All Russian mathematical portal

Math-Net.Ru

All Russian mathematical portal

A. L. Smirnov, Torus schemes over a discrete valuation ring, Algebra i Analiz, 1996, Volume 8, Issue 4, 161–172

Use of the all-Russian mathematical portal Math-Net.Ru implies that you have read and agreed to these terms of use

http://www.mathnet.ru/eng/agreement Download details:

IP: 178.128.90.69

November 6, 2022, 11:29:12

Том 8 (1996), вып. 4

ТОРИЧЕСКИЕ СХЕМЫ НАД КОЛЬЦОМ ДИСКРЕТНОГО НОРМИРОВАНИЯ

© А. Л . Смирнов

Построена теория торических схем над кольцом дискретного нормирования, от­

личие которых от классических торических схем состоит в возможности вы­

рождения слоя. Данная теория применяется для оценки числа тех решений в неархимедово нормированном поле системы уравнений f\(x\,...,xn) = О, • , fn(xi,... ,x„) = 0, для которых каждая из координат ж; имеет фиксированный порядок. Ответ дан в терминах многогранников Ньютона полиномов / i , . . . , / „ .

Введение

Классические торические схемы определены над любой базой [1]. Однако так построенные семейства торических многообразий являются, неформально говоря, постоянными. Например, если база является многообразием, то име­

ет смысл говорить о постоянных семействах и классические торические схемы именно таковы. Конечно, торические многообразия не могут иметь модулей, но семейства таких многообразий могут иметь вырождения. Именно такая теория и строится в данной статье. В качестве базы таких непостоянных деформаций выступает простейший одномерный объект, а именно спектр кольца дискрет­

ного нормирования.

Во второй части работы построенная теория применяется для решения следующей задачи. Пусть С алгебраически замкнутое поле с неархимедовым нормированием ord : С* —• Q; / i , . . . , /„ полиномы над С от переменных Фиксируем некоторые рациональные числа vi,...,v„. Вопрос состо­

ит в том, сколько решений (с учетом кратностей) имеет система уравнений /i(xi,...,x„) = ••• = fn(xi,...,xn) - 0 при условии, что ord a; i = u1,...,ordx„ = vn. Для ответа на этот вопрос рассмотрим для каждого полинома /, его мно­

гогранник Ньютона Г,- с R х Е". Рассмотрим вектор v = (l,vi,...,v„) в этом

Ключевые слова: торическая схема, многогранник Ньютона, дискретное нормирование.

Работа поддержана РФФИ (проект No 94-01-00915), а также Volkswagen Foundation.

11 Алгебра и анализ № 4, 1996 г. 161

пространстве и обозначим через Д,- опорную грань Г; в направлении вектора v. Доказано, что если система достаточно хорошая, то число искомых решений равно п\ vol(Д1,..., Дп) , .где vol смешанный объем, Д; ортогональная проекция в К" многогранника Д;. Кроме того, для произвольной системы число изоли­

рованных решений не превосходит указанной величины.

Заметим, что два частных случая этого утверждения хорошо известны. Во- первых, это случай п = 1 (см. 1.3.2). Во-вторых, в качестве нормирования ord можно взять тривиальное нормирование С (т.е. ord х = 0 для х ф- 0). В этом случае речь идет о нахождении числа тех решений [х\,..., х^п), для которых все х{ отличны от нуля. Наше утверждение совпадает в этом случае с теоремой Бернштейна-Кушниренко [2].

Автор благодарит И. А. Панина и А. А. Суслина за полезные обсуждения.

§1. Многогранники Ньютона

(1.1) Обозначения. Пусть К поле, ord: К* —* Q дискретное нормирование, R кольцо целых поля К относительно нормирования ord, ЯЯ максимальный идеал R, F = R/9R поле вычетов. Обозначим через 7г некоторый униформизующий элемент кольца R. Пусть С алгебраическое замыкание К. Считаем, что норми­

рование ord продолжено до нормирования С —» Q, которое будем обозначать тем же символом.

