А. П. Южаков, Разложение Лагранжа для ветвей много- значной неявной функции, Изв. вузов. Матем., 1982, но- мер 4, 82–86

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

А. П. Южаков, Разложение Лагранжа для ветвей много- значной неявной функции, Изв. вузов. Матем., 1982, но- мер 4, 82–86

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразу- мевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

6 ноября 2022 г., 11:24:48

1982 МАТЕМАТИКА № 4 (239)

А. П. Южаков

У Д К 517.522

Р А З Л О Ж Е Н И Е Л А Г Р А Н Ж А Д Л Я В Е Т В Е Й М Н О Г О З Н А Ч Н О Й Н Е Я В Н О Й Ф У Н К Ц И И

1°. П у с т ь

f(w,

г)—голоморфная функция в окрестности точки (О, 0) £ С²,

/ ( О , 0 ) = 0 . Если / ^ ( 0 , 0 ) = 0 , / ( 0 , г)ф0, то в окрестности точки ( 0 , 0 ) урав­

нение

f (w,

^{г )} = 0 (1.1)

определяет многозначную неявную функцию г = ф(да), с о с т о я щ у ю из конеч­

ного числа ветвей, каждая из которых представляется рядом вида

со

c

^Jk

w

^у, у ' = 1 , . . . , г. (1.2)

k=k-

Заметим, что г равно числу различных неприводимых множителей функции / в точке ( 0 , 0 ) ([1], § 4), т1 + ... фтг = т есть к р а т н о с т ь нуля функции / ( 0 , z) в точке 0 .

Числа ntj и коэффициенты с; 7 ; могут быть найдены с помощью рекуррент­

ного метода диаграммы Н ь ю т о н а (см. [2], [3]). Различные методы разрешения особенностей (см. [4]) позволяют свести нахождение ветви (1.2) к решению уравнения вида (1.1) в случае /'г(0, 0)ф0. Д л я некоторых частных случаев уравнения (1.1) (многозначное обращение голоморфной функции ([5], с. 459) в случае

f'

^z

(0,

0 )

ф

0 и некоторых других [ 6 ] ) имеются обобщения ряда Лагран- жа [5], которые дают явные формулы коэффициентов ряда (1.2).

В данной з а м е т к е показывается, что для каждой вершины ломаной Н ь ю ­ тона ряда Тейлора функции

f(w,z)

можно построить аналог ряда Лагранжа, который выражает сумму решений уравнения (1.1), с о о т в е т с т в у ю щ и х части ломаной Н ь ю т о н а , ограниченной данной вершиной. Это позволяет найти все однозначные ветви (1.2), имеющие различные первые члены, как разности с о о т в е т с т в у ю щ и х рядов Лагранжа. Р я д Лагранжа для произвольной ветви (1.2) можно получить, если предварительно найти н е к о т о р о е конечное число ее членов с помощью диаграммы Н ь ю т о н а . • , '

2°. П у с т ь

f(w,z)= 2 a

^kqWk

z« ( 2 . 1 )

k+q>0

—ряд Тейлора функции / в точке ( 0 , 0 ) . Будем предполагать, что не все a^uq и ak0 равны нулю (в противном случае / имеет множителем w или z, на ко­

торые уравнение (1.1) можно сократить). П у с т ь (о^, fy) (у' = 0 , 1 , . . . , / ) — п о с л е ­ довательные вершины ломаной Ньютона. Очевидно, а⁰ > а,¹ > ... > a^t = 0 , р\, = 0 < р, < ... < ^ = т. Любая точка (k, q), для которой akq ф 0 , у д о в л е т в о р я е т неравенствам

( А - а/) ( р;- ^ _1) + ( ^ - р/) ( а/_1- ау) > 0> У = 1 , . . . , / , (2.2) причем у'-е равенство достигается лишь в точках (к, q), лежащих на ребре

[(ос^;_!, (а.), Р^;-)] ломаной Н ь ю т о н а . Как известно (см. [2]—[4]), ребру [ ( а;_ ! , P/_i), ( а;, Р/)] соответствует —Р/—i решений уравнения (1.1):

<Ptt (w) = cv wlj + . . . , [х = + 1,... , p;, (2.3) где >7 = ( a;_t - a;)/(fy - p;_ , ) .

