Định luật Poiseuille và định luật Darcy

Trước tiên chúng ta xem xét dòng thấm qua một ống mao quản đơn (hình 3.4) do d ộ

chênh thế áp lực Ap. Độ chênh thế áp lực giữa hai đầu ống [à lực truyền động cho dòng ihấm để chống lại sức kháng ma sát gáy ra do độ nhớt của nước.

Gradien áp lực

AP

ĐÓ thi vận tốc

H ình 3.4: D ò n liu ín ì qua một ÒHÍỊ 1)1(10 (Ịíuht đơtt

Lực F tác động lẻn ống trụ hình nhần cua nước có bán kính r do độ chênh áp lực AP bằng:

F = AP(7ir2) (3-8)

ứ ng suál cảt T tại mặt phân cách giữa vòng nhẫn và khối nước tĩnh chống lại lực này.

Cân bíing hai lực này ta có:

F = AP(7ir2) - t(2nrL ) (3-9)

úng suất cát quan hệ với độ chênh thế năng theo biểu thức: (AP)r

2L (3-10)

ứng suất cắt X còn có thể xác định theo biểu thức quan hệ với vận tốc phụ thuộc vào bán kính Vị (r) trong ống theo dinh luật cơ bản về độ nhớt của Niutơn:

d V (r) T = -T1-

dr (3-11)

Trong đó: rị - độ nhớt của nước.

Kết hợp phương trình (3-10) và (3-11) và tích phân trong các giới hạn của r và R sẽ

cho ta:

Vt(r) = ~ ( R 2 - r 2)

4L TỊ (3-12)

Khi nhận được phương trình (3-12), chúng la dùng điều kiện biên không dịch chuyển, có nghía là tại vách ống (r = R) thì V, = 0. Phương trình (3-12) cho biết là sự biến đổi vận tốc theo bán kính có dạng parabon. Để tính lưu lượng nước, tức là lượng nước cho mỗi thời gian đơn vị (qt), phải tích phân phương trình (3-12) qua điện tích tiết diện ống. Lượng nước này bằng thê tích parabôloìt của vòng quay. Người dọc tự tiến hành tích phân, kết quả cuối cùng cúa chúng ta là:

^ APR2 qr = \ ' ttR 4 Ì <1_! PL, _Ị )

l 8ĩl J

1 L

J

(3-13)

Phương trình quan trọng này là định luật Poiseuille, cho ta biết lưu lượng qua ống mao quản tỉ lệ trực tiếp độ chênh thế ấp lực AP qua chiểu dài của ống và với mũ bậc bốn của bán kính ống R. Phương trình (3-13) có thể viết lại theo diện tích tiết diện A( của ông:

' R ^

8ìì

r )

(A t ) (3-14)

Trong đó: At = JiR .

Ta có khả nãng tính vận tốc "trung bình" của dòng thấm V[ trong ống mao quản;

8n "

A, (3-15)

Số hạng thứ nhất ở vế phải phương trình (3-15) được coi là hằng số biểu thị tỉ lệ giữa vận tốc dòng thấm và gadien áp lực trong ống mao quản AP/L.

Các xem xét dòng thấm trong một ống mao quản đơn đã trình bày ở trên làm cho chúng ta suy đoán là khi chúng ta lí tưởng hệ đất như là một bó các ống mao quản song song, vận tốc dòng thấm trong đâì cũng có thể biểu thị tí lệ với độ chênh gradien áp Lực.

Điều này được Henry Darcy tìm bằng thực nghiệm năm 1856. Lưu lượng dòng thấm tỉ lệ tuvến tính với độ chênh thế áp lực đã được Darcy quan sát và được biểu thị dưới dạng loán học;

Phuơng trình (3-10) là một trong các bieu thức sử dụng phổ biến nhất của định luật Darcy đế biểu thị đặc trưng dòng thấm trong đất.