Пусть L = •if[y1,yi - 1,...,y„,yn~1] алгебра полиномов Лорана. Элементы L будем записывать в виде / = ^2amYm, где мультистепень т = ( mb. . . , mn) пробегает решетку Z", а У"¹ = У™¹ . . . У^пт".

(1.2) Операции с многогранниками. Введем пространства, в которых будут рас­

полагаться интересующие нас многогранники. Пусть W = Rn + 1. Будем считать, что W снабжено стандартным скалярным произведением (-,-). Зафиксируем разложение W = Ее ф W, где е = ( 1 , 0 , . . . , 0) и W = {we W \ {w, e) = 0 } . Для w e W обозначим через w0 число (w,e), т.е. е-координату вектора w, и через w ортогональную проекцию w в пространство W.

Свяжем с каждым Г с W несколько других подмножеств W.

Г = { £ ] « < = Г}; Г⁺ = {ш + А е | и > е Г , А > 0 } . (1.2.1) Введем обозначение для опорной грани Г в направлении v.

I » =• {w Е Г | (v,w) = mm(v,s)}. (1.2.2) sgr

Эти конструкции пояснены на рисунке в примере 1.3.2.

(1.3) Многогранники Ньютона. Укажем связь между L и W. Пусть / е L по­

лином Лорана: / = ^2a^mY^m.

(1.3.1) Определение, (а) Для каждого т е Ъп такого, что ат ф 0, отметим в W точку ( o r d a^m, m ) . Объединение всех этих точек называется носителем / и обозначается s u p p / ;

(б) многогранником Ньютона полинома / называется выпуклая оболочка множества ( s u p p / )+;

(в) для A cW символом / д обозначается сумма тех мономов amYm, носи­

тель которых лежит в А.

(1.3.2) Пример. Пусть К = Q^p, ord стандартное р-адическое нормирование, п = 1. Следующий рисунок послужит нам для иллюстрации некоторых понятий и утверждений.

I I T I I I t I ' • ' ' ,

А В С Рис. 1.

(а) Во-первых, укажем координаты всех ключевых точек: А = (2,2), В = (4,1), С = (7,3). Соответствующие точки А, В и С отмечены на горизонтальной оси.

Символами Ai и Д2 обозначены отрезки АВ и ВС соответственно. Много­

гранники Д+ и Д ^ выделены штриховкой; д \ = АВ; Д2 = ВС.

(б) Пусть / = p2Y2 - pY4 + p3Y7; s u p p / - {А, В, С}. Многогранником Нью­

тона / является многогранник Г = Af U Д2"; / д² = p³Y⁷ - pY⁴..

(в) Поясним утверждение теорем 3.2.2 и 3.4.1 на этом примере. Предполо­

жим, что нас интересует число тех решений уравнения /(у) = 0 в поле Q^p, для которых ord у = 1/2. Для того чтобы найти это число, рассмотрим вектор v с координатами (1/2,1) и рассмотрим опорную грань Г в направлении вектора v. В данном случае это Д ^ Факт состоит в том, что искомое число равно длине отрезка Дх, т.е. в данном случае равно 2.

§2. Торические й-схемы

Здесь мы сохраняем обозначения предыдущего параграфа.

(2.1) Допустимые многогранники. Обычные торические многообразия можно строить по выпуклым целочисленным многогранникам (см. [1]). Торические Л-схемы строятся по выпуклым многогранникам в W, которые направлены вверх и удовлетворяют некоторым условиям целочисленности. Приведем точ­

ное определение.

(2.1.1) Определение. Пусть Г пересечение конечного числа замкнутых полупро­

странств в W. Будем называть Г допустимым многогранником, если выполнены следующие условия:

(а) Г = Г+, Г ограничен в W, проекция Г на е-ось ограничена снизу, проекции всех вершин Г в W имеют целые координаты;

(б) если точка w принадлежит некоторой ограниченной грани Г и q > 0 про­

извольное натуральное число, то условие qw £%п влечет, что (qw)0 £ ord(K*).

