Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
Н. Я. Моисеев, Т. А. Мухамадиева, Метод Ньютона для решения задачи о распаде произвольного рарыва в средах с уравнениями состояния общего вида, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2008, том 48, номер 6, 1102–1110
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочи- тали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 139.59.245.186
6 ноября 2022 г., 10:57:58
ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2008, том 48, M 6, с. 1102-1110
УДК 519.634
М Е Т О Д Н Ь Ю Т О Н А Д Л Я Р Е Ш Е Н И Я З А Д А Ч И О Р А С П А Д Е П Р О И З В О Л Ь Н О Г О Р А З Р Ы В А В С Р Е Д А Х
С У Р А В Н Е Н И Я М И С О С Т О Я Н И Я О Б Щ Е Г О В И Д А
© 2008 г. Н. Я. Моисеев, Т. А. Мухамадиева
(456770 Снежинок, Челябинская обл.,
ул. Васильева, 13, а.я. 245, ФГУП РФЯЦ-ВНИИТФ им. ак. Е.И. Забабахина) e-mail: n.ya.moiseyev@vniitf.ru
Поступила в редакцию 19.10.2007 г.
Переработанный вариант 12.12.2007 г.
Предлагается подход к решению задачи о распаде произвольного разрыва в средах с нормаль
ными уравнениями состояния, основанный на методе Ньютона. Для эффективного вычисле
ния интегралов Римана используется кубическая аппроксимация изэнтропы, обеспечившая по сравнению с методом Симпсона более высокую точность, скорость сходимости и эконо
мичность. Возможности подхода демонстрируются на примерах решения задач для сред, под
чиняющихся уравнению состояния Ми-Грюнайзена, для которого получены в явном виде ал
гебраическое уравнение изэнтропы и некоторые точные решения для конфигураций с волна
ми разрежения. Библ. 16. Фиг. 3. Табл. 1.
Ключевые слова: уравнение газовой динамики, задача о распаде произвольного разрыва, численный метод Ньютона, уравнения состояния Ми-Грюнайзена.
1. В В Е Д Е Н И Е
Задача Римана о распаде произвольного р а з р ы в а для уравнений газовой динамики хорошо из
вестна и подробно описана в научной литературе, н а п р и м е р в [1], [2]. Решения задачи широко ис
пользуются в численных методиках и во многих из них я в л я ю т с я массовыми операциями (см. [3]).
Поэтому особое внимание уделяется э ф ф е к т и в н о с т и ее решения, как точного (см. [4]-[8]), так и приближенного (см. [9], [10]).
Согласно универсальному подходу из [4], уравнения состояния (УPC) записываются в двухпа- раметрическом виде, что приводит к вычислению этих параметров из решения систем уравне
ний, соответствующих реализовавшимся конфигурациям распада разрыва. З а т е м вычисляются все термодинамические величины. Системы р е ш а ю т с я методом Н ь ю т о н а в конфигурациях с ударными волнами (УВ). Интегрирование адиабаты Пуассона сводится к решению системы диф
ференциальных уравнений для параметрических функций. В [5] нахождение термодинамических величин сводится к решению систем уравнений методом Н ь ю т о н а в конфигурациях с УВ. В кон
фигурациях с волнами разрежения (BP) решаются д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е уравнения методом Рун- ге-Кутты. В [6] изложен подход к решению задачи в о б щ е м виде без подробного описания кон
кретных алгоритмов. В [8], [10] приводится подробное р е ш е н и е задачи в средах с простыми У PC методом Н ь ю т о н а и методом обратной параболической интерполяции (см. [11]) соответственно.
Метод обратной параболической интерполяции обеспечивает кубическую скорость сходимости.
Анализ алгоритмов из [4]-[6] показывает, что они я в л я ю т с я достаточно трудоемкими, чтобы их можно б ы л о применять как массовые операции в численных методиках. Так, если сравнивать эффективность решения задачи в средах с идеальным г а з о м методами из [5] и [10], то решения в [5] находятся за 12-19 итераций, а в [10] - за 2 - 3 . П о э т о м у э ф ф е к т и в н о с т ь решения задачи о рас
паде произвольного разрыва остается актуальной п р о б л е м о й .
