Е. Л. Лакштанов, Р. А. Минлос, Спектр двухчастич- ных связанных состояний трансфер-матриц гиббсов- ских полей (поля на двумерной решетке: прилега- ющие уровни), Функц. анализ и его прил., 2005, том 39, выпуск 1, 39–55

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Е. Л. Лакштанов, Р. А. Минлос, Спектр двухчастич- ных связанных состояний трансфер-матриц гиббсов- ских полей (поля на двумерной решетке: прилега- ющие уровни), Функц. анализ и его прил., 2005, том 39, выпуск 1, 39–55

DOI: https://doi.org/10.4213/faa30

Использование Общероссийского математического портала Math- Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

6 ноября 2022 г., 10:36:57

Функциональный анализ и его приложения 2005, т. 39, вып. 1, с. 39–55

УДК 517.9

Спектр двухчастичных связанных состояний трансфер-матриц гиббсовских полей

(поля на двумерной решетке: прилегающие уровни)

c

2005. Е. Л. Лакштанов, Р. А. Минлос

Посвящается памяти А. Н. Землякова

§1. Краткие напоминания

Эта статья является продолжением работы [1], где была подробно сформули- рована задача о двухчастичных связанных состояниях трансфер-матриц гибб- совских полей (с компактным пространством спинов, состоящим более чем из двух элементов, и произвольным финитным взаимодействием вдоль «простран- ственных» направлений) в высокотемпературной областиβ= 1/T 1.

Напомним, что в [1] исходная задача после нескольких редукций была све- дена к следующей проблеме. Имеется семейство {HΛ, Λ ∈ T^ν} гильбертовых пространств, помеченных точкамиν-мерного тораT^ν (в [1] черезΛ обозначал- ся полный квазиимпульс двух квазичастиц),

{HΛ=C⊕L^Λ₂, Λ∈T^ν}, где L^Λ₂ ={f ∈L2(T^ν, dk) :

T^νf(k)dk= 0, f(k) =f(Λ−k), k∈T^ν} ⊂L2(T^ν, dk) (dk — нормированная мера Хаара на торе T^ν). В каждом из пространств HΛ

действует самосопряженный оператор TΛ по формулам (TΛF)0 =γ(Λ)c0+

T^νbΛ(p)f1(p)dp, (TΛF)1(k) =ωΛ(k)f1(k) +

T^ν(KΛ(k, p)−ωΛ(p))f1(p)dp+c0bΛ(k),

(1.1)

где F = (c0, f1(k))∈HΛ. Здесь

γ(Λ) =γ0+O(β), KΛ(k, p) =β²K_Λ⁰(k, p) +O(β³),

bΛ(p) =βb⁰_Λ(p) +O(β²), ωΛ(k) =ω0+βω_Λ⁽¹⁾(k) +O(β²) (1.2) иγ0, K_Λ⁰(k, p), b⁰_Λ(p), ω0, ω_Λ⁽¹⁾(k)не зависят от β. Обозначение O(β^k) использу- ется для величины, абсолютное значение которой удовлетворяет оценке < Cβ^k (равномерно по другим переменным), где C — константа, не зависящая от β.

∗Работа второго автора выполнена при поддержке РФФИ (грант 02-01-00444), а также Президентского фонда поддержки научных школ (грант Н.Ш.90.934.2003.1).

При этом KΛ(k, p) = KΛ(p, k) и KΛ(k, p) = KΛ(Λ− k, p), а также bΛ(k) = bΛ(Λ−k) и ωΛ(k) =ωΛ(Λ−k). Кроме того,

ω0 =γ0.

Семейство функций {ωΛ(k),Λ ∈ T^ν} мы назовем символом оператора TΛ. Спектр оператора TΛ состоит из непрерывной части, заполняющей отрезок [τ_Λ^min, τ_Λ^max], τ_Λ^ext= extk∈T^νωΛ(k), ext = min, max, а также, возможно, собствен- ных значений. Задача данной статьи, как и предыдущей, — выяснить, существу- ют ли у оператораTΛ собственные значения, расположенные вне непрерывного спектра (а также указать их местоположение).

