UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA FACULDADE DE FILOSOFIA E CIÊNCIAS
PÓS-GRADUAÇÃO EM FILOSOFIA
CAMILA AUGUSTA VAINE
UM MODELO ALGÉBRICO PARA A LÓGICA DO MUITO
MARÍLIA 2013
CAMILA AUGUSTA VAINE
UM MODELO ALGÉBRICO PARA A LÓGICA DO MUITO
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Gra-duação em Filosofia da Faculdade de Filosofia e Ciências, da Universidade Estadual Paulista – UNESP- Campus de Marília, para a obtenção do título de Mestre.
Área de Concentração: Filosofia da Mente, Epistemologia e Lógica.
Orientador: Prof. Dr. Hércules de Araújo Feitosa. Coorientador: Prof. Dr. Luiz Henrique da Cruz Silvestrini.
MARÍLIA 2013
Ficha Catalográfica elaborada pelo
Serviço Técnico de Biblioteca e Documentação – UNESP- Campus de Marília
Vaine, Camila Augusta.
V131m Um modelo algébrico para a lógica do muito / Camila Augusta Vaine. – Marília, 2013.
111 f. ; 30 cm.
Dissertação (Mestrado em Filosofia) – Universidade Estadual Paulista, Faculdade de Filosofia e Ciências, 2013.
Bibliografia: f. 82-85
Orientador: Hércules de Araújo Feitosa.
Coorientador: Luiz Henrique da Cruz Silvestrini.
1. Álgebra. 2. Lógica. 3. Linguagem e lógica. I. Autor. II. Título.
CAMILA AUGUSTA VAINE
UM MODELO ALGÉBRICO PARA A LÓGICA DO MUITO
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Filosofia da Faculdade de Filosofia e Ciências, da Universidade Estadual Paulista – UNESP – Campus de Marília, para obtenção do título de Mestre.
Este exemplar corresponde à redação final da Dissertação defendida e aprovada pela Banca Examinadora em 09/10/2013.
BANCA EXAMINADORA
Prof. Dr. Hércules de Araújo Feitosa (Presidente e Orientador) (UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA/BAURU)
Prof Dr. Mauri Cunha do Nascimento (1º. Examinador) (UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA/BAURU)
Prof. Dr. Marcos Antônio Alves (2º. Examinador)
Aos meus pais Julio e Jesuina, pelo amor, incentivo para seguir em frente e nunca desistir dos meus sonhos.
E ao meu grande e eterno amor, Renato, que sempre esteve ao meu lado.
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus, primeiramente, por estar sempre ao meu lado, guiando meu caminho;
Ao meu namorado Renato, a quem tanto amo, pelo apoio, incentivo e paciência nos momentos mais difíceis;
Aos meus pais, Julio e Jesuina, e aos meus irmãos Julio e Gabriela, pessoas fundamentais em minha vida;
Ao Professor Dr. Hércules de Araújo Feitosa, pela dedicação com que orientou nosso trabalho, além das palavras de incentivo e pela amizade;
Ao Professor Doutor Mauri Cunha do Nascimento e, ao meu coorientador Professor Doutor Luiz Henrique da Cruz Silvestrini, pelas valiosas contribuições durante todo o processo de desenvolvimento deste trabalho;
Ao Professor Doutor Marcos Antonio Alves, pela gentileza em aceitar o convite para compor a banca da defesa, pela leitura do trabalho e sugestões;
Aos Professores Doutores Marcelo Reicher Soares e Ramon Souza Capelle de Andrade, por fazerem parte da banca de defesa;
Aos Professores do Programa de Pós-Graduação em Filosofia da UNESP de Marília, que muito contribuíram para a minha formação;
Aos funcionários da Seção Técnica de Pós-Graduação e da Biblioteca da UNESP de Marília, por serem tão prestativos em relação às questões burocráticas;
RESUMO
Esta dissertação trata, em um primeiro momento, de um estudo sobre quantificadores com seus aspectos históricos e algumas concepções sobre quantificadores generalizados, a saber, a concepção de Mostowski (1957), criada com o objetivo de formalizar alguns conceitos matemáticos, e a concepção de Barwise e Cooper (1981), que tem como objetivo aproximar a lógica da linguagem natural. A partir daí, Sette, Carnielli e Veloso (1999) introduziram um sistema lógico, a lógica dos ultrafiltros, para formalizar a noção de “geralmente” ou “quase todos”, através da introdução de um novo quantificador generalizado na linguagem clássica de primeira ordem. Em continuidade, Grácio (1999) apresentou uma ampla família de sistemas lógicos, a família das lógicas moduladas, determinados por novos quantificadores. Dentre as lógicas moduladas estudadas por Grácio, destacamos a Lógica do Muito, que se caracteriza por estender a lógica clássica através da introdução de um novo quantificador generalizado na sua sintaxe. Por outro lado, Halmos (1962) estuda as álgebras monádicas e apresenta a interpretação dos quantificadores universal e existencial nestas álgebras. Neste trabalho, desenvolvemos uma álgebra monádica e uma lógica monádica do muito, com base nos trabalhos de Halmos, com o intuito de apresentar outro modelo algébrico para a lógica do muito. Por fim, mostramos que a lógica do muito é correta e completa, em relação a álgebra monádica do muito apresentada.
Palavras-chave: Quantificadores Generalizados. Modelos para quantificadores. Lógicas Moduladas. Correção e Completude.
ABSTRACT
This dissertation presents a study of quantifiers with their historical development and some conceptions about generalized quantifiers, namely the designed by Mostowski (1957), which was created with the purpose of formalizing some mathematical concepts, and in a complementary way, the notion of Barwise and Cooper (1981), which aims to link logic and natural language. In 1999, Sette, Carnielli and Veloso introduced a logical system, the logic of ultrafilters, in order to formalize the notion of "generally" or "almost all" through the introduction of a new generalized quantifier into the language of classical first order logic. Furthermore, Grácio (1999) presented a wide family of logical systems, named modulated logics determined by new quantifiers. Among the modulated logics studied by Grácio, we take the Logic of Many, which is characterized by extending the classical logic by introducing a new generalized quantifier in its syntax for the notion of “many”. On the other hand, Halmos (1962) studied the monadic algebras associated with classical logic and presented the interpretation of universal and existential quantifiers in these algebras. In this dissertation, we develope a monadic algebra of many and monadic logic of many, based on the work of Halmos for to presenting a different algebraic model for the Logic of Many. Finally, we show that the logic of many is sound and complete in relation to the presented in this dissertation monadic algebra of many.
Key-words: Generalized Quantifiers. Models for quantifiers. Modulated logics. Soundness and Completeness.
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ... 9
1 QUANTIFICADORES... 12
1.1 Aspectos Históricos ... 12
1.2 Quantificadores lógicos e não lógicos ... 17
1.3 Quantificadores Generalizados ... 20
1.3.1 Quantificadores generalizados segundo Mostowski ... 20
1.3.2 Os quantificadores generalizados de Barwise e Cooper ... 25
2 MODELOS PARA QUANTIFICADORES ... 31
2.1 Quantificadores lógicos universal (") e existencial ($) ... 31
2.2 Linguagem de primeira ordem e suas interpretações: Modelos. ... 32
2.3 Quantificadores segundo Paul Halmos ... 37
3 A LÓGICA DO MUITO ... 40
3.1 Lógicas moduladas ... 40
3.2 Sobre a Lógica do Muito ... 43
3.2.1 Família Fechada Superiormente ... 44
3.2.2 A sintaxe e a semântica da lógica do muito... 45
4 ÁLGEBRAS MONÁDICAS DO MUITO ... 49
4.1 Álgebras monádicas Booleanas ... 49
4.1.1 Álgebras monádicas funcionais ... 49
4.1.2 Quantificadores ... 51
4.1.3 Álgebras monádicas Booleanas ... 53
4.2 Álgebras Monádicas do Muito ... 55
4.2.1 Álgebra do Muito ... 55
4.2.2 Filtros, ideais e ultrafiltros do muito ... 56
4.2.3 Álgebras Monádicas do Muito... 61
4.2.4 Correção em L(G) ... 64
5 ADEQUAÇÃO ALGÉBRICA ... 67
5.1 Lógica Monádica do Muito ... 67
5.2 Sobre as Álgebras Monádicas do Muito ... 68
CONSIDERAÇÕES FINAIS ... 79
REFERÊNCIAS ... 82
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA ... 84
APÊNDICE A - Reticulados, Álgebra de Boole, Filtros e Ideais, Ultrafiltros. ... 86
A1. Reticulados ... 86
A2. Álgebra de Boole ... 95
A3. Filtros e Ideais ... 101
Sabe-se que a lógica trata, grosso modo, da relação de consequência que se estabelece entre premissas e conclusão de um argumento, de modo a determinar a validade do raciocínio ou do argumento tratado. Para se analisar raciocínios ou argumentos, do ponto de vista lógico, é preciso, em geral, o uso de alguma linguagem que não esteja subordinada às questões subje-tivas ou a fatores como imprecisão e ambiguidades, inerentes às linguagens humanas. No en-tanto, devido à aplicabilidade de tais linguagens em diversas áreas científicas e técnicas, jus-tamente por seu caráter objetivo e analítico, foram percebidas diversas lacunas que as lingua-gens lógicas mais usuais apresentam com relação às lingualingua-gens naturais e, por conseguinte, a necessidade de estender tais linguagens.