В данной работе рассмотрен новый численный метод решения задачи о распаде произвольно
го разрыва в средах с нормальными УРС (см. [1]) м е т о д о м Н ь ю т о н а . Метод является обобщени
ем приближенного метода (см. [7]), основанного на подходах работ [8], [10], и заключается в сле
дующем. На каждой итерации исходные У Р С л о к а л ь н о аппроксимируются двучленными, для ко
торых решение задачи известно (см. [3], [8], [10]) и в ы р а ж а е т с я через элементарные функции.
По этим решениям определяются новые состояния сред в точках на исходных ветвях (и, /^-диа
грамм. Задача о распаде разрыва снова решается т а к ж е , как и на предыдущих итерациях, с на
чальными данными, которые соответствуют найденным н о в ы м состояниям. Возможности под-
хода демонстрируются на примерах решения задач в средах, подчиняющихся У Р С М и - Г р ю н а й зена. Для этого УРС выписаны в явном виде алгебраическое уравнение изэнтропы и н е к о т о р ы е точные решения для конфигураций с BP. Результаты численных расчетов модельных задач о распаде произвольного разрыва показали эффективность рассмотренного метода, согласуются с точными решениями и решениями, полученными по алгоритму из [7]. Метод реализован в про
грамме, написанной на языке программирования C++ в среде WINDOWS для р е ш е н и я задач на персональном компьютере в интерактивном режиме.
2. З А Д А Ч А О Р А С П А Д Е П Р О И З В О Л Ь Н О Г О Р А З Р Ы В А
Пусть в начальный момент времени t0 = 0 среда в пространстве разделена на две части - л е в у ю и правую - плоскостью х = 0. Среда слева от этой плоскости имеет состояние рь иъ рь справа - состояние р2, иъ р2. Среды подчиняются УРС, записанным в ф о р м е p = р\(р, E), р = /?2(р, £ ) , к о т о р ы е удовлетворяют условиям Б е т е - В е й л я [1], [12], являются выпуклыми и н а з ы в а ю т с я нор
мальными. Здесь р, и,р,Е- это удельная плотность, скорость, давление и внутренняя энергия соответственно. Среды разделены перегородкой, которая в момент времени t = 0 мгновенно уби
рается. После этого среды приходят в соприкосновение и начинают взаимодействовать между собой. Требуется определить состояние сред в момент t > 0.
В такой постановке задача известна как задача Римана о распаде произвольного р а з р ы в а . Предполагаем, что для давлений выполнено условие рх < р2. Поэтому можно рассмотреть т о л ь к о основные конфигурации - это конфигурации из двух УВ, двух BP, одной УВ и BP. Решение за
дачи наглядно представляется в плоскости состояний сред и находится в т о ч к е пересечения вет
вей (и, /?)-диаграмм (см. [2]). Поскольку задача о распаде разрыва хорошо известна, т о м ы не бу
дем приводить вывод основных уравнений, а выпишем сразу необходимые из них в следующем общем виде:
л ^Р- Р * о n P~PÏ о J
U - Ll{ + - (J, U - И2 = U, Ü; = <
РГ - Р,
v i ( D 1 P<Pf
Здесь / = 1, 2, £/, Р - скорость и давление на контактном разрыве (KP) в зонах постоянного т е ч е ния, V = 1/р - удельный объем, величины p * , Е* , Vf - плотность, удельная внутренняя энергия и удельный объем за фронтом УВ соответственно. Система уравнений (1) в зависимости от реа
лизовавшейся конфигурации дополняется уравнениями адиабат Гюгонио
£ f - £ , - 0 . 5 ( V , . - V * ) ( / > , + P * ) = 0, P* = p.(V?,E*), и/или адиабат Пуассона
(2)
d-b = -р(р,Е), j = 1,2. (3)
dv J
И з (1)-(3) следует, что в конфигурации из двух У В требуется решить систему нелинейных ал
гебраических уравнений, из двух BP - систему интегральных уравнений, из У В и B P - смешан
ную систему уравнений. Для определения конфигурации проводим анализ поведения функции F(P) (см. [3], [8]):
1) если их - и2 > U2 = F(p2), то Р > р2 > рх и реализуется конфигурация из двух У В ; 2) если U у = F(p{) <и{-и2< U2, то рх < Р <р2 и реализуется конфигурация из УВ и BP;
3) если U0 = F(p0) < щ < и2 < Uh то Р < р{ < р2 и реализуется конфигурация из двух BP;
4) если щ - и2 < (/0, то реализуется область вакуума со значениями р = 0, с = 0.
