\\l>1<Ll + FXy x E Q6, что в шаре Qb линейный оператор
Ф' (х) = Е + xS' (х) = Е + xG (х ) обратим и имеет место оценка [4 ]
(3.21) П[Ф'(х)Г1\\1,г= • ' К ^ + ' « ( * ) ) " • " * . 2 ^ И ' - T ( f2 + ^l) rl. .
Поэтому в шаре Q& определена функция (3.22) А(х) = х-1Ф'(х)]-1Ф(х),
при помощи которой итерации .(3.2) могут быть заданы рекуррентной формулой (3.23) хя +, = Л (£„).
Воспользовавшись представлением i ' " . ф ( х ) = Д - х > xS(x),
приходим к тождеству
A( x) - * = T[ l S+ . T G( j c ) r V ^ ,
из которого и (3.21) при любом J C G Q J получаем мажорантную оценку
НЛ (х ) — x\ii < т \Ц + F0 ± 6 ( £ 2 + i7,)] [1 — т(Lj + i7, ) ] ~ \
Из второго неравенства (3.19) и последней оценки следует, что . ИЛ (х) - х И, < б, х Е Q6.
Отсюда заключаем, что итерационная последовательность (3.23) (а значит, и..
(3.2)) принадлежит, шару Q6, если х0 Е Q6, т. е. метод Ньютона осуществим. . Отметим, что в шаре Qb функция Л (Зс) непрерывна, а уравнение
Л ( х ) = 0 •• ^ /
эквивалентно уравнению (3.1), поэтому если итерации (3.23) сходятся, то их пределом является решение уравнения (3.1).
Наконец, опираясь на неравенство (3.14), из которого и из (3.15). следует, что справедливы оба неравенства (3.19), а также неравенство
(3.24) / т < ( #0, е, б),
где % есть наименьший положительный корень (3.16), докажем сходимость последовательности {хп} к решению х уравнения- (3.1) в шаре Qb.
В сходимости последовательности {хя}' можно убедиться, следуя схеме дока
зательства теоремы И. П.--Мысовских [ 4 , с. . 6 8 7 — 6 8 9 ] .
Рассмотрим тождество
Ф (х,) = Ф (х0) + Ф' (х0) (х, - Хо) +
+ / dk {Ф' [х0 +, к (х, - х0) ] - Ф' (х0)} (х, - х0),
о
справедливое при любых х0, х, Е Q&, и, подставляя в него вместо х0, х, члены итерационной последовательности (3.2), соответствующих хя • и" хя + 1) , п = 0 , 1 , . . . , получаем
Ф (£•,) = JdX {Ф' \хп + к (хя +, - хп) 1 - Ф' ( Я ) } " Я,) = о
= / dk {G [хп + Цхя +> - Я ) 1 -т G (х„)} - Я ) .
о v
Из (3.10), где I? = Я0 + е, и из последнего равенства следует оценка
И Ф ( хп +, ) И2^ | т ( 10 + ^2) \К+1-ЯЛ я = 0 , 1, . . . .
Теперь с учетом (3.2), (3.21) и последней оценки получаем
H * „+i г- *Л ^ <* Нхл - xr t_.l^ . л = 1, 2, . . . ,
в которой
а = | т ( А + ,Р2) [1 - т ( ^ + ^ ) Г .
1830 Ю. А. Криксин
В свою очередь, из (3.20), (3.21) следует неравенство
4 II*, - * Л = П[Ф' (х0) Г Ф (х0) 11^ < р,
где . ' р = [6 + т ( Ь , + Л ) П 1 - т . ( А + /г ,|)Г1.. '
Таким образом, при п = 0, 1, . . . справедливы неравенства
где последовательность {т^} определяется рекуррентным соотношением Л*-н = <*у& По = Р.
Из неравенства (3.24) следует, что ар < в < 1, а это обстоятельство гарантирует сходимость последовательности {хп} к решению х уравнения (3.1) (а значит, и системы разностных уравнений (2.3)) и справедливость неравенства (ЗЛ7) (см.
[4, с. 688, 689]). Неравенство (3.18), очевидно, следует из первого неравенства (3.19) и принадлежности решения х шару Q6. Теорема доказана.
Использованный здесь подход к доказательству сходимости метода Ньютона может быть распространен и на другие нелинейные разнЬстные схемы для систем уравнений Гамильтона с внешним воздействием.
В заключение автор выражает признательность А. А. Самарскому и В. Ф. Тиш- кину за внимание к работе.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Самарский А А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989. ^ 2. Криксин Ю. А. Консервативная разностная схема для системы уравнений Гамильтона с внешним
воздействием//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1993. Т. 33. № 2. С. 206—218.
3. Кислое В.; В., Криксин Ю. А., Таранов И. В. Динамика ленгмюровского монослоя//Радиотехн.
и электроника. 1993. Т. 38. № 2. С. 307—314.
4. Канторович Л. В., Акилов Г. Л. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.
5. Ольховский И. И. Курс теоретической механики для физиков. М.: Изд-во МГУ, 1978.
6. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970. '
7. Криксин Ю. А. О нелокальных решениях задач нелинейной д и н а м и к и / / Ж . вычисл. матем. и . матем. физ. 1993. Т. 33. № 12. С. 1826—1843.
4 Поступила в редакцию 31.05.94