Một số nhà khảo sát đã nghiên cứu giá trị của định luật Darcy cho các loại đất. Quan hệ tuyến tính giữa lưu lượng và gradien thuỷ lực có thể không phù hợp tại gradien rất thấp hay rất cao. Tại gradien thuỷ lực thấp trong đấl hạt mịn, một số nghiên cứu cho thấy ở dưới gradien ngưỡng này dòng thấm không diẻn ra (Swartzendruker, 1962). Tương tự, tại gradien thuỷ lực cao tương ứng số Reynold lớn hơn 10, thì dòng thấm trong dất cũng không tuân theo định luật Darcy (Bear, 1972). May mắn thay, trong đa sô' trường hợp quan trọng cùa dòng nước ngầm các điều kiện này đã không xẩy ra. Khi các điều kiện như thế chất lỏng được phân loại theo Newton (tuân theo định luật ma sáí của Newton) và các điều kiện dòng thấm ở trong phạm vĩ dòng chảy tầng thì nói chung có thể dùng định luật Darcy cho các loại đất.

3.2.3. Hệ số thấm

So sánh phương trình (3-14) và (3-16) cho thấy là hằng số tỉ lệ k chứa đựng các ảnh hưởng của cả cấu trúc đất (biểu thị bằng bán kính lổ rống) và tính nhớt của chất lỏng đến lưu lượng thấm. Hằng số tỉ lệ được gọi là hệ sô thấm và là một trong cấc tính chất được nghiên cứu nhiều nhất của đất. Trong tất cả các tính chất kĩ thuật của đất, giá trị hệ số thấm biến đổi trong phạm vi rộng nhất từ 1 0 2 cm/s cho sỏi đến 1 0 10 cm/s cho đất sét. Lưu lượng q bằng tích của vận tốc dòng thấm với diện tích tiết diện;

Ta phải nhớ là vận tốc cho bởi phương trình (3-18) chỉ là giả tưởng, là vì diện tích thực A dùng để biểu thị lưu lượng q trong phương trình (3-17) mặc dù chỉ có diện tích rỗng cua mặt cắt mới cho dòng thấm qua. Nhận ra là có thể dừng độ rỗng để liên hệ diện lích loàn bộ và diện tích rỗng trong một mặt cắt đã cho và vận tốc lỗ rỗng thực Va được bicu thị theo:

( 3 - 1 6 )

Trong đó: q - lưu lượng qua mẫu đất; A - diện tích tiết diện mẫu; k - hằng số ti’ lệ. q = VA Vận tốc dòng thấm trong đất V được tính theo: (3-17) (3-18) 65

v a = - (3-19)

n

Sự khác nhau giữa vận tốc giả tưởng và vận lốc thực này là quan trụng trong ihảo luận cùa chúng ta vé sự vận chuyển chất ỏ nhiễm sau này. Hệ số thấm xác định bằng cách thông thường là quan sát lưu lượng qua hệ đất dưới gradien áp lực tác dụng ÀP/L và sử dụng phương trình (3-16). Các phương pháp này như thế chỉ là cách gián tiếp. Phương pháp trực tiếp xác định hê số thấm cần bic't toàn bộ đặc trưng hình học của lồ rỗng. Kozeny (1927) và Carman (1956) đã cho một phương pháp đầu tiên đê liên hộ hệ sô Ihấm của đất dạng hạl với hình dạng lồ rỗng của chúng. Phương pháp này dựa trẽn mộl nội suy khá hợp lí định luật Poiseuílle của dòng thấm qua các ốna mao quán với các hệ dất có khoang rỗng không theo quy tắc. Nó cho sự liẽn hệ thuận tiện giữa hệ số thấm và hệ số rỗng - chỉ số vĩ mô của khoảng rỗng. Vì lí do này, chúng ta sẽ thảo luận tóm tắl ớ dưới đây phương trình Kozeny - Carman.

Chúng la bắt đầu với đòng thấm trong một ống mao quản dem [phương trình (3-14)] và khi dự đoán có liên quan với tiết diện không có quy tắc, chúng ta biểu hiện kích cỡ ống rỗng theo bán kính thuỷ lực R[j. Khi dùng RH cho phép là tổng quát biểu thức cho hình dáng ống bât kì và cuối cùng sẽ cho một biểu thức đối với hệ số rỗng c. Do vậy, cho một ống mao quản có dạng hình học bất kì, lưu lượng dòng thấm có thể bicu hiện theo:

R “

q ( - Cs —^-ia (3-20)

n Trong đó: i - gradien áp lực, i = AP/L;

a - diện tích tiết diện của ống rỗng không đểu; Q - hằng số hình dạng.