И м е ю т место следующие теоремы.

Р а з л о ж е н и е Л а г р а н ж а 8 3

Т е о р е м а 1.

Пусть

(а,

§)—вершина ломаной Ньютона ряда

(2.1), р > 0.

Тогда сумма решений вида

(2.3)

уравнения

(1.1) д л я р . = = 1 , . . . , р е с т ь га/го-

морфная функция в окрестности точки да === 0 и выражается рядом

% (да) = ?i (да) + ... + <р³ (да) =

1]

л ( я р — 1 ) ! д г п=\

л З - 1

г= 0

(2.4)

где g ( w , z) = f (да, г) — да" z?J.

Т е о р е м а 2.

Функция

(2.4)

выражается степенным рядом

со

Ф , ( д а ) = 2 ^ ^ , (2.5)

коэффициенты которого вычисляются по формуле

N(P)

11=1

л ( л ? — 1 ) ! (т + р)! dz'*~x d wm+p (0, о)

(2.6)

(оценку (3.9) для N(p) см. ниже).

Т е о р е м а 3.

Коэффициенты ряда

(2.5)

через коэффициенты ряда

(2.1)

выражаются формулой

* , _ 2 ( - , у * | 1 н ь ш п тЬ-**.)"*-

⁽²

-

⁷⁾

S ^ ('ft, <7Ж*,[3) , < 7

где суммирование ведется по всевозможным наборам

S ===== \s^kq: a^kq ф 0, (Л, ?) Ф (а, Р), | S | = 2 ^ ^? > 0}

неотрицательных целых чисел, удовлетворяющих равенствам

%s^kqk = \S\* +р, 2 « * ^ = | 5 | р - 1 . (2.8)

5 S

С л е д с т в и е . Если р^у- — ^х ===== 1, то однозначная ветвь ср,,.(да), соответ­

ствующая ребру [ ( a^y_ j , р^;-_]), ( а⁷, р^;) ] ломаной Н ь ю т о н а ряда (2.1), равна

г = 9 (да) = Ф (да) - Ф (да), (2.9)

ч ч ^ч-i

где Ф, (да), Ф⁰ (да) находятся по формулам (2.4) —(2.8). В частности, если

Ч Ч-i

РУ ===== 1» то. с?! (да) == Ф! (да).

З а м е ч а н и е . Если Р; — P; _ i > l , то вычисляя коэффициент с{1 в (2.3) методом неопределенных коэффициентов и делая замену z == z + с да^>7', да = да

1

где vj—знаменатель Х^, через конечное число шагов получим уравнение, для которого оставшаяся часть ряда (2.3) в новых переменных является решением, удовлетворяющим условиям следствия. Таким образом, ряд (2.3), начиная с некоторого члена, может быть вычислен по формулам (2.4)—(2.9).

3°. Л е м м а .

Для любой вершины

(а, р)

ломаной Ньютона ряда

(2.1)

най­

дется число X такое, что при любом достаточно малом о > 0 на остове

Г = {(да, г) : |да[==8, 12J ===§''} будет выполняться неравенство

\g(w, z)\ = \f(w, z) — a

^a?

w

^a

z

^?

\<\a

^a?

w

^a

z

^?

\. (3.1)

Д о к а з а т е л ь с т в о . П у с т ь ( a ' , р ' ) , (a", р") —вершины ломаной Н ь ю т о н а , соседние с (a, р), а! > а > а", Р' < Р < Р". Из (2.2) следует, что (а' — а)/(р - р ' ) >

> (а — а")/(р" — р). Возьмем число X, удовлетворяющее неравенству

> ' - * ) / ( Р - Р') = > > • ' > > • " = ( « - « W - P ) - ' (3.2) Если ( а , р) —крайняя точка (а = 0, Р = я г ) , то возьмем ( а ' — а ) / ( р — р') > X > 0.