Замечание. Свойство (б) из определения допустимого многогранника зави­

сит от поля К. Однако если многогранник Г удовлетворяет свойству (а) и е-координаты всех вершин Г лежат в ord(К*), то Г допустим по отношению к некоторому конечному расширению поля К.

(2.2) Конструкция торических схем. Пусть Г допустимый многогранник. Будем предполагать, что dim Г = п + 1. Положим Г[д] = дГ для q > 0 и Г[0] = {Ае | А >

0} (положительная полуось).

Свяжем с Г градуированную Л-алгебру А - А(Т). Будем строить А как гра­

дуированную Л-подалгебру в L[t], где t независимая переменная и градуировка ведется по степеням t. Итак полагаем

оо

A[q] = {t<f\feL, supp/СГЫ}; A = ®A[q]. (2.2.1)

В силу допустимости Г очевидно, что А(Г) действительно Л-алгебра. Положим

Х(Г) = Рго]Л(Г). (2.2.2)

Это и есть торическая схема, связанная с Г. Будем писать X вместо Х(Т), если Г фиксирован. Пусть также X = X ® F специальный слой X и X = X ® К общий слой.

Spec F

I

Spec К Spec Л

Рис. 2.

(2„3) Комбинаторная структура X. Неформально говоря, смысл утверждений этого пункта в том, что структура схемы X похожа на структуру самого мно­

гогранника Г. Попробуем пояснить это на примере многогранника Г, изобра­

женного в 1.3.2.

Многообразие X, т.е. общий слой X, является обычным торическим много­

образием, соответствующим многограннику Г, т.е. в данном примере отрезку АС. Многообразие X, т.е. специальный слой X, состоит из двух торических F- многообразий, соответствующих фаням АВ и ВС. При этом комбинаторная структура специального слоя соответствует аналогичной структуре в множестве ограниченных фаней многофанника Г.

Перейдем к точным формулировкам.

(2.3.1) Предложение. X неприводимая, редуцированная схема Коэна-Маколея;

кроме того, X проективная и плоская R-схема.

Доказательство. Проверка неприводимости, редуцированности, проективно­

сти и свойства Коэна-Маколея полностью параллельна проверке аналогичных свойств торических многообразий (см. [1]). Для проверки плоскости X доста­

точно показать, согласно критерию 3.9.7 из [3], что X не пусто. Это вытекает, например, из 2.3.3. •

Для того чтобы лучше разобраться в структуре схемы X, выделим некоторые подсхемы специального слоя. Пусть Д офаниченная фань Г. Положим

АА = А(А+) ®R F И ХА= Proj AL (2.3.2)

Укажем вложение Х& в X. На языке градуированных алгебр оно задается эпи­

морфизмом А —• Ад, действующим по правилу t^qf —> t^qf^q& (относительно обозначения /^дд см. 1.3.1).

(2.3.3) Предложение, (а) X канонически изоморфно торическому многообразию, связанному с Г;

(б) Х д изоморфно торическому F-многообразию, связанному с А;

(в) ^ д ! Ш д , = Хд,^пд²;

(г) неприводимые компоненты X суть подсхемы Х&, где Д пробегает все ограниченные грани Г максимальной размерности.

Доказательство, (а) Градуированная алгебра, определяющая X, т.е. A®RK,

лежит в L[t]. Там же расположена и градуированная алгебра торического К- многообразия, связанного с Г (см. [1]). Прямо из определений видно, что эти алгебры совпадают.

(б) Укажем изоморфизм г^д: Ад —» Ар(А), где Ар(Д) это F-алгебра, связан­

ная с Д в теории торических многообразий (см. [1]). Из условия (б) в опреде­

лении допустимого многогранника следует, что Д является графиком функции на Д вида т —> (с,т) + Ь, где Ь и каждая из координат вектора с лежат в ord(K*). Выберем элементы у,-,Ь € К такие, что ordi/i = c,-,ordx = b. Каждый однородный элемент h g Ад [q] однозначно представим modulo ЯЛ элементом tq Y,amYm с носителем в qA. Положим rA(h) = tq J2amx~qy-mYm mod <ГЛ.