В (1) вычитая второе уравнение из первого, получаем уравнение для давления в виде
F(P)^f{(P) + f2(P) = щ-и2. (4)
1104 МОИСЕЕВ, МУХАМАДИЕВА З д е с ь
p-Pi
a-, а
P f - P , '
Л(Р) = Pi (5)
fedp, P<p,
И з уравнения (4) определяем давление на контактном разрыве (KP), а затем вычисляем осталь
н ы е величины.
3. М Е Т О Д Н Ь Ю Т О Н А ДЛЯ Р Е Ш Е Н И Я З А Д А Ч И О Р А С П А Д Е П Р О И З В О Л Ь Н О Г О Р А З Р Ы В А В С Р Е Д А Х С П Р О С Т Ы М И У Р А В Н Е Н И Я М И С О С Т О Я Н И Я
Предположим, ч т о из уравнений (2), (3) можно получить уравнения адиабат Г ю г о н и о и Пуас
сона в аналитической форме. УРС с такими свойствами в дальнейшем будем н а з ы в а т ь п р о с т ы м и . О б ы ч н а я процедура решения нелинейной системы уравнений методом Н ь ю т о н а , к а к правило, состоит в линеаризации всех уравнений и последующей организации итерационного процесса по нахождению решений системы линейных уравнений. М ы рассмотрим подход к р е ш е н и ю систем уравнений (1), к о т о р ы й отличается от подходов, в [4]-[6]. Для решения этих систем уравнений оказывается достаточно линеаризации только исходных У Р С . Алгоритм решения в э т о м случае строится следующим образом. Проводим локальную линеаризацию исходных У Р С . Вследствие т а к о й линеаризации среды будут подчиняться двучленным УРС вида
Здесь у - показатель адиабаты, р0, с0 - параметры вещества, вычисленные в результате линеари
зации. В этом случае уравнение (4) упрощается и его решение находится по алгоритму из [8] с уче
т о м модификации в [10] методом обратной парабалической интерполяции. Подставив найденные значения Р, p f , р * давления и плотностей в уравнение (4), проверяем выполнение условия
Е с л и условие выполняется, то считаем, что приближенное решение находится в окрестности точного решения уравнения (4), заканчиваем итерационный процесс и переходим к счету осталь
ных величин. Если условие (7) не выполняется, т о поступаем следующим образом. И з получен
ного приближенного решения берем плотности p f , р * в средах слева и справа от KP, в ы ч и с л я е м давления pf , pf из исходных уравнений (2), (3) адиабат Гюгонио или Пуассона и скорости uf ,
uf , из уравнений (1). Очевидно, что величины ( p f , pf , uf ) , (uf , pf , p * ), найденные на э т о м ш а г е , вычисляются без итераций и определяют новые состояния сред в точках, л е ж а щ и х на ис
ходных ветвях (и, /?)-диаграмм. Далее повторяем описанный выше процесс получения о ч е р е д н о го приближенного решения, взяв в качестве начальных данных величины ( p f , pf , uf ) , (uf , pf ,
p * ). Процесс повторяется до тех пор, пока неравенство (7) не будет выполнено.