В предыдущей статье [1] мы установили следующее:

1. При всех значениях Λ и достаточно малых β у оператора TΛ имеется собственное значение εb вида

εb=γ0+O(β²)

(уединенный уровень, расположенный на конечном расстоянии от непрерывного спектра TΛ).

2. ВнеDβ²-окрестности непрерывного спектра других собственных значений нет; здесь D — некоторая не зависящая от β иΛ константа.

3. Для любого δ > 0 найдется такое β0 = β0(δ), что при всех β < β0 и Λ, лежащих внеδ-окрестности некоторых особых значений (см. ниже), у оператора TΛ нет собственных значений, кроме εβ.

В данной работе в случае размерности ν = 1 изучается дискретный спектр TΛприΛ, расположенных достаточно близко к особым значениям. Точки этого спектра, в отличие от уединенного уровня, лежат близко к краю непрерывного спектра (на расстояниях∼β^α, α >0) и названы нами прилегающими уровнями.

§2. Основные результаты о прилегающих уровнях и условия относительно семейства {ωΛ, Λ∈T^ν}

2.1. Особые значенияΛи критические точки символов общего поло- жения {ωΛ, Λ∈T^ν} в случае ν = 1.Прилегающие уровни оператора TΛ, как уже говорилось, могут возникать при малых β лишь при Λ, лежащих в окрестности некоторых специальных значений этого параметра, определяемых семейством функций ωΛ(k). Эти специальные значения есть либо те Λ, в кото- рых один из абсолютных экстремумов функции ωΛ(·) вырождается (назовем эти Λ каустическими значениями (см. [3, т. 2]) и будем обозначать их через Λ^кауст), либо теΛ, при которых у функцииωΛ(·)имеется несколько совпадаю- щих экстремумов (будем называть эти Λ кратными значениями и обозначать через Λ^кр). Каустические и кратные значения Λ назовемособыми и предполо- жим, что их конечное число.

Поскольку функция ωΛ(k), как и функция ω⁽¹⁾_Λ (k), инвариантна относитель- но инволюции k→Λ−k окружности T¹,

ωΛ(k) =ωΛ(Λ−k), неподвижные точки этой инволюции

k⁽¹⁾= Λ

2, k⁽²⁾ = Λ

2 +π, Λ∈[0,2π),

являются критическими для функцииωΛ. Точки этого вида мы назовемоснов- ными критическими точками. Остальные критические точки функции ωΛ все- гда присутствуют парами: вместе с критической точкой kточка k= Λ−kтак- же является критической для ωΛ. Такую пару мы назовемпарной критической точкой и в дальнейшем будем рассматривать эту пару как одну критическую точку. Основное свойство критических точек семейства функций {ωΛ,Λ∈T¹}:

они являются изолированными для каждой функции этого семейства. Два экс- тремальных значения функцииωΛ(илиω_Λ⁽¹⁾) мы называемодноименными, если они оба являются либо максимумами, либо минимумами; в противном случае они называютсяразноименными.

Ниже мы опишем расположение каустических и кратных значенийΛ, а также

— для этих значений — свойства вырожденных и кратных (т. е. совпадающих) глобальных экстремумов функций ωΛ (в случае символов ωΛ «общего положе- ния»). Но сначала сформулируем основные результаты нашей работы. Для их понимания существенно, что у семейства ωΛ существуют только двукратные экстремумы и вырожденные экстремумы достигаются лишь в основных крити- ческих точках (см. ниже).

2.2. Формулировка основных результатов о прилегающих уровнях.

Для описания этих результатов нам понадобится ввести некоторые величины.

Обозначим черезMΛ(k1, k2;z) ядро

KΛ(k1, k2)− bΛ(k1)bΛ(k2)

γ(Λ)−z , (2.1)

и пусть

T_n^Λ(k1, . . . , kn;z) = n i=1

det







MΛ(k1, k1;z) . . . 1 . . . MΛ(k1, kn;z) MΛ(k2, k1;z) . . . 1 . . . MΛ(k2, kn;z)

... ...