De acordo com Salmon (1993), os argumentos podem ser divididos em dois tipos: os dedutivos e os indutivos. Os argumentos dedutivos têm como característica que se todas as premissas são verdadeiras, então, a conclusão tem que necessariamente ser verdadeira. Já os argumentos indutivos têm como uma de suas características que se todas as premissas são verdadeiras, então, a conclusão provavelmente será verdadeira, mas não necessariamente verdadeira.
Assim, existem as ciências dedutivas que têm seus métodos baseados exclusivamente na dedução e as ciências indutivas, que são baseadas na indução, ou seja, seus raciocínios vão do particular para o todo (SALMON, 1993).
Segundo Haack (2002), a lógica de primeira ordem, no contexto quantificacional, é destinada a formalizar os conceitos: “para todos” e “existe algum”, mas não dá conta de formalizar conceitos que envolvam, por exemplo, as expressões: “muitos”, “poucos”, etc.
Motivados por questões relativas ao raciocínio indutivo e a formalização dos conceitos que envolvam expressões do tipo: “muitos”, “poucos”, “uma boa parte”, etc, surgiram trabalhos com o objetivo de sistematizar e formalizar algumas formas de argumento indutivo.
Assim, nos artigos publicados por Sette, Carnielli e Veloso (1999) e Carnielli e Veloso (1997), foi introduzido um sistema lógico, a lógica dos ultrafiltros, para formalizar a noção de “geralmente” ou “quase todos”, através da introdução de um novo quantificador generalizado na linguagem clássica de primeira ordem.
família das lógicas moduladas, determinados por novos quantificadores. Segundo Grácio, as lógicas moduladas são caracterizadas pela inclusão de novos quantificadores generalizados na linguagem da lógica de primeira ordem, chamados de quantificadores modulados. Os modelos destas lógicas são estruturas de primeira ordem acrescidas de estruturas matemáticas específicas para a formalização desses novos quantificadores.
Grácio trata de três lógicas moduladas, denominadas: “Lógica da Maioria”, “Lógica do Muito” e “Lógica do Plausível”, que capturam as noções, segundo a autora, de “a maioria”, “muitos” e “para uma boa parte”, respectivamente.
Inspirados pelo trabalho de Grácio, em que as lógicas moduladas são introduzidas num ambiente quantificacional, Feitosa, Nascimento, Grácio (2009), no artigo “Algebraic elements for the notions of ‘many’”, apresentaram uma estrutura algébrica chamada álgebra do muito, que mantém a estrutura matemática do muito, mas no contexto lógico o formaliza através de um novo operador proposicional.
A motivação desta dissertação surgiu, por um lado, dos trabalhos de Grácio (1999), que introduziu uma lógica do muito em ambiente quantificacional, e Feitosa, Nascimento, Grácio (2009), que introduziram uma lógica do muito em ambiente proposicional, e, por outro lado, das Álgebras Monádicas, introduzidas por Halmos (1962). Grácio propôs uma estrutura matemática denominada família fechada superiormente própria, para capturar a noção de muitos, dessa forma, o modelo apresentado para a lógica do muito é composto de uma estrutura de primeira ordem com o acréscimo da família fechada superiormente própria. O presente trabalho introduz as Álgebras Monádicas do Muito, que será outro modelo, agora de caráter algébrico, para a mesma lógica do muito de Grácio (1999).
No Capítulo 1, tratamos dos quantificadores, em seus aspectos históricos, desde Aristóteles. Apresentamos, também, os quantificadores lógicos e não lógicos, expondo os quantificadores universal e existencial, bem como os quantificadores generalizados de Mostowski (1957) e de Barwise e Cooper (1981).
No Capítulo 2, exibimos os modelos para os quantificadores universal e existencial, segundo Mendelson (1964) e Feitosa e Paulovich (2005). Também, neste capítulo é apresentada a interpretação dada aos quantificadores lógicos segundo Halmos (1962).
1
Todas as vezes que citarmos Grácio nesta dissertação estaremos nos referindo a sua tese de doutorado intitulada “Lógicas Moduladas e raciocínio sob incerteza”, 1999.
importantes para a compreensão da Lógica do Muito, também apresentada neste capítulo. Além disso, tratamos de definições e proposições referentes à concepção das Famílias Fechadas Superiormente, bem como mostramos a estrutura sintática e semântica da Lógica do Muito.
No Capítulo 4, expomos as álgebras monádicas booleanas, primeiramente tratando dos conceitos de álgebras monádicas funcionais e a interpretação dos quantificadores existencial e universal nestas álgebras. Além disso, desenvolvemos as Álgebras Monádicas do Muito, com alguns resultados iniciais.
No Capítulo 5, desenvolvemos a Lógica Monádica do muito. Com base nos trabalhos de Halmos, tratamos de algumas definições e resultados essenciais para demonstrar os teoremas de correção e completude para esta nova lógica e, consequentemente, para a lógica do muito.
Por fim, nas considerações finais, expomos algumas reflexões, onde resumimos os resultados obtidos com o desenvolvimento deste trabalho e, ainda, propomos uma ideia para um futuro trabalho possível.
O Apêndice trata de reticulados, álgebra de Boole, filtros, ideais e ultrafiltros, pressupostos teóricos fundamentais para o desenvolvimento e entendimento do Capítulo 4.
1 QUANTIFICADORES
Quantificadores podem ser vistos como operadores lógicos que representam quantificações semânticas. Neste capítulo, falaremos de quantificadores desde sua origem à criação dos quantificadores generalizados, que são essenciais para o desenvolvimento e o entendimento dos capítulos seguintes.
1.1 Aspectos Históricos
Para começarmos a tratar dos quantificadores, devemos nos remeter aos trabalhos de Aristóteles (KNEALE; KNEALE, 1991), que foi o pioneiro nos estudos sobre a quantifica-ção, por meio de sua teoria dos silogismos. Também foi ele quem iniciou os trabalhos sobre a lógica clássica e também apresentou noções não clássicas.
Aristóteles, ao estudar os silogismos categóricos, estudou também o significado e pro-priedades de três expressões básicas de quantificação: “todo”, “nenhum” e “algum”, que compunham as chamadas sentenças categóricas. Estas sentenças diferem entre si em qualida-de (ao afirmar ou negar) e em quantidaqualida-de (universal ou existencial). Os primeiros estudos qualida-de Aristóteles foram importantes para o estudo da quantificação.
A teoria dos silogismos utiliza-se de termos, que são de dois tipos: termos gerais e termos particulares, e também trabalha com predicados. Exemplos de termos gerais: “ho-mem”, “animal”, “mamíferos”, entre outros. Exemplo de termo particular: “Maria”.
Na teoria dos silogismos categóricos são utilizadas as sentenças categóricas ou enun-ciados categóricos. São constituídas por quatro tipos básicos:
(A) Afirmação universal: “Todo S é P”. Ex: Todas as maçãs são frutas.
(E) Negação universal: “Nenhum S é P”. Ex: Nenhuma banana é chocolate.
(I) Afirmação particular: “Algum S é P”. Ex: Alguns chocolates são pretos.
(O) Negação particular: “Algum S não é P”. Ex: Algum mamífero não é animal rastejante.
Segundo Feitosa, Paulovich (2005) as letras A, E, I e O são utilizadas para indicar as sentenças categóricas, referindo-se às palavras affirmo e nego.
Ainda de acordo com Feitosa, Paulovich (2005), as relações entre as quatro formas de proposições categóricas foram colocadas, no período medievo, num quadrado denominado quadrado das oposições, mostrado a seguir:
· As sentenças categóricas A e O, e, E e I são contraditórias, ou seja, não podem ser, simultaneamente, verdadeiras, e não podem ser ambas falsas.
· As sentenças categóricas A e E são contrárias, ou seja, não podem ser ambas verdadeiras, no entanto, podem ser ambas falsas.
· As sentenças categóricas I e O são subcontrárias, ou seja, não podem ser ambas falsas, entretanto, podem ser ambas verdadeiras.