(в) Пусть J(A) ядро гомоморфизма А —> Ад. Достаточно показать, что J(AiC\

Д2) = J(Ai) + J(A2). Это вытекает из следующего явного описания:

J(A) = {tqf\suppfCqA+\qA}.

(г) Ввиду предыдущих пунктов достаточно показать, что X есть объединение Х&, т.е. что f)J(A) с А⁺, что сразу видно из определений. •

(2.4) Торическая структура X. Для того чтобы объяснить термин „торическая схема", укажем каноническое действие на X стандартного n-мерного Л-тора GJJ, = SpecR[Fi,Уу- 1,..., У„,УП-1]. В терминах алгебр надо указать гомомор­

физм

Этот гомоморфизм устроен так: atqYm —• atqYm ®Ym. Легко видеть, что схемы -Хд. ^ д , Uv, а также каноническое вложение iv: Uv —> X (см. ниже) эквивари- антны относительно этого действия.

Для того чтобы описать план дальнейших действий, заметим, что А с L[t] и, следовательно, мы имеем морфизм схем ProjL[t] —» X. Но ProjL[t] = SpecL — это стандартный К-тор GJ},. который обозначим Г. Итак, мы имеем морфизм многообразий i: Т'-» X. Далее предположим, что dim Г = п +1. В этом случае i является вложением. iiT-точки Г — это наборы у = ( y i , . . . , уп) элементов из К*.

Имея ввиду каноническое вложение г, мы можем рассматривать у как точку Х(К), а в силу проективности X над R и как точку X(R). Теперь мы хотим понять, в какую из компонент X попадает редукция у точка у. Для этого нам нужны дополнительные объекты.

Пусть v — ( l , u i , . . . , wn) 6 W, где каждое из v,- попадает в область значений нормирования ord на К. Свяжем с v и Г полупространства в W, обозначаемые W„[g]. Положим т = min{(u,u>) | w G Г} и W„[g] = {w 6 W | (и,ш) ^ gm}.

Рассмотрим теперь алгебру 5„ = фВ„[д], где

В«Ы = { * ' Л / б 1 , supp/сТУЛ?]}-

Положим наконец U^v = ProjB„. Так как Г[д] С W^v[q], то мы имеем канониче­

ский морфизм i^v: U^v —» X.

Для у = ( y i , . . . , у^п) € Г(А') положим

t)(y) = (l,ord t/i j . . . , o r d yn ) G W. (2.4.1)

(2.4.2) Лемма. Пусть у G T(K) с Х(Д). Точка у тогда и только тогда прихо­

дит из UV(R) с помощью морфизма iv, когда v = v(y).

Доказательство. Во-первых, заметим, что Uv = Spec Bv[0]. Действительно, ввиду условий, наложенных на v, найдется г, для которого v{z) = v. Теперь мы можем указать изоморфизм градуированных алгебр B„[0][Z] и BV, а именно: Z -* zt.

Следовательно, U^V(R) С Т(К). Пусть у G Т{К). Точка у тогда и только тогда лежит в UV(R), когда /(у) G Л для всякого / из кольца Bv[0], определяющего схему Uv. Это условие достаточно проверить только для мономов aYm из Bv[0].

Прямо из определений видно, что ay^m G R для всех мономов aY^m из B^v[0]

тогда и только тогда, когда (w,v(y)) ^ 0 для всех w G ^„[0], т.е. тогда и только тогда, когда v ~ v(y). •

Рассмотрим разбиение, связанное с покрытием многообразия X замкнутыми подмногообразиями ХА-

T

=X

\{JX

, (2.4.3)

где В пробегает все собственные грани Д. Легко видеть, что многообразия Гд являются в точности орбитами действия тора Т на X.

(2.4.4) Лемма. Образ Uv = Uv ®я F в X совпадает с Тд, где А = Г(и).

