A adequação de L(G)

Para tratarmos da correção e completude para a lógica monádica do muito, seguiremos os passos utilizados por Halmos e Givant (1998) para a demonstração da correção e completude para a Lógica Monádica.

As questões a respeito da correção e completude desempenham um papel de grande relevância na lógica monádica do muito, assim como quando são tratadas no cálculo proposicional. Segundo Halmos e Givant (1998), estas questões estão relacionadas com a teoria da representação para álgebra monádica, assim como as questões análogas para o cálculo proposicional estão ligadas à teoria da representação para a álgebra Booleana.

Antes de tratarmos de tais conceitos é necessário especificarmos modelos “concretos”. No entanto, o teorema da semisimplicidade aponta para o que esses modelos devam ser.

Definição 5.3.1: Um modelo é uma lógica monádica do muito (

M

, F), em que

M

é uma álgebra O-valorada monádica funcional do muito com um domínio não-vazio e F é o filtro trivial do muito {1}.

É natural considerarmos álgebras O-valoradas monádicas funcionais do muito porque, como foi apontado anteriormente, elas podem ser visualizadas como álgebras de conjuntos, enriquecidas com o quantificador monádico simples. Notemos que uma vez que uma álgebra

O-valorada monádica funcional do muito com um domínio não vazio é simples, então F só pode ser {1} ou M, e a segunda opção é obviamente desinteressante.

Definição 5.3.2: Uma interpretação de uma lógica monádica do muito (

M

, F) em um modelo (B, {1}) é um homomorfismo monádico do muito f de

M

em B tal que, se p Î F, então f(p) = 1.

Um modo conveniente de expressar as condições é dizermos que cada elemento é uma verdade demonstrável na interpretação. Equivalentemente, uma interpretação de (

M

, F) em (B, {1}) é homomorfismo monádico do muito de

M

/F para B.

Teorema 5.3.1: A lógica monádica do muito (

M

, F) é semanticamente correta se ela tem uma interpretação, isto é, se existe um homomorfismo f: (

M

, F) ® (B, {1}), tal que se p Î F, então f(p) = 1.

Demonstração: É uma consequência da Proposição 5.2.7 que (

M

, F) é correta apenas no caso do filtro F ser próprio. De fato, se F não é próprio, então ele contém 0, e nenhum homomorfismo com uma imagem não trivial pode atribuir 0 e 1. Por outro lado, se F é próprio, então existe um filtro do muito maximal H que o inclui. O homomorfismo canônico f é definido de (

M

, F) em (

M

/H, {1}). Além disso, considerando que

M

/H é simples, pois H é maximal, então (

M

/H, {1}) é isomorfo a um modelo (B, {1}), Portanto, f é uma interpretação. ■

Definição 5.3.3: Um elemento p de

M

é dito válido sempre que é verdadeiro em toda interpretação.

Corolário 5.3.1: (Correção) Se p é demonstrável em (

M

, F), então p é válido em (B, {1}).

Pela correção temos que todo elemento demonstrável é válido. Assim, não poderiam existir elementos em

M

que não são demonstráveis, mas que são válidos.

Definição 5.3.4: Uma lógica é semanticamente completa segundo um modelo se todo elemento válido é demonstrável na lógica.

A definição acima também pode ser expressa pela sua contrapositiva: uma lógica é semanticamente completa se todo elemento refutável é não válido. Dado um modelo (B, {1}), dizemos que um elemento p é não válido se f(p) = 0, para alguma interpretação, ou seja, se p é falso em alguma interpretação. Desse modo, podemos dizer que completude semântica pode ser descrita dizendo que toda verdade é demonstrável.

Vejamos como os elementos algébricos nos ajudam neste quesito.

Suponhamos que o filtro do muito F em (

M

, F) seja relativamente grande. Se, em particular, F é muito grande, ou seja, F = M, então a lógica é trivialmente semanticamente completa, pois todo elemento de M é provável. Este caso não é relevante. Agora, se F ¹ M, então a álgebra quociente

M

/F pode ser formada, e o problema de decidir se deve ou não a lógica (

M

, F) ser semanticamente completa se reduz para a questão sobre a álgebra

M

/F.