MΛ(kn, k1;z) . . . 1 . . . MΛ(kn, kn;z)





, n2.

(2.2) В сумме (2.2) каждый столбец матрицы {MΛ(ki, kj;z), i, j = 1, . . . , n} последо- вательно заменяется на столбец, состоящий из единиц. Поскольку

T_n^Λ(k1, . . . , kn;z) = det(MΛ+ Π)−detMΛ,

где MΛ={MΛ(ki, kj;z)}— эрмитова матрица, а матрица Π состоит сплошь из единиц, функция T_n^Λ(k1, . . . , kn;z) вещественна (при вещественных z).

Далее, для каждого Λ∈T¹ определим функции

B^±_Λ(k1, k2) =T₂^Λ(k1, k2, τ_Λ^ext) (2.3) от k1, k2 ∈ T¹, где + соответствует ext = min, а − соответствует ext = max.

Далее, для каждого кратного значения Λj= Λ^кр_j определим величину M_j,±^кр =B_Λ^±_j(k1, k2)(±1),

где kσ =k^ext_σ (Λ^кр_j ), σ= 1,2, — точки соответствующего двукратного экстрему- ма функции ω_Λ^кр_j , причем + выбирается в случае, когда достигается кратный минимум, а − выбирается в случае кратного максимума.

При сформулированных ниже условиях относительно особых значений пара- метра Λ для семейства {ωΛ}, а также относительно поведения функции ωΛ(k) в окрестностях этих особых значений верна следующая теорема.

Теорема 2.1. 1. Существует такая положительная константа C > 0, что для всех значений Λ,лежащих вне всех Cβ ²-окрестностей особых значе- ний семейства {ωΛ,Λ∈T¹},у оператора TΛ нет прилегающих уровней.

2. Существует такая константа ˜c <C,что у каждого Λ^кр_j ,для которо- го M_j,±^кр < 0,существует cβ˜ ²-окрестность,такая,что для всех Λ из этой окрестности у оператора TΛ имеется ровно один прилегающий уровень ε^кр_j . Этот уровень лежит выше τ_Λ^max,если кратный экстремум является мак- симумом функции ω_Λ^кр_j ,и ниже τ_Λ^min,если кратный экстремум — минимум функции ωΛ. При этом

|ε^кр_j −τ_Λ^ext|< Cβ³,

где C >0 — константа,не зависящая от β и Λ, а τ_Λ^ext — ближайший к ε^кр_j край непрерывного спектра.

В случае когда M_j,±^кр > 0 для всех Λ,принадлежащих Cβ ²-окрестности значения Λ^кр_j ,у оператора TΛ нет прилегающих уровней.

3. В Cβ ²-окрестности любого каустического значения Λ^кауст_i у оператора TΛ нет прилегающих уровней.

Замечания.1. К сожалению, в случае когдаM_j,±^кр <0, мы ничего не знаем о прилегающих уровнях в момент их «рождения», т. е. при Λ, лежащих в зазорах междуCβ ²- и ˜cβ²-окрестностями значения Λ^кр_j .

2. Случай M_j,±^кр = 0 также может быть исследован развитыми здесь метода- ми, однако мы его не рассматриваем.

3. В случае когда вырожденный экстремумωΛ^кауст достигается не в основной критической точке, как мы это предполагаем, а в парной точке, в некоторой окрестности значения Λ^кауст могут появиться прилегающие уровни. Этот слу- чай допускает исследование с помощью наших приемов, но мы не рассматри- ваем его здесь, поскольку он не находится в «общем положении» при ν= 1 [2].

В частности, такая ситуация возникает в случае взаимодействия ближайших соседей, изученном в работах (см. [4,5]).

2.3. Условия относительно семействаωΛ.Здесь мы более подробно опи- шем требования, налагаемые на семейство функций {ωΛ, Λ ∈ T¹} (при всех достаточно малых β). Эти требования выделяют семейства {ωΛ} «общего по- ложения», как уже говорилось во введении к [1]. Это следует из некоторых фактов теории устойчивости особенностей и их деформаций (см. [2] и [3]).

