Filtros, ideais e ultrafiltros do muito

Nesta seção trataremos dos filtros e ultrafiltros do muito com base em (VAINE, C. A., 2009).

Definição 4.2.2.1: Seja M = (M, 0, 1, Ù, Ú, ~, #) uma álgebra do muito e F um filtro em M. O filtro F é um filtro do muito quando a Î F Þ #a Î F.

Se F é um filtro e a1, a2, ..., an Î F, por indução sobre n temos que a1 Ù a2 Ù ...Ù an Î F.

Definição 4.2.2.2: Seja M = (M, 0, 1, Ù, Ú, ~, #) uma álgebra do muito e I um ideal em M. O ideal I é um ideal do muito quando a Î I Þ #a Î I.

Definição 4.2.2.3: Um ultrafiltro do muito em uma álgebra do muito M = (M, 0, 1, Ù, Ú, ~, #) é um filtro U tal que, para todo a Î M, exatamente um dentre os elementos #a e ~#a pertence a U.

Assim, todo ultrafiltro é um ultrafiltro do muito, mas não vale a recíproca.

Proposição 4.2.2.1: Seja M = (M, 0, 1, Ù, Ú, ~, #) uma álgebra do muito e F Í M um filtro. As seguintes condições são equivalentes:

(i) F é um filtro do muito; (ii) ~aÙb Î F Þ #(~a)Ù#b Î F.

Demonstração: ((i) Þ (ii)) ~aÙb Î F Þ #(~aÙb) Î F. Visto que, #(~aÙb) £ #(~a)Ù#b, então #(~a) Ù #b Î F.

((ii) Þ (i)) Se a Î F, como a = 1Ùa = ~0 Ù a, então (~0Ùa) Î F. Por (ii), (#~0Ù#a) Î F Þ (#1Ù#a) Î F Þ (1Ù#a) Î F Þ #a Î F. ■

Proposição 4.2.2.2: Seja M = (M, 0, 1, Ù, Ú, ~, #) uma álgebra do muito e Æ ¹ A Í M. O conjunto [A] = {a Î M: (existem a1, ..., an Î A)(#(a1 Ù ... Ù an) £ a)} é um filtro.

Demonstração: (i) Se a, b Î [A], então existem a1, ..., an, b1, ..., bn Î A tal que #(a1Ù ... Ù an)

aÙb e, portanto, aÙb Î [A]. (ii) Se a Î [A] e a £ b, então existem a1, ..., an Î A tal que #(a1Ù

... Ù an) £ a £ b e, portanto, b Î [A]. Logo, [A] é um filtro. ■

O filtro [A] definido na Proposição 4.2.2.2 é o filtro gerado por A.

Agora relembraremos alguns conceitos tratados no Apêndice, visto que serão utilizados na Proposição 4.2.2.3.

Sabemos que se F é um filtro em uma álgebra de Boole B = (B, 0, 1, Ù, Ú, ~) então F Í B, F é próprio quando F ¹ B.

Vimos que se F é um filtro em uma álgebra de Boole B = (B, 0, 1, Ù, Ú, ~), então o filtro F é maximal quando ele é próprio e ele não é subconjunto próprio de qualquer filtro próprio de F.

Lembremos que se F é um filtro em uma álgebra de Boole B = (B, 0, 1, Ù, Ú, ~) e F é primo quando ele é próprio e para todo a, b Î B tem- se que: aÚb Î F Þ a Î F ou b Î F.

Por fim, sabemos que se F é um filtro em uma álgebra de Boole B = (B, 0, 1, Ù, Ú, ~), F é irredutível se ele é próprio e para quaisquer dois filtros F1 e F2: F = F1 Ç F2 Þ F = F1 ou F = F2.

De outro modo, se F é próprio, então existe a Î B tal que a Ï F e, portanto 0 Ï F.