Teorema 5.3.2 (Teorema da completude semântica para a lógica monádica do muito): Toda lógica monádica do muito é semanticamente completa.

Demonstração: Desde que cada interpretação de (

M

, F) num modelo (B, {1}) induz, de forma natural, um homomorfismo de

M

/F em B e como a única restrição sobre B é que seja uma álgebra simples, então a questão da completude semântica torna-se: sob quais condições sobre a álgebra quociente

M

/F tem-se que se p um elemento refutável de

M

/F, então lhe é atribuído o valor 0 em B, poralgum homomorfismo de

M

/F na álgebra simples B? Em outras palavras: quando

M

/F é semissimples? Segundo o Teorema 5.2.3, toda álgebra monádica do muito é semissimples e, dessa maneira, toda lógica monádica do muito é semanticamente completa. ■

Corolário 5.3.2 Se p é válido em (B, {1}), então p é provável em (

M

, F).

Demonstração: O teorema anterior mostra também que se p é refutável em (

M

, F), então p não é válido em (B, {1}). ■

Dessa forma, mostramos que a lógica monádica do muito é correta e completa. Como mostramos no capítulo anterior que a álgebra de Lindenbaum da Lógica do Muito é uma lógica monádica do muito, então temos também a adequação da Lógica do Muito segundo as álgebras monádicas do muito.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Ao observarmos a relação entre linguagem natural e quantificação, percebemos que as lógicas moduladas contribuem para a compreensão das relações entre lógica e linguagem, pois tratam de quantificadores presentes na linguagem natural, cotidiana e que não podem ser formalizados na lógica clássica de primeira ordem, já que esta utiliza somente dos quantificadores definidos a partir dos clássicos universal e existencial.

Como vimos no decorrer deste trabalho, não há uma definição geral sobre quantificadores. No entanto, vimos que existem diversos estudos que tratam da formalização destes, como os analisados no Capítulo 1, em que estudamos o conceito de quantificador, desde os estudos de Aristóteles com seus silogismos, até a teoria dos quantificadores generalizados.

No Capítulo 2, estudamos os modelos para quantificadores, para que pudéssemos entender como estes são interpretados na lógica. Vimos, também, a forma como Halmos (1962) aborda o conceito de quantificadores e como os interpreta na lógica monádica.

Abordamos, no Capítulo 3,a questão da noção de “muitos”, que está presente no nosso cotidiano. Por exemplo, quando dizemos “Na sala de aula há muitos alunos”, temos associado a esta proposição um conjunto grande de evidências, ou seja, um parâmetro de grandeza/quantidade. Este conjunto é formado pelos alunos que estão presentes na sala de aula, entretanto as evidências observadas, que tornam a proposição verdadeira, não necessariamente representa mais da metade dos indivíduos do universo. Assim, claramente, para responder questões do tipo: “quantos são muitos?” ou “quais elementos são necessários a um determinado conjunto para que seja possível dizer que este conjunto possui muitos elementos?”, faz-se necessário definirmos em qual universo de discurso as questões estão sendo abordadas e qual o conceito envolvido.

Grácio (1999) estabeleceu uma formalização no ambiente quantificacional (não- clássico) para o conceito de “muitos”, propondo algumas propriedades, regras e axiomas. No Capítulo 3 estudamos as lógicas moduladas, conceito fundamental para entendermos a lógica do muito, proposta por Grácio, sua sintaxe e sua semântica.

Usualmente, quando pensamos em lógica, nos tempos atuais, consideramos um aparato dedutivo constituído sobre uma linguagem formal e uma estrutura matemática que serve como modelo ou interpretação do aspecto formal. O aspecto formal deve contemplar a

dedução lógica (uma para cada lógica) e, desse modo, cada modelo deve se adequar a esta lógica.