Доказательство. Легко видеть, что iv{Uv) является орбитой действия Т и, сле­

довательно, совпадает с одним из Тд. Поэтому достаточно показать, что если T(v) П Д = 0, то Х& Г) iv(Uv) = 0. Покажем, что алгебра BV/[J(A)BV] не имеет компонент с положительной градуировкой. Пусть tqaYm e Bv[q], где q ^ 1. Найдется элемент tbY' e А такой, что {v,suppbYl) = min(i;,r). Тогда t*aYm = ^Ь»Г'«(аЬ-»)Гт-'». Здесь ab-'F"1-'» е В„[0], a <»b»F'« e J(A), так как Д П Г(и) = 0. Следовательно, <»аУт € В„[0]/(Д). •

(2.4.5) Следствие. Пусть у 6 Т(К), А ограниченная грань Г. Тогда у & ТА в том и только в том случае, если А = Г(и(у)), т.е. А является опорной гранью Г в направлении v(y).

§3. Системы уравнений

В этом параграфе теория, построенная в §2, применяется для оценки числа решений с фиксированными показателями системы полиномиальных уравне­

ний. Сначала мы даем точную формулу для системы общего типа, а затем выводим из этого оценку для каждой индивидуальной системы.

Для конечной схемы Z над некоторым полем символом degZ мы будем обозначать размерность векторного пространства T(Z, Oz).

(3.1) Обозначения. Пусть / i , . . . , / „ € L полиномы Лорана от п переменных.

Для каждого вектора v e W вида v — (1, vi,..., vn) полагаем

{

системы /i(y) = ••• = fn{y) = 0 таких, что ordyi = иь. . . ,ordy„ = v„.

(3.1.1) Фиксируем допустимые многогранники Ti,... , Г„. Пусть Г = £)" Г; их сум­

ма Минковского, А — А(Т), X — Х(Т). Будем предполагать, что Г имеет мак­

симально возможную размерность, т.е. что dim Г = п + 1.

С каждой системой полиномов Лорана / = (/i,... ,/„) такой, что supp/, с Г,-, свяжем подсхемы D\,...,Dn в X. Для этого рассмотрим однородный идеал Jk в А, порожденный элементами вида tfkg, где supps с Yli^tk ^»-

Jk = (tfkg\s*vb9cY,^Ti)- С³-¹-²)

Пусть Dk подсхема нулей идеала J* в X. Положим D = Dx П . . . Л Dn. Иными словами, Dk = Proj(>l/Л) и D — Proj(A/J), где J = Ji H h J„.

Легко увидеть (или см. [2]), что Dk П Т — это схема нулей у* на GJV

(3.2) Системы общего типа. Рассмотрим систему полиномов Лорана / = ( / i , . . . , / „ ) , где supp/i С IV

(3.2.1) Определение. Будем говорить, что / система общего типа, если D П Х& = 0 для всякой ограниченной грани Д многогранника Г, для которой dimA < п.

(3.2.2) Теорема, (а) Если поле вычетов F алгебраически замкнуто, то существу­

ет система общего типа;

(б) если / система общего типа, то все решения системы fi(y) — •• • = fⁿ(y) = 0 e (С*)" изолированы, и для всякого вектора v = (1, t>i,..., vⁿ) число у (с учетом кратностей) тех решений этой системы, для которых v(y) = v равно п\ vol(A!,..., Д„), где Д( = Т{у).

Доказательство, (а) Рассмотрим над полем F аффинное пространство А, мно­

жество F-точек которого состоит из наборов ( аь. . . , ап) , где а; некоторое отображение Г; П Z" - • F. Выберем некоторое (не кольцевое) расщепление s: F -* R. Свяжем с каждой точкой а = (а^г,...,а^п) б А систему / = ( / i , . . . , /„), где / , = 2m6 f •s(a;(ra))7r'i'(m)ym, а d,-(m) это е-координата единственной точки IV проектирующейся в т.

