Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
М. А. Сагадеева, Нелокальная задача для уравнения соболевского типа с отно- сительно p-ограниченным оператором, Вестник ЧелГУ , 2008, выпуск 10, 54–62
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 178.128.90.69
6 ноября 2022 г., 06:41:41
НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА С ОТНОСИТЕЛЬНО p-ОГРАНИЧЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ
1Получены достаточные условия разрешимости нелокальных задач для невы- рожденного операторно-дифференциального уравнения и для уравнения соболев- ского типа с относительноp-ограниченным оператором. Абстрактные результаты использованы при исследовании нелокальной задачи для уравнения Баренблат- та — Желтова — Кочиной.
Kлючевые слова: нелокальная задача, уравнение соболевского типа, относительно p-ограниченный оператор, аналитическая группа операторов.
Введение
Рассмотрим уравнение
˙
u(t) =Au(t) +f(t), t∈[0, T], (1) с ограниченным оператором A, действующим в банаховом пространстве E, и с непрерывной функцией f : [0, T] → E. Классической задачей, рассматриваемой для такого уравнения, является задача Коши u(0) = u0 (одноточечная задача).
Методами теории полугрупп операторов [1] доказаны существование и единствен- ность решения однородной задачи (f ≡0). Этот результат используется для до- казательства однозначной разрешимости неоднородной задачи [2; 3].
В монографии [4] рассмотрена двухточечная краевая задача µu(0)−u(T) = u0
для уравнения (1). На основе результатов о разрешимости задачи Коши пока- зана однозначная разрешимость двухточечной краевой задачи для однородного уравнения (1) (f ≡0).
Естественным обобщением приведенных выше задач является нелокальная задача вида
ZT
0
u(t)dµ(t) =u0, (2)
где функцияµ(t)— заданная скалярная функция ограниченной вариации на от- резке[0, T]. Для каждой непрерывной функцииu(t)определен интеграл Римана—
Стилтьеса из левой части (2). Если задать функцию µ(t)следующим образом:
µ(t) =
½ 0, t = 0;
1, 0< t≤T,
1Работа поддержана грантом РФФИ (код проекта 07-01-96030-р_урал_а).
Нелокальная задача для уравнения соболевского типа . . . 55 то получим задачу Коши (одноточечную задачу), а если
µ(t) =
0, t = 0;
µ, 0< t < T; µ−1, t =T,
— двухточечную краевую задачу.
Данная работа преследует две цели. Во-первых, в ней установлена разреши- мость нелокальной задачи (2) для однородного и неоднородного уравнения (1).
Кроме того, в работе исследована аналогичная задача для линейного уравнения соболевского типа
Lu(t) =˙ Mu(t) +f(t), t∈[0, T], (3) в котором оператор L ∈ L(U;F) (линейный и непрерывный) не является непре- рывно обратимым, операторM ∈ Cl(U;F)(линейный замкнутый с областью опре- деления domM, плотной в U). Здесь U и F — банаховы пространства. При этом рассмотрен случай, когда операторM (L, σ)-ограничен, а бесконечность является несущественной особой точкой [5]. Это условие, в частности, гарантирует суще- ствование аналитической в плоскости разрешающей группы однородного уравне- ния (3), как и условие ограниченности оператора A гарантирует существование такой группы для однородного уравнения (1).
В заключение приведен пример использования полученных абстрактных результатов при исследовании нелокальной начально-краевой задачи для урав- нения Баренблатта — Желтова — Кочиной.
1. Нелокальная задача
для невырожденного уравнения
Рассмотрим нелокальную задачу (2) для уравнения
˙
u(t) =Au(t), t∈[0, T], (4) в банаховом пространстве E, где оператор A∈ L(E). Уравнение (4) или соответ- ствующее ему неоднородное уравнение (3) в отличие от уравнения соболевского типа будем называть невырожденным.
Для исследования нашей задачи будем использовать следующую характе- ристическую функцию:
χ(z) = ZT
0
eztdµ(t).
Определение 1. Функция u ∈ C1([0, T] ;E) называется решением задачи (2), (4), если она удовлетворяет уравнению (4) на [0,T] и условию (2).
