(1)Math-Net.Ru Общероссийский математический портал М

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

М. А. Сагадеева, Нелокальная задача для уравнения соболевского типа с отно- сительно p-ограниченным оператором, Вестник ЧелГУ , 2008, выпуск 10, 54–62

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

6 ноября 2022 г., 06:41:41

НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА

ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА С ОТНОСИТЕЛЬНО p-ОГРАНИЧЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ

Получены достаточные условия разрешимости нелокальных задач для невы- рожденного операторно-дифференциального уравнения и для уравнения соболев- ского типа с относительноp-ограниченным оператором. Абстрактные результаты использованы при исследовании нелокальной задачи для уравнения Баренблат- та — Желтова — Кочиной.

Kлючевые слова: нелокальная задача, уравнение соболевского типа, относительно p-ограниченный оператор, аналитическая группа операторов.

Введение

Рассмотрим уравнение

˙

u(t) =Au(t) +f(t), t∈[0, T], (1) с ограниченным оператором A, действующим в банаховом пространстве E, и с непрерывной функцией f : [0, T] → E. Классической задачей, рассматриваемой для такого уравнения, является задача Коши u(0) = u0 (одноточечная задача).

Методами теории полугрупп операторов [1] доказаны существование и единствен- ность решения однородной задачи (f ≡0). Этот результат используется для до- казательства однозначной разрешимости неоднородной задачи [2; 3].

В монографии [4] рассмотрена двухточечная краевая задача µu(0)−u(T) = u₀

для уравнения (1). На основе результатов о разрешимости задачи Коши пока- зана однозначная разрешимость двухточечной краевой задачи для однородного уравнения (1) (f ≡0).

Естественным обобщением приведенных выше задач является нелокальная задача вида

ZT

0

u(t)dµ(t) =u0, (2)

где функцияµ(t)— заданная скалярная функция ограниченной вариации на от- резке[0, T]. Для каждой непрерывной функцииu(t)определен интеграл Римана—

Стилтьеса из левой части (2). Если задать функцию µ(t)следующим образом:

µ(t) =

½ 0, t = 0;

1, 0< t≤T,

1Работа поддержана грантом РФФИ (код проекта 07-01-96030-р_урал_а).

Нелокальная задача для уравнения соболевского типа . . . 55 то получим задачу Коши (одноточечную задачу), а если

µ(t) =





0, t = 0;

µ, 0< t < T; µ−1, t =T,

— двухточечную краевую задачу.

Данная работа преследует две цели. Во-первых, в ней установлена разреши- мость нелокальной задачи (2) для однородного и неоднородного уравнения (1).

Кроме того, в работе исследована аналогичная задача для линейного уравнения соболевского типа

Lu(t) =˙ Mu(t) +f(t), t∈[0, T], (3) в котором оператор L ∈ L(U;F) (линейный и непрерывный) не является непре- рывно обратимым, операторM ∈ Cl(U;F)(линейный замкнутый с областью опре- деления domM, плотной в U). Здесь U и F — банаховы пространства. При этом рассмотрен случай, когда операторM (L, σ)-ограничен, а бесконечность является несущественной особой точкой [5]. Это условие, в частности, гарантирует суще- ствование аналитической в плоскости разрешающей группы однородного уравне- ния (3), как и условие ограниченности оператора A гарантирует существование такой группы для однородного уравнения (1).

В заключение приведен пример использования полученных абстрактных результатов при исследовании нелокальной начально-краевой задачи для урав- нения Баренблатта — Желтова — Кочиной.

1. Нелокальная задача

для невырожденного уравнения

Рассмотрим нелокальную задачу (2) для уравнения

˙

u(t) =Au(t), t∈[0, T], (4) в банаховом пространстве E, где оператор A∈ L(E). Уравнение (4) или соответ- ствующее ему неоднородное уравнение (3) в отличие от уравнения соболевского типа будем называть невырожденным.

Для исследования нашей задачи будем использовать следующую характе- ристическую функцию:

χ(z) = ZT

0

e^ztdµ(t).

Определение 1. Функция u ∈ C¹([0, T] ;E) называется решением задачи (2), (4), если она удовлетворяет уравнению (4) на [0,T] и условию (2).