Геометрическая интерпретация (см. фиг. 1, 2) описанного алгоритма означает, ч т о в п л о с к о сти переменных (р, р) кривую УРС аппроксимируем (заменяем) касательной, а а д и а б а т ы Г ю г о нио или Пуассона и ветви состояний исходных У Р С на (и, /?)-диаграмме аппроксимируем соответ
ствующими адиабатами и ветвями для двучленных У Р С (6).
Поскольку имеется взаимно однозначное соответствие между УРС, адиабатами и ветвями, т о аппроксимирующие адиабаты и ветви по построению будут касаться исходных адиабат и ветвей соответственно. Следовательно, описанный метод решения уравнения (4) соответствует методу Ньютона, в котором вместо касательных используются адиабаты, соответствующие У Р С (6). Т о ж е самое относится и к ветвям (и, /?)-диаграмм в плоскости состояний. Поэтому скорость сходимо
сти к решению должна быть выше, чем в обычном методе с использованием только касательных.
П р и б л и ж е н н ы е решения можно находить т а к ж е и на основе модифицированного уравнения из [10], которое отличается от уравнения (6) наличием свободного безразмерного п а р а м е т р а пе-
р = ( у - 1 ) р £ + С о( р - р о ) . (6)
\F(p)-(ul-u2)\<z\ul-u2\, 0< 8 < ^ 1. (7)
Фиг. 1. Две BP: (а) - плоскость (р, р) и (б) - плоскость (w, р).
Фиг. 2. Две УВ в плоскости (и,р).
ред вторым слагаемым. Это позволит сократить число итераций на начальной стадии поиска р е шения. Однако на заключительной стадии поиска лучше переходить на использование уравне
ния (6), поскольку алгоритм выбора значений свободных параметров не обеспечивает квадра
тичной скорости сходимости.
4. У Р А В Н Е Н И Е С О С Т О Я Н И Я М И - Г Р Ю Н А И З Е Н А
Возможности описанного подхода к решению задачи о распаде разрыва рассмотрим на при
мере сред, подчиняющихся уравнению состояния Ми-Грюнайзена
ET — E — Еу, Еу = — I :— +
т x x ил ц - 1 5 5 =
ï-, к =
1,2,которое запишем в виде
p = (Y_ i ) p £ + j^ £ i | (Y- i ) ( ô - l ) + I J ( l - 8 ^ ) | . (8) Здесь ph ск - параметры вещества, у, р - параметры уравнения состояния, к о т о р ы е будем считать постоянными. У Р С хорошо известен и широко применяется для описания поведения многих ве
ществ. М ы не будем подробно останавливаться на его свойствах, с которыми м о ж н о познако
миться, например, в [13], [14], а отметим следующее. Скорость звука вычисляется по ф о р м у л е
' Р + Рк
у - — — + Р - У ^ - ! 1/2
Рк = РкСк
У р а в н е н и е а д и а б а т ы Гюгонио в виде явной зависимости Р = Р(р) просто п о л у ч и т ь из у р а в н е ний (2) и (8). Следовательно, решение задачи о распаде разрыва по описанному выше алгоритму в конфигурациях с УВ не представляет каких-либо трудностей не только для У Р С М и - Г р ю н а й зена, но и для У Р С такого типа. Сложнее обстоит вопрос с решением задачи в конфигурациях с BP, поскольку необходимо вычислять вдоль изэнтропы интеграл Римана (5), к о т о р ы й не всегда м о ж н о выразить через элементарные функции. Б о л е е того, для многих н о р м а л ь н ы х У Р С ч а с т о неизвестно и само уравнение изэнтропы в аналитическом виде. Поэтому нам п р е д с т а в л я е т с я ц е л е с о о б р а з н ы м выписать это уравнение для У Р С Ми-Грюнайзена в удобном для д а л ь н е й ш е го исследования виде. Подставив в уравнение (3) вместо Е выражение из (8), получим с л е д у ю щ е е д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е уравнение:
VaW = " ^ - Y ^ + ( Y - ^ ) P * v ? v "M. (9)
Проинтегрировав уравнение (9) методом вариации произвольной постоянной и выбрав эту по
стоянную, согласованную с двучленным уравнением состояния, получим уравнение и з э н т р о п ы в явном аналитическом виде:
p = l-o(S)p7-pk-pkby(l-6>i-'i). (10)
Здесь ü(S) - энтропийная функция, которую можно вычислять по формуле
о(5) = Y ^ + Yn 7 • ( П )
P Р Скорость звука вдоль изэнтропы можно вычислять по формулам
с = / о^ р ' - ' - ^ - ' - ц б '1-1) = y ^ + m-y)Ejf. (12)
А/ Рк v P P
П о л у ч е н н ы е уравнения изэнтропы и энтропийной функции для У Р С М и - Г р ю н а й з е н а п о з в о л я ю т существенно упростить решение задачи о распаде разрыва и получить ч а с т н ы е в ы р а ж е ния для параметров у, р, при которых интеграл Римана записывается в квадратурах. Если у = р , т о ф о р м у л ы ( 10)—( 12) переходят в ф о р м у л ы для У Р С (6), который о б ы ч н о н а з ы в а ю т с о г л а с о в а н н ы м .