Proposição 4.2.2.3: Seja F um filtro em uma álgebra do muito M = (M, 0, 1, Ù, Ú, ~, #). As seguintes condições são equivalentes:

(i) F é maximal; (ii) F é um ultrafiltro; (iii) F é primo; (iv) F é irredutível;

(v) Para todo a, b Î M, aÚ~b Î F ou bÚ~a Î F.

Demonstração: Como M é uma álgebra de Boole, então (i), (ii), (iii) e (iv) são equivalentes. Vamos mostrar a equivalência entre (iii) e (v).

(iii) Þ (v) Sejam a, b Î M. Como (aÚ~b) Ú (bÚ~a) = 1 Î F e F é primo, então aÚ~b Î F ou bÚ~a Î F.

(v) Þ (iii) Seja aÚb Î F. Se aÚ~b Î F, então a = aÚ(aÙ~b) = aÚ((aÙ~b)Ú0) = aÚ((aÙ~b)Ú(bÙ~b)) = ((aÚb)Ùa)Ú((aÚb)Ù~b) = (aÚb)Ù(aÚ~b) Î F. Se bÚ~a Î F, então b = (aÚb)Ù(bÚ~a) Î F._■

Definição 4.2.2.4: Seja F um filtro do muito em uma álgebra do muito M = (M, 0, 1, Ù, Ú, ~, #). O filtro do muito F é m-primo quando ele é um filtro próprio e para todos a, b Î M tem-se: #aÚ#b Î F Þ #a Î F ou #b Î F.

Definição 4.2.2.5: Seja F um filtro do muito em uma álgebra do muito M = (M, 0, 1, Ù, Ú, ~, #). O filtro do muito F é m-maximal quando ele é próprio e não é subconjunto próprio de qualquer filtro do muito próprio distinto de F.

Definição 4.2.2.6: Seja F um filtro do muito em uma álgebra do muito _{M = (M, 0, 1, Ù, Ú, ~,} #). O filtro do muito F é m-irredutível quando ele é próprio e para quaisquer dois filtros do muito F1 e F2:

F = F1 Ç F2 Þ F = F1 ou F = F2

Observação: Seja F um filtro do muito. Se F é um filtro primo, então F é um filtro m-primo. Entretanto, é possível que F seja um filtro m-primo que não é primo. O mesmo vale para filtros m-maximal. Além de que, ser maximal não implica ser um filtro do muito e também ser filtro m-maximal.

Exemplo: Seja A = {a, b, c}. Considere a álgebra do muito M = (

P

(A), Ç, È, ’, Æ, A, #), tal que: #{a, b, c} = {a, b, c}, #{a, b} = {a, b}, #{a} = #{b} = #{c} = #{a, c} = #{b, c} = #Æ = Æ. O filtro do muito F = {A, {a, b}} é m-primo, mas não é primo.

Proposição 4.2.2.4: Se um filtro do muito é m-maximal, então ele é m-irredutível.

Demonstração: Seja F um filtro do muito m-maximal. Então, F é próprio. Agora, se F1 e F2 são dois filtros próprios do muito tal que F = F1 Ç F2, então F Í F1 e F Í F2. Como F é m- maximal, então F = F1 = F2. Logo, F é m-irredutível. ■

Proposição 4.2.2.5: Sejam M = (M, 0, 1, Ù, Ú, ~, #) uma álgebra do muito e F Í M um filtro do muito. As seguintes condições são equivalentes:

(i) F é um filtro m-primo; (ii) F é ultrafiltro do muito.