Представим g(w, г) в виде

т

g (да, z) = 2 да"'' z' 2 а,, да"""'' + г ' "+ 1 2 a^kr w^k z^r-^m~\

Так как точки « р'), (а, р), (а", р " ) лежат на ломаной Н ь ю т о н а ряда (2.1), то пары чисел (/?,, г ) у д о в л е т в о р я ю т неравенствам

( Л - « ) / ( Р - г) > > ' - « ) / ( ? - ? ' ) > * . г < р ;

(а - ^Л) / (^Г - р) < ( а - а")/(Р" - Р) < X , г > р, а следовательно, и неравенствам

Р^г + ^ > « -I- *Р, г = 0 , . . . , т, т + 1 (3.3) (для г = р и г = /ге + 1 неравенство (3.3) очевидно, т . к . р^? = а + 1, / ? „^{г + 1} =

—•An — 0). В д о с т а т о ч н о малом бикруге {(да, z): \ да | < р, | г | < р } суммы 2 a^krw^{K Рг}, 2

а

^кг да~^{к „г—т—Х}

z

к>р^г fe>0, г>пг

ограничены некоторым числом М. При 0 < S < m i n { p , р^{1 / х}} на Г выполняется неравенство

/я + 1 т+1

I g (да, ,г) | < М JJ 8^

^{+ >}

" = | а

^{а 5 ш}

- г ^ ^ У ] а''

^+Х

—

^М

. (3.4)

«•=0 ^И г=0

Из (3.3) и (3.4) следует, что при д о с т а т о ч н о малом 8 выполняется неравен­

ство (.'3.1).

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м 1—3. Согласно принципу^ Р у ш е [5] из леммы следует, что для | д а | . = 8 уравнение (1.1), к о т о р о е можно записать в виде

а^а^";г^? + g(w, z) = 0,

имеет в круге J .г j = S^x ровно р решений: г= = Ф (да), р, = 1,..., р . Эти решения с о о т в е т с т в у ю т ребрам [(«;_!, P⁷- _ i ) , (^{а ;}- , Р / ) 1 , Р / < Р. ломаной Н ь ю т о н а ряда (2.1).

Д е й с т в и т е л ь н о , для этих решений в разложении вида (2.3) показатель первого члена Xj удовлетворяет неравенству Х^; = = ( а ^ — а ^ ) / ( р^;. ^ p^;_ j ) > ( а ' — а ) / ( р ~ р ' ) > Х .

Следовательно, эти решения при |да| = 8, где 8 д о с т а т о ч н о мало, удовлетво­

ряют неравенству | ер (да) | < Ь^}. Т о ч н о так же видно, что решения ^ (да), Р = Р + 1 , . . . , т, лежат вне круга | г | < 8 . По теореме о логарифмическом вы­

чете сумма решений уравнения (1.1), лежащих в круге | г | < 8 \ выражается формулой

Ф (w) = > ср, (да) = \ — - , (3.5) pv

> ц

т,,л / ^2К/ J ,f{w, z)

где т = {z: \z\ = 8 }. В силу компактности Г неравенство (3.1) справедливо в некоторой окрестности цикла Г. Поэтому при фиксированном 8 интеграль­

ное представление (3.5) определяет Ф^|5(да) как голоморфную функцию в неко­

торой окрестности окружности |да|==8. Меняя непрерывно о, 0 < 8 < 8⁰, полу­

чим, что функция Фр(да) голоморфна в проколотой окрестности 0 < | д а | < 8⁰. А т. к. функция Ф³ (да) ограничена, т о она голоморфно продолжается в полную окрестность | д а | < 3⁰. Ввиду (3.1) д р о б ь 1 / / на Г можно р а з л о ж и т ь в р я д геометрической прогрессии

Р а з л о ж е н и е Л а г р а н ж а 8 5

S

(— 1 ) " g " (w, z)

/ ( д а , z) йа 9 ад"' z'J [1 + g (ж, z)/a^r;S wa z' ] U

' '' n= 0

Подставляя (3.6) в (3.5), получим

ф„ ( д а ) = > : r r - h - r r — I — ^; JJTTT)

n=0 т

2j 2 и а да д J з?п Li 2 « д аа'г "J

По формуле интегрирования по частям имеем

С 'iz Г ,g" (1 — {in) rfg

т к Таким образом, получим ряд

совпадающий с (2.4).