· A sentença categórica I é subalterna de A e a sentença categórica O é subalterna de E, ou seja, se A é verdadeira, então I também é verdadeira, e se E é verdadeira, então O também é verdadeira.
Aristóteles examinou os silogismos, que são argumentos válidos, os quais consideram exatamente três sentenças categóricas, duas premissas e uma conclusão, nesta ordem. Cada sentença categórica possui dois termos distintos, um sujeito e um predicado. As três sentenças envolvidas contemplam apenas três termos distintos, assim distribuídos: as duas premissas devem ter um termo em comum, denominado termo médio (M). Os outros dois termos ocor-rem uma vez em cada pocor-remissa. O sujeito da conclusão, que indicamos por (S), é denominado termo menor, e o predicado da conclusão, denotado por (P), é denominado termo maior. Esta última classificação também surge com os pensadores medievais.
Todo mamífero tem pelos. Todo gato é mamífero. Todo gato tem pelos.
Segundo os comentadores, a primeira premissa pode ser chamada de premissa maior, pois contém o predicado da conclusão ou termo maior (pelos) e o termo médio (mamífero). A segunda pode ser chamada de premissa menor, pois contém o sujeito da conclusão ou termo menor (gato) e o termo médio (mamífero). A conclusão determina o termo (S) e o termo (P).
Segundo Feitosa, Paulovich (2005) os silogismos estão divididos em figuras e podem ser classificados em quatro tipos, sendo que as três primeiras são devidas a Aristóteles e a última foi acrescentada posteriormente:
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4
M P S M S P P M S M S P M P M S S P P M M S S P
Assim, também é possível obtermos combinações diferentes dos quatro tipos de pro-posições (A, E, I e O) nas quatro figuras acima, o que originam os diferentes modos silogísti-cos das figuras aristotélicas, que podem ser encontrados na literatura. Segue abaixo um exem-plo da Figura 1, modo AAA:
Todo pássaro tem penas. Todo papagaio é pássaro. Logo, todo papagaio tem penas.
Um modo silogístico é válido se a verdade das premissas acarreta necessariamente a verdade da conclusão. Os silogismos categóricos dão os argumentos categóricos válidos. Des-sa forma, modo é inválido apresenta premisDes-sas verdadeiras e conclusão falDes-sa.
Exemplo de silogismo:
Todo homem é mamífero. Todo mamífero é um ser vivo. Logo, algum ser vivo é homem.
Na teoria Aristotélica, admitia-se a hipótese existencial, tal que todos os termos em questão caracterizariam conjuntos não vazios. No caso acima, existem mamíferos, humanos e viventes. Mas, tal silogismo pode não valer na lógica de predicados se tomarmos predicados não aplicados a algum termo.
Exemplo de argumento não válido, com premissas verdadeiras e conclusão falsa:
Toda ave bota ovos.
Nenhuma planta é uma ave. Logo, toda planta bota ovos.
Contudo, por mais que os silogismos tenham contribuído para os estudos sobre a quan-tificação, eles são limitados quando utilizados para expressar muitas sentenças da linguagem natural, bem como raciocínios matemáticos.
Segundo Westerståhl e Peters (2002), existem muitos esquemas de inferências envol-vendo as palavras “todo”, “nenhum”, “algum sim” e “algum não” que vão além da forma si-logística apresentada por Aristóteles. Eles acreditam que uma lógica que não seja capaz de lidar com estes tipos de inferências, não será capaz de explicar a estrutura das provas utiliza-das na geometria elementar, como a de Euclides [325-265 a.C.].
Krause (2009) destaca que Gottfried Leibniz [1646 – 1716] percebeu que a teoria dos silogismos categóricos não dava conta de muitas inferências usadas na matemática. Uma ex-plicação seria de que esta teoria seria um esquema geral que não conseguia tratar das particu-laridades de cada ciência.
De acordo com Westerståhl (2005) na teria aristotélica podemos ver os dois termos de cada enunciado categórico como relação binária sintática e/ou semântica entre os dois termos. Já que os termos caracterizam conjuntos de indivíduos, então podemos representar a expres-são “alguns” como a intersecção não vazia entre dois conjuntos e a expresexpres-são “todo” como a relação de inclusão de um no outro. Dessa forma, estas relações são vistas como relações de segunda ordem. Assim, são vistas como quantificadores generalizados, ou seja, “alguns” e “todos” (em um dado universo). Trataremos deste tipo de quantificadores nas seções subse-quentes.
Agora trataremos dos caminhos para a formalização dos quantificadores.
Segundo Krause (2009), o primeiro pensador que tentou a formalização da linguagem natural foi o matemático e filósofo alemão Gottfried Wilhelm Von Leibniz [1646 – 1716], por
meio da lingua philosophica, que tentou representar o pensamento humano, utilizando-se de uma linguagem e de um cálculo para deduzir conclusões através de premissas universais.
Outro matemático que se dispôs a tal formalização foi Thomas Hobbes [1588 – 1679], que verificou uma relação muito forte entre a lógica e a matemática: raciocinar é o mesmo que calcular e, portanto, cabe à lógica determinar quais as regras utilizadas nesses cálculos. Em tal linguagem, pretendia Hobbes, que a lógica poderia sistematizar e organizar a forma de uso da linguagem dos seres humanos. Para Hobbes (2002, p. 44),“o uso geral da linguagem consiste em pensar o nosso discurso mental para um discurso verbal, ou cadeia dos nossos pensamentos para uma cadeia de palavras”.
De acordo com Westerståhl (2005), outro nome de grande relevância na história da te-oria da quantificação, especialmente na tete-oria dos quantificadores generalizados, é Gottlob Frege [1848 – 1925].
Devido à subjetividade da linguagem natural, uma vez que tal linguagem extrapola as noções objetivas de um discurso, dependendo do contexto, a identificação de sentido inerente a seus aspectos significativos, Frege, de acordo com Frápolli Sanz (2007), na obra Concepto-grafia (1879) propôs uma formalização de tal linguagem, a fim de “superar” a subjetividade que é, por sua vez, característica intrínseca à linguagem natural. Assim, desenvolveu uma linguagem artificial, sobre a qual desenvolve as demonstrações matemáticas.
De acordo com Frápolli Sanz (2007), a fim de suprir a lacuna da formalização da lin-guagem natural em sistemas lógico-matemáticos, foi criada a linlin-guagem artificial. Com Frege surgiu a lógica de predicados (conectivos lógicos, identidade e os quantificadores existencial e universal), bem como a noção de quantificador como uma relação de segunda ordem. Justa-mente pelas questões subjetivas inerentes à própria linguagem natural, ela foi proposta num ambiente puramente objetivo e se caracterizou pelo seu caráter de precisão. Com esses aspec-tos, é uma linguagem “rígida”, o que garantiria, então, a objetividade e clareza nos sistemas que dela se compõem.
Ainda, segundo Frápolli Sanz (2007), as expressões “quantificadores” e “lógica de primeira ordem”, com o significado contemporâneo, têm como pioneiro Charles Sanders Peir-ce [1839 – 1914] em 1883, na obra A descoberta da quantificação e a semiose do mundo na-tural.
De acordo com Hintikka e Sandu (1994) há diferenças entre as abordagens de Frege e Peirce. O primeiro desenvolveu uma formalização com a intenção de criar uma linguagem universal da matemática, que não apresentasse as ambiguidades e imperfeições das linguagens
naturais, já o segundo pensou nos quantificadores e na notação envolvida como dispositivos lógicos.
Discutiremos um pouco mais sobre o trabalho de Frege com relação aos quantificado-res segundo Frápolli Sanz (2007).
Na obra Conceptografia, publicada em 1879 por Frege, é a linguagem artificial que se destina à formalização da linguagem natural, uma vez que, nesta última, contém, em grande parte, a estrutura do pensamento humano. Uma das pretensões de tal linguagem seria formali-zar tal pensamento de uma maneira objetiva e clara, deixando de lado as subjetividades ine-rentes à linguagem natural. Devido a seu caráter objetivo, tal linguagem (artificial) foi desen-volvida a fim de garantir a exatidão das deduções matemáticas.
Frege utilizou sua linguagem artificial para evitar falhas que frequentemente podem ser encontradas nas deduções e demonstrações. Essa formalização foi o que ocasionou o sur-gimento do cálculo de predicados, trazendo, por conseguinte, as noções de universal e exis-tencial.
Frege ao introduzir a sua linguagem artificial, incluiu dois operadores lógicos para re-presentar as noções quantificacionais de universal (∀) e existencial (∃). Para ele, os quantifi-cadores eram funções que atuavam sobre funções e sobre objetos, daí a classificação de fun-ções de segunda ordem.