Demonstração: (i) Þ (ii) Se F é m-primo, então F é próprio. Logo, 0 Ï F. Se #a Î F e ~#a Î F, então #aÙ~#a = 0 Î F, o que é uma contradição. Também, como F é m-primo e #aÚ~#a = 1 Î F, então #a Î F ou ~#a Î F. Logo, F é um ultrafiltro do muito. (ii) Þ (i) Se F é um ultrafiltro do muito, então F é próprio. Se #aÚ#b Î F e #a Ï F, então, por hipótese, ~#a Î F. Assim, (#aÚ#b)Ù~#a Î F e (#aÚ#b)Ù~#a = (#aÙ~#a)Ú(#bÙ~#a) = 0Ú(#bÙ~#a) = #bÙ~#a £ #b. Como F é um filtro, então #b Î F. Logo, F é um filtro m-primo. ■

Observação: Nem todo filtro do muito m-primo é m-maximal. Por exemplo: Seja A = {a, b, c}, tal que # {a, b, c} = {a, b, c}; #{a, b} = {a, b}; #{a} = {a, c} = {a}; #{b, c} = #{b} = #{c} = Æ. Tomando F = {A, {a, b}}, temos que F é m-primo. Agora, seja G = {A, {a, b}, {a}}, então F Í G. Logo, F é m-primo, mas não é m-maximal.

Definição 4.2.2.7: Seja U um ultrafiltro do muito em uma álgebra do muito M = (M, 0, 1, Ù, Ú, ~, #). A relação binária ºU em M é definida por:

a ºU b Û aÚ~b Î U e bÚ~a Î U.

Proposição 4.2.2.6: Sejam U um ultrafiltro em uma álgebra do muito M = (M, 0, 1, Ù, Ú, ~, #). A relação ºU é uma congruência em relação às operações Ù, Ú, ~, e #, ou seja, º é uma relação de equivalência e, se a ºU b, então, ~a ºU ~b e #a ºU #b; e se a ºU b e c ºU d, então aÙc ºU bÙd e aÚc ºU bÚd.

Demonstração: Para que a relação ºU seja uma relação de equivalência deve satisfazer as propriedades reflexiva, simétrica e transitiva.

Reflexiva: a ºU a, pois aÚ~a = 1 Î U.

Simétrica: pois se a ºU b, então aÚ~b Î U e bÚ~a Î U Þ bÚ~a Î U e aÚ~b Î U. Logo b ºU a.

Transitiva: a ºU b e b ºU c Þ aÚ~b Î U, bÚ~a Î U, bÚ~c Î U e cÚ~b Î U Þ

(aÚ~b)Ù(bÚ~c) Î U Þ ((aÚ~b)Ùb)Ú((aÚ~b)Ù~c) Î U Þ

(aÙb)Ú(((aÚ~b)Ù(~cÚ~b))Ù~c) Î U Þ (aÙb)Ú((aÚ~b)Ù~c) Î U Þ ((aÙb)Ú(aÚ~b))Ù((aÙb)Ú~c) Î U Þ ((aÙb)ÚaÚ~b)Ù((aÚ~c)Ù(bÚ~c)) Î U Þ (aÚ~b)Ù(aÚ~c)Ù(bÚ~c) Î U. Como (aÚ~b)Ù(aÚ~c)Ù(bÚ~c) £ aÚ~c, então aÚ~c Î U. Analogamente, como (cÚ~b)Ù(bÚ~a) Î U, temos cÚ~a Î U. Logo, a ºU c. Dessa maneira, a relação ºU é uma relação de equivalência.

Demonstraremos neste momento que se a ºU b, então (i) ~a ºU ~b e (ii) #a ºU #b: (i) a ºU b Û aÚ~b Î U e bÚ~a Î U Û ~aÚb Î U e ~bÚa Î U Û ~aÚ~~b Î U e ~bÚ~~a Î U Û ~a ºU ~b. (ii) a ºU b Û aÚ~b Î U e bÚ~a Î U. Se a Î U, então #a Î U e ~aÏU Þ ~#aÏU e b Î U (pois, b Ï U Þ ~b Î U Þ aÙ~b Î U Þ ~(aÙ~b) Ï U Þ ~aÚb Ï U, o que contradiz bÚ~a Î U) Þ #b Î U Þ #aÚ~#b Î U e #bÚ~#a Î U Þ #a ºU #b. Se aÏU, então #aÏU e ~b Î U (pois, ~b Ï U Þ b Î U Þ bÙ~a Î U Þ ~bÚa = ~(bÙ~a) Ï U, contradizendo aÚ~b Î U) Þ ~#a Î U e bÏU Þ #bÏU Þ ~#b Î U Þ #aÚ~#b Î U e #bÚ~#a Î U Þ #a ºU #b.