Теорема 1. Пусть A ∈ L(E) и пусть множество σ(A) не содержит нулей функции χ(z). Тогда для любого u₀ ∈ E существует единственное решение за- дачи (2), (4), при этом оно имеет вид

u(t) = e^At



 ZT

0

e^Atdµ(t)





−1

u₀. (5)

Доказательство. В силу ограниченности оператора A при любом w0 ∈ E ре- шение задачи Коши u(0) = w₀ для уравнения (4) существует и имеет вид u(t) =e^Atw₀. Подставляем это решение в (2):

ZT

0

u(t)dµ(t) = ZT

0

e^Atw₀dµ(t) =χ(A)w₀ =u₀.

Cуществование непрерывного оператора (χ(A))⁻¹ равносильно тому, что 0 ∈/ σ(χ(A)). В силу теоремы об отображении спектра

σ(χ(A)) =χ(σ(A)) ={χ(λ) :λ∈σ(A)}

(формула (16.3.7) теоремы 16.3.5 из [1]) в условиях данной теоремы существует обратный оператор (χ(A))⁻¹. Отсюда

w0 =



 ZT

0

e^Atdµ(t)





−1

u0. (6)

Поэтому решение задачи (2), (4) имеет вид (5). В то же время для другого ре- шения u(t)ˆ этой задачи получим, что u(0)ˆ также удовлетворяет условию (6). Из единственности решения задачи Коши следует единственность решения задачи (2).

Перейдем к рассмотрению задачи (2) для уравнения (1).

Теорема 2. Пусть A∈ L(E), f ∈C([0, T];E) и множество σ(A) не содержит нулей функцииχ(z). Тогда для любогоu₀ ∈Eсуществует единственное решение задачи (1), (2), при этом оно имеет вид

u(t) =e^At



 ZT

0

e^Atdµ(t)





−1

u₀− ZT

0

Zt

0

e^A(t−τ)f(τ)dτ dµ(t)



+ Zt

0

e^A(t−τ)f(τ)dτ. (7)

Доказательство. В силу ограниченности оператора A решение u(·) уравнения (1) существует, обозначимu(0) =w₀. Тогда оно является единственным решением задачи Коши u(0) =w₀ для уравнения (1) и поэтому имеет вид

u(t) =e^Atw0+ Zt

0

e^A(t−τ)f(τ)dτ.

Подставив это решение в (2), получим ZT

0

u(t)dµ(t) = ZT

0

e^Atdµ(t)w₀+ ZT

0



 Zt

0

e^A(t−τ)f(τ)dτ



dµ(t) = u₀.

Нелокальная задача для уравнения соболевского типа . . . 57 Обратный оператор (χ(A))⁻¹ существует в силу тех же причин, что и в доказа- тельстве теоремы 1. Отсюда

w₀ =



 ZT

0

e^Atdµ(t)





−1

u₀− ZT

0

Zt

0

e^A(t−τ)f(τ)dτ dµ(t)



. (8)

Поэтому решение задачи (1), (2) имеет вид (7). В то же время для другого реше- ния u(t)ˆ этой задачи получим, что u(0)ˆ также удовлетворяет условию (8). Из единственности решения задачи Коши следует единственность решения нело- кальной задачи (2).

2. Относительно спектрально ограниченный оператор

Доказательства изложенных в этом параграфе результатов можно найти в [5; 6].

Пусть U , F — банаховы пространства, L ∈ L(U;F), M ∈ Cl(U;F). Введем обозначения

ρ^L(M) = {µ∈C: (µL−M)⁻¹ ∈ L(F;U)}, σ^L(M) = C\ρ^L(M).

Ясно, что при условии kerL∩kerM 6={0} имеем ρ^L(M) =∅.

Определение 2.Операторнозначные функции комплексного переменного(µL−

M)⁻¹, R_µ^L(M) = (µL− M)⁻¹L, L^L_µ(M) = L(µL−M)⁻¹ с областью опреде- ления ρ^L(M) будем называть соответственно L-резольвентой, правой и левой L-резольвентами оператораM.

Теорема 3. Пусть операторыL∈ L(U;F), M ∈ Cl(U;F). Тогда L-резольвента, правая и левая L-резольвенты оператора M аналитичны в ρ^L(M).

Определение 3. Оператор M называется (L, σ)-ограниченным, если

∃a >0 ∀µ∈C (|µ|> a)⇒(µ∈ρ^L(M)).