Теорема 1. Пусть A ∈ L(E) и пусть множество σ(A) не содержит нулей функции χ(z). Тогда для любого u0 ∈ E существует единственное решение за- дачи (2), (4), при этом оно имеет вид
u(t) = eAt
ZT
0
eAtdµ(t)
−1
u0. (5)
Доказательство. В силу ограниченности оператора A при любом w0 ∈ E ре- шение задачи Коши u(0) = w0 для уравнения (4) существует и имеет вид u(t) =eAtw0. Подставляем это решение в (2):
ZT
0
u(t)dµ(t) = ZT
0
eAtw0dµ(t) =χ(A)w0 =u0.
Cуществование непрерывного оператора (χ(A))−1 равносильно тому, что 0 ∈/ σ(χ(A)). В силу теоремы об отображении спектра
σ(χ(A)) =χ(σ(A)) ={χ(λ) :λ∈σ(A)}
(формула (16.3.7) теоремы 16.3.5 из [1]) в условиях данной теоремы существует обратный оператор (χ(A))−1. Отсюда
w0 =
ZT
0
eAtdµ(t)
−1
u0. (6)
Поэтому решение задачи (2), (4) имеет вид (5). В то же время для другого ре- шения u(t)ˆ этой задачи получим, что u(0)ˆ также удовлетворяет условию (6). Из единственности решения задачи Коши следует единственность решения задачи (2).
Перейдем к рассмотрению задачи (2) для уравнения (1).
Теорема 2. Пусть A∈ L(E), f ∈C([0, T];E) и множество σ(A) не содержит нулей функцииχ(z). Тогда для любогоu0 ∈Eсуществует единственное решение задачи (1), (2), при этом оно имеет вид
u(t) =eAt
ZT
0
eAtdµ(t)
−1
u0− ZT
0
Zt
0
eA(t−τ)f(τ)dτ dµ(t)
+ Zt
0
eA(t−τ)f(τ)dτ. (7)
Доказательство. В силу ограниченности оператора A решение u(·) уравнения (1) существует, обозначимu(0) =w0. Тогда оно является единственным решением задачи Коши u(0) =w0 для уравнения (1) и поэтому имеет вид
u(t) =eAtw0+ Zt
0
eA(t−τ)f(τ)dτ.
Подставив это решение в (2), получим ZT
0
u(t)dµ(t) = ZT
0
eAtdµ(t)w0+ ZT
0
Zt
0
eA(t−τ)f(τ)dτ
dµ(t) = u0.
Нелокальная задача для уравнения соболевского типа . . . 57 Обратный оператор (χ(A))−1 существует в силу тех же причин, что и в доказа- тельстве теоремы 1. Отсюда
w0 =
ZT
0
eAtdµ(t)
−1
u0− ZT
0
Zt
0
eA(t−τ)f(τ)dτ dµ(t)
. (8)
Поэтому решение задачи (1), (2) имеет вид (7). В то же время для другого реше- ния u(t)ˆ этой задачи получим, что u(0)ˆ также удовлетворяет условию (8). Из единственности решения задачи Коши следует единственность решения нело- кальной задачи (2).
2. Относительно спектрально ограниченный оператор
Доказательства изложенных в этом параграфе результатов можно найти в [5; 6].
Пусть U , F — банаховы пространства, L ∈ L(U;F), M ∈ Cl(U;F). Введем обозначения
ρL(M) = {µ∈C: (µL−M)−1 ∈ L(F;U)}, σL(M) = C\ρL(M).
Ясно, что при условии kerL∩kerM 6={0} имеем ρL(M) =∅.
Определение 2.Операторнозначные функции комплексного переменного(µL−
M)−1, RµL(M) = (µL− M)−1L, LLµ(M) = L(µL−M)−1 с областью опреде- ления ρL(M) будем называть соответственно L-резольвентой, правой и левой L-резольвентами оператораM.
Теорема 3. Пусть операторыL∈ L(U;F), M ∈ Cl(U;F). Тогда L-резольвента, правая и левая L-резольвенты оператора M аналитичны в ρL(M).
Определение 3. Оператор M называется (L, σ)-ограниченным, если
∃a >0 ∀µ∈C (|µ|> a)⇒(µ∈ρL(M)).