5. Т О Ч Н Ы Е Р Е Ш Е Н И Я
Рассмотрим значения параметров у, р, при которых интеграл Римана (5) можно записать в квадратурах. Преобразовав интеграл (5) к виду
/ ( p ) = f ^ p (13)
J p p
Pf
на отрезке [ р * , р,] и подставив под знаком интеграла (13) выражение для скорости звука из (12), получим
Р, 8,-
b{y-i)n(a + b^)mdb.
Pf ôf
Здесь а = c(S)pyk~l - ус^/р, b - (\ipk)/pk = q2, 8г
= р//р*.
Согласно теореме Ч е б ы ш ё в а , интеграл jV" (а + bxtiydx может быть выражен через элементарные функции, если одно из чисел (т + р + (т+ 1)Аг, р целое. Здесь р,т,п- рациональные числа. В нашем случае m - 0 . 5 ( у - 3), п - р - у, р = 0.5. Следовательно, если параметры p, у связаны одним из следующих соотношений:( 2 * + 1 ) у - 1 2Jfcy-l . , 0
то интегралы будут табличными (см. [15], [16]) и будут выражаться через элементарные функ
ции. Решения задачи о распаде р а з р ы в а с такими параметрами у, Ц будем называть точными и будем их использовать для к о н т р о л я точности и эффективности описанного метода. Так, если у
= 3 + 2к,к = 0, 1, и р = у + 1, т о получим интеграл вида / = J хк[ а + bx]lLdx.
ôf
Для к = 1 параметры p , у из первого условия связаны соотношением р = у + 0 . 5 ( у - 1). В этом слу
чае скорости uf , uf можно вычислять из следующих точных уравнений:
и * = м^ + ^ К ^ +
ад^-^ + М Г Л / =
1,2.6. П Р И Б Л И Ж Е Н Н Ы Й М Е Т О Д В Ы Ч И С Л Е Н И Я И Н Т Е Г Р А Л О В Р И М А Н А В общем случае значение интеграла Римана (5) находят каким-либо численным методом (тра
пеций, прямоугольников, Симпсона и т.п.) либо аппроксимируют подынтегральную функцию другой функцией, интеграл от к о т о р о й выражается в квадратурах. Рассмотрим второй подход приближенного вычисления интегралов. Аппроксимируем исходную изэнтропу (10) кубической параболой вида
fe0p3 + b i p2 + b2p + fe3 = р9 (14)
которая совпадает с изэнтропой на концах интервала интегрирования вместе со своими первыми производными. К о э ф ф и ц и е н т ы кубической параболы находятся из решения соответствующей системы уравнений и имеют достаточно простой вид:
Ь = 2 (P2~pi с1\+сг\
( p2-Pl)2V p 2 - P i 2 У 2 2
7 1 Г 2 2 Jc\+C2 Рг-Р\\
Ъу = Pl^2 + Р 2^ 1 + 3 ( р2 + Pi)! ,
( p2-P l) L V 3
b2 = c f - 3 f t0p f - 2 ^ ^ ! , Ъъ = pl-bÇ)p\-bxp]-b2p{. Построив параболу, можем получить выражение для скорости звука
с = 7 з Ь0р2 + 2/?!р + ô2,
которое будем использовать в (13) вместо (12). Тогда интеграл (13) преобразуется к виду
„ . P f t7 3/ 70p2 + 2fe1p + fe2
/(р)«
dpJ p
pf
и точно выражается через э л е м е н т а р н ы е функции.
