Язык, понятный всем
24. Комбинаторные задачи 157 комбинаторные задачи
24. комбинаторные задачи
Предположим, что вы не можете вспомнить последнюю цифру номера телефона своего друга. Какое наибольшее количество но- меров придется набрать, чтобы ему дозвониться?
Поскольку в конце телефонного номера может стоять любая из десяти цифр, то вам в худшем случае придется сделать 10 попыток, тем самым перебрав все возможные варианты.
Нередко в повседневной жизни мы встречаемся с задачами, решение которых требует рассмотрения и подсчета всех возможных случаев, или, как еще принято говорить, всех возможных комби- наций. Поэтому такие задачи называют комбинаторными.
П р и м е р 1 Одноклассницы Оля, Валя и Катя дежурят по школе.
Сколькими способами классный руководитель может расставить девочек по одной на каждом из трех этажей школы?
Решение. Предположим, что Олю назначили дежурить на тре- тьем этаже. Тогда на втором этаже может дежурить Валя или Катя, а на первом — соответственно Катя или Валя.
Получаем два способа (две комбинации, два варианта) распреде- ления дежурства (девочки обозначены первыми буквами их имен):
3-й этаж: О О
2-й этаж: В К
1-й этаж: К В
Пусть теперь дежурной на третьем этаже назначили Валю. Тогда на втором этаже может дежурить Оля или Катя, а на первом — со- ответственно Катя или Оля. Получаем еще два способа распреде- ления дежурства:
3-й этаж: В В
2-й этаж: О К
1-й этаж: К О
И наконец, предположим, что дежурной на третьем этаже на- значили Катю. Получаем еще два способа распределения дежурства:
3-й этаж: К К
2-й этаж: В О
1-й этаж: О В
Таким образом, получили шесть способов распределения де- журства:
3-й этаж О О В В К К
2-й этаж В К О К В О
1-й этаж К В К О О В
Ответ: 6 способов.
П р и м е р 2 Сколько углов изображено на рисунке 181?
Решение. Обозначение любого угла, изображенного на рисунке, состоит из трех букв, второй из которых обязательно является бук- ва O, а две другие выбраны из букв A, B, C, D. Поэтому искомое количество углов равно количеству способов выбрать из букв A, B,
C, D две буквы.
Записывая все возможные варианты, надо учитывать, что комбинации, отличающиеся по- рядком следования букв, соответствуют одному и тому же углу. Например, комбинации AB и BA соответствуют одному и тому же углу AOB.
Вначале запишем все пары букв с первой буквой A:
AB, AC, AD.
Теперь запишем пары букв, у которых первая буква B, а вторая не является буквой A:
BC, BD.
Осталось записать пары букв, у которых первая буква C, а вто- рой не является ни буква A, ни буква B:
CD.
Таким образом, получили шесть комбинаций: AB, AC, AD, BC, BD, CD.
Следовательно, на рисунке 181 изображено шесть углов.
Ответ: 6 углов.
Какие задачи называют комбинаторными?
Решаем устно
1. Одним слоем бумаги оклеили куб, ребро которого равно 3 дм.
Сколько квадратных дециметров бумаги использовали для оклеи- вания куба?
2. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 240 см3. Какая из следующих троек чисел может задавать измерения этого па- раллелепипеда:
1) 4 см, 6 см, 12 см;
2) 5 см, 6 см, 8 см;
3) 3 см, 5 см, 10 см;
4) 10 см, 10 см, 24 см?
Рис. 181
?
24.Комбинаторные задачи 159 3. Сколько центнеров пшеницы можно засыпать в бункер, имею- щий форму прямоугольного параллелепипеда, если его длина равна 8 м, ширина — 2 м, высота — 1 м, а масса 1 м3 зерна составляет 8 ц?
4. Что больше и на сколько:
1) квадрат суммы чисел 4 и 3 или сумма их квадратов;
2) разность квадратов чисел 10 и 8 или квадрат их разности;
3) разность кубов чисел 5 и 3 или куб их разности?
Упражнения
654.• Запишите все двузначные числа, в записи которых использу- ются только цифры 1, 2 и 3 (цифры в числе могут повторяться).
655.• Запишите все двузначные числа, в записи которых использу- ются только цифры 1, 2 и 0 (цифры в числе могут повторяться).
656.• У ослика Иа есть три надувных шарика: красный, зеленый и желтый. Он хочет подарить по одному шарику своим друзьям:
Винни-Пуху, Пятачку и Кролику. Сколько вариантов сделать подарки своим друзьям есть у ослика Иа?
657.• Сколько двузначных чисел, все цифры которых различны, можно записать с помощью цифр 0, 1 и 2?
658.• В футбольном турнире участвуют команды 5 «А» класса, 5 «Б»
класса и 5 «В» класса. Сколько существует способов распределе- ния первого и второго мест среди этих команд? Решение какой из задач под номерами 654–657 аналогично решению этой задачи?
659.• Запишите все трехзначные числа, для записи которых ис- пользуются цифры:
1) 3, 4 и 6; 2) 4, 7 и 0.
(Цифры в числе не могут повторяться.)
660.• Сколько различных трехзначных чисел можно записать с по- мощью цифр:
1) 1 и 2; 2) 0 и 1?
(Цифры в числе могут повторяться.)
661.• Запишите все двузначные числа, в записи которых исполь-
зуются только цифры 2, 4, 9 и 0. (Цифры в числе могут повто- ряться.)
662.• Сколько двузначных чисел можно записать с помощью цифр 6, 7, 8 и 9 так, чтобы цифры были записаны в порядке возрастания?
663.• Сколько двузначных чисел можно записать с помощью цифр 6, 7, 8 и 9 так, чтобы цифры были записаны в порядке убывания?
664.• Сколько существует двузначных чисел, сумма цифр которых равна 5?
665.• Сколько двузначных чисел, сумма цифр которых равна чет- ному числу, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 (цифры в числе могут повторяться)?
666.• Сколько двузначных чисел, сумма цифр которых равна не- четному числу, можно составить из цифр 0, 1, 2, 3?
667.•• Сколько существует различных прямоугольников, периметры которых равны 24 см, а длины сторон, выраженные в сантиме- трах, являются натуральными числами?
668.•• У Ани есть 30 одинаковых кубиков. Сколько различных прямоугольных параллелепипедов она может из них сложить, если для построения одного параллелепипеда надо использовать все имеющиеся 30 кубиков?
669.•• На прямой отметили четыре точки: A, B, C и D. Сколько существует отрезков с концами в отмеченных точках?
670.•• Подножие горы и ее вершину соединяют три тропы. Сколько существует маршрутов, ведущих от подножия к вершине и затем вниз к подножию?
671.•• У Тани есть четыре платья и две пары туфель. Сколько у Тани есть ва- риантов выбрать наряд?
672.•• В отряде космонавтов есть три пило- та и два инженера. Сколько существует способов составить экипаж из одного пилота и одного инженера?
673.* На рисунке 182 приведен план одного района города. Отрезками изображены улицы. Сколько существует маршрутов из точки A в точку B, если передвигаться разрешено по улицам, ведущим на север или на восток?
Упражнения для повторения
674. Расстояние между двумя селами равно 28 км. Из этих сел одновременно в одном направлении выехали мотоциклист и авто- бус. Автобус ехал впереди со скоростью 42 км/ч, а мотоциклист ехал со скоростью 56 км/ч. Через сколько часов после начала движения мотоциклист догнал автобус?
Рис. 182
24.Комбинаторные задачи 161