Покажему что члены ряда (3.7)—голоморфные функции в окрестности точки да==0. Д е й с т в и т е л ь н о ,

Cgⁿ(w,z)dz yi f - wki⁺-^+kn ~ ^mdg

T T

Интеграл под знаком суммы отличен от нуля лишь при гф — г^х — ... — г„ = 1.

Н о тогда согласно (3.3)

#i + ... + кп — т. > Х(яр — г, — ... — г„) = \ > 0.

Раскладывая (3.7) в ряд Тейлора, получим (2.5), где

. ⁼ \_ С % (^{д а})^dw' ^ y \ ( - 1 ) " Г g " (ад, г) rfw л п .

р~ 2та J ад^+' n(2uf J ' t A° ' '

I w 1 = 6 / г = 1 Г

Нетрудно показать, что при га > N(p), где

/V(p) = ( p - X ' 0 m a x { l , 2 / ( X ' - r ) } , (3.9) члены ряда (3.8) равны нулю. Таким образом, из (3.8) получим (2.6).

Наконец, подставляя в (3.8) разложение в степенной ряд функции g(w,z), возводя этот ряд в степень п и производя почленное интегрирование, полу­

чим (2.7).

4°. П р и м е р 1. Найдем все ветви неявной функции, определяемой в окрест­

ности точки ( 0 , 0 ) уравнением

да3 —

awz

+ г3 = 0. (4.1)

Ломаная Н ь ю т о н а [(3, 0), (1, 1), 0, 3)] здесь состоит из двух ребер. Первому из них соответствует однозначная ветвь z = w2/a + . . . , второму— двузначная z = = ц '(/"'ада + ... Первая ветвь, с о о т в е т с т в у ю щ а я вершине ( 1 , 1 ) , .'при а = = 3 найдена в [6]. Для произвольного а аналогично получается

°,п—1

Zj

^к ! (2А + 1 ) ! [а

£=0

Чтобы получить вторую ветвь, сделаем в (4.1) замену переменных z=Yaw + z^r, Уw = t. Получим уравнение

z? + 3 Vatz\ +

2at

²

z

^x

+t

⁶

= 0.

(4.2)

Вторая ветвь в новых переменных соответствует ребру [(6, 0), (2, 1)] ломаной Ньютона уравнения (4.2) и находится как ряд Лагранжа, с о о т в е т с т в у ю щ и й вершине ( 2 , 1 ) . _Положим а = 2, Р == 1, а^{2 1} == 2а, g(t, z,) = z\ + 3]/~atzi + t⁶, а^{0 3} = 1, а^{1 2} = 2>V&, « 6 o = l ' ^so 3 = s, si 2 = ^r, s^{6 0} = a. Тогда по формуле (2.7) получим ,

у ⁽_ ¹y⁺ ^⁽> + r + g_ ¹⁾ ,

р s ! / - ! f l ! ( 2 a ) 'y+ ' " + ? "

где суммирование ведется по всем наборам неотрицательных целых чисел s, г, q, s + г + q > 0, удовлетворяющих равенствам

6a + r = 2 ( s + r

+ q) + p, Ss + 2r = s + r + q — l.