Возьмем(L, σ)-ограниченный оператор M, выберем в комплексной плоско- сти C замкнутый контур γ = {µ ∈ C : |µ| = R > a}. Тогда в силу теоремы 3 имеют смысл следующие интегралы:
P = 1 2πi
Z
γ
(µL−M)−1Ldµ, Q= 1 2πi
Z
γ
L(µL−M)−1dµ.
Операторы P и Q являются проекторами. Положим U0 = kerP, F0 = kerQ, U1 = imP,F1 = imQ. Имеем
U=U0⊕U1, F=F0⊕F1.
Через Lk (Mk) обозначим сужение оператора L (M) на Uk (domMk = domM ∩ Uk), k = 0,1. Кроме того, через σkL(M) будем обозна- чать множествоC\ρLk(Mk) — Lk-спектр оператора Mk.
Теорема 4. Пусть оператор M (L, σ)-ограничен. Тогда (i) Lk ∈ L(Uk;Fk), k = 0,1;
(ii) M0 ∈ Cl(U0;F0), M1 ∈ L(U1;F1);
(iii) существует оператор L−11 ∈ L(F1;U1);
(iv) σ0L(M) =∅, в частности, существует M0−1 ∈ L(F0;U0);
(v) существует аналитическая разрешающая группа операторов {U(t) ∈ L(U) :t ∈R} уравнения Lu(t) =˙ Mu(t), причем
U(t) = etL−11 M1P = 1 2πi
Z
γ
(µL−M)−1Leµtdµ.
Введем обозначения H = M0−1L0 ∈ L(U0), S = L−11 M1 ∈ L(U1). Для опера- торнозначной функции (µL−M)−1 бесконечно удаленная точка является
(i) устранимой особой точкой, если H =O;
(ii) полюсом порядка p∈N, еслиHp 6=O, а Hp+1=O;
(iii) существенно особой точкой, если ∀p ∈ N Hp 6= O.
Через O здесь обозначен нулевой оператор, определенный на подпростран- стве U0.
Определение 4. (L, σ)-ограниченный оператор M назовем:
(i) (L,0)-ограниченным, если бесконечность является устранимой особой точкой L-резольвенты оператора M;
(ii) (L, p)-ограниченным, если бесконечность является полюсом порядка p∈ N L-резольвенты оператораM;
(iii) (L,∞)-ограниченным, если бесконечность является существенно особой точкой L-резольвенты оператора M.
Обозначим N0 =N∪ {0}.
Теорема 5. [6] Пусть оператор M (L, p)-ограничен, p ∈ N0. Тогда для лю- бой функции f : [0, T] → F, такой, что Qf ∈ C([0, T];F), f0 = (I − Q)f ∈ Cp+1([0, T];F), и для любого начального значения
u0 ∈Pf = (
u∈U: (I−P)u=− Xp
k=0
HkM0−1f0(k)(0) )
существует единственное решение u∈ C1([0, T];U) задачи Коши u(0) =u0 для уравнения (3), при этом
u(t) =U(t)u0+ Zt
0
U(t−s)L−11 Qf(s)ds− Xp
k=0
HkM0−1((I−Q)f)(k)(t).
Нелокальная задача для уравнения соболевского типа . . . 59
3. Нелокальная задача
для уравнения соболевского типа
Рассмотрим нелокальную задачу (2) для операторно-дифференциального уравнения соболевского типа
Lu(t) =˙ Mu(t). (9)
Теорема 6. Пусть оператор M (L, p)-ограничен, p∈N0, и множество σL(M) не содержит нулей функции χ(z). Тогда для любого u0 ∈ U1 существует един- ственное решение краевой задачи (2), (9), при этом оно имеет вид
u(t) = eSt
ZT
0
eStdµ(t)
−1
P u0. (10)
Доказательство. Редуцируем задачу (2), (9) к двум краевым задачам на двух подпространствах. Подействуем на обе части равенств (2), (9) непрерывными операторами QиL−11 Qсоответственно и получим задачу вида (2), (4) на подпро- странстве U1:
ZT
0
u1(t)dµ(t) =u10, u˙1(t) = Su1(t).