Каустические значения Λ ∈ T¹. У семейства ωΛ имеется лишь конечное число каустических значений параметра Λ : Λ^кауст₁ , . . . ,Λ^кауст_s (или их нет во- все). При каждом значенииΛ = Λ^кауст_i ,i= 1, . . . , s, вырождается ровно один из экстремумов функции ωΛ(k), который достигается в какой-нибудь из основных точек k⁽¹⁾ или k⁽²⁾, т. е. k^ext_i = k⁽¹⁾ или k⁽²⁾, где k_i^ext означает точку вырож- денного экстремума функции ωΛ^кауст_i , i= 1, . . . , s. При этом вырождение имеет тип Ae,2 (см. [2]), т. е. при надлежащей нечетной относительно точки k_i^ext глад- кой замене переменных k → x(k) в окрестности точки k_i^ext (т. е. такой, что

x(k_i^ext) = 0и x(2k_i^ext)−k) =−x(k)), функция ω_Λ^кауст_i принимает вид ω_Λ^кауст_i (x) =ω_Λ^кауст_i (k^ext_i )±x⁴,

где знак − соответствует вырожденному максимуму, а знак + соответствует вырожденному минимуму. Кроме того, мы предполагаем, что выполнено усло-

вие ∂

∂Λ

∂²ωΛ

∂k²

k=k^ext_i ,Λ=Λ^кауст_i = 0. (2.4)

В дальнейшем мы предполагаем, что существуют два конечных (т. е. не зави- сящих от β) числа δ > 0 и ε > 0, таких, что для любого i в δ-окрестности V_δ⁽ⁱ⁾ значенияΛ^кауст_i нет других особых значений ΛсемействаωΛ и при измене- нииΛ в этойδ-окрестности вε-окрестности точкиkσ =k^ext(Λ^кауст_i ) существует ровно один экстремум функцииωΛ, одноименный с вырожденным экстремумом ω_Λ^кауст_i , причем при Λ, лежащих с одной стороны от Λ^кауст_i (скажем, справа), этот экстремум достигается снова в основной точкеk^σ =k^ext(Λ), а дляΛ, лежа- щих с другой стороны отΛ^кауст_i , — в парной точке(k1(Λ), k2(Λ)), «родившейся»

из вырожденной точки k^σ (см. рис. 1).

Рис. 1. Графики функций ωΛ(k) для k, лежащих в окрестности основной критической точки, и Λ из окрестности значения Λ^кауст ((a) Λ > Λ^кауст, (b) Λ = Λ^кауст, (c) Λ < Λ^кауст; k^σ — основная критическая точка,k1,k2 — дополнительные критические точки).

При этом существует такая конечная константа ρ > 0, что для любого i и любого Λ∈V_δ⁽ⁱ⁾

k:|k−kinf^ext_σ (Λ)|>ε|ωΛ(k)−ωΛ(k^ext_i )|> ρβ,

где k^ext_i (Λ) — либо основная точкаk^σ, либо одна из парных точек k1(Λ),k2(Λ).

Замечание.В двухчастичном пространстве трансфер-матрицыT функция ωΛ(k) имеет вид

ωΛ(k) =a(k)a(Λ−k), (2.5)

гдеa(k)— функция, описывающая одночастичный спектр оператораT (см. [1]).

Все перечисленные выше условия относительно функции ωΛ(k) вида (2.5) вы- полняются, если в точках перегиба функции a(k) ее третья и четвертая произ- водные отличны от нуля.

Кратные значения Λ^кр_j ∈ T¹.Назовем значение Λ = Λ^кр ∈ T¹ n-кратным, n > 1, если у семейства функций {ω1,Λ} при Λ = Λ^кр имеется ровно n (гло- бальных) минимумов или n (глобальных) максимумов, принимаемых в точках

k^ext₁ , . . . , k^ext_n , ext = minили ext = max. Заметим, что все экстремальные значе- ния в этих точках совпадают,

ωΛ^кр(k^ext₁ ) =· · ·=ωΛ^кр(k_n^ext).