A partir do Capítulo 4, estudamos os sistemas monádicos tratados por Halmos (1962) e criamos as álgebras monádicas do muito a partir do trabalho de Halmos. Mas o que significam? Nestes sistemas quantificamos sobre uma única variável. Não podemos, por exemplo, descrever a sentença “para todo x, existe y tal que x > y”, pois temos nesta sentença duas variáveis envolvidas. Halmos trata da versão monádica da lógica de primeira ordem, ou seja, só podemos escrever expressões do tipo: $x j(x), "x y(x), em que $ é um quantificador existencial, " é um quantificador universal e j, y são fórmulas do sistema formal. Por meio dos estudos realizados por Grácio (1999), Halmos (1962) e Halmos e Givant (1998) formalizamos uma lógica monádica do muito, em que podemos formalizar, não só expressões do tipo $x j(x) e "x y(x), mas também do tipo Gx a(x), em que G é o quantificador do muito e a é uma fórmula da lógica monádica do muito.

Propomos, também, olhando para a álgebra monádica de Halmos (1962), as álgebras monádicas do muito, com propriedades e resultados de grande relevância para o estudo algébrico.

Dessa forma, neste trabalho, criamos o nosso modelo algébrico, ou seja, as álgebras monádicas do muito, adaptando os resultados válidos para modelos algébricos Booleanos para o conceito de “muitos”. Pois, uma álgebra monádica do muito é uma álgebra monádica, tratada por Halmos, com o acréscimo do quantificador do muito G e, esta, por sua vez, é uma álgebra Booleana.

A partir do modelo proposto, isto é, da álgebra monádica do muito, para formalizar o conceito de “muitos”, mas agora, num ambiente algébrico e monádico, precisaríamos mostrar que a lógica monádica do muito é correta e completa.

Correção e Completude são propriedades fundamentais da lógica. De maneira simples podemos dizer que a correção de um sistema dedutivo é a propriedade segundo a qual toda sentença que é demonstrável no sistema dedutivo é verdadeira, ou válida, sobre todas as interpretações ou modelos da teoria semântica para a linguagem sobre a qual a teoria está baseada. Já a recíproca da correção é a propriedade da completude. Em suma, informalmente, podemos dizer que há um teorema da correção para um sistema dedutivo expressa que todas as sentenças demonstráveis são válidas, ou seja, são verdadeiras no modelo considerado; e a completude, estabelece que todas as sentenças válidas são demonstráveis.

Por fim, no Capítulo 5, mostramos que a lógica monádica do muito é correta e completa com relação ao nosso modelo proposto, ou seja, as álgebras monádicas do muito. E, consequentemente, que a lógica do muito é correta e completa segundo aquele modelo.

Uma sugestão para um possível trabalho futuro seria a apresentação de um sistema algébrico do muito, que não trabalhasse somente com uma única variável (sistema monádico), mas sim um sistema poliádico, talvez seguindo os mesmos passos tratados por Halmos (1962).

A abordagem de Halmos é elegante e completamente algébrica. Ela permite mostrar para uma fórmula qualquer que ela é demonstrável se, e somente se, ela é válida, a adequação fraca. Mas não explicita como seria a passagem para as consequências dedutiva e lógica. Talvez seja interessante investigar a adequação forte segundo os elementos algébricos dados por Halmos.

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APÊNDICE A - Reticulados, Álgebra de Boole, Filtros e Ideais, Ultrafiltros.

A1. Reticulados

Esta seção será baseada em (MIRAGLIA, 1987).

Definição A1.1: Um reticuladoé uma estrutura algébrica determinada por um conjunto não- vazio R e duas operações binárias Ù (conjunção) e Ú (disjunção) tal que, para todos x, y e z em R, as seguintes leis devem ser satisfeitas:

R1: x Ù y = y Ù x; x Ú y = y Ú x (comutativa) R2: x Ù (y Ù z) = (x Ù y) Ù z; x Ú (y Ú z) = (x Ú y) Ú z (associativa) R3: (x Ù y) Ú y = y; (x Ú y) Ù y = y (absorção)

Denotamos um reticulado por R = (R, Ù, Ú).

Proposição A1.1: Se R = (R, Ù, Ú) é um reticulado, então para todos x, y Î R tem-se que: R4: x Ù x = x = x Ú x (idempotência)

R5: x Ù y = x Û x Ú y = y (ordenação) Demonstração:

R4: De R3 tem-se que [(x Ú x) Ù x] Ú x = x (I) De R3 tem-se que (x Ú x) Ù x = x (II) Substituindo (II) em (I), temos que x Ú x = x.