Верхний индекс означает проектирование на соответствующее пространство (U1 или U0). Заметим, чтоσ(S) =σL(M)в силу теоремы 4 (iv), и применим теорему 1. Для этого достаточно переобозначить A=S, u0 =u10 =P u0. Отсюда получим формулу (10).
Подействовав же на обе части уравнений (2), (9) операторами I − Q и M0−1(I−Q)соответственно, получим сингулярную задачу на пространстве U0
ZT
0
u0(t)dµ(t) =u00, Hu˙0(t) = u0(t). (11)
Продифференцируем p+ 1 раз уравнение из системы (11) и подействуем на него оператором H столько же раз. Обозначая при этом d/dt = D, получим цепочку равенств
u=HDu= (HD)2u=. . .= (HD)p+1u=Dp+1Hp+1u= 0,
так как по условию теоремыHp+1 =O. Здесь использована также непрерывность оператораH. Следовательно, задача (11) имеет нулевое решение при u00 = 0 и не имеет решения в противном случае.
Замечание 1. Попутно мы доказали, что дляu0 ∈/ U1 задача (2), (9) решения не имеет.
Наконец, рассмотрим нелокальную задачу (2) для уравнения (3).
Теорема 7. Пусть оператор M (L, p)-ограничен, p ∈ N0, Qf ∈ C([0, T];U), f0 = (I−Q)f ∈Cp+1([0, T];U)и множествоσL(M)не содержит нулей функции χ(z). Тогда для любого
u0 ∈Pf =
u∈U: (I−P)u=− Xp
k=0
HkM0−1 ZT
0
f0(k)(t)dµ(t)
существует единственное решение краевой задачи (2), (3), которое имеет вид
u(t) =eSt
ZT
0
eStdµ(t)
−1
P u0 − ZT
0
Zt
0
eS(t−τ)L−11 Qf(τ)dτ dµ(t)
+
+ Zt
0
eS(t−τ)L−11 Qf(τ)dτ − Xp
k=0
HkM0−1((I−Q)f)(k)(t). (12) Доказательство. Как и при доказательстве теоремы 6, редуцируем нашу задачу к двум задачам на разных подпространствах:
Hu˙0(t) = u0(t) +M0−1f0(t), ZT
0
u0(t)dµ(t) = u00; (13)
u˙1(t) =Su1(t) +L−11 f1(t), ZT
0
u1(t)dµ(t) =u10. (14) По теореме 2 задача (14) имеет единственное решение, которое дают первые два слагаемых в формуле (12). Надо только заметить, что по теореме 16.3.5 (формула (16.3.7)) из [1] и по теореме 4 справедливы равенства
eσL(M) =eσL1(M1) =eσ(S)=σ(eST).
ОбозначимM0−1f0(t) = g(t),d/dt =D. Продифференцировав уравнение (13) и подействовав на него оператором H, получим
HDu0 = (HD)2u0−HDg =D2H2u0−HDg =u0+g.
Следовательно, u0 = D2H2u0 −HDg−g. На это уравнение также подействуем оператором HD. Аналогичным образом получим, что u0 = D3H3u0 −H2D2g− HDg−g. Продолжая этот процесс, придем к равенству
u0 =Dp+1Hp+1u0− Xp
k=0
Hkg(k) =− Xp
k=0
Hkg(k).
Таким образом, мы получили необходимый вид решения уравнения (13). При этом использовалась непрерывность оператора H и непрерывность оператора
Нелокальная задача для уравнения соболевского типа . . . 61 M0−1, которая вкупе с условиями теоремы дает принадлежность функцииg клас- су Cp+1([0, T],U). Осталось заметить, что g(k)=M0−1f0(k).
Подставим в краевое условие полученное решениеu0(t) и придем к необхо- димому условию разрешимости задачи (13)
− ZT
0
Xp
k=0
HkM0−1f0(k)(t)dµ(t) = − Xp
k=0
HkM0−1 ZT
0
f0(k)(t)dµ(t) = u00.
Решением задачи (2), (3) является сумма полученных нами решений, где u0 = (I−P)u0+P u0 =u00+u10.