Так как А неприводимое F-многообразие, то достаточно показать, что для каждой n-мерной ограниченной грани Д многогранника Г множество тех a s А, для которых система / не вырождается на ХА \ Тд, открыто и непусто. Пусть Д, опорная грань Г; в направлении и, где v такой вектор, что Д = Г(и). Рас­

смотрим над полем F многообразие Аь множество F-точек которого состоит из наборов ( a i , . . . , an) , где at некоторое отображение Д, П Zn —» F. С каждой точкой Ai связана система уравнений на торическом F-многообразии Х(А) и известно [2], что множество невырожденных систем открыто и непусто. Поэто­

му требуемое утверждение вытекает из сюръективности естественной проекции

А - • A i .

(б) В доказательстве 2.3.2 построен изоморфизм г д : Ад —» AF(A). Легко видеть, что D П ХА переходит при этом в дивизор, построенный в [2] по эле­

ментам гд (fit). В частности, deg(D П 1 д ) = п! vol(Ai,..., Д„), где Д^х, . . . , Д„

грани Гь. . . , Г„, определенные равенством Д = Д1 -\ + Д„. Поэтому утвер­

ждение 3.2.2(6) вытекает из следующей леммы.

(3.2.3) Лемма. Предположим, что / ь • •., /^п система общего типа. Тогда все корни этой системы в X изолированы, все они лежат в Т и d e g ( D n J ^ ) = fi(v), где Д = Г(и).

Доказательство. Схема D П ХА замкнута в ХА и лежит в Т д . Обильность дивизора Х д \ Т д на ХА (СМ. [1]) влечет, что dim(Df]X) = 0. Так как редукция (X \ Т) не пересекает торы Тд для dim Д = п , т о Д с Г и , следовательно, D с Т.

Кроме того, dimD = 0, так как размерность общего слоя проективной схемы не превосходит размерности ее специального слоя. Таким образом, система / невырождена на общем слое, и по теореме Бернштейна-Кушниренко deg D = n!vol(f!,..., f „ ) .

Обозначим через Z замыкание схемы D в X. Так как D замкнутая схема, содержащая D, то Z с D. Следовательно, Z конечна над R и degZ ^ degD.

Кроме того, Z плоская iZ-схема, так как R одномерное регулярное кольцо. Тем самым deg Z = degZ. Отсюда получаем неравенство

degD ^ n ! v o l ( f , , . . . , Г „ ) . (3.2.4) Применяя теорему Бернштейна-Кушниренко к торическому F-многообразию

ХА, МЫ видим, что deg(D П ХА) = п\ vol(Ai,...., Д„) и тем самым

d egr J = ^ n ! v o l ( A1, . . . , An) ,

где суммирование ведется по всем ограниченным граням многогранников Г х , . . . , Г„. Учитывая (3.2.4), получаем неравенство

J ) УО1(ДЬ . . . , Д„) > vol(f!,..., Г„). (3.2.5) Однако левая часть (3.2.5) равна правой для любых многогранников Г^ь. . . , Г„.

Следовательно, в 3.2.4 имеет место равенство и D = Z.

Пусть R означает ЯК-адическое пополнение Л и Z = Z&R. Схема Z является несвязным объединением своих неприводимых компонент и эти компоненты соответствуют компонентам связности схемы Z. Пусть ZA означает объедине­

ние тех компонент, которые имеют непустое пересечение с Тд. Согласно 2.4.5 fi(v) — deg ZA, а так как D — Z, то deg ZA = deg(D П Тд). •

(3.3) Универсальная система. Построим схему 5, параметризующую все си­

стемы, и убедимся, что общая точка s e 5 дает систему общего типа. Для этого каждой паре (г, т), где 1 < i ^ п, т е Г; П Z", сопоставим независимую пе­

ременную Aiim. Рассмотрим Л-алгебру Л = Я[{А;,т}], свободно порожденную этими переменными. Рассмотрим следующие „универсальные" полиномы над А® К:

mef.nZ"

где 7»(m) = min{A \m + Xe E Г,} (7«(m) € Z ввиду допустимости Г;).

Каждому набору полиномов Лорана fi,...,f„ такому, что supp/; С Г,, соот­

ветствует точка 5, определенная гомоморфизмом Aj,^m —» a^m/Tr⁰"^⁰''""'.

