Esta seção será baseada em Mendelson (1964) e Feitosa e Paulovich (2005).
A lógica clássica de primeira ordem ou cálculo de predicados de primeira ordem será representada por
L
*.A linguagem de primeira ordem de
L
* contém os seguintes símbolos: (a) Uma quantidade enumerável de variáveis: v1, v2, ..., vn,...;(b) Conectivos lógicos: ~ e ®; (c) Quantificador universal: ∀; (d) Símbolos auxiliares: ), (;
(e) Relação binária de igualdade: =;
Para I, J e K subconjuntos de ℕ* temos:
(f) Símbolos relacionais {Ri}iÎI, junto com uma função T0: I®ℕ*, que caracteriza, para cada iÎI, a aridade T0(i) de Ri;
(g) Símbolos funcionais {fj}jÎJ, junto com uma função T1: J®ℕ*
, que caracteriza, para cada jÎJ, aridade T1(j) de fj;
Os símbolos de (a) até (e) são os símbolos lógicos, presentes em todas as teorias de primeira ordem sobre esta linguagem. Os símbolos de (f) até (h) são chamados de símbolos não lógicos e são particulares para cada teoria tratada. Assim, as linguagens são elaboradas de acordo com assunto que se deseja estudar.
Agora, veremos o que são termos, fórmulas atômicas e fórmulas de
L
*.Os termos de
L
* são definidos por:(a) Todas as variáveis e constantes individuais são termos;
(b) Se fj é um símbolo funcional de aridade T1(j) = n e t1, t2, ..., tn são termos, então fj(t1, t2, ..., tn) é um termo;
(c) Os termos são gerados exclusivamente pelas condições (a) e (b).
As fórmulas atômicas são definidas por:
(a) Se t1 e t2 são termos, então t1 = t2 é uma fórmula atômica, chamada de igualdade; (b) Se Ri é um símbolo relacional com aridade T0(i) = n e t1, ..., tn são termos, então Ri(t1,
..., tn) é uma fórmula atômica;
(c) As fórmulas atômicas são geradas exclusivamente pelas condições (a) e (b).
As fórmulas da lógica de primeira ordem são definidas como se segue: (a) Toda fórmula atômica é fórmula de
L
*;(b) Se j e y são fórmulas e x é uma variável, então (~j), (j®y) e (∀xj) são fórmulas de
L
*;(c) As fórmulas de
L
* são geradas exclusivamente pelas condições (a) e (b).Na fórmula (∀xj), “j” está no escopo do quantificador “∀x”. Nota-se que j não precisa conter a variável x.
As expressões (jÙy), (jÚy) e (j«y) são definidas do modo usual como na lógica proposicional
L
(FEITOSA; PAULOVICH, 2005, p. 66). As convenções para eliminação de parênteses são aplicáveis na lógica de primeira ordem. As definições de variáveis livres e ligadas já foram dadas no Capítulo 1.O símbolo ∃, do quantificador existencial, não será tomado como um símbolo primitivo, mas será definido a partir do quantificador universal (∀), como visto na seção 2.1.
Agora, trataremos da semântica de primeira ordem. Como bem definiram Feitosa e Paulovich (2005, p. 173):
Dada uma linguagem de primeira ordem, uma estrutura de primeira ordem A para esta linguagem é determinada pela seguinte quádrupla:
(a) um conjunto não vazio A denominado o universo ou domínio de A; (b) uma família {RiA}iÎI, para cada i Î I, em que RiA é uma relação de
aridade T0(i) definida sobre A, ou seja, T0(i) = ni e RiA⊆ A n
;
(c) uma família {fjA}jÎJ, para cada jÎJ, em que fjA é uma função de aridade
T1(j) definida sobre A, ou seja, T1(j) = nj e fjA: A n ® A;
(d) uma família {akA}kÎK de constantes de A.
Usaremos as letras A, B, C, ... para indicar as estruturas e as letras A, B, C, ..., respectivamente, para denotar os seus universos. Indicaremos uma estrutura A por A = (A, {RiA}iÎI, {fjA}jÎJ, {akA}kÎK).
Consideremos duas estruturas A e B. Dizemos que A é uma subestrutura de B quando são satisfeitas as seguintes condições:
(a) A ⊆ B;
(b) RiA(a1, ..., an) = RiB(a1, ..., an), para todos a1, ..., an Î A e todo i Î I; (c) fjA(a1, ..., an) = fjB(a1, ..., an), para todos a1, ..., an Î A e todo j Î J; (d) akA= akB, para todo ak Î A.
Consideremos A e B duas estruturas e h: A ® B uma função. A função h é um homomorfismo de A em B, após um possível ordenamento dos símbolos não lógicos, se as seguintes condições são satisfeitas:
1. se RiA(a1, ..., an), então RiB(h(a1), ..., h(an)), para todos a1, ..., an Î A e todo i Î I; 2. se fjA(a1, ..., an) = a, então fjB(h(a1), ..., h(an)), para todos a1, ..., an Î A e todo j Î J; 3. f(akA) = akB, para todo akÎA.