Мы предполагаем, что у семейства{ωΛ}имеется лишь конечное число двукрат- ных значений Λ^кр₁ , . . . ,Λ^кр_p (либо их нет вовсе) и при этом при каждом Λ^кр_j все экстремумы функции ω_Λ^кр_j невырожденны, а более чем двукратных значений Λ нет совсем. Таким образом, множества кратных и каустических значений Λ не пересекаются.

Замечание. Заметим, что ωπ(π/2) = ωπ(3π/2) и, таким образом, если в основных точкахπ/2и3π/2достигается экстремум функцииωπ(k), то значение Λ =π является кратным.

Далее предполагается, что существует конечная (не зависящая отβ)δ-окрест- ность V_δ,j^кр кратного значения Λ^кр_j , такая, что в этой окрестности нет других особых значений семейства{ωΛ}и при измененииΛв этой окрестности у функ- ции ωΛ по-прежнему существуют два одноименных экстремумаω_Λ^ext(k^ext₁ (Λ)) = ω⁽¹⁾(Λ), ω^ext_Λ (k₂^ext(Λ)) = ω⁽²⁾(Λ), которые достигаются в точках, близких к k^ext₁ (Λ^кр_j ) и k^ext₂ (Λ^кр_j ), только один из этих экстремумов является локальным, а другой глобальным. При этом предполагается, что

∂

∂Λ(ω⁽¹⁾(Λ)−ω⁽²⁾(Λ))

Λ=Λ^кр_j = 0. (2.6) Из этого, в частности, следует, что

|ω⁽¹⁾(Λ)−ω⁽²⁾(Λ)|< Cβ|Λ−Λ^кр_j |,

где C — константа, не зависящая от β и Λ. Кроме того, при Λ ∈ V_δ^кр суще- ствуют конечные ε-окрестности точек k^ext_σ (Λ), σ = 1,2, внутри которых нет критических точек функции ωΛ(k), кроме k^ext_σ (Λ). При этом существует такая конечная константа ρ >0, что для любого j и любого Λ∈V_δ,j^кр

k:|k−kinf^ext_σ (Λ)|>ε|ωΛ(k)−ωΛ(k_σ^ext(Λ))|> ρβ, где снова k^ext_σ (Λ) — точка экстремума, ближайшая к точке k.

Обозначим черезV ⊂T¹ объединение всех упомянутых δ-окрестностей осо- бых значений Λ, и пусть V = T¹\V — дополнение к V. Очевидно, что для любого Λ∈V функция ωΛ имеет лишь одну невырожденную точку (глобаль- ного) максимума k^max(Λ) и одну невырожденную точку (глобального) миниму- ма k^min(Λ). Кроме того, для Λ ∈V существуют ε-окрестности точек k^max(Λ) и k^min(Λ), в которых вторая производная ω_Λ функции ωΛ сохраняет знак и

k:|k−kinf^ext(Λ)|>ε|ωΛ(k)−ωΛ(k^ext(Λ))|> βρ,

где ρ >0— константа, введенная выше. Кроме того, мы предполагаем, что для любого Λ∈V

|ω_Λ(k_Λ^ext)|> aβ >0, ext = min,max, где a — константа, не зависящая отΛ∈V и β.

Замечание.Поскольку при малых β функция ω0+βω_Λ⁽¹⁾(k) =ωΛ (см. раз- ложение (1.2)) мало отличается от функции ωΛ, все перечисленные условия должны выполняться и для семейства этих функций. С другой стороны, так как функцию ωΛ легче вычислить, чем полную функцию ωΛ, все указанные условия достаточно проверить для ωΛ.

В работе [1] показано, что собственные значения z оператора TΛ, лежащие вне непрерывного спектра [τ_Λ^min, τ_Λ^max], совпадают с нулями следующего моди- фицированного детерминанта Фредгольма:

∆Λ(z) =

T^ν

dk ωΛ(k)−z +

∞ n=2

1 n!