Bây giờ ta dùng phương trình (3-20) cho mẫu dất và dự kiến biểu thị a và Ru đối với các thông sô có (hể đo đạc. Diện tích tiết diện không đều a có thể viết theo diện tích tiết diện lổng A:

a = nA (3-21)

Trong đó: n - độ rỗng của mảu đất. Mặl khác, R|| có thể biểu hiện theo:

_ Diện tích dòng thấm Thể tích dòng thấm _ eVs e

11 Chu vi ướt Diện tích ướt VsSt) S0

Trong dó: Vs - thổ tích các hạt rắn trong mẫu;

S0 - diện tích bề mật ướt cho mỗi ihể tích đơn vị của các hạt rắn.

Cẩn nhớ là toàn bộ ỉhể tích rỗng của đất được giả thiết là tham gia vào phương trình (3-22), Ihay các phương trình (3-21) và (3-22) vào phương trình (3-20) với n = e/(l + e) cho la:

q - c ,

n s ? .J 1 + e

iA (3-23)

Phương trình (3-23) tương tự phương trình (3-16) của định luật Darcy, nén có thế biểu thị hệ số thấm theo: k = c

_{í 1 ì}

( 3 \ e ( l + e j (3-24)

Phương trình (3-24) cho ta một quan hệ giá trị giữa k và e, tuy nhiên chí có thể dùng khi có thể định lượng hai hằng số rất khó đánh giá là Cs và S0. Đó là lí do đẩu tiên vì sao phương trình này chỉ có tính hàn lâm, ít có khả nãng áp dụng cho thực lế. Tuy nhiên tỉ lệ giữa k và e là một kết quả hữu ích khiến cho Casagrande đề nghị một biểu thức đơn giản và thực lế tính k. như là một hàm số của c cho đất cát:

k(e) - l,4 k0K5e2 (3-25)

Trong đó: k(j 85 - hệ sổ' thấm tại hệ số rỗng là 0,85.

Trong trường hợp các đất hạt thô như cát, hệ số rỗng phụ thuộc vào kích cỡ đại diện của các hạt đất. Điều này dản đến biểu thức khác hữu ích giữa hệ số thấm và kích cỡ hiệu quả của đấl (Hazen, 1911):

» W > = C D ỉo (3-26)

Trong dó: D10 - kích cỡ hiệu quả, cm;

c - hằn g số tỉ lệ, biến đổi từ 90 đến 120.

Mặc dù tỉ lộ giữa k và hệ số rỗng hay kích cỡ hạt hiệu quả thường được tuân theo trong trường hợp các đất hạt thó như cát và bụi, quan sát thấy các khác nhau nghiêm trọng khi dùng các phương trình trên cho đất sét. Do các yếu tố phụ thêm và chủ yếu hcm ảnh hường cấu trúc đất, các phương trình trên được sử dụng hạn chế cho đất sét đầm chặt, sẽ dược trình bày ở mục sau.

Hộ số thấm k là thông số gộp chung chứa đựng các tính chất chất lỏng (chủ vếu là độ nhớt) và hình dạng khoảng rỗng của mối trường. Thuận lợi khi tách các hiệu quả của các thông số chất lỏng và mõi trường. Ví dụ, có thể chỉ quan tâm riêng các ảnh hưởng của hình dạng khoảng rỗng đến hộ số thấm của một chất lỏng đã cho. Thường dùng hệ số thấm "thực" hay "tuyệt đối" để chỉ hê số thấm chỉ liên quan các tính chất của môi trường. Khi loại trừ độ nhớt chất lỏng lỗ rỗng từ phương trình (3-24), hệ số thám thực có thể biểu hiện theo:

- vS l ,

,3 A

I + c (3-27)

Phương trình (3*27) chỉ chứa các thông số của dấl và so sánh với phương irình (3-24), rút ra:

(3-28) Thuật ngữ "hệ số thấm" đé cụp đốn độ thâm cưa chất lỏng bất kì nói chung, còn thuật ngữ "độ dẫn thuỷ lực" chi dùng đc biếu thị riêng tính thâm của nước. Tuy nhiên, sự khác biêl này không đưực chặt chẽ trong tài liệu. Ảnh hưởng cùa chất lỏng tới k thì dồ đánh giá hơn, k tí lệ nghịch với độ nhớt r) [phương trình (3-28)]. Với một chất lỏng dã cho thường đã biết sự biến đổi độ nhớt theo nhiệt độ và do vậy các giá (rị hệ số thấm nhận được tại một nhiệl độ dã cho có thể dược chuyển đổi th o hệ số thấm tại nhiệt độ bất kì khác bằng số biến dổi này. Khi báo cáo hộ số thấm, thông thường tiêu chuẩn hoá các giá trị tại 2()°c (70°F) và cho người dừng sự chuycn đổi hệ số íhấm được ticu chuẩn hoá với nhiệt độ riêng bằng quan hệ:

Trong đó các kí hiệu viết dưới đc chỉ nhiệt độ bàng độ c.

Anh hưòng cúa hình dạng khoảng rỗng đến k thì không dễ đánh giá [à vì nó là hậu quả của một sò' biến như sự phân bố cỡ hạt, dung trọng và cấu trúc của đất. Các hệ đất có các kích cỡ hạt nhó hơn thường có khoảng rỗng nhỏ hơn và có tính thấm thấp hơn. Tương tự, khi dung trọng đất lãng đo đầm chạt hav cô' kết sẽ làm giảm khoảng rồng và do vậy k nhò hưn. Hình 3.5 cho thấv các ảnh hướng của cờ hạt và dung trọng dất đến hệ số thấm. Cần nhớ là phạm vi biến đổi k khá rộng, lừ 10 1 đến 10 lu cm/s, thường lớn

hơn khả nãng biến đổi thốns sô kĩ thuật bất kì khác của đất.

Việc dự đoán ánh hương của cấu trúc đất dến tính thấm dường như Là một trong các thách thức lớn nhất chưa được đáp ứng. Điểu đó đặc biệt thực tê Irong trường hợp đấl sét dầm chậi. Cấu trúc đất đã được đề cập trong chương 2. khống chế không chỉ các tính chất hoá lí cua đất mằ còn bởi kicu chuẩn bị trong trường hợp đấí sét đầm chặt. Có khả năng đầm chặt hai đấl có cùng hệ số rỗng nhưng khác nhau lớn về kết cấu và cấu trúc. Việc xem xct tầm quan trọng cúa đất sét đầm chặt trong các công trình chứa châì thái sẽ được dề cập sau trong cuốn sách này.

3.2.4. Tính thấm của đất sét đám chặt

Khi chuẩn bị dầm chặt đất sét gồm có việc chọn tựa dộ ấm dất làm chặt, năng lượng và loại dầm chặt - tất cá yếu lô nàv cùng quyết định dung trọng khỏ của đất. Một sô' nghiên cứu tiến hành vài chục nãm trước cho thấy hệ số rống của đất sét đầm chặt Ịcó quan hệ duy nhất với dung trọng khò, xem phương trình (1-14)] không chỉ là yếu tô khống chế lính thấm. Đó là sự tham gia cơ bản của vi Cấu trúc, với một hộ sô ròng đã cho thì vi cấu trúc không phải là duy nhất. Khó bicu thị đặc trưng định lượng sự dịnh hướng các hạt và cấu trúc rỗng sinh ra trong đất sét đầm chặt từ thông tin định tính như thấy trong hình 2.17. Điều này làm khó khăn cho sự phát triển lí thuyết cơ sở nhằm dự đoán hay đánh giá tính thấm của đất sét đầm chặt theo các biến đổi cấu trúc đất.

k-20 _ 2}ị

k t T I 2 0

1, 2. Calicho đầm chặt; 3. Cát bụi; 4. Sét chứa cát; 5. Cát bừ biển; 6. Sét xanh Boston đầm chật; 7. Sét Viekyburg; 8. Sét cát; Hệ số thấm (cm/s)

Tiêu chuẩn nhận biết dát 9. 16, 17. Bụi Boston; 10. Cát Ottawa; 11. Cát mũi Gaspoc; 12. Cát thác Franklin; 13. Cát Scimate; 14. Cát bấn đảo Plum; 15. Cát Fort Pock; 18. iloàng thổ; 19. Sét gày; 20. Cát thác Union; 21. Bụi Bắc Carolina; 22. Cát đê;