(4.3) Система (4.3) имеет решения лишь для p = 3q + l, q — l, 2 , . . . При фиксиро­

ванных s и g найдем r = q — 2s—\, 0 < s < (а — 1)/2. Таким образом, после некоторых преобразований и перехода к первоначальным переменным получим вторую (двузначную) ветвь

со

г = Yalv +-V (™)^(Sq+l)l2 (l)"-¹ _ L У ^{( — DJ- ' ( 2 g} — J — 2 ) 1 / 2 V ⁼ 2 h \ a ) \ i ) ql U s \ ( q - 2 s - \ ) \ \ 9 )

9 = 1 0 <S < ( < / - 1 ) / 2

— ' w2 3a [w \ 7 /² • a [w \5 ,

aw — — + •••

2a 8 \aj 2 \ a )

П р и м е р 2. Найдем все однозначные ветви неявной функции z=<?(w), определяемой уравнением

w

^s

+ w

⁵

z + w

³

z

²

+ w

²

z

^z

+ wz

⁷

+ z

¹⁰ = 0, в окрестности точки (0, 0). Имеются три однозначные ветви, с о о т в е т с т в у ю щ и е части [(8, 0), (5, 1), (3, 2), (2, 3)] ломаной Н ь ю т о н а . По формулам (2.5), (2.7) найдем ряды Лагранжа, соответствующие вершинам (5, 1), (3, 2), (2, 3) ломаной Н ь ю ­ тона:

Ф, (w) = - w

³

- w

⁴

- 2w

⁵

- 4w

^e

- 9w

⁷

- 21w* - 5lw

^s

- \27w

^w

+ ...,

Ф² (да) = _ ^{w 2}

—

да³ _ ^{w 4}

- 2w

⁵

— 4w

⁶

— 9zv

⁷

— 2lw

^s — 51да⁹ — 128да^{1 0} + ... , Ф³ (да) = —

w — w

⁴

— 4w

⁵

— 2w

⁶

— 5w

⁷

+ 37w

^s

— 67w

⁹

+

4 8 9 w^{1 0} + ...

Отсюда согласно следствию найдем однозначные ветви:

Ф,

(w)

= Ф,

(w),

Ф²

(w)

= Ф²

(w)

—

Фу [w) = — w

²

— w

^w

+ ...,

Ф³ (да) = Ф³ (да) — Ф² (да) = _ да + да² + ^{w s}

— 2w

⁵

+ 6w

⁶

+ \4w

⁷

+

+ 5 8 д а⁸- 1 6 д а⁹ + 617гу^{1 0} + ...

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Ф у к с Б . А . Т е о р и я а н а л и т и ч е с к и х ф у н к ц и й м н о г и х к о м п л е к с н ы х п е р е м е н н ы х . Ч . 1 . В в е д е н и е в т е о р и ю а н а л и т и ч е с к и х ф у н к ц и й м н о г и х к о м п л е к с н ы х п е р е м е н н ы х . — М . , 1 9 6 2 . — 4 2 0 с .

2 . Ч е б о т а р е в Н . Г . Т е о р и я а л г е б р а и ч е с к и х ф у н к ц и й . — М . — Л . , 1 9 4 8 . — 3 9 6 с.

3 . В а й н б е р г М . М . , Т р е н о г и й В . А . К т е о р и и в е т в л е н и я р е ш е н и й н е л и н е й н ы х у р а в ­ н е н и й . — У М Н , 1 9 6 3 , т . X V I I I , в ы п . 5 , с. 2 2 3 — 2 2 4 .

4 . Б р ю н о А . Д . Л о к а л ь н ы й м е т о д н е л и н е й н о г о а н а л и з а д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х у р а в н е н и й . — М . , 1 9 7 9 . — 2 5 2 с .

5 . М а р к у ш е в и ч А . И . Т е о р и я а н а л и т и ч е с к и х ф у н к ц и й . Т . 1.—2-е и з д . — М . , 1 9 6 7 . — 4 8 6 с . 6. Ю ж а к о в А , П . О п р и м е н е н и и к р а т н о г о л о г а р и ф м и ч е с к о г о в ы ч е т а д л я р а з л о ж е н и я н е я в н ы х ф у н к ц и й в с т е п е н н ы е р я д ы . — М а т е м . с б . , 1 9 7 5 , т . 9 7 ( 1 3 9 ) : 2 , с . 1 7 7 — 1 9 2 .

г. К р а с н о я р с к П о с т у п и л а

10 II 1 9 8 1