Возьмем(L, σ)-ограниченный оператор M, выберем в комплексной плоско- сти C замкнутый контур γ = {µ ∈ C : |µ| = R > a}. Тогда в силу теоремы 3 имеют смысл следующие интегралы:

P = 1 2πi

Z

γ

(µL−M)⁻¹Ldµ, Q= 1 2πi

Z

γ

L(µL−M)⁻¹dµ.

Операторы P и Q являются проекторами. Положим U⁰ = kerP, F⁰ = kerQ, U¹ = imP,F¹ = imQ. Имеем

U=U⁰⊕U¹, F=F⁰⊕F¹.

Через Lk (Mk) обозначим сужение оператора L (M) на U^k (domM_k = domM ∩ U^k), k = 0,1. Кроме того, через σ_k^L(M) будем обозна- чать множествоC\ρ^Lk(M_k) — L_k-спектр оператора M_k.

Теорема 4. Пусть оператор M (L, σ)-ограничен. Тогда (i) L_k ∈ L(U^k;F^k), k = 0,1;

(ii) M₀ ∈ Cl(U⁰;F⁰), M₁ ∈ L(U¹;F¹);

(iii) существует оператор L⁻¹₁ ∈ L(F¹;U¹);

(iv) σ₀^L(M) =∅, в частности, существует M₀⁻¹ ∈ L(F⁰;U⁰);

(v) существует аналитическая разрешающая группа операторов {U(t) ∈ L(U) :t ∈R} уравнения Lu(t) =˙ Mu(t), причем

U(t) = e^{tL−11 M1}P = 1 2πi

Z

γ

(µL−M)⁻¹Le^µtdµ.

Введем обозначения H = M₀⁻¹L₀ ∈ L(U⁰), S = L⁻¹₁ M₁ ∈ L(U¹). Для опера- торнозначной функции (µL−M)⁻¹ бесконечно удаленная точка является

(i) устранимой особой точкой, если H =O;

(ii) полюсом порядка p∈N, еслиH^p 6=O, а H^p+1=O;

(iii) существенно особой точкой, если ∀p ∈ N H^p 6= O.

Через O здесь обозначен нулевой оператор, определенный на подпростран- стве U⁰.

Определение 4. (L, σ)-ограниченный оператор M назовем:

(i) (L,0)-ограниченным, если бесконечность является устранимой особой точкой L-резольвенты оператора M;

(ii) (L, p)-ограниченным, если бесконечность является полюсом порядка p∈ N L-резольвенты оператораM;

(iii) (L,∞)-ограниченным, если бесконечность является существенно особой точкой L-резольвенты оператора M.

Обозначим N0 =N∪ {0}.

Теорема 5. [6] Пусть оператор M (L, p)-ограничен, p ∈ N₀. Тогда для лю- бой функции f : [0, T] → F, такой, что Qf ∈ C([0, T];F), f⁰ = (I − Q)f ∈ C^p+1([0, T];F), и для любого начального значения

u0 ∈Pf = (

u∈U: (I−P)u=− Xp

k=0

H^kM₀⁻¹f^0(k)(0) )

существует единственное решение u∈ C¹([0, T];U) задачи Коши u(0) =u₀ для уравнения (3), при этом

u(t) =U(t)u₀+ Zt

0

U(t−s)L⁻¹₁ Qf(s)ds− Xp

k=0

H^kM₀⁻¹((I−Q)f)^(k)(t).

Нелокальная задача для уравнения соболевского типа . . . 59

3. Нелокальная задача

для уравнения соболевского типа

Рассмотрим нелокальную задачу (2) для операторно-дифференциального уравнения соболевского типа

Lu(t) =˙ Mu(t). (9)

Теорема 6. Пусть оператор M (L, p)-ограничен, p∈N₀, и множество σ^L(M) не содержит нулей функции χ(z). Тогда для любого u₀ ∈ U¹ существует един- ственное решение краевой задачи (2), (9), при этом оно имеет вид

u(t) = e^St



 ZT

0

e^Stdµ(t)





−1

P u₀. (10)

Доказательство. Редуцируем задачу (2), (9) к двум краевым задачам на двух подпространствах. Подействуем на обе части равенств (2), (9) непрерывными операторами QиL⁻¹₁ Qсоответственно и получим задачу вида (2), (4) на подпро- странстве U¹:

ZT

0

u¹(t)dµ(t) =u¹₀, u˙¹(t) = Su¹(t).