Por meio de um dos quantificadores lógicos universal (∀) e existencial (∃)), podemos definir vários outros quantificadores, que são classificados, segundo Barwise e Cooper (1981) como lógicos. Inclusive de um podemos definir o outro. Contudo, como existem quantificado-res que não podem ser definidos a partir dos quantificadoquantificado-res lógicos, então receberam o nome de não lógicos.
1.2 Quantificadores lógicos e não lógicos
A lógica clássica de primeira ordem trata dos quantificadores universal “∀” e existen-cial “∃”. Por meio destes quantificadores, podemos definir vários outros quantificadores, co-mo por exemplo, os quantificadores “nenhum” e “existe um único”:
“Nenhum”: Nenhum x A(x) =df ∀x ~A(x)
Aliás, é usual, na lógica clássica de primeira ordem, considerar apenas um dos quanti-ficadores e definir o outro a partir do escolhido. Assim, se considerarmos o quantificador ∀, podemos definir o ∃ do seguinte modo:
∃x A(x) =df ~ ∀x ~A(x).
No entanto, existem vários quantificadores que não podem ser definidos através dos quantificadores “∀” e “∃”. Barwise e Cooper (1981) argumentaram que, em pelo menos qua-tro aspectos, os quantificadores da lógica de primeira ordem (“∀” e “∃”) não são suficientes para tratar das sentenças quantificadas na linguagem natural. São eles:
· O primeiro aspecto refere-se à sintaxe. Para os autores, as estruturas sintáticas das sentenças quantificadas nas linguagens naturais e na lógica de primeira ordem são diferentes.
· O segundo aspecto refere-se à semântica. Diz respeito ao fato de que existem sentenças quantificadas nas linguagens naturais que não podem ser expressas pelos quantificadores “∀” e “∃”. Por exemplo: “muitos chocolates”.
· O terceiro aspecto diz respeito à noção defendida por eles, de que os quantificadores somente podem ser construídos em ambientes lógicos.
· O último aspecto refere-se à noção de que os quantificadores determinam um conjunto de famílias.
Barwise e Cooper (1981) justificam a existência de sentenças quantificadas nas lin-guagens naturais por meio das seguintes frases:
(i) (a) Existe apenas um número finito de estrelas. (b) Nenhum coração baterá infinitamente.
(ii) (a’) Mais da metade das flechas de João acertaram o alvo. (b’) Mais da metade das pessoas votou em Carter.
(iii) (a’’) A maioria das flechas de João acertou o alvo. (b’’) A maioria das pessoas votou em Carter.
Os autores dizem que suspeitam que sentenças com quantificadores como as sentenças citadas acima podem ser expressas em toda linguagem humana. As sentenças citadas no item (i) podem ser formalizadas pelos quantificadores “∀” e “∃”, contudo não é possível expressar
as sentenças citadas nos itens (ii) e (iii) nesses mesmos quantificadores, isto é, não consegui-mos formalizar os quantificadores “mais da metade” e a “maioria” utilizando os quantificado-res “∀” e “∃”. Desta forma, podemos concluir que uma teoria semântica para uma linguagem natural não pode ser baseada somente nos quantificadores “∀” e “∃”.
Os quantificadores utilizados nas sentenças (i), (ii) e (iii) podem ser escritos da seguin-te forma:
(i’) Finitamente muitas coisas x satisfazem A(x), ou ainda, Finito x[A(x)];
(ii’) Mais da metade dos x tais que B(x) satisfazem A(x), ou (mais que ½ B)x[A(x)]; (iii’) A maioria x tal que B(x) satisfaz A(x), ou (maioria B)x[A(x)].
Por seu aspecto objetivo, a linguagem artificial tornou-se, rapidamente, muito utilizada em diversos ambientes científicos – na Lógica (cuja característica pode ser entendida como estudo da relação de consequência entre premissas e conclusões de argumentos e, atualmente, por meio de modelos artificiais), na Computação, na Cibernética, na Inteligência Artificial, etc. Tal aplicabilidade possibilitou a verificação da limitação inerente de tais modelos, sendo preciso, pois, estendê-los.
No entanto, devido à aplicabilidade de tais sistemas artificiais em diversas áreas do conhecimento, constatou-se a limitação característica desses sistemas, principalmente, no que diz respeito à linguagem natural.
Nesses moldes, vários pesquisadores, dentre eles Mostowski (1957), Lindström (1966) e Grácio (1999), estenderam a linguagem clássica de primeira ordem, devido a tais restrições apresentadas, para que fosse possível a formalização de sentenças e argumentos que até então era impossível de serem sistematizados.
De acordo com Rodrigues (2012), seja E um conjunto não-vazio e arbitrário de indiví-duos. A partir da lógica clássica de primeira ordem, podemos quantificar sobre os objetos de E, mas não sobre conjuntos arbitrários de indivíduos, funções de indivíduos em indivíduos, ou outros tipos de objetos abstratos contidos em E, mas que não são membros de E.
Segundo Barwise e Cooper (1981), existem dois caminhos para sairmos da lógica de primeira ordem. Um é pela abordagem utilizada pela moderna teoria dos conjuntos, na qual se expande o domínio E de quantificação para um domínio maior E∪A, em que A contém nú-meros e funções para subconjuntos de E. O segundo caminho é manter a definição formal como parte da metalinguagem e tratar de quantificadores generalizados.
Conforme mencionamos, para Barwise e Cooper (1981) os quantificadores podem ser classificados como lógicos e não lógicos. Os primeiros são aqueles que podem ser definidos em termos dos quantificadores ∀ e ∃, já os últimos não, por exemplo, o quantificador “mui-tos”. Para eles, os quantificadores não lógicos podem variar de um modelo para outro. Por exemplo, afirmam que a diferença entre “todos os homens” e “muitos homens” é dada porque a interpretação de “muitos” e “homens” depende do modelo, já a interpretação de “todos” é igual em todos os modelos.
Dessa forma, a teoria dos quantificadores generalizados foi criada para formalizar es-tas ideias. Quantificadores generalizados são relações entre subconjuntos de um conjunto de-terminado, chamado o universo da quantificação. Assim, as fórmulas quantificadas com quantificadores do tipo “muitos”, “poucos”, “a maioria”, “a metade” ou “boa parte” variam de acordo com as variações do tamanho do universo utilizado. Por exemplo, “12 alunos ausentes numa sala” é muito em um total de 20 alunos, mas não é muito pensando em uma sala com 80 alunos.
Dessa forma, os quantificadores generalizados surgiram na lógica para representar o-peradores quantificacionais que não podem ser definidos a partir dos quantificadores universal (∀) e existencial (∃) e o precursor do estudo sistemático destes quantificadores foi Andrzej Mostowski em sua obra “On a generalization of quantifiers” de 1957.
1.3 Quantificadores Generalizados
Segundo Mostowski (1957), as noções essenciais dos quantificadores generalizados foram desenvolvidas tendo em vista a impossibilidade de se trabalhar com algumas proprie-dades de conjuntos na linguagem da lógica clássica de primeira ordem, bem como, por existi-rem muitas expressões na linguagem natural que não podem ser formalizadas apenas com os quantificadores lógicos (universal e existencial). Assim, os quantificadores generalizados não podem ser investigados a partir dos quantificadores lógicos universal (∀) e existencial (∃).
A partir disso os quantificadores generalizados foram desenvolvidos.
1.3.1 Quantificadores generalizados segundo Mostowski
Andrzej Mostowski foi o pioneiro no estudo dos quantificadores generalizados e em seu trabalho intitulado “On a generalization of quantifiers” (1957) trata dos quantificadores não
definíveis em termos dos quantificadores universal (∀) e existencial (∃). Segundo Feitosa, Nascimento e Grácio (2009), a sua teoria trata com operadores que representam uma generali-zação natural dos quantificadores lógicos. A esses quantificadores denominou de quantificado-res generalizados.
Para estudarmos a definição de quantificadores generalizados, outras definições são necessárias. A seguir apresentaremos estas definições de acordo com Mostowski (1957).
Consideremos um conjunto arbitrário I e seja I* o seu produto cartesiano, I* = I x I x ... x I..., (o conjunto de todas as sequências infinitas áx1, x2, ... ñ, com xj Î I e j = 1, 2, ...). Os valores de verdade, falso e verdadeiro, serão representados por F e V, respectivamente.
Definição 1.3.1.1: Uma função proposicional é uma função G de I* em {F (falso), V (verda-deiro), ou seja, G: I* ® {F, V} que satisfaz a seguinte condição:
ü Existe um conjunto finito K de inteiros tais que: se x = áx1, x2, ...ñ Î I*, y = áy1, y2, ...ñ Î I*
e xj = yj ® G(x) = G(y), para todo j Î K. G: I* ® {F, V}
x = y ⊢ G(x) = G(y).