23. Sét xanh Boston chứa natri; 24. Kaolinit canxi;

25. Monmorilonit. 26 - 30. Cát (lớp lọc đập).

H ình 3.5: Các kết quà thí nghiệm cho thấy ảnh hưởng của ỉ oại đất (biểu thị bằng cỡ hạt) và hệ số rỗng (biểu thị bằng ảunsị trọng đất)

đến hệ sỏ thấm ị theo Lambe và Whitman, ì 969)

Sự phức tạp về hành vi thấm của đất sét đẩm chặt được minh hoạ tốt nhất trong hình 3.6. Ta thấy là tính thấm biến đổi độ lớn vài bậc mặc dù bốn đất sét được chuẩn bị gần như cùng các điều kiện độ ẩm đất đầm chặt và đung trọng khô lớn nhất. Đó là đặc trưng điển hình của đất sét đầm chật,dự kiến phát triển các biểu thức toán học cho tính thấm Ihì không thành công trọn vẹn. Tuy nhiên, sự nghiên cứu khoảng hai chục năm irước tiến hành trong môi trường chứa chất thải đã cho thông tin hữu ích về các biến quan trọng tác động tính thấm của đất sét đầm chặt. Nói chung, các thông số chịu trách nhiệm cho sự biến đổi lớn tính thấm trong trường hợp đất sét đầm chặt có thể nhóm vào ba loại sau đây:

1. Các biến liên quan đến việc chuẩn bị đất sét đầm chặt.

2. Hoá học thâm.

3. Các phương pháp thí nghiẽm.

10

10

I 10CJ

Các điéu kiệ n th ư c nghiậniỉi Thấm rư ớc

P huong p háp đám chặt: ProclDỉ tièư chuẩn Phương phap thưc nghìem: V ách m ém Độ báo hoa: 100%

C ue ÍÌKÍI CKĨ' ờẩ! Ký hièii N g u ồ n s õ liệu % - 2CC PI

A Day & Daniel 1985 8C 11 B Forem an & Dniel 1986 87 29

c Boymton & Dartie! 1985 95 35 G Daniel & Bénon 1990 18

Ũ 5 10 15 20 25 30 35 40 W (% )

ỉ ỉ in h 3.6: Kiuì 11(111 Ị> biến đổi hệ sỏ' tìiđm CHÚ dốt sét tí tìm chặt

Ánh hướng của các biến đầm chật đến vi cấu trúc và k cúa đất sél đấm chai dược Mitchcl! el al. (19ốf>) nghièn cứu đầu úên và đưực thốv trong hình 3.7. Hình này cho biết là, nói ch un tí sự giám lừ hai đến ba lần độ thấm khi cấu trúc đất chuvển từ phía khỏ đến phía ưứt của độ am tốt nhất. Tính thấm thấp nhải xảy ra ỏ phía ướt ciia độ ám lói nhíú. khi virợt quứ cổ khả nãng hồi phục phần nào. Đó là cứ sở cho quv trinh kĩ thuât hiện thời khi chuán hi dai sét đầm chặt phía ưứt cua độ ẩm tốt nhất trong khi xây dựng lớp set lót cho bãi chứa chất thải. Tính thấm trong hình 3.7 tưưng ứng trạng thái bão hoà với độ bão hoà đạt được từ trạng thái chế bị ban dầu. Đồ thị vẽ lại C’ó cùng sô liệu ừ hình 3.8 cho Ihây sự tương phản manh giữa cát và đất sét đâm chật 111 tính thấm của đấl sét dầm chặl không chí phụ thuốc duv nhất vào dung trọng khô (hay hê số rỗn2). Vứi dộ ẩrn chê hị là ỉ 9% khá năng thấm thav dổi hầu như ba bâc về độ ỉớn, mặc dù đung irọna khô là hãng sô. Các nghiên cứu gần đâv dã xác lập CLÍC ánh huơìiL' cùa các biến như loại và

phương pháp dầm chặt đúì ớ ngoài trời khác nhuu: đầm nén. đầm nén lĩnh, đầm ncn bằng nhào trộn và dam rune. Phương pháp đầm châp nhận có ánh hưởng lớn đến kết cấu và khá năng thâm cùa sét đám chặt. Người đọc có the tham kháo sự mò tá chi tiết các vân đề này của Dav và Daniel (1985) và Daniel (1987). Theo mõ hình chùm cùa Olsen có thế hiếu ánh hướng của các kích cở cục đất đến tính thám (hình 2.5).