Верхний индекс означает проектирование на соответствующее пространство (U¹ или U⁰). Заметим, чтоσ(S) =σ^L(M)в силу теоремы 4 (iv), и применим теорему 1. Для этого достаточно переобозначить A=S, u0 =u¹₀ =P u0. Отсюда получим формулу (10).

Подействовав же на обе части уравнений (2), (9) операторами I − Q и M₀⁻¹(I−Q)соответственно, получим сингулярную задачу на пространстве U⁰

ZT

0

u⁰(t)dµ(t) =u⁰₀, Hu˙⁰(t) = u⁰(t). (11)

Продифференцируем p+ 1 раз уравнение из системы (11) и подействуем на него оператором H столько же раз. Обозначая при этом d/dt = D, получим цепочку равенств

u=HDu= (HD)²u=. . .= (HD)^p+1u=D^p+1H^p+1u= 0,

так как по условию теоремыH^p+1 =O. Здесь использована также непрерывность оператораH. Следовательно, задача (11) имеет нулевое решение при u⁰₀ = 0 и не имеет решения в противном случае.

Замечание 1. Попутно мы доказали, что дляu₀ ∈/ U¹ задача (2), (9) решения не имеет.

Наконец, рассмотрим нелокальную задачу (2) для уравнения (3).

Теорема 7. Пусть оператор M (L, p)-ограничен, p ∈ N0, Qf ∈ C([0, T];U), f⁰ = (I−Q)f ∈C^p+1([0, T];U)и множествоσ^L(M)не содержит нулей функции χ(z). Тогда для любого

u₀ ∈P_f =



u∈U: (I−P)u=− Xp

k=0

H^kM₀⁻¹ ZT

0

f^0(k)(t)dµ(t)





существует единственное решение краевой задачи (2), (3), которое имеет вид

u(t) =e^St



 ZT

0

e^Stdµ(t)





−1

P u₀ − ZT

0

Zt

0

e^S(t−τ)L⁻¹₁ Qf(τ)dτ dµ(t)



+

+ Zt

0

e^S(t−τ)L⁻¹₁ Qf(τ)dτ − Xp

k=0

H^kM₀⁻¹((I−Q)f)^(k)(t). (12) Доказательство. Как и при доказательстве теоремы 6, редуцируем нашу задачу к двум задачам на разных подпространствах:

Hu˙⁰(t) = u⁰(t) +M₀⁻¹f⁰(t), ZT

0

u⁰(t)dµ(t) = u⁰₀; (13)

u˙¹(t) =Su¹(t) +L⁻¹₁ f¹(t), ZT

0

u¹(t)dµ(t) =u¹₀. (14) По теореме 2 задача (14) имеет единственное решение, которое дают первые два слагаемых в формуле (12). Надо только заметить, что по теореме 16.3.5 (формула (16.3.7)) из [1] и по теореме 4 справедливы равенства

e^σL(M) =e^σL1(M1) =e^σ(S)=σ(e^ST).

ОбозначимM₀⁻¹f⁰(t) = g(t),d/dt =D. Продифференцировав уравнение (13) и подействовав на него оператором H, получим

HDu⁰ = (HD)²u⁰−HDg =D²H²u⁰−HDg =u⁰+g.

Следовательно, u⁰ = D²H²u⁰ −HDg−g. На это уравнение также подействуем оператором HD. Аналогичным образом получим, что u⁰ = D³H³u⁰ −H²D²g− HDg−g. Продолжая этот процесс, придем к равенству

u⁰ =D^p+1H^p+1u⁰− Xp

k=0

H^kg^(k) =− Xp

k=0

H^kg^(k).

Таким образом, мы получили необходимый вид решения уравнения (13). При этом использовалась непрерывность оператора H и непрерывность оператора

Нелокальная задача для уравнения соболевского типа . . . 61 M₀⁻¹, которая вкупе с условиями теоремы дает принадлежность функцииg клас- су C^p+1([0, T],U). Осталось заметить, что g^(k)=M₀⁻¹f^0(k).

Подставим в краевое условие полученное решениеu⁰(t) и придем к необхо- димому условию разрешимости задачи (13)

− ZT

0

Xp

k=0

H^kM₀⁻¹f^0(k)(t)dµ(t) = − Xp

k=0

H^kM₀⁻¹ ZT

0

f^0(k)(t)dµ(t) = u⁰₀.

Решением задачи (2), (3) является сумма полученных нами решений, где u0 = (I−P)u0+P u0 =u⁰₀+u¹₀.