Пусть 5 = Spec А На X х 5 имеются дивизоры Х>^ь... ,Х>„, определенные формулой аналогичной (3.1.2) с заменой ft на Ft, и £> = I>i П • • • П Т>п. Из 3.2.2 мы знаем, что найдется точка х 6 S такая, что £>пХд x i = 0 для всех граней А с dim Д < п. Следовательно, это так и для общей точки 5.

(3.4) Теорема. Пусть v = ( l , v i , . . . ,vn), Г, многогранник Ньютона ft и Д; = Г,(г>). Если dim(Ai + • • • + Д^п) = п, то

• K w ) < n ! v o l ( A i , . . . , A „ ) . (3.4.1)

Доказательство. Пусть Z объединение всех неприводимых невложенных ком­

понент D, имеющих непустое нульмерное пересечение с X. Пусть Z& объ­

единение тех из этих компонент, которые имеют непустое пересечение с Х д . Следствие 2.4.5 показывает, что fi(v) ^ deg(ZA П X).

Обозначим через Z объединение всех неприводимых компонент V, имеющих нетривиальное пересечение с общим слоем схемы X х S. Обозначим через Лд v

объединение тех из этих компонент, которые имеют непустое пересечение с Х д х S. Теорема 3.2.2(6) влечет, что deg(ZA Г) X х s) = п\ УО1(ДЬ . . . , Дп). Тем самым достаточно показать, что deg(Z^A П X) < deg(2^A П X х s).

Пусть х точка S, соответствующая системе / . Отметим, что схема V плоска над 5 в точках Z хх, так как она задана п уравнениями в схеме Коэна-Маколея и ее коразмерность над 5 в этих точках равна п. Поэтому Z& х х с 2А. Таким образом, теорема вытекает из следующей леммы. •

(3.4.2) Лемма. Пусть р: U —• S квазиконечный плоский морфизм нётеровых схем.

Предположим также, что S локальная регулярная схема, х ее замкнутая точка, a s ее общая точка. Тогда deg Uz ^ deg Ua.

Доказательство. По „основной теореме Зарисского" схему U можно открыто и плотно вложить в некоторую схему Z, конечную над S. Пусть j / i , . . . , y^k все точки Z, лежащие над х. Рассмотрим пополнения S и Z схем 5 и Z в точке х.

Схема Z, как индуктивный предел полулокальных артиновых схем, распадется на локальные компоненты Z\,..., Zk, соответствующие точкам у\,..., у*. Пусть U = UBiec/^>- -Ясно, что U конечно и плоско над S и значит degUx = degU3. Учитывая, что deg Us ^ deg Zs, получаем требуемое утверждение. •

Замечания, (а) Отметим здесь следующий критерий невырожденности. Ска­

жем, что многогранники T i , . . . , Г„ в общем положении, если для всякого век­

тора v = (1, V!,..., v„) верно равенство dim Г(г;) = £ \ dim 1\(г>). Несложно про­

верить, что если многогранники Ньютона полиномов / i , . . . , /п находятся в общем положении, то система (/i,..., /„) невырождена.

(б) Аппроксимируя степенные ряды полиномами, оценки, аналогичные (3.4.1), несложно получить и для систем уравнений, заданных на 9Л х • •• х 9Л степенными рядами /j e Д[[У]].

Список литературы

[1] Данилов В. И., Геометрия торических многообразий, Успехи мат. наук 33 (1978), № 2, 85-134.

[2] Кушниренко А. Г., Многогранники Ньютона и теорема Безу, Функц. анал. и его прил. 10 (1976), № 3, 82-83.

[3] Хартсхорн Р., Алгебраическая геометрия, Мир, М., 1981.

[4] Серр Ж.-П., Локальная алгебра и теория кратностей, Математика. Период, сб. перев. ин.

статей 7 (1963), № 5, 3-93.

С-Петербургское отделение Поступило 14 сентября 1995 г.

Математического института им. В. А. Стеклова РАН 191011, Санкт-Петербург наб. р. Фонтанки, 27