T^ν· · ·

T^ν

Tn(k1, . . . , kn;z)dk1· · ·dkn

(ωΛ(k1)−z)· · ·(ωΛ(kn)−z). (2.7) Поэтому в дальнейшем будет изучаться поведение функции ∆Λ(z) при соот- ветствующих значениях Λ и значениях z, удаленных от краев непрерывного спектра на расстояние, не превосходящееDβ². Для определенности мы ограни- чимся случаем z < τ_Λ^min; случай z > τ_Λ^max рассматривается аналогично.

§3. Доказательство теоремы 2.1

Как было отмечено выше, в [1] доказано, что у оператора TΛ нет прилегаю- щих уровней, если Λ лежит вне конечных (не зависящих от β) δ-окрестностей особых значений, причем δ таково, что каждая такая окрестность содержит лишь одно особое значение Λ. Таким образом, нам нужно по отдельности изу- чить спектр TΛ для Λ, лежащих в этих δ-окрестностях. Мы начнем с кратных особых значений.

3.1. Прилегающие уровни для Λ, лежащих в δ-окрестностях зна- чений Λ^кр_j . Итак, рассмотрим случай, когда Λ лежит в δ-окрестности V_δ,j^кр некоторого кратного значения Λ^кр_j семейства ωΛ. В этом случае существуют две точки k₁^min(Λ) и k₂^min(Λ), Λ ∈ V_δ,j^кр, в которых функция ωΛ(k) достигает экстремума (а именно минимума), причем один из них глобальный, а другой локальный. Пусть

τ_Λ^σ =ωΛ(k^min_σ (Λ)), σ= 1,2, и для определенности

τ_Λ^min=τ_Λ¹ τ_Λ².

(При значении Λ = Λ^кр_j достигается равенство между τ_Λ¹ и τ_Λ².) Эти экстрему- мы невырожденны, и в их ε-окрестностях U_ε^σ, σ = 1,2, производная ω_Λ(k) не меняет знак, а вне окрестностейU_ε^σ, σ= 1,2, выполнено неравенство

|ωΛ(k)−τΛ|> βρ, k /∈U_ε^σ, σ= 1,2, Λ∈V_δ,j^кр.

Лемма 3.1. Для Λ∈V_δ,j^кр и z < τ_Λ^min верно следующее представление:

T^ν

dk

ωΛ(k)−z = A^1,Λ_min

τ_Λ¹−z +A^2,Λ_min

τ_Λ²−z +ψ_Λ(z), (3.1) гдеA^σ,Λ_min=√

2π|ω_Λ(k^min_σ )|^−1/2, аψ_λ(z)— ограниченная аналитическая функция от z в полуплоскости FΛ={Re(τ_Λ^min−z)>0},допускающая вFΛ оценку

|ψΛ(z)| C β,

где константа C не зависит от z, β и Λ∈V_δ,j^кр. Замечание.Очевидно, что

A^σ,Λ_min=

√2π(1 +O(β))

β^1/2[(ω_Λ⁽¹⁾(k_σ^min(Λ)))]^1/2 = √a^Λ_σ

β(1 +O(β)), σ= 1,2, где a^Λ_σ =√

2π/(ω_Λ⁽¹⁾(k)) >0, а ω_Λ⁽¹⁾ — функция, входящая в разложение (1.2).

Доказательство леммы 3.1.Напишем

T¹

dk ωΛ(k)−z =

U_ε¹

dk ωΛ(k)−z +

U_ε²

dk ωΛ(k)−z +

T¹\(U_ε¹∪U_ε²)

dk ωΛ(k)−z . Далее каждое из слагаемых оценивается так же, как в лемме 1.3 [1]. Лемма 3.1 доказана.

Положим

I_n^Λ(z) =

T¹· · ·

T¹

T_Λ⁽ⁿ⁾_n (k1, . . . , kn;z)

i=1(ωΛ(ki)−z) n i=1

dki.