A partir da definição acima, concluímos que G depende de um conjunto enumerável de argumentos. O menor conjunto K com a propriedade determinada acima é denominado suporte de G. Se este conjunto possui apenas um elemento, então G é uma função de um ar-gumento e pode ser identificada com um subconjunto de I.
Seja A uma função bijetiva de I sobre um conjunto I’, que não é necessariamente dife-rente de I. Se x = áx1, x2, ...ñ Î I*, então denotamos por A(x) a sequência áA(x1), A(x2), ...ñ. Se G é uma função proposicional em I, então denotamos por GA a função proposicional em I’ tal que GA (A(x)) = G(x).
Definição 1.3.1.2: Um quantificador limitado “Q” em um conjunto I é uma função que asso-cia a cada relação R, em que R Í I, um dos valores V (verdadeiro) ou F (falso), para cada função proposicional G em I, com um argumento e que satisfaz a condição Q(G) = Q(GA), para toda G e toda permutação A em I.
A definição acima generaliza o fato que quantificadores nos permitem construir pro-posições para funções proposicionais com um argumento e, também, expressa a exigência que quantificadores não devem nos permitir distinguir entre elementos diferentes de I.
Seja ámx, nxñ uma sequência (finita ou transfinita) de todos os pares de números cardi-nais, que satisfaz a equação mx + nx = | I |, em que | I | denota o número cardinal de I, ou seja, ámx, nxñ é uma sequência (finita ou transfinita) de forma que, dada uma relação R Í I, mx = |R| é a cardinalidade de R e nx = | R |C é a cardinalidade do complementar de R. Para toda função H que atribui um dos valores verdade para cada par ámx, nxñ temos QH (G) = H (| G-1 (V) |, | G -1 (F) |).
Consideremos, agora, que ExÎX [W(x)] denota o conjunto dos elementos x em X que satisfazem a condição W(x). Se G é uma função de X em Y, então G-1(y) denota o conjunto ExÎX [G(x) = y].
Proposição 1.3.1.1: Seja QH um quantificador limitado para I, assim para todo quantificador limitado para I existe uma função H tal que QH = Q.
Demonstração: (Ver Mostowski (1957, p. 13). ■
Seja H* (mx, nx) = ~H(mx, nx). O quantificador determinado por H* é um dual de QH, é denotado por QH*.
Definição 1.3.1.3: Um quantificador não limitado (ou apenas quantificador) é uma função que determina um quantificador limitado QI em I, para cada conjunto I, e que satisfaz a
equa-ção QI (G) = QI’ (GA) para cada função proposicional G em I, com um argumento e para cada
função bijetiva de I em I’.
Exemplos:
a) Se {G(x) = x + 1 = 4, com x ∈ ℝ e G(x) é verdadeira}. Então, a função G define o quantificador existencial, pois existe um único x, x = 3, que a satisfaz. Logo, QG ≡ ∃. b) {H(x) / 0 ≤ x < 6, com x ∈ ℕ e H(x) é verdadeira}. Então, a função H define o
As operações booleanas sobre quantificadores limitados e não limitados são feitas uti-lizando os símbolos usuais Ú, Ù, ~. Por exemplo, QI’ ÚQI’’ é uma função QI tal que QI (G) =
QI’ (G)ÚQI’’ (G), para toda função proposicional G.
Dessa forma, os quantificadores universal e existencial, podem ser expressos da se-guinte forma:
Definição 1.3.1.4: Quantificador existencial (∃): Se {H (mx, nx) = V} º {mx ≠ 0}, então QH é o quantificador existencial ∃ limitado para I.
Definição 1.3.1.5: Quantificador universal (∀): O dual de QH é o quantificador universal ∀ limitado para I, ou seja, o quantificador universal ∀ limitado para I é QH se {H (mx, nx) = V} º {nx = 0}.
Mostowski (1957) introduziu um cálculo formal S (lógica ampliativa e complementar ao clássico), para enriquecer a linguagem lógica do cálculo de primeira ordem, através da inclusão de um novo conjunto de quantificadores na sua sintaxe. Assim, tudo o que é válido no cálculo de primeira ordem (CQC) continua sendo válido nesse novo sistema lógico.
A linguagem desse novo sistema
L
(QI) é a mesma do CQC com o acréscimo de umconjunto de símbolos (Q1, Q2,..., Qs), com s Î ℕ*, cuja função é representar tanto
quantifica-dores novos, quanto os quantificaquantifica-dores existencial (∃) e universal (∀).
A regra de construção de fórmulas é a seguinte: se F é uma fórmula e x uma variável, então (Qjx)F(x) é uma fórmula, para jÎ{1, 2,..., s}.
A variável que acompanha o quantificador pode ser classificada em:
(i) Ligada: uma variável x está ligada numa dada fórmula quando está no escopo do quantificador. Por exemplo, na fórmula acima (Qjx)F(x) a variável ocorre ligada. (ii) Livre: quando a ocorrência de uma variável x, numa dada fórmula, estiver fora do
escopo do quantificador. Por exemplo, na fórmula (∃yFyz)↔Pxy, a variável y na primeira componente da bicondicional ocorre ligada, já na segunda componente da bicondicional ocorre livre.
Dizemos que uma fórmula é fechada quando todas as variáveis ocorrem ligadas. Uma fórmula é aberta quando, em uma fórmula, aparecer uma ou mais ocorrência de variáveis livres.
Exemplos:
a) ("x"y(Pxy)) ® Ry é uma fórmula aberta, pois a variável y ocorre livre na segunda componente da condicional.
b) "x"y (Px ® Sy) é uma fórmula fechada, pois todas as variáveis estão ligadas.
Neste momento, trataremos sobre a satisfação das fórmulas de S. Consideremos as funções que determinam um elemento I para cada variável individual de S e uma função pro-posicional em I com o suporte {1, 2,..., k} para cada variável funcional de grau k de S. Estas funções são ditas I-valorações. Considerando M uma I-valoração, temos que [xi]M e [Gj]M denotam os elementos de I e a função proposicional designada por M para xi e Gj.
Toda I-valoração M determina uma aplicação valMIdas fórmulas de S no conjunto {F, V}. Se Z é a fórmula G(xi1, xi2, ..., xik}, então: valMI(Z) = [G]M([xi1]M, ,[xi2]M..., [xik]M, [xik]M, [xik]M, ...). Se Z é a fórmula xi = xj, então {valMI(Z) = V}≡ {[xi]M = [xj]M}. Se Z é a fórmula
Z1½Z2, então valMI(Z) = ~ valMI(Z1) Ú ~valMI(Z2).
Para o caso em que Z é a fórmula (Qjxi)Z1, seja M(i, x) uma I-valoração diferente de M, somente pela troca de x pela variável xi e seja G uma função proposicional em I com su-porte {i} tal que G(y1, y2, ...) = valM(i, y
1), I(Z1). Dessa forma, valMI(((Qjxi)Z1) = Qj1(G). Assim, a aplicação valMI é definida por indução.
Mostowski (1957) não demonstrou a completude de seu cálculo formal. Segundo ele, o problema da completude para uma linguagem que contenha os quantificadores Q1, Q2, ..., Qs
é equivalente ao fato de que o conjunto de fórmulas verdadeiras é recursivamente enumerável. O autor deixou vários problemas em aberto. Segundo Feitosa, Nascimento e Grácio (2009) Fuhrken demonstrou a validade do teorema da compacidade de
L
(QI), em que QI éinterpreta-do por “existem incontavelmente muitos x”. Ainda, seguninterpreta-do Feitosa, Nascimento e Grácio, Vaught demonstrou em 1964 a completude da lógica com o quantificador de Mostowski e, em 1970, Keisler também demonstrou a completude, mas de forma mais simples.
Com os quantificadores de Mostowski, conseguimos manipular conceitos impossíveis de serem tratados na lógica de primeira ordem, tais como distinguir conjuntos infinitos dos conjuntos finitos e os contáveis dos não contáveis. Dessa forma, Lindström (1966) aprimorou
os conceitos destes quantificadores e, a partir disso, estudou algumas lógicas que poderiam ser formadas com a inclusão desses novos quantificadores.
As lógicas moduladas podem ser destacadas como uma das contribuições para o estu-do estu-dos quantificaestu-dores generalizaestu-dos. Estas lógicas determinam uma família de sistemas lógi-cos monotônilógi-cos que tratam de tipos particulares de quantificadores generalizados. Estes quantificadores expressam formas particulares de raciocínio indutivo, tratadas dedutivamente, e que representam expressões da linguagem natural.