Покажем корректность рассмотренной аппроксимации. Целесообразность аппроксимации кубическим полиномом обсуждается в [9] ввиду того, что полином может быть не монотонным на отрезке, на котором осуществляется аппроксимация. Покажем, что в нашем случае кубиче
ский полином (14) будет м о н о т о н н ы м на интервале [pf , p j . Напомним, что мы рассматриваем выпуклые уравнения состояния.
Проведем хорду через т о ч к и ( p f , pf ), ( р2, /?2), которые лежат на изэнтропе, и восстановим перпендикуляр из середины этой хорды. Перейдем от исходной системы координат к системе ко-
. i к
ординат, в которой координатные оси (pj , рх) совпадают с хордой и перпендикуляром соответ
ственно. В этой системе координат построенная кубическая парабола будет представляться в ви
де полинома третьей степени, к о т о р ы й обращается в ноль в двух точках, соответствующих точ-
кам ( рь рх) , ( р2, р2) в исходной системе координат, и имеет производные разных знаков в этих точках. Очевидно, что эти точки соответствуют действительным корням полинома в новой си
стеме координат. Поскольку полином т р е т ь е й степени может иметь один и два мнимых корня или три действительных, то наш случай соответствует трем действительным корням. Следова
тельно, поведение полинома внутри интервала [ p f , p j зависит от положения третьего корня.
Если корень лежит между двумя о т м е ч е н н ы м и корнями, то это соответствует наличию макси
мума и минимума внутри интервала. В э т о м случае в силу построения полинома знак производ
ной на одном из концов интервала будет совпадать со знаком заданной производной, а на другом конце будет противоположен знаку исходной производной. Это противоречит условию постро
ения полинома. Поэтому третий к о р е н ь будет л е ж а т ь за пределами рассматриваемого интерва
ла. Таким образом, доказано, ч т о кубическая парабола (14) будет выпуклой на интервале [pf , р,]. Следовательно, производная будет непрерывно изменяться от первой точки ко второй без смены знака.
7. Р Е Ш Е Н И Е З А Д А Ч И О Р А С П А Д Е Р А З Р Ы В А В С Р Е Д А Х С О С Л О Ж Н Ы М И У Р А В Н Е Н И Я М И С О С Т О Я Н И Я
Рассмотрим адаптацию описанного алгоритма к решению задачи о распаде разрыва в средах, подчиняющихся УРС, для к о т о р ы х нельзя выписать адиабаты Гюгонио или Пуассона в явном виде, но к о т о р ы е можно аппроксимировать двучленными УРС. Такие УРС будем называть сложными. Пусть реализовалась конфигурация с У В . Тогда, решив задачу для двучленных У Р С (6), давление находим из решения системы (2) и далее по описанному алгоритму. В случае кон
фигураций с BP поступаем следующим образом. Решив задачу для двучленных УРС (6), по най
денным значениям плотности и внутренней энергии вычисляем давление pf и скорость звука с*
из исходного УРС. З а т е м находим п а р а м е т р ы кубической параболы (14), которая проходит че
рез точки (phPi) и ( p f , pf ) в плоскости переменных (р, р) и имеет касательные, наклоны кото
рых равны квадратам скоростей звука ch с* в этих точках соответственно. Предполагаем, что эта парабола аппроксимирует изэнтропу в окрестности точки (р,-,/?;), в которой давления Pe s, jPcp, вычисленные из исходного У Р С и уравнения кубической параболы соответственно, удовлетво
ряют условию
|^е.-^ср|<ер,-, 0 < е « 1 .