Segundo Mendelson (1964), os conceitos de satisfatibilidade e verdade são intuitivamente claros e necessários para a realização de provas precisas de muitos resultados da metamatemática.
Ainda de acordo com Mendelson, satisfatibilidade será um conceito fundamental para a definição da noção de verdade.
Consideremos
L
* uma linguagem de primeira ordem e A = (A, {RiA}iÎI, {fjA}jÎJ, {akA}kÎK ) uma estrutura de primeira ordem correspondente. Uma interpretação x deL
*em A é uma função tal que:
x: {Ri}iÎI ® {RiA}iÎI x(Ri) = RiA x: {fj}jÎJ ® {fjA}jÎJ
x(fj) = fjA x: {ak}kÎK ® {akA}kÎK
x(ak) = akA
A função x leva elementos sintáticos em um mundo no qual interpretamos os entes sintáticos ou simbólicos.
Dada uma interpretação, as variáveis são consideradas como variando dentro do conjunto A, e ~, ® e os quantificadores são dados com o seu significado normal.
Para uma dada interpretação da linguagem
L
*, uma fórmula deL
* sem variáveis livres, denominada de fórmula fechada ou sentença, representa uma proposição que pode ser verdadeira ou falsa, já que fórmulas com variáveis livres podem ser satisfeitas (ou seja, verdadeira em um modelo) para alguns valores em um dado domínio e não satisfeitas (ou falsa em um modelo) para outros.Os termos dentro das estruturas semânticas são entendidos como segue abaixo:
Sejam a1, ..., an ÎA e consideremos o conjunto das variáveis livres e ligadas de um termo t(v1, ..., vn) esteja contida em {v1, ..., vn}. O valor do termo t em a1, ..., an é:
(a) se t = vi, então tA(a1, ..., an) = aiA; (b) se t = ak, então tA(a1, ..., an) = c;
(c) se t = fj(t1, ..., tm), então tA(a1, ..., an) = fjA(t1(a1, ..., an), ..., tm(a1, ..., an)).
De acordo com Feitosa e Paulovich (2005, p. 175), temos:
Seja j uma fórmula cujo conjunto de variáveis livres e ligadas esteja contido em (v1, v2, ..., vn) e a1, a2, ..., an Î A. A estrutura A satisfaz a fórmula j se
vale o seguinte:
(a) se j º2
t1 = t2, então a1, ..., an satisfaz j em A se t1(a1, ..., an) = t2 (a1,...,
an);
(b) se j º Ri(t1, ..., tn), T0(i) = k e t1(v1, ..., vn), então a1, ..., an satisfaz j em
A se RiA(t1(a1, ..., an), ..., tk(a1, ..., an)).
Denotamos a relação de satisfação, neste caso, por: A ⊨ (t1 = t2)(a1, ..., an) see t1A(a1, ..., an) = t2A(a1, ..., an) A ⊨ Ri(t1, …, tn)( a1, ..., an) see RiA(t1(a1, ..., an), …, tk(a1, ..., an)) (Caso 2) (a) j º ~y: A ⊨ j (a1, ..., an) see A ⊭ y(a1, ..., an) (b) j º y ® s:
A ⊨ j(a1, ..., an) see A ⊭ y(a1, ..., an) ou A ⊨ s(a1, ..., an)
(Caso 3)
(a) j º (∀vi)y, 1 ≤ i ≤ n:
A ⊨ j(a1, ..., an) see, para todo aÎA,
A ⊨ y(a1, ..., ai-1, a, ai+1, ..., an).
Assim, se uma estrutura A satisfaz uma sentença y, escrevemos A ⊨ y.
Segundo Feitosa e Paulovich (2005), dizemos que uma fórmula j(v1, ..., vn) é satisfatível quando existem uma estrutura A e (a1, ..., an) Î An tal que A ⊨ j(a1, ..., an). Dessa forma, dizemos que A é um modelo para j(v1, ..., vn).
Um modelo para uma teoria de primeira ordem é uma estrutura de primeira ordem na qual todos os teoremas da teoria são satisfatíveis (Feitosa e Paulovich, 2005, p. 175).
Dizemos que uma fórmula A(v1, ..., vn) é válida quando, quaisquer que sejam a estrutura A e (a1, ..., an) Î An, temos que A ⊨ j(a1, ... an).
Assim, se A ⊨ y, então A é um modelo de y. Dizemos que A é um modelo finito se, e somente se, A é uma estrutura finita. Assim, podemos dizer que uma sentença é finitamente satisfeita se ela possui um modelo finito que a satisfaça. E uma sentença é válida sobre estruturas finitas quando é satisfeita em toda estrutura finita sobre a linguagem de y.
2 Idêntico a, ou seja, este símbolo simboliza que tudo o que está à sua direita é idêntico ao que está a sua esquer-