Acerca da relação entre quantificadores lógicos e linguagem natural, Montague (1974, Apud GRÁCIO; FEITOSA; NASCIMENTO, 2006) apresentou uma teoria que unifica ou identifica expressões substantivas do inglês como “todos os peixes”, “José”, “ele”, à noção de quantificadores generalizados.
Mais tarde, Barwise e Cooper (1981) trataram da identificação entre essa categoria sintática, as expressões substantivas, da linguagem natural e os quantificadores generalizados da lógica, ocorrendo, assim, uma reaproximação entre lógica e linguagem natural, que vere-mos detalhadamente na subseção a seguir.
1.3.2 Os quantificadores generalizados de Barwise e Cooper
Barwise e Cooper (1981) analisaram as relações que existem entre a linguagem natural e os quantificadores generalizados. Seus trabalhos apresentam uma lógica não clássica por meio da introdução de quantificadores generalizados na linguagem da lógica clássica e, tam-bém, apresentam um estudo sobre a teoria quantificada na linguagem natural.
Os dois autores têm uma preocupação quanto a não denominação de “a maioria” e “mais da metade” de quantificadores. Para eles, há diferença entre dizermos “mais da metade das canetas de Hugo” e “mais da metade de todas as coisas”, pois, segundo eles, não é possí-vel formalizarmos de maneira simples o quantificador “mais da metade” como ‘mais da meta-de meta-de x (...x...)”. Assim, Barwise e Cooper meta-defenmeta-dem que “a maioria” e “mais da metameta-de” não atuam como quantificador, mas como determinantes (termo de contagem). No entanto, se combinarmos com um conjunto de expressões qualquer, então obtemos um quantificador. Assim, um quantificador pode ser estruturado por: determinante + expressão de conjunto, ou seja,
Por exemplo, considerando a seguinte frase: “Muitas pessoas gostam de chocolate”, o quantificador é “muitas pessoas”, em que “muitas” é o determinante e “pessoas” é a expressão de um conjunto. Dessa forma, para os autores, os quantificadores generalizados são equiva-lentes às expressões substantivas, denominadas NPs (noun-phrases).
Agora, apresentaremos uma lógica com quantificadores generalizados, segundo Bar-wise e Cooper (1981), denotada por
L
(GQ).A lógica
L
(GQ) é composta por:i) Sintaxe Linguagem
· Símbolos lógicos
a) Conectivos proposicionais: ∧, Ú, ~ b) Variáveis: x, y, z, x0, ...
c) Um termo de conjuntos distinguido: “thing” d) Símbolos auxiliares: (, ), [, ], ^
e) Símbolo de igualdade: =
f) Alguns determinantes lógicos: todos, existe, nenhum, ambos, 1, 2, 3, ..., 1!, 2!, 3!, ..., o 1, os 2, os 3, ...
Observação: a interpretação dos seguintes determinantes numéricos será dada por: 2 sapatos são vermelhos significa que pelo menos dois sapatos são vermelhos; 2! sapatos são vermelhos significa que exatamente dois sapatos são vermelhos; os 2 sapatos são vermelhos só terá uma interpretação nos modelos que têm exatamente dois sapatos e será verdade se todos forem vermelhos neste modelo.
· Símbolos não lógicos:
a) Símbolos de constantes: c, d, ... b) Símbolos Relacionais: R, S, ...
c) Determinantes não lógicos: D1, D2, ... (podem incluir muitos, poucos, a maioria, boa parte, ...)
· Regras: são seis regras, que juntas, definem três tipos de expressões de
L
(GQ), os termos de conjuntos (R1, R2), os quantificadores (R3) e as fórmulas (R4, R5, R6).R1: Qualquer símbolo de predicado é um conjunto de termos;
R2: Se A é uma fórmula e u é uma variável, então û[A] é um termo de conjunto;
R3: Se D é um determinante e h é um termo de conjunto, então D(h) é um quantificador; R4: Se R é uma relação n-ária e (t1, t2, ..., tn) são constantes ou variáveis, então R(t1, t2, ..., tn) é uma fórmula. Do mesmo modo, se h é um termo de conjunto e t é uma constante ou variável, então h(t) é uma fórmula;
R5: Se Q é um quantificador e h é um termo de conjunto, então Q(h) é uma fórmula; R6: Se A e B são fórmulas, então A∧B, AÚB e ~A são fórmulas.
ii) Semântica
Um modelo para
L
(GQ) é uma aplicação M que atribui interpretações às expressões da linguagem, e que usualmente identificamos M com o par ordenado ‹E, ǁ ǁ› é uma função de interpretação. Designado por “thing” algum conjunto não-vazio E, e para cada símbolo básico S, uma interpretação ǁSǁ que satisfaz as regras (S1 – S6) apresentadas a seguir.S1: Se t é uma constante ou variável, então ǁtǁ ∈ E. S2: ǁthingǁ = E.
S3: ǁ = ǁ = {‹ a, a ›: a∈E}.
S4: Se R é uma relação, então ǁ R ǁ Í E x E x ... x E = En. Analogamente, se U é um termo de conjunto básico, então ǁ U ǁ ⊆ E.
S5: Seja ½ Y ½ a cardinalidade do conjunto Y, então:
(i) ǁ algum ǁ é uma aplicação que designa para cada A Í E a família ǁ algum ǁ (A) = {X Í E : X Ç A ¹ Æ}.
(ii) ǁ todo ǁ é uma aplicação que designa para cada A ⊆ E a família ǁ todo ǁ (A) = {X Í E : A Í X}.
(iii) ǁ nenhum ǁ é uma aplicação que designa para cada A ⊆ E a família ǁ nenhum ǁ (A) = {X Í E : X Ç A = Æ}.
(iv) Para todo natural n, ǁ n ǁ, ǁ n!ǁ e ǁo nǁ são aplicações em conjuntos definidas por: ǁ n ǁ (A) = {X Í E : ½X Ç A½ ³ n}
ǁ n! ǁ (A) = {X Í E : ½X Ç A½ = n}
ǁ o n ǁ (A) = ǁ todo ǁ (A), se ½ A ½= n Indefinido, caso contrário. ǁ ambos ǁ (A) = ǁ os 2 ǁ (A)
ǁ nenhum dos dois ǁ (A) = ǁ nenhum ǁ (A), se ½ A ½= 2 Indefinido, caso contrário.
S6: Se D é um determinante não lógico, então ǁ D ǁ designa para cada conjunto A alguma família de conjuntos que vivem em A.
A propriedade “vive em” (Live on) é definida em Barwise e Cooper (1981, p. 178) da seguinte forma: Em um modelo M = (E, ǁ ǁ), um quantificador Q vive em um conjunto A Í E se Q é um conjunto de subconjuntos de E com a propriedade que, para cada X Í E, X ∈ Q se, e somente se, (X Ç A) ∈ Q.
S7: Se R é uma relação n-ária, então:
ǁ R(t1, t2,..., tn) ǁ = 1, se ‹ ǁ t1 ǁ, ǁ t2 ǁ, ..., ǁ tn ǁ › ∈ ǁ R ǁ; 0, se ‹ ǁ t1 ǁ, ǁ t2 ǁ, ..., ǁ tn ǁ › ∉ ǁ R ǁ. Analogamente, se h é um termo de conjunto, então: ǁ h(t) ǁ = 1, se ǁ t ǁ ∈ ǁ h ǁ
S8: Se D é um determinante e h é um termo de conjunto, então o quantificador D(h) denota o resultado da aplicação da denotação de D na denotação de h, isto é, ǁ D(h) ǁ = ǁ D ǁ (ǁ hǁ). Esta é uma família que vive em ǁ hǁ.
S9: Se Q é um quantificador e j é um termo de conjunto, então Qj denota verdade ou falsida-de falsida-depenfalsida-dendo da falsida-denotação falsida-de j ser ou não um dos conjuntos na falsida-denotação falsida-de Q, ou seja: ǁ Qj ǁ = 1, se ǁ j ǁ ∈ ǁ Q ǁ
0, se ǁ j ǁ ∉ ǁ Q ǁ
S10: Para os operadores usuais, as regras utilizadas são as mesmas. ǁ A∧B ǁ = 1, se ǁ A ǁ = ǁ B ǁ = 1 0, caso contrário ǁ AÚB ǁ = 1, se ǁ A ǁ = 1 ou ǁ B ǁ = 1 0, se ǁ A ǁ = ǁ B ǁ = 0 ǁ ~A ǁ = 1, se ǁ A ǁ = 0 0, se ǁ A ǁ = 1
A partir do que vimos, é possível afirmarmos que a sentença quantificada por um quantificador Q é verdadeira se, e somente se, a propriedade apresentada por ela é verdadeira para todos os indivíduos que compõem o modelo. Por exemplo, a sentença “muitas pessoas gostam de chocolate” é verdadeira se o conjunto de indivíduos que gostam de chocolate pos-sui muitos elementos.