Сейчас мы выведем представление для I₂^Λ(z) при Λ∈V_δ,j^кр, z < τ_Λ^min. Лемма 3.2. Для Λ∈V_δ,j^кр и z∈FΛ верно следующее представление:

1

2I₂^Λ(z) =A^1,Λ_minA^2,Λ_minB_Λ⁺(k₁^min, k₂^min) τ_Λ¹ −z

τ_Λ²−z +ψΛ(z), (3.2) где величины A^σ,Λ_min те же,что и в лемме 3.1,функция B_Λ⁺ введена в (2.3), а функция ψΛ(z) аналитична в полуплоскости FΛ и удовлетворяет оценке

|ψΛ(z)| T0√ β

τ_Λ^min−z +T1, (3.3) где T0, T1 — константы,не зависящие от β, z и Λ.

Замечание.Как следует из представлений (1.2), (2.3), B_Λ⁺(k₁^min, k₂^min) =β²B_Λ,0⁺ (1 +O(β)), где B_Λ,0⁺ — константа, не зависящая от β.

Доказательство леммы 3.2.Запишем I₂^Λ(z) =

Uε⁽¹⁾

dk1

Uε⁽¹⁾

dk2 B_Λ⁺(k1, k2)dk1

(ωλ(k1)−z)(ωλ(k2)−z) +

Uε⁽²⁾

dk1

Uε⁽²⁾

dk2· · ·+

Uε⁽¹⁾

dk1

Uε⁽²⁾

dk2· · ·+

Uε⁽²⁾

dk1

Uε⁽¹⁾

dk2· · · +

T¹\(Uε⁽¹⁾∪Uε⁽²⁾)dk1

T¹\(Uε⁽¹⁾∪Uε⁽²⁾)dk2 · · · . (3.4) Первые два интеграла оцениваются так же, как и при доказательстве леммы 3.3 в [1], и их сумма не превосходит

T√ β

τ_Λ^min−z +T1,

где T0, T1 — константы, не зависящие отz, β и Λ. Последний интеграл в (3.4) не превосходит константу T0 (также не зависящую от z, β и Λ.) Рассмотрим третий и четвертый интегралы (равные между собой).

Воспользуемся разложением функции B_Λ⁺(k1, k2) в окрестности Uε⁽¹⁾×Uε⁽²⁾

точки (k^min₁ (Λ), k₂^min(Λ))∈T¹×T¹:

B⁺_Λ(k1, k2) =B_Λ⁺(k^min₁ (Λ), k₂^min(Λ)) + (k1−k₁^min)∂B_Λ⁺

∂k1

k1=k^min₁ (Λ) k2=k^min₂ (Λ)

+ (k2−k^min₂ )∂B_Λ⁺

∂k2

k1=k^min₁ (Λ) k2=k^min₂ (Λ)

+A(k1−k^min₁ (Λ), k2−k₂^min(Λ))C(k1, k2), (3.5) где A(v1, v2) — квадратичная форма от переменных v1, v2, аC(k1, k2) — огра- ниченная функция. Подставляя разложение (3.5) в интеграл

Uε⁽¹⁾

dk1

Uε⁽²⁾

dk2 B⁺_Λ(k1, k2)dk1

(ωλ(k1)−z)(ωλ(k2)−z), (3.6) мы видим, что первое слагаемое в разложении (3.5) приводит к главному члену в представлении (3.2), а также к функции ψΛ(z), допускающей оценку (3.3).

Следующие два слагаемых в (3.5) приводят к интегралам вида

∂B_Λ⁺

∂k1

k1=k^min₁ (Λ) k2=k^min₂ (Λ)

Uε⁽¹⁾

(k1−k^min₁ (Λ)) ωΛ(k1)−z dk1

Uε⁽²⁾

dk2

ωΛ(k2)−z. (3.7) Оценим первый множитель

Uε⁽¹⁾

k1−k₁^min(Λ)

ωΛ(k1)−z dk1. После замены переменных k1−k₁^min(Λ) =u+au²+O(u³)

в окрестности Uε⁽¹⁾, приводящей функцию ωΛ(k) к виду ωΛ(k) =ωΛ(k^min₁ (Λ)) +1

2ω_Λ(k^min₁ (Λ))u², интеграл

Uε⁽¹⁾

k1−k^min₁ (Λ)

ωΛ(k1)−z dk1 превратится в интеграл

Ueε˜

u(1 + 2au+O(u²))du

12ω_Λ(k₁^min(Λ))u²+ωΛ(k₁^min(Λ))−z,

где Uε˜= (−˜ε,ε˜) — некоторая (вообще говоря, несимметричная) окрестность нуля, причем|ε˜−ε˜| ∼O(ε²). Несложный подсчет этого интеграла показывает, что он не превосходит величинуc/β (c— константа, не зависящая отβ,Λ иz).