Por último, demonstraremos que se a ºU b e c ºU d, então (iii) aÙc ºU bÙd e (iv) aÚc ºU bÚd: (iii) Se a ºU b e c ºU d, então aÚ~b Î U, bÚ~a Î U, cÚ~d Î U e dÚ~c Î U. Como U é um ultrafiltro e aÚ~b Î U, cÚ~d Î U, então aÚ~bÚ~d Î U, cÚ~bÚ~d Î U e, portanto, (aÙc)Ú~(bÙd) = (aÙc)Ú(~bÚ~d) = (aÚ~bÚ~d)Ù(cÚ~bÚ~d) Î U. Analogamente, como U é um ultrafiltro e bÚ~a Î U e dÚ~c Î U, então bÚ~aÚ~c Î U, dÚ~aÚ~c Î U e, portanto, (bÙd)Ú~(aÙc) = (bÙd)Ú(~aÚ~c) = (bÚ~aÚ~c)Ù(dÚ~aÚ~c) Î U. Logo, aÙc ºU bÙd. (iv) Se a ºU b e c ºU d, então aÚ~b Î U, bÚ~a Î U, cÚ~d Î U e dÚ~c Î U. Sendo U um ultrafiltro e aÚ~b Î U, cÚ~d Î U, então aÚcÚ~b Î U, aÚcÚ~d Î U e, portanto, (aÚc)Ú~(bÚd) = (aÚc)Ú(~bÙ~d) = (aÚcÚ~b)Ù(aÚcÚ~d) Î U. Analogamente, sendo U um ultrafiltro e bÚ~a Î U e dÚ~c Î U, então bÚdÚ~a Î U, bÚdÚ~c Î U, assim (bÚd)Ú~(aÚc) = (bÚd)Ú(~aÙ~c) = (bÚdÚ~a)Ù(bÚdÚ~c) Î U. Portanto, aÚc ºU bÚd. ■

Definição 4.2.2.8: Seja U um ultrafiltro do muito em uma álgebra do muito M = (M, 0, 1, Ù, Ú, ~, #). A classe de equivalência do elemento a Î U por ºU é dada por a/U = {b Î M: b ºU a}. O conjunto das classes de equivalência da relação ºU é dado por M/U = {a/U: a Î M}. Em M/U definimos: "a, b Î M, ~(a/U) = (~a)/U, #(a/U) = (#a)/U, a/UÙb/U = (aÙb)/U e a/UÚb/U = (aÚb)/U, 0 = 0/U, 1 = 1/U.

Proposição 4.2.2.7: Seja U um ultrafiltro do muito em uma álgebra do muito M = (M, 0, 1, Ù, Ú, ~, #). São válidas:

(i) M/U é uma álgebra do muito;

(ii) a função h: M → M/U definida por h(a) = a/U é um homomorfismo sobrejetivo; (iii) para todo a Î M, a Î U Û a ºU 1;

(iv) para todo a Î M, a Ï U Û a ºU 0; (v) M/U = {0/U, 1/U}.

Demonstração: (i) Vamos mostrar que #/ºU preserva as propriedades do operador #: (i) #(1/U) = (#1)/U = 1/U. (ii) #(0/U)Úa/U = (#0)/UÚ0/U = (#0Ú0)/U = 0/U. Ou seja, #(0/U) ≤ 0/U. (iii) #(a/UÙb/U)Ú#(a/U) = #((aÙb)/U)Ú(#a)/U = (#(aÙb))/UÚ(#a)/U = (#(aÙb)Ú#a)/U = (#a)/U = #(a/U). Ou seja, #(a/UÙb/U) ≤ #(a/U).