Analogamente, de R3 tem-se que [(x Ù x) Ú x] Ù x = x (I) De R3 tem-se que (x Ù x) Ú x = x (II) Substituindo (II) em (I) temos que x Ù x = x.

R5: Seja x Ù y = x (I)

De R3 tem-se que (x Ù y) Ú y = y (II) Substituindo (I) em (II), temos que x Ú y = y.

Seja x Ú y = y

De R3 tem-se que (y Ú x) Ù x = x (II) Substituindo (I) em (II), temos que y Ù x = x

De R1 vem que x Ù y = x. ■

Definição A1.2: Seja R é um reticulado. Para x, y Î R, a ordem de R é definida por: x ≤ y Û x Ù y = x.

Pela Proposição A.1.1, temos que x Ù y = x Û x Ú y = y, assim podemos definir também x ≤ y Û x Ú y = y. Um reticulado R pode ser visto, também, como uma estrutura ordenada R = (R, £) em que £ é uma relação de ordem definida por meio de uma das equivalências: x ≤ y Û x Ú y = y ou x ≤ y Û x Ù y = x.

Proposição A1.2: A relação £ em um reticulado R = (R, Ù, Ú) possui as seguintes propriedades:

(i) x ≤ x (reflexiva)

(ii) x ≤ y e y ≤ x Þ x = y (anti-simétrica) (iii) x ≤ y e y ≤ z Þ x ≤ z (transitiva) Demonstração:

(i) Pela Definição A1.2 x Ù y = x Û x ≤ y. Pela propriedade da idempotência temos: x Ù x = x. Portanto, x Ù x = x Û x ≤ x.

(ii) Pela Definição A1.2 temos que: x ≤ y Þ x Ù y = x e também que y ≤ x Þ y Ù x = y. Por comutatividade temos: y ≤ x Þ x Ù y = y. Logo, x ≤ y e y ≤ x Þ x = y.

(iii) Pela Definição A1.2 x ≤ y Þ x Ù y = x (I) e y ≤ z Þ y Ù z = y (II). Substituindo (II) em (I), temos x ≤ y e y ≤ z Þ x Ù (y Ù z) = x. Pela associativa temos: x ≤ y e y ≤ z Þ (x Ù y) Ù z = x. Substituindo (I) nessa última sentença obtemos: x ≤ y e y ≤ z Þ x Ù z = x. Como pela Definição A1.2 x Ù z = x Û x ≤ z. Portanto, x ≤ y e y ≤ z Þ x ≤ z. ■

Proposição A1.3: Se R = (R, Ù, Ú) é um reticulado, então as seguintes propriedades são válidas, para todo x, y, w, z Î R:

(ii) x Ù y £ x e x Ù y £ y; (iii) x £ w e y £ w _{⇒x Ú y £ w;} (iv) w £ x e w £ y _{⇒ w £ x Ù y;} (v) x £ y e w £ z _{⇒ x Ù w £ y Ù z e x Ú w £ y Ú z;} (vi) x £ y _{⇒ x Ù w £ y Ù w e x Ú w £ y Ú w.} Demonstração: (i) De R1 e R3, temos: x Ù (x Ú y) = (x Ú y) Ù x = (y Ú x) Ù x = x e y Ù (x Ú y) = (x Ú y) Ù y = y. Assim, pela Definição A1.2, x £ x Ú y e y £ x Ú y.

(ii) De R1 e R3, temos: (x Ù y) Ú x = (y Ù x) Ú x = x e (x Ù y) Ú y = y. Assim, pela Definição A1.2, x Ù y £ x e x Ù y £ y.

(iii) Se x £ w e y £ w, então de R1 e R2, da Definição A1.2 e da Proposição A1.1 : (x Ú y) Ú w = (x Ú y) Ú (x Ú w) = (x Ú x) Ú (y Ú w) = x Ú w = w. Logo, x Ú y £ w.

(iv) Se w £ x e w £ y, então de R1 e R2, da Definição A1.2 e da Proposição A1.1 : w Ù (x Ù y) = (w Ù x) Ù(x Ù y) = (w Ù y) Ù (x Ù x) = w Ù x = w. Logo, w £ x Ù y.