Замечание 2.Попутно доказана необходимость принадлежностиu0 ∈Pf в усло- виях теоремы 6 для разрешимости задачи (2), (3).
4. Нелокальная задача для
уравнения Баренблатта — Желтова — Кочиной
Применим теорему 7 к исследованию задачи ZT
0
u(x, t)dµ(t) = u0(x), x∈Ω, (15)
u(x, t) = 0, (x, t)∈∂Ω×R, (16) для уравнения Баренблатта — Желтова — Кочиной, описывающего фильтрацию жидкости в трещиновато-пористой среде [7]
(λ−∆)ut(x, t) =α∆u(x, t) +f(x, t), (x, t)∈Ω×R. (17) Здесь µ(t) — заданная скалярная функция ограниченной вариации на отрезке [0, T], λ∈R\ {0},α ∈R, Ω⊂Rm — ограниченная область с границей ∂Ω класса C∞.
Редуцируем эту задачу к задаче (2), (3). Положим F = L2(Ω), U = {u ∈ W22(Ω) :u(x) = 0, x∈∂Ω}, L=λ−∆, M =α∆∈ L(U).
Через {ϕk : k ∈ N} обозначим ортонормированные в смысле скалярного произведенияh·,·i вL2(Ω) собственные функции задачи Дирихле для уравнения Лапласа в области Ω, занумерованные по невозрастанию собственных значений λk с учетом их кратности. Обозначим такжеΛ0 ={k :λk=λ},Λ1 ={k :λk 6=λ}.
Теорема 8. Пусть X
k∈Λ0
hf(·, t), ϕk(·)iϕk ∈C1([0, T];L2(Ω)),
X
k∈Λ1
hf(·, t), ϕk(·)iϕk ∈C([0, T];L2(Ω)
и для всех k ∈Λ1 выполняется χ
³ αλk
λ−λk
´
6= 0. Тогда для любого u0 ∈
u∈U:−αλhu, ϕki= ZT
0
hf(·, t), ϕk(·)idµ(t), k∈Λ0
существует единственное решение задачи(15) — (17), при этом оно имеет вид u(x, t) =−X
k∈Λ0
hf(·, t), ϕk(·)iϕk(x)
αλ +
+X
k∈Λ1
eλ−αλktλk RT
0
eλ−αλktλkdµ(t)
*
u0(·)− ZT
0
Zt
0
eαλkλ−(t−τ)λk f(·, τ)
λ−λk dτ dµ(t), ϕk(·) +
ϕk(x)+
+ Zt
0
X
k∈Λ1
eλ−αλkλk(t−τ)hf(·, τ), ϕk(·)iϕk(x) λ−λk dτ.
Доказательство. В работе [5] показано, что в условиях данного параграфа опе- раторM (L,0)-ограничен. При этом
σL(M) =
½ αλk λ−λk
:k ∈Λ1
¾ ,
U0 = span{ϕk :k ∈Λ0}, U1 = span{ϕk :k ∈Λ1} — замыкание в смысле простран- ства U. Осталось сослаться на теорему 7.
Список литературы
1. Хилле, Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Филлипс.— М. : Иностр. лит., 1962.
2. Далецкий, Ю. Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банахо- вом пространстве/ Ю. Л. Далецкий, М. Г. Крейн.— М. : Наука, 1970.
3. Мизохата, С. Теория уравнений с частными производными / С. Мизохата.— М. : Мир, 1977.
4. Иванов, В. К. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи/ В. К. Иванов, И. В. Мельникова, А. И. Филинков.— М. : Наука, 1995.
5. Свиридюк, Г. А. Линейные уравнения соболевского типа / Г. А. Свиридюк, В. Е. Федоров.— Челябинск : Челяб. гос. ун-т, 2003.
6. Sviridyuk, G. A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators/ G. A. Sviridyuk, V. E. Fedorov.— Utrecht ; Boston : VSP, 2003.
7. Баренблатт, Г. И. Об основных представлениях теории фильтрации в трещи- новатых средах / Г. И. Баренблатт, Ю. П. Желтов, И. Н. Кочина // Приклад.
математика и механика.— 1960.— Т. 24, № 5.— С. 58—73.