(ii) Mostraremos no primeiro momento que h é um homomorfismo: (i) h(aÙb) = (aÙb)/U = a/UÙb/U = h(a)Ùh(b). (ii) h(aÚb) = (aÚb)/U = a/UÚb/U = h(a)Úh(b). (iii) h(~a) = (~a)/U = ~(a/U) = ~h(a). (iv) h(#a) = (#a)/U = #(a/U) = #h(a). Vamos demonstrar que a função h é sobrejetiva: Se b/U Î M/U. Pela definição de h, h(b) = b/U.

(iii) (Þ) Se a Î U, então a = aÚ0 = aÚ~1 Î U e 1 = 1Ú~a Î U. Assim, a ºU 1. (Ü) Se a ºU 1, então a = aÚ0 = aÚ~1 Î U.

(iv) a Ï U Û ~a Î U Û ~a ºU 1 Û a ºU 0. (v) Segue da Definição 4.2.2.8 e itens (iii) e (iv). ■

Observação: Se U é um ultrafiltro do muito, então M/U é linearmente ordenada. Para justificar basta que olhemos para o item (v) da Proposição 4.2.2.7.

Observação: Todas as definições e proposições que foram apresentadas para o conceito de ultrafiltros podem ser obtidas dualmente para o conceito de ideal primo. Neste trabalho não apresentaremos tais definições e proposições.

4.2.3 Álgebras Monádicas do Muito

De maneira semelhante como foi definido na seção sobre álgebras monádicas funcionais, consideraremos um conjunto X (o domínio), tal que, X ≠ ∅ e uma álgebra do muito M (a álgebra-valor). Consideremos, também, MX como o conjunto de todas as funções de X em M, em que M é uma álgebra do muito com suas respectivas operações. Explicitamente, se p Î MX _{e q Î M}X_{, então o supremo pÚq e o complementar ~p são}

definidos por

(pÚq)(x) = p(x) Ú q(x) e ~p(x) = ~(p(x)), para cada x Î X.

O zero e a unidade de MX são definidos como as funções constante iguais a 0 e 1, respectivamente.

Consideremos A uma sub-álgebra de M. Agora, consideremos M como uma álgebra do muito (completa) de todos os subconjuntos de um conjunto Y, e se y é um ponto em Y, então o valor p(x) de uma função p em A corresponde de forma natural à seguinte proposição “y pertence a p(x)”. Já que o supremo em M é um conjunto união, então segue que cada valor de $p corresponde a “existe um x tal que y pertence a p(x)”, e dualmente, cada valor de "p corresponde a “para todo x, y pertence a p(x)”. Cada valor de Gp corresponde a “para muitos x, y pertence a p(x)”.

Definição 4.2.3.1: Um quantificador do muito é uma função G de uma álgebra do muito em si mesma, que satisfaz as condições de (i) – (iii) abaixo:

(i) "p £ Gp; (ii) Gp £ $p; (iii) G(pÙq) £ Gp.

A justificativa de (iii) segue da Definição 4.2.1.1 (iii).

Definição 4.2.3.2: Uma Álgebra Monádica do Muito é uma terna (M, $, G) em que (M, $) é uma álgebra monádica e G é um quantificador do muito em M.

A teoria algébrica elementar das álgebras monádicas do muito é semelhante à teoria das álgebras monádicas, com respeito aos conceitos de sub-álgebras, homomorfismos e ideais.

Definição 4.2.3.3: Um subconjunto B de uma álgebra monádica do muito

M

é uma sub- álgebra monádica do muito de

M

se B é uma sub-álgebra do muito de

M

e se é uma álgebra monádica do muito com respeito ao quantificador do muito em

M

. Ou seja, uma sub-álgebra

do muito B de

M

é uma sub-álgebra monádica do muito de

M

se, e somente, se, Gp Î B sempre que p Î B.