(v) Se x £ y e w £ z, então de R1 e R2 e da Definição A1.2: (x Ù w) Ù (y Ù z) = (x Ù y) Ù (w Ù z) = x Ù y e (x Ú w) Ú (y Ú z) = (x Ú y) Ú (w Ú z) = (w Ú z). Logo, x Ù w £ y Ù z e x Ú w £ y Ú z.

(vi) Se x £ y, então pela Definição A1, x Ù y = x e x Ú y = y. Pelas leis R1, R2 e pela Proposição A1.1: (x Ù w) Ù (y Ù w) = (x Ù y) Ù (w Ù w) = x Ù w e (x Ú w) Ú (y Ú w) = (x Ú y) Ú (w Ú w) = y Ú w. Logo, x Ù w £ y Ù w e x Ú w £ y Ú w. ■

Definição A1.3: Sejam R = (R, Ù, Ú) um reticulado e _{∅ ≠ A ⊆ R. Um elemento s Î R é um} limitante superior de A quando: "x (x Î A ® x £ s). Um elemento i Î R é um limitante inferior de A quando: "x (x Î A ® i £ x).

Definição A1.4: Sejam R = (R, Ù, Ú) um reticulado e _{∅ ≠ A ⊆ R. Um elemento m Î A é um} máximo de A quando: "x (x Î A ® x £ m). Um elemento m’ Î A é mínimo de A quando: "x (x Î A ® m’ £ x).

O máximo de A será denotado por max(A) e o mínimo de A por min(A). É possível observar que o max(A) é sempre um limitante superior de A, mas nem todo limitante superior de A é um max(A). Analogamente, todo min(A) é um limitante inferior de A, mas nem todo limitante inferior de A é um min(A).

Definição A1.5: Sejam (R, £) uma ordem parcial e ∅ ≠ A ⊆ R. O supremo de A, caso exista, é o menor dos limitantes superiores de A. O ínfimo de A, caso exista, é o maior dos limitantes inferiores.

O supremo de A será denotado por sup(A) e o ínfimo de A por inf(A).

Exemplo A1.1: Sejam (E, £) uma ordem parcial em que E = {a, b, c, d, e} e a ordem é dada pelo diagrama abaixo (a flecha que vai de um elemento a outro significa que o primeiro é menor ou igual ao segundo):

Podemos observar no diagrama o seguinte: o limitante superior de {a, b} é o elemento a, os limitantes inferiores de {a, b} são os elementos b e e, max{a, b} = a, min{a, b} = b, sup{a, b} = a e inf{a, b} = b. Agora, tomando {b, e} ao invés de {a, b} teremos que o limitante superior de {b, e} é o elemento a, mas não é o max{b, e}. Temos também que limitante superior de {b, c} é o elemento a, limitante inferior de {b, c} é o elemento e, não existe max{b, c}e nem min{b, c}, sup{b, c} = a e inf{b, c} = e. Assim, temos que a é sup{b, c}, mas não é max{b, c} e o elemento e é inf{b, c}, mas não é min{b , c}.

Proposição A1.4: Num reticulado R = (R, ≤) tem-se que: (i) sup{x, y} = x Ú y

(ii) inf{x, y} = x Ù y.

Demonstração: (i) Por R3, temos que x Ù y ≤ y £ x Ú y. Assim, x Ú y é limitante superior de {x, y} e x Ù y é limitante inferior de {x, y}. Agora, se x £ w e y £ w, então pela Proposição A1.3 item (iii), temos que x Ú y £ w, e, portanto, x Ú y = sup {x, y}. Analogamente, se w £ x e w £ y, então pela Proposição A1.3 (iv), temos w £ x Ù y = inf {x, y}. ■

Proposição A1.5: Seja (R, £) uma ordem parcial tal que para quaisquer x, y Î R existem sup{x, y} e inf{x, y}. Então (R, Ù, Ú) é um reticulado para x Ú y = sup{x, y} e x Ù y = inf{x, y}.