Замечание 2.Попутно доказана необходимость принадлежностиu₀ ∈P_f в усло- виях теоремы 6 для разрешимости задачи (2), (3).

4. Нелокальная задача для

уравнения Баренблатта — Желтова — Кочиной

Применим теорему 7 к исследованию задачи ZT

0

u(x, t)dµ(t) = u₀(x), x∈Ω, (15)

u(x, t) = 0, (x, t)∈∂Ω×R, (16) для уравнения Баренблатта — Желтова — Кочиной, описывающего фильтрацию жидкости в трещиновато-пористой среде [7]

(λ−∆)ut(x, t) =α∆u(x, t) +f(x, t), (x, t)∈Ω×R. (17) Здесь µ(t) — заданная скалярная функция ограниченной вариации на отрезке [0, T], λ∈R\ {0},α ∈R, Ω⊂R^m — ограниченная область с границей ∂Ω класса C^∞.

Редуцируем эту задачу к задаче (2), (3). Положим F = L2(Ω), U = {u ∈ W₂²(Ω) :u(x) = 0, x∈∂Ω}, L=λ−∆, M =α∆∈ L(U).

Через {ϕ_k : k ∈ N} обозначим ортонормированные в смысле скалярного произведенияh·,·i вL₂(Ω) собственные функции задачи Дирихле для уравнения Лапласа в области Ω, занумерованные по невозрастанию собственных значений λ_k с учетом их кратности. Обозначим такжеΛ₀ ={k :λ_k=λ},Λ₁ ={k :λ_k 6=λ}.

Теорема 8. Пусть X

k∈Λ0

hf(·, t), ϕ_k(·)iϕ_k ∈C¹([0, T];L₂(Ω)),

X

k∈Λ1

hf(·, t), ϕk(·)iϕk ∈C([0, T];L2(Ω)

и для всех k ∈Λ₁ выполняется χ

³ αλk

λ−λk

´

6= 0. Тогда для любого u₀ ∈



u∈U:−αλhu, ϕ_ki= ZT

0

hf(·, t), ϕ_k(·)idµ(t), k∈Λ₀





существует единственное решение задачи(15) — (17), при этом оно имеет вид u(x, t) =−X

k∈Λ0

hf(·, t), ϕ_k(·)iϕ_k(x)

αλ +

+X

k∈Λ1

e^{λ−αλktλk} RT

0

e^{λ−αλktλk}dµ(t)

*

u₀(·)− ZT

0

Zt

0

e^{αλkλ−(t−τ)λk} f(·, τ)

λ−λ_k dτ dµ(t), ϕ_k(·) +

ϕ_k(x)+

+ Zt

0

X

k∈Λ1

e^{λ−αλkλk(t−τ)}hf(·, τ), ϕ_k(·)iϕ_k(x) λ−λ_k dτ.

Доказательство. В работе [5] показано, что в условиях данного параграфа опе- раторM (L,0)-ограничен. При этом

σ^L(M) =

½ αλ_k λ−λk

:k ∈Λ₁

¾ ,

U⁰ = span{ϕk :k ∈Λ0}, U¹ = span{ϕk :k ∈Λ1} — замыкание в смысле простран- ства U. Осталось сослаться на теорему 7.

Список литературы

1. Хилле, Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Филлипс.— М. : Иностр. лит., 1962.

2. Далецкий, Ю. Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банахо- вом пространстве/ Ю. Л. Далецкий, М. Г. Крейн.— М. : Наука, 1970.

3. Мизохата, С. Теория уравнений с частными производными / С. Мизохата.— М. : Мир, 1977.

4. Иванов, В. К. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи/ В. К. Иванов, И. В. Мельникова, А. И. Филинков.— М. : Наука, 1995.

5. Свиридюк, Г. А. Линейные уравнения соболевского типа / Г. А. Свиридюк, В. Е. Федоров.— Челябинск : Челяб. гос. ун-т, 2003.

6. Sviridyuk, G. A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators/ G. A. Sviridyuk, V. E. Fedorov.— Utrecht ; Boston : VSP, 2003.

7. Баренблатт, Г. И. Об основных представлениях теории фильтрации в трещи- новатых средах / Г. И. Баренблатт, Ю. П. Желтов, И. Н. Кочина // Приклад.

математика и механика.— 1960.— Т. 24, № 5.— С. 58—73.