ỉ ỉỉ nh 3 .7:

Biến đổi hệ s ổ thấm theo độ ẩm đát ché'bị

I'ừ náng lượng dám chặt

í theo

Milcìicìl cỉ aì.

1965

)

"1

ệ 4 2 -s 1 X1Q „ Ị Ị ình 3.8: I 2 Sìỉ kỉiâiiị’ nrơng \K'/ÌỌ “ 1 X 1 0 7 ’ j 1 X o V i t a dim if t r o í i i ỉ k l ì à 6 4 ị h i í’li íiìì hệ sò' r o il ự) 2 n h ư lủ chỉ báo vĩ !)1Ô 1 10 J k h á i t ã i i q l i i á i i ì t r v i i í ị í n í ờ ì i i ỉ l í ự p 6

íiĩừ sĩ’! iláni chùi

( ỉ ỉ t c o M i t c i t e l l C I d ì . 1 9 6 5 ) ĩ

1 x 1 0

96 100 104 108 112 116 120

Dung trang khó

Sự giảm kích thước cuc dấl và loại Irừ các lỗ rỗng giữa các cục sẽ cho các lỗ rống vi kết cấu nhó hơn và dẫn đến khá nãng thấm nhỏ hơn. Điều này được Bcnson và Daniel (1990) xác nhận bầng thực nghiệm.

Không giống trường hợp của cát. hoá hoc của sự thẩm thâu (ngoài tính chấí vật tí cúa độ nhớt) ảnh hướng tính (hâm đất sét đầm chặt. Đó là do hoá bể mặt mà các hạt sét biếu hiện khi tương tác với chất [ỏng lỏ rỗng trong giai đoan chế bị cũng như trong giai đoạn thấm. Lí Ihuyết lớp kép khuếch tán đã đề cập trong chương 2 cho cơ sở để rút ra các kếl ỉuận tổng quát vé hoá thẩm [hâu biên đối vi cấu trúc cưa đất sét đầm chặl như thê nào. Dựa (rcn sự thẩm thấu dang xúc tiến cấu trúc kct hông hay phân tán. ít nhất có khá năng phòng đoán định tính ánh hương đcn tính llũím. Các yếu tô' làm ạiàm bé dày lứp kép hav chiều dài Debye [1/K. ơ đây K biêu thị bằng phương trình (2-10)1. lạo ra kết câu kèì bòng trong khi có thể ỉàni lảng kết câu phân tán. Nói chung, kết cấu kết bông làm tãng tính thấm còn kết cấu phân tán làm giảm lính ihấm. Dựa trên các ánh hướng của thanh phần chíít lỏng lỗ rỗng đến bề dày lớp kép khuếch tán, cỏ thể phỏng đoán các biến đổi giống như Ihc về tính thấm. Xu hướng biến dổi tính thấm do sự biên đổi các tíiông sò chất lóng lỗ rỗng phổ biến được thấy trong bảng 3.1. Nehiên cứu thực nghiệm cúa Mitchcll và Madsen (1987), dã khảng định xu hướng định tính thây trong háng .1.1. Tuy nhiên, nhicu nhà khao sát đã hạn chế cho các lìOií chấl tinh khiết và ihờị gian Ihí nghiệm thấm là ngắn. Các ánh hướng cùa một sỏ chất ỏ nhiễm thực, đa dạng đến cấu trúc đất và k chưa đưực tbiếl lập và các vấn đe nàv sẽ là phạm vi nghìcn cứu sôi động cần được tiếp tục trong kì thuật địa môi trường.

Bang 3.1. Các xu hướng biến đoi tính thấm do tâng cao

No documento Kỹ thuật địa môi trường - Nguyễn Uyên (páginas 62-71)