Definição 4.2.3.4: Um homomorfismo monádico do muito é uma função f de uma álgebra monádica do muito em outra álgebra monádica do muito, tal que f é um homomorfismo monádico e fGp = Gfp, para todo p.

Associado a cada homomorfismo f está seu núcleo {p: fp = 0}.

Definição 4.2.3.5: Um ideal monádico do muito é um ideal monádico I em

M

, tal que p Î I Þ Gp Î I.

Observação: O núcleo de um homomorfismo monádico do muito é um ideal monádico do muito.

Proposição 4.2.3.1: Seja

M

= (M, $, G) uma álgebra monádica do muito. Então, G1 = 1. Demonstração: Notemos que por definição, "1 = 1. Pela definição 4.2.3.1 (i), "1 £ G1, ou seja, 1 £ G1. Portanto, G1 = 1. ■

Proposição 4.2.3.2: Seja

M

= (M, $, G) uma álgebra monádica do muito. Então, G0 = 0. Demonstração: Notemos que por definição, $0 = 0. Pela definição 4.2.3.1 (ii), G0 £ $0, ou seja, G0 £ 0. Portanto, G0 = 0. ■

Por este resultado, não podemos dizer que 0 tem muitas evidências.

Proposição 4.2.3.3: Seja

M

= (M, $, G) uma álgebra monádica do muito com p, q Î M. Então:

(i) q £ p Þ Gq £ Gp; (ii) Gp £ G(pÚq).

Demonstração: (i) q £ pÞ q = pÙq Þ Gq = G(pÙq) £ Gp. (ii) p £ (pÚq) Þ Gp £ G(pÚq). ■

Proposição 4.2.3.4: Seja

M

= (M, $, G) uma álgebra monádica do muito. Então, ~G0 = 1. Demonstração: Pelo item (v) do Teorema A2.3, temos ~0 = 1. Assim, pela Proposição 4.2.3.2, G0 = 0, Portanto, ~G0 = ~0 = 1. ■

Proposição 4.2.3.5: Seja

M

= (M, $, G) uma álgebra monádica do muito com p, q Î M. Então, G(pÙq) £ Gp Ù Gq.

Demonstração: Como pÙq = qÙp, então, pelo item (iii) da Definição 4.2.3.1, G(pÙq) £ Gp e G(pÙq) £ Gq. Portanto, pelo item (iv) da Proposição A.1.3, G(pÙq) £ Gp Ù Gq. ■

Proposição 4.2.3.6: Seja

M

= (M, $, G) uma álgebra monádica do muito com p, q Î M. Então, Gp Ú Gq £ G(pÚq).

Demonstração: Como pÚq = qÚp, então, pelo item (ii) da Proposição 4.2.3.3, Gp £ G(pÚq) e Gq £ G(pÚq). Portanto, pelo item (iii) da Proposição A.1.3, Gp Ú Gq £ G(pÚq). ■

Proposição 4.2.3.7: Seja

M

= (M, $, G) uma álgebra monádica do muito com p Î M. Então, G(pÚ(~p)) = 1.

Demonstração: Sabendo que pÚ(~p) = 1 e pela Proposição 4.2.3.1, temos, G(pÚ(~p)) = G1 = 1. ■

Proposição 4.2.3.8: Seja

M

= (M, $, G) uma álgebra monádica do muito com p, q Î M. Então, G(pÙq) £ Gp Ú Gq.

Demonstração: Pelo item (iii) da Definição 4.2.3.1, G(pÙq) £ Gp. Do item (i) da Proposição A1.3 segue que, Gp £ Gp Ú Gq. Logo, G(pÙq) £ Gp Ú Gq. ■

No documento CAMILA AUGUSTA VAINE (páginas 58-66)