Решение модельных задач показало, ч т о такие окрестности существуют. Взяв любое значение плотности pf из этой окрестности и вычислив давление pf , продолжим решение задачи о рас
паде разрыва согласно описанному в ы ш е алгоритму. Естественно, что в этом случае решение бу
дет приближенным.
Замечание. Описанный подход к решению задачи о распаде разрыва позволяет наметить пути решения и в средах, подчиняющихся ненормальным УРС. Среди таких УРС особый интерес представляют УРС, для которых вторая производная
д2р(У, S) дУ2
является знакопеременной величиной. Если предположить, что условия существования разрыва выполне
ны для таких УРС (см. [1]), то решение может быть следующим. Развиваем область определения УРС на подобласти, в которых УРС будет выпуклым, т.е. вторая производная знакопостоянна. Тогда решение за
дачи о распаде разрыва, по всей видимости, может быть получено по описанному методу путем последо
вательного прохождения этих подобластей. Однако детальное исследование решения выходит за рамки данной работы, поэтому мы ограничимся только таким замечанием.
8. Р Е З У Л Ь Т А Т Ы Р А С Ч Е Т О В Т Е С Т О В Ы Х З А Д А Ч
Верификация предложенного метода проводилась на модельных задачах путем сравнения с точными решениями и решениями, полученными по программе из [7]. Анализ результатов рас
четов показывает, что численные р е ш е н и я совпадают с точными решениями и решениями, по
лученными по методу из [7], до 8—10 знаков. Численные решения задач без учета аналитического уравнения изэнтропы (10) т а к ж е согласуются с точными решениями и совпадают до двух знаков
h Давление на KP, метод Симпсона
Скорость на KP, метод Симпсона
Давление на KP, метод кубической
интерполяции
Скорость на KP, метод кубической
интерполяции 22.100332436991 1.10581609692354 22.100332436991 1.10581609692354
0.2 - - 22.10032 1.1058162
0.1 22.11 1.1054 22.100330 1.1058162
0.05 22.103 1.1057 22.100332432 1.10581609695
0.01 22.1004 1.105812 22.10033243698 1.1058160969232 0.005 22.10036 1.105815 22.100332436993 1.1058160962329 0.001 22.100333 1.10581606 22.10033243697 1.10581609692357 после запятой. Здесь представлены результаты расчетов задачи, в которой реализовалась кон
фигурация из двух BP. Заданы следующие состояния сред:
слева от разрыва p i = 4 и{=0 Р\ = 46 Е{ = 3.83(3) р0 = 2 с{) = 2 у = 3 р = 4 справа р2 = 6 м2 = 6 р2 = 221.25 Е2= 14.125 р0 = 3 с{) = 3 у = 3 р = 4
Среды подчиняются У Р С Ми-Грюнайзена. З а д а ч а имеет т о ч н о е решение. На решениях этой задачи проведено сравнение эффективности метода в зависимости от точности вычисления ин
тегралов Римана методами Симпсона и кубической интерполяции изэнтропы. Число интерва
лов, на которое разбивался отрезок интегрирования, находилось по формуле N = [\pi2 - Pn\/h] + 1, / = 1,2. Здесь h - шаг интегрирования, рп, pi2 - плотности в средах до и после решения задачи о распаде разрыва с двучленными УРС, [ ] - целая часть числа. В таблице в зависимости от шагов интегрирования приведены результаты расчетов давлений, скоростей на KP при вычислении ин
тегралов Римана методами Симпсона и кубической интерполяции изэнтропы. В первой строке приведены точные решения.
Из анализа результатов, представленных в таблице, следует, ч т о точность вычисления инте
гралов и скорость сходимости выше при кубической интерполяции изэнтропы, чем при вычис
лении интегралов методом Симпсона.