Segundo Feitosa, Nascimento e Grácio (2009) muitos estudos quanto às aplicações dos quantificadores generalizados em contextos computacionais levaram muitos pesquisadores a entender que o melhor ambiente para o tratamento destes seria por meio de lógicas monotôni-cas.
A partir disso, surgiram diversas contribuições. Sette, Carnielli e Veloso (1999) intro-duziram uma lógica que interpreta os quantificadores “quase todos (ou geralmente)” por meio de filtros primos. Grácio (1999) introduziu uma família de sistemas lógicos, a família das
ló-gicas moduladas, em que cada uma é caracterizada pela inclusão de novos quantificadores generalizados, denominados quantificadores modulados, na linguagem da lógica de primeira ordem. Estabeleceu, também, uma formalização no ambiente quantificacional (não clássico) para o conceito de “muitos” e “para uma boa parte”, interpretados, semanticamente, pelas noções de família fechadas superiormente e topologia reduzida, respectivamente.
Nos capítulos subsequentes será estudada detalhadamente a Lógica do Muito, introduzida por Grácio (1999), já que esta é essencial para o desenvolvimento deste trabalho.
2 MODELOS PARA QUANTIFICADORES
Neste Capítulo trataremos de modelos para quantificadores. Aqui nos deteremos aos quantificadores clássicos, posto que a definição de modelo para a lógica do muito será definida de modo análogo no Capítulo 3.
2.1 Quantificadores lógicos universal (") e existencial ($)
Segundo Westerståhl e Peters (2002), para Frege os quantificadores eram funções que atuavam tanto sobre as funções, quanto sobre os objetos. Devido a isso, estes eram classificados como funções de segunda ordem. Assim, argumentos usados como objetos eram tidos como funções de primeira ordem, mas por outro lado se os argumentos eram tidos como funções de primeira ordem, tratava-se então de uma função de segunda ordem.
Ainda segundo Westerståhl e Peters (2002), Frege reduziu os predicados lógicos em funções que designam valores de verdade 0 (falso) e 1 (verdadeiro) para cada objeto x do predicado (P). Ou seja,
f: P ® {0, 1} x ⊢ f(x) = 0 ou f(x) = 1.
Dessa forma, segundo Frege, o quantificador “para todo”, representado por ∀, representa a função que toma como argumentos funções de primeira ordem e designa o valor de verdade 1 se, e somente se, a sentença for verdadeira para todos os objetos x do argumento. Caso contrário, designará o valor 0. Ou seja, ∀x F(x) = 1 se, e somente se, F(x) = 1, para qualquer x. Como exemplo, tomemos a seguinte sentença da linguagem natural:
Todas as maçãs são frutas.
Assim, temos: ∀x F(x), em que “x” representa as maçãs e “F” a propriedade de ser fruta.
O quantificador existencial, representado por ∃, refere-se à noção de conjunto não-vazio. Dessa forma, ao utilizarmos este quantificador, estamos nos referindo que dentro de um universo dado, existe pelo menos um indivíduo que satisfaz certa propriedade. Ou seja, ∃x
F(x) = 1 se, e somente se, F(x) = 1, para pelo menos um x. Como exemplo, tomemos a seguinte sentença da linguagem natural.
Algumas maçãs são verdes.
Assim temos: ∃x F(x), em que “x” representa as maçãs e “F” a propriedade de serem verdes.
De acordo com Feitosa e Paulovich (2005) podemos definir o quantificador existencial por meio do quantificador universal. Portanto,
(∃x) F(x) ºdf ~ (∀x) ~F(x).
Dessa forma, por esta definição, temos que: A(x) é verdadeira para algum x se, e somente se, não é o caso que A(x) é falsa para todo x.
A partir da introdução dos quantificadores na linguagem da lógica é preciso reformular ou acrescentar certas definições ao CPC (Cálculo Proposicional Clássico).
2.2 Linguagem de primeira ordem e suas interpretações: Modelos.
Esta seção será baseada em Mendelson (1964) e Feitosa e Paulovich (2005).
A lógica clássica de primeira ordem ou cálculo de predicados de primeira ordem será representada por
L
*.A linguagem de primeira ordem de
L
* contém os seguintes símbolos: (a) Uma quantidade enumerável de variáveis: v1, v2, ..., vn,...;(b) Conectivos lógicos: ~ e ®; (c) Quantificador universal: ∀; (d) Símbolos auxiliares: ), (;
(e) Relação binária de igualdade: =;
Para I, J e K subconjuntos de ℕ* temos:
(f) Símbolos relacionais {Ri}iÎI, junto com uma função T0: I®ℕ*, que caracteriza, para cada iÎI, a aridade T0(i) de Ri;
(g) Símbolos funcionais {fj}jÎJ, junto com uma função T1: J®ℕ*
, que caracteriza, para cada jÎJ, aridade T1(j) de fj;
Os símbolos de (a) até (e) são os símbolos lógicos, presentes em todas as teorias de primeira ordem sobre esta linguagem. Os símbolos de (f) até (h) são chamados de símbolos não lógicos e são particulares para cada teoria tratada. Assim, as linguagens são elaboradas de acordo com assunto que se deseja estudar.
Agora, veremos o que são termos, fórmulas atômicas e fórmulas de
L
*.Os termos de
L
* são definidos por:(a) Todas as variáveis e constantes individuais são termos;
(b) Se fj é um símbolo funcional de aridade T1(j) = n e t1, t2, ..., tn são termos, então fj(t1, t2, ..., tn) é um termo;
(c) Os termos são gerados exclusivamente pelas condições (a) e (b).
As fórmulas atômicas são definidas por:
(a) Se t1 e t2 são termos, então t1 = t2 é uma fórmula atômica, chamada de igualdade; (b) Se Ri é um símbolo relacional com aridade T0(i) = n e t1, ..., tn são termos, então Ri(t1,
..., tn) é uma fórmula atômica;
(c) As fórmulas atômicas são geradas exclusivamente pelas condições (a) e (b).
As fórmulas da lógica de primeira ordem são definidas como se segue: (a) Toda fórmula atômica é fórmula de
L
*;(b) Se j e y são fórmulas e x é uma variável, então (~j), (j®y) e (∀xj) são fórmulas de
L
*;(c) As fórmulas de
L
* são geradas exclusivamente pelas condições (a) e (b).Na fórmula (∀xj), “j” está no escopo do quantificador “∀x”. Nota-se que j não precisa conter a variável x.
As expressões (jÙy), (jÚy) e (j«y) são definidas do modo usual como na lógica proposicional
L
(FEITOSA; PAULOVICH, 2005, p. 66). As convenções para eliminação de parênteses são aplicáveis na lógica de primeira ordem. As definições de variáveis livres e ligadas já foram dadas no Capítulo 1.O símbolo ∃, do quantificador existencial, não será tomado como um símbolo primitivo, mas será definido a partir do quantificador universal (∀), como visto na seção 2.1.
Agora, trataremos da semântica de primeira ordem. Como bem definiram Feitosa e Paulovich (2005, p. 173):
Dada uma linguagem de primeira ordem, uma estrutura de primeira ordem A para esta linguagem é determinada pela seguinte quádrupla:
(a) um conjunto não vazio A denominado o universo ou domínio de A; (b) uma família {RiA}iÎI, para cada i Î I, em que RiA é uma relação de
aridade T0(i) definida sobre A, ou seja, T0(i) = ni e RiA⊆ A n
;
(c) uma família {fjA}jÎJ, para cada jÎJ, em que fjA é uma função de aridade
T1(j) definida sobre A, ou seja, T1(j) = nj e fjA: A n ® A;
(d) uma família {akA}kÎK de constantes de A.
Usaremos as letras A, B, C, ... para indicar as estruturas e as letras A, B, C, ..., respectivamente, para denotar os seus universos. Indicaremos uma estrutura A por A = (A, {RiA}iÎI, {fjA}jÎJ, {akA}kÎK).
Consideremos duas estruturas A e B. Dizemos que A é uma subestrutura de B quando são satisfeitas as seguintes condições:
(a) A ⊆ B;
(b) RiA(a1, ..., an) = RiB(a1, ..., an), para todos a1, ..., an Î A e todo i Î I; (c) fjA(a1, ..., an) = fjB(a1, ..., an), para todos a1, ..., an Î A e todo j Î J; (d) akA= akB, para todo ak Î A.