Demonstração: A comutatividade é válida para quaisquer x, y Î R, pois: Como y Ù x = inf{y, x}, então y Ù x £ x e y Ù x £ y, isto nos garante que y Ù x é um limitante inferior de {x, y}, visto que x Ù y é inf{x, y}, temos que y Ù x £ x Ù y. Analogamente, como x Ù y = inf{x, y}, então x Ù y £ y e x Ù y £ x, o que nos garante que x Ù y é um limitante inferior de {y, x}, visto que y Ù x = inf{y, x}, x Ù y £ y Ù x. Assim, pela propriedade anti-simétrica, x Ù y = y Ù x. O procedimento, utilizando o supremo, é análogo para x Ú y = y Ú x.

A associatividade é válida para quaisquer x, y, z Î R, pois: Como (x Ù y) Ù z = inf{x Ù y, z}, então (x Ù y) Ù z £ z (I) e (x Ù y) Ù z £ x Ù y, sabemos que x Ù y = inf{x, y}, logo, x Ù y £ x (II) e x Ù y £ y. Pela transitividade, como (x Ù y) Ù z £ x Ù y e x Ù y £ y, (x Ù y) Ù z £ y (III). De (I) e (III), (x Ù y) Ù z é um limitante inferior de {y, z, sabemos que y Ù z = inf{y, z}, logo (x Ù y) Ù z £ y Ù z (IV). De (II) e (IV), (x Ù y) Ù z é um limitante inferior de {x, y Ù z}, como x Ù (y Ù z) = inf{x, y Ù z}, (x Ù y) Ù z £ x Ù (y Ù z). Utilizando o mesmo raciocínio, temos x Ù (y Ù z) £ (x Ù y) Ù z. Pela propriedade anti-simétrica, x Ù (y Ù z) = (x Ù y) Ù z. O procedimento é análogo para o supremo, ou seja, x Ú (y Ú z) = (x Ú y) Ú z.

A absorção é válida para quaisquer x, y Î R, pois: Como x Ú y = sup{x, y}, então y £ x Ú y (I). Pela reflexividade, y £ y (II). De (I) e (II), y é limitante inferior de {x Ú y, y}, como (x Ú y) Ù y = inf{x Ú y, y}, então y £ (x Ú y) Ù y (III). Por outro lado, como (x Ú y) Ù y = inf{x Ú y, y}, então (x Ú y) Ù y £ y (IV). Assim, de (III), (IV) e propriedade anti-simétrica, (x Ú y) Ù y = y. O procedimento é análogo para o caso (x Ù y) Ú y = y.

Exemplo A1.2: O conjunto {a, b, c, d, e, f} é um reticulado com respeito à ordem parcial dada pelo diagrama a seguir, pois, para quaisquer x, y Î {a, b, c, d, e, f}, existe sup{x, y} e inf{x, y}.

Definição A1.6: Um reticulado R = (R, Ù, Ú) tem zero se existe um min(R), e tem um se existe um max(R).

Indicamos o zero e o um de R por 0 = min(R) e 1 = max(R), respectivamente.

Se R tem o zero, então x Ù 0 = 0 e x Ú 0 = x e se tem o um, então x Ù 1 = x e x Ú 1 = 1, para todo x Î R.

Proposição A1.6: Seja R = (R, Ù, Ú) um reticulado. (i) Se existe um mínimo em R, então ele é único. (ii) Se existe um máximo em R, então ele é único.

Demonstração: (i) Suponhamos que 0 e 0’ são mínimos em R. Assim, para x Î R, x Ù 0 = 0 e x Ù 0’ = 0’. Deste modo, 0 = 0’ Ù 0 = 0 Ù 0’ = 0’. Logo, 0 = 0’, ou seja, se existe algum mínimo em R, então ele é único.

(ii) Suponhamos que 1 e 1’ são máximos em R. Assim, para todo x Î R, x Ú 1 = 1 e x Ú 1’ = 1’. Deste modo, 1 = 1’ Ú 1 = 1 Ú 1’ = 1’. Logo, 1 = 1’, ou seja, se existe algum máximo em R, então ele é único. ■

Proposição A1.7: Todo reticulado finito tem 0 e 1.

Demonstração: Sejam x1, ..., xn os elementos do reticulado R e seja y = x1 Ú ... Ú xn. Então y é um 1 do reticulado, pois, xi £ y para todo i. Analogamente, x1 Ù ... Ùxn é um 0 do reticulado. ■

Definição A1.7: Um reticulado R = (R, Ù, Ú) é distributivo quando as seguintes leis são válidas para todos x, y, z Î R:

R6: (x Ù y) Ú z = (x Ú z) Ù (y Ú z); (x Ú y) Ù z = (x Ù z) Ú (y Ù z) (distributiva do lado direito).