Воспользовавшись теперь оценкой второго множителя в (3.7) (см. лемму 3.1 в [1]), мы получим, что интеграл (3.7) не превосходит величину

T0√ β

τ_Λ^min−z +T1, где T0 иT1 — константы.

Таким образом, представление (3.2) доказано.

Интегралы

I_n^Λ(z) =

T^ν· · ·

T^ν

T_n^Λ(k1, . . . , kn) _n

i=1(ωΛ(ki)−z) n i=1

dki

являются аналитическими функциями в FΛ и при n >2 удовлетворяют оцен- кам, аналогичным тем, которые получены в лемме 3.3 из [1]; окончательно мы получаем, что

^∞

i=3

I_n^Λ(z)

< DA^1,Λ_minA^2,Λ_minβ² τ_Λ¹−z

τ_Λ² −z +C1 A^1,Λ_minβ

τ_Λ¹−z +C2 A^2,Λ_minβ

τ_Λ²−z +R, (3.8) где D, C1, C2, R — константы (не зависящие от β, Λ и z). Таким образом, детерминант ∆Λ(z) при Λ∈V_δ,j^кр иz < τ_Λ^min имеет представление

∆Λ(z) = (B_Λ⁺(k^min₁ (Λ), k^min₂ (Λ))(1 +O(β))A^1,Λ_minA^2,Λ_min τ_Λ¹−z

τ_Λ²−z + A^1,Λ_min(1 +O(β))

τ_Λ¹−z + A^2,Λ_min(1 +O(β)) τ_Λ²−z +O

1 β

= B_Λ,0⁺ a^Λ₁a^Λ₂β

τ_Λ⁽¹⁾−z

τ_Λ⁽²⁾−z

+ a^Λ₁

√β

τ_Λ¹−z + a^Λ₂

√β τ_Λ²−z

+ Ψ^Λ₁(z) + Ψ^Λ₂(z) + Ψ^Λ₃(z) + Ψ^Λ₄(z), (3.9) где Ψ^Λ_i (z), i = 1,2,3,4, являются аналитическими функциями от z ∈ FΛ и удовлетворяют вFΛ оценкам

|Ψ^Λ₁(z)|< C1β² τ_Λ¹−z

τ_Λ²−z, |Ψ^Λ₂(z)|< C2√ β

τ_Λ¹−z,

|Ψ^Λ₃(z)|< C3√ β

τ_Λ²−z, |Ψ^Λ₄(z)|< C4

β , Ci, i= 1,2,3,4, — константы, не зависящие от β, z и Λ∈V_δ,j^кр.

Изучим теперь корни уравнения∆Λ(z) = 0. Определим функцию∆⁰_Λ(z)фор- мулой

∆⁰_Λ(z) = a^Λ₁

√β

τ_Λ¹−z + a^Λ₂

√β

τ_Λ²−z +a^Λ₁a^Λ₂ B_Λ,0⁺ β τ_Λ¹−z

τ_Λ²−z.

Рассмотрим сначала случай B_Λ⁺(k₁^min, k^min₂ )> 0 (т. е. B_Λ,0⁺ >0). В этом случае функция ∆⁰_Λ(z) является знакоопределенной и, значит, не имеет нулей. При этом в силу оценок в леммах 3.1, 3.2 и оценки (3.8)

|∆⁰_Λ(z)|>|∆⁰_Λ(z)−∆Λ(z)|, |z−τ_Λ^min|< D2β²,

откуда следует отсутствие нулей у функции ∆Λ(z) при τ_Λ^min−D2β²< z < τ_Λ^min и Λ∈V_δ,j^кр.