Consideremos A e B duas estruturas e h: A ® B uma função. A função h é um homomorfismo de A em B, após um possível ordenamento dos símbolos não lógicos, se as seguintes condições são satisfeitas:
1. se RiA(a1, ..., an), então RiB(h(a1), ..., h(an)), para todos a1, ..., an Î A e todo i Î I; 2. se fjA(a1, ..., an) = a, então fjB(h(a1), ..., h(an)), para todos a1, ..., an Î A e todo j Î J; 3. f(akA) = akB, para todo akÎA.
Segundo Mendelson (1964), os conceitos de satisfatibilidade e verdade são intuitivamente claros e necessários para a realização de provas precisas de muitos resultados da metamatemática.
Ainda de acordo com Mendelson, satisfatibilidade será um conceito fundamental para a definição da noção de verdade.
Consideremos
L
* uma linguagem de primeira ordem e A = (A, {RiA}iÎI, {fjA}jÎJ, {akA}kÎK ) uma estrutura de primeira ordem correspondente. Uma interpretação x deL
*em A é uma função tal que:
x: {Ri}iÎI ® {RiA}iÎI x(Ri) = RiA x: {fj}jÎJ ® {fjA}jÎJ
x(fj) = fjA x: {ak}kÎK ® {akA}kÎK
x(ak) = akA
A função x leva elementos sintáticos em um mundo no qual interpretamos os entes sintáticos ou simbólicos.
Dada uma interpretação, as variáveis são consideradas como variando dentro do conjunto A, e ~, ® e os quantificadores são dados com o seu significado normal.
Para uma dada interpretação da linguagem
L
*, uma fórmula deL
* sem variáveis livres, denominada de fórmula fechada ou sentença, representa uma proposição que pode ser verdadeira ou falsa, já que fórmulas com variáveis livres podem ser satisfeitas (ou seja, verdadeira em um modelo) para alguns valores em um dado domínio e não satisfeitas (ou falsa em um modelo) para outros.Os termos dentro das estruturas semânticas são entendidos como segue abaixo:
Sejam a1, ..., an ÎA e consideremos o conjunto das variáveis livres e ligadas de um termo t(v1, ..., vn) esteja contida em {v1, ..., vn}. O valor do termo t em a1, ..., an é:
(a) se t = vi, então tA(a1, ..., an) = aiA; (b) se t = ak, então tA(a1, ..., an) = c;
(c) se t = fj(t1, ..., tm), então tA(a1, ..., an) = fjA(t1(a1, ..., an), ..., tm(a1, ..., an)).
De acordo com Feitosa e Paulovich (2005, p. 175), temos:
Seja j uma fórmula cujo conjunto de variáveis livres e ligadas esteja contido em (v1, v2, ..., vn) e a1, a2, ..., an Î A. A estrutura A satisfaz a fórmula j se
vale o seguinte:
(a) se j º2
t1 = t2, então a1, ..., an satisfaz j em A se t1(a1, ..., an) = t2 (a1,...,
an);
(b) se j º Ri(t1, ..., tn), T0(i) = k e t1(v1, ..., vn), então a1, ..., an satisfaz j em
A se RiA(t1(a1, ..., an), ..., tk(a1, ..., an)).
Denotamos a relação de satisfação, neste caso, por: A ⊨ (t1 = t2)(a1, ..., an) see t1A(a1, ..., an) = t2A(a1, ..., an) A ⊨ Ri(t1, …, tn)( a1, ..., an) see RiA(t1(a1, ..., an), …, tk(a1, ..., an)) (Caso 2) (a) j º ~y: A ⊨ j (a1, ..., an) see A ⊭ y(a1, ..., an) (b) j º y ® s:
A ⊨ j(a1, ..., an) see A ⊭ y(a1, ..., an) ou A ⊨ s(a1, ..., an)
(Caso 3)
(a) j º (∀vi)y, 1 ≤ i ≤ n:
A ⊨ j(a1, ..., an) see, para todo aÎA,
A ⊨ y(a1, ..., ai-1, a, ai+1, ..., an).
Assim, se uma estrutura A satisfaz uma sentença y, escrevemos A ⊨ y.
Segundo Feitosa e Paulovich (2005), dizemos que uma fórmula j(v1, ..., vn) é satisfatível quando existem uma estrutura A e (a1, ..., an) Î An tal que A ⊨ j(a1, ..., an). Dessa forma, dizemos que A é um modelo para j(v1, ..., vn).
Um modelo para uma teoria de primeira ordem é uma estrutura de primeira ordem na qual todos os teoremas da teoria são satisfatíveis (Feitosa e Paulovich, 2005, p. 175).
Dizemos que uma fórmula A(v1, ..., vn) é válida quando, quaisquer que sejam a estrutura A e (a1, ..., an) Î An, temos que A ⊨ j(a1, ... an).
Assim, se A ⊨ y, então A é um modelo de y. Dizemos que A é um modelo finito se, e somente se, A é uma estrutura finita. Assim, podemos dizer que uma sentença é finitamente satisfeita se ela possui um modelo finito que a satisfaça. E uma sentença é válida sobre estruturas finitas quando é satisfeita em toda estrutura finita sobre a linguagem de y.
2 Idêntico a, ou seja, este símbolo simboliza que tudo o que está à sua direita é idêntico ao que está a sua
2.3 Quantificadores segundo Paul Halmos
Nesta seção estudaremos o quantificador existencial e o quantificador universal, segundo Halmos (1962). Este estudo é necessário para o entendimento das álgebras monádicas Booleanas que serão tratadas no Capítulo 4.
Segundo Halmos (1962), no âmbito das álgebras Booleanas, é fácil dar uma formulação algébrica para inferir a partir das premissas “Alguns gregos são homens” e “Todos os homens são mortais” a conclusão “Alguns gregos são homens”. Porém, não é possível a partir das mesmas premissas, concluir que “Alguns gregos são mortais”.
A inferência desejada é justificada não pela manipulação das proposições como um todo, mas pela estrutura intrínseca de seus constituintes, ou seja, pelo estudo do significado das expressões “alguns” e “todos”.
Consideremos uma álgebra de Boole arbitrária A, e seja $ uma função de A em si mesma. Se A fosse uma álgebra de funções proposicionais (como seu nome indica, funções proposicionais são funções cujos valores são proposições), e $ fosse o operador “alguns”, então, $ deveria satisfazer algumas condições. São elas:
(i) $0 = 0; (ii) p £ $p;
(iii) $(pÚq) = $pÚ$q; (iv) $$p = $p, para pÎA.
Intuitivamente temos: suponha, por exemplo, que q(x) = “3x = 4” e considere A uma álgebra de funções proposicionais cujo domínio é o conjunto dos números naturais. Sabemos que, para toda teoria de aritmética dos números naturais, a sentença “3x = 4” é refutável, ou seja, não válida. Assim, para cada valor de x a função proposicional q é refutável. Logo, a função proposicional q é igual à função constante 0. As mesmas considerações se aplicam para a sentença “para algum x, 3x = 4” e, assim, completa a ilustração de (i). As demais condições podem ser ilustradas similarmente. Intuitivamente, a condição (ii) diz que cada valor de p implica que “para algum x, p(x)”.
Entretanto, as condições (i) – (iv) só relacionam $ com Ú (0 e £ são definidos em termos de Ú) e não dizem algo à respeito da relação de $ com Ù ou ~. Desta forma, temos as seguintes condições:
(v) $(~($p)) = ~($p) (vi) $(pÙ$q) = $pÙ$q.
Intuitivamente, (v) serve para lembrar o fato de que funções constantes formam uma álgebra de Boole (de modo, em particular, que sejam fechados sob a complementação) e que “alguns” aplicado a uma função constante não tem efeito.
Assim, segundo Halmos (1962) temos a seguinte definição: um quantificador existencial é uma função $ de uma álgebra de Boole em si mesma que satisfaz as condições (i) – (v). Dualmente, um quantificador universal é uma função " de uma álgebra de Boole em si mesma que satisfaz as seguintes condições:
(i’) "1 = 1; (ii’) "p £ p;
(iii’) "(pÙq) = "pÙ"q; (iv’) ""p = "p;
(v’) "(~("p)) = ~("p).
Podemos ver que " tem as mesmas relações para o intuitivo “todo” como $ tem para “alguns”.
É possível relacionar o quantificador existencial com o quantificador universal. Para isso, considere A uma álgebra de Boole. Se a função " de A em si mesma é definida por:
"p = ~($(~p)),
então " é um quantificador universal em A; se, em sentido inverso um quantificador universal " é dado, e se $ é definido por:
$p = ~("(~p)),
então $ é um quantificador existencial.
Vimos neste capítulo o que são modelos para os quantificadores clássicos, bem como o modo como Halmos (1962) trata os quantificadores existencial e universal. No primeiro capítulo, ao estudarmos os quantificadores generalizados de Mostowski e seu cálculo formal