На фиг. 3 представлены графики (1.3) и (2.4) исходных и аппроксимирующих изэнтроп соот
ветственно, а также результаты расчетов той ж е задачи, но с измененной скоростью и2= 13. Рас
считанные значения давлений в точном (точки 5 на графиках) и приближенном (точки 6) реше
ниях равны 0.69475 и -43.197 соответственно. Видно, что в э т о й задаче приближенные решения дают совершенно неправильный результат.
250 200 150 100 50 0 -50 -100
0 1 2 3 4 5 6
Фиг. 3.
К сожалению, авторам не удалось найти данных по решению задачи о распаде разрыва мето
дами в [4], [6], чтобы можно б ы л о сравнить с этими методами э ф ф е к т и в н о с т ь представленного метода. В [5] приведена информация о том, что для решения задач в средах с У Р С М и - Г р ю н а й зена требуется до 25 итераций. Однако не приводятся постановки т а к и х задач.
9. З А К Л Ю Ч Е Н И Е
Рассмотрен подход к решению задачи о распаде произвольного р а з р ы в а в средах, подчиняю
щихся нормальным УРС, методом Ньютона на основе решений простейших задач с двучленны
ми уравнениями состояния, к о т о р ы е локально аппроксимируют исходные У Р С . Для сред, подчи
няющихся УРС Ми-Грюнайзена, выписаны в явном виде алгебраическое уравнение изэнтропы и некоторые точные решения для конфигураций с BP. Предложен а л г о р и т м приближенного вы
числения интегралов Римана, обладающий более высокой точностью и с к о р о с т ь ю сходимости, чем алгоритм в методе Симпсона.
С П И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1. Рождественский БЛ., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений. М.: Наука, 1968.
2. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука, 1981.
3. Годунов С.К., Забродин A.B., Иванов М.Я. и др. Численное решение многомерных задач газовой ди
намики. М.: Наука, 1976.
4. Аладыкин Г.Б., Годунов С.К., Киреева ИЛ., ПлинерЛ.А. Решение одномерных задач газовой динами
ки в подвижных сетках. М.: Наука, 1970.
5. Шустов Ю.М. Расчет распада разрыва для произвольных уравнений состояния // Числ. методы механ.
сплошной среды. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1978. Т. 9. № 4. С. 131-138.
6. Куропатенко В.Ф., Коваленко Г.В., Кузнецов В.И. и др. Комплекс программ "ВОЛНА" и неоднород
ный разностный метод для расчета неустановившихся движений сжимаемых сплошных сред // ВАНТ.
Сер. Методики и программы числ. решения задач матем. физ. 1989. Вып. 2. С. 19-25.
7. Куликовский А.Г., Погорелое Н.В., Семёнов А.Ю. Математические вопросы численного решения ги
перболических систем уравнений. М.: Физматлит, 2001.
8. Прокопов Г.П. Расчет распада разрыва для пористых сред и сплошных сред с двучленными уравнени
ями состояния // ВАНТ. Сер. Методики и программы числ. решения задач матем. физ. 1982. Вып. 2(10).
С. 32-40.
9. Прокопов Г.П. О приближенных реализациях метода Годунова: Препринт № 15. М.: ИПМ матем.
РАН, 2007.
10. Кобзева Т.А., Моисеев Н.Я. Метод неопределенных коэффициентов для решения задачи о распаде произвольного разрыва // ВАНТ. Сер. Методики и программы числ. решения задач матем. физ. 2003.
№ 1. С. 3-9.
11. КоллатцЛ. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Мир, 1969.
12. Weyl H. Shock waves in arbitrary fluids // Communs Pure and Appl. Math. 1949. № 2. P. 103-122.
13. Забабахин Е.И. Некоторые вопросы газодинамики взрыва. Снежинск: РФЯЦ-ВНИИТФ, 1997.
14. Кобылкин И.Ф., Селиванов В.В., Соловьев B.C., Сысоев H.H. Ударные и детонационные волны. Ме
тоды исследования. М.: Физматлит, 2004.
15. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1978.
16. Бронштейн H.H., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.:
Наука, 1986.