Devido à propriedade de comutatividade, as leis distributivas do lado esquerdo também são válidas.

Teorema A1.1: Em qualquer reticulado x Ù (y Ú z) = (x Ù y) Ú (x Ùz) é equivalente a x Ú (y Ù z = (x Ú y) Ù (x Ú z).

Demonstração:

(⇒) De R1, R2, R3 e x Ù (y Ú z) = (x Ù y) Ú (x Ùz): (x Ú y) Ù (x Ú z) = [(x Ú y) Ù x] Ú [(x Ú y) Ù z] = [(y Ú x) Ù x] Ú [(x Ú y) Ù z] = x Ú [z Ù (x Ú y)] = x Ú [(z Ù x) Ú (z Ù y)] = [x Ú (z Ù x)] Ú (z Ù y) = [(x Ù z) Ú x] Ú (z Ù y) = x Ú (z Ù y) = x Ú (y Ù z).

(⇐)De R1, R2, R3 e x Ú (y Ù z = (x Ú y) Ù (x Ú z): (x Ù y) Ú (x Ùz) = [(x Ù y) Ú x] Ù [(x Ù y) Ú z] = [(y Ù x) Ú x] Ù [z Ú (y Ù x)] = x Ù [(z Ú y) Ù (z Ú x)] = [x Ù (z Ú x)] Ù (z Ú y) = [(z Ú x) Ù x] Ù (z Ú y) = x Ù (z Ú y) = x Ù (y Ú z). ■

Como em qualquer reticulado (x Ù y) Ú z = (x Ú z) Ù (y Ú z) é equivalente a (x Ú y) Ù z = (x Ù z) Ú (y Ù z). Então, na definição de reticulado distributivo, basta considerar uma destas propriedades distributivas.

Exemplo A1.3: A seguir temos um exemplo de um reticulado distributivo e de um reticulado não distributivo.

Temos:

(b Ù d) Ú (c Ù d) = b Ú c = d

Como (b Ú c) Ù d = (b Ù d) Ú (c Ù d), então esse reticulado é distributivo.

(b Ù c) Ú d = 0 Ú d = d (b Ú d) Ù (c Ú d) = 1 Ù 1 = 1

Como (b Ù c) Ú d _{≠ (b Ú d) Ù (c Ú d), temos que esse reticulado não é distributivo.} Definição A1.8: Sejam R = (R, ÙR, ÚR) e R’ = (R’, ÙR’, ÚR’) reticulados e h: R ® R’ uma função. Dizemos que h é um homomorfismo de reticulados se para todos x, y Î R temos h(x ÙR y) = h(x) ÙR’ h(y) e h(x ÚR y) = h(x) ÚR’ h(y).

Proposição A1.8: Sejam R = (R, ÙR, ÚR) e R’ = (R’, ÙR’, ÚR’) reticulados. Se h: R ® R’ é um homomorfismo de reticulados, então h é crescente.

Demonstração: Para todos x, y Î R, se x £ y, então x ÙR y = x e como h é um homomorfismo de reticulados: h(x) ÙR’ h(y) = h(x ÙR y) = h(x). Portanto, h(x) £ h(y). Logo, h é crescente. ■

Definição A1.9: Um homomorfismo de reticulados h: R ® R’ é injetivo se para todos x, y Î R, se h(x) = h(y), então x = y.

Definição A1.10: Um homomorfismo de reticulados h: R ® R’ é sobrejetivo se para todo y Î R’ existe x Î R tal que h(x) = b.

Definição A1.11: Um homomorfismo de reticulados h: R ® R’ é bijetivo se é injetivo e bijetivo.

Definição A1.12: Um isomorfismo de reticulados é um homomorfismo de reticulados bijetivos.

Definição A1.13: Sejam R = (R, Ù, Ú) um reticulado com 0 e x Î R. Caso exista, -x = max{y

No documento CAMILA AUGUSTA VAINE (páginas 78-113)