3.5 Conseqüências dos Casos de
3.5.6 A Desigualdade Triangular
O teorema 3.6 permite demonstrar uma das mais importantes de- sigualdades da matemática.
Teorema 3.7 (Desigualdade Triangular em Triângulos). Em todo triângulo a medida de qualquer lado é menor do que a soma das medidas dos outros dois lados.
Demonstração: Seja um triângulo ∆ABC. Veremos que AC<AB+BC (as outras desigualdades se provam de forma aná-
loga). Seja um ponto D na semi-reta AB tal que B está entre A e
D e BD=BC.
A B
C
D Figura 3.53 - AC<AB+BC
122
Então o triângulo ∆BCD é isósceles com BDC =BCD . Mas
BCD< ACD e, portanto BDC < ACD . Assim, no triân-
gulo ∆ADC tem-se, pelo teorema 3.6, que AD>AC. Mas AD=AB+BD=AB+BC. Daí tem-se AC<AB+BC.
■ Uma conseqüência imediata deste teorema é:
Corolário 1 (do teorema 3.7). Em todo triângulo a medida de qualquer lado é maior do que o valor absoluto da diferença das medidas dos outros dois lados.
Demonstração: Seja um triângulo ∆ABC. Do teorema 3.7 temos
que: AC<AB+BC i) , AB<AC+BC ii) e BC<AB+AC iii) .
De (i) e (ii) obtemos: BC> AC−AB e BC >AB−AC. Logo,
BC> AC−AB . As outras desigualdades se provam analoga-
mente.
■
Teorema 3.8 (Desigualdade Triangular no Plano). Dados três pontos A, B e C (não necessariamente distintos), a medida de qual- quer um dos segmentos AB, AC ou BC é menor ou igual à soma
dos outros dois. A igualdade ocorre somente se os pontos forem colineares.
Demonstração: Parte da demonstração deste teorema é a de- monstração do teorema 3.7 e, se os pontos forem colineares, basta analisar caso a caso. Note que, neste caso, apenas uma igualdade pode ocorrer. Por exemplo, AB= AC+BC se, e somente se, C es-
tiver entre A e B. Se houver coincidência de pontos, por exemplo, se A e B forem um só ponto, então AB=0.
■ Observação: Este teorema nos diz que, se três pontos distintos A,
três desigualdades estritas, então estes três pontos formam um triângulo ∆ABC. Na verdade, basta verificar apenas duas desi-
gualdades em relação a qualquer um dos segmentos. Por exem- plo, basta verificar que AC−BC < AB<AC+BC para garantir
que os três pontos A, B e C formam um triângulo (por quê?). Outra conseqüência do teorema 3.7 é:
Corolário 2 (do teorema 3.7). Se dois triângulos possuem dois lados respectivamente congruentes formando ângulos distintos, então os terceiros lados são distintos e o menor deles é oposto ao menor dos dois ângulos.
Demonstração: Sejam dois triângulos ∆ABC e ∆AB C′ com AC
comum, BC=B C′ e ACB > ACB′ (figura). Vamos provar que
AB′ < AB. A B B' C D Figura 3.54 - AB′ <AB
Seja CD, com D sobre AB, a bissetriz do ângulo ∠BCB′. En-
tão ∆CDB≡ ∆CDB′, pois BC=B C′ , BCD =B CD′ e CD é
comum (caso LAL). Logo, DB′ =DB. Agora, no ∆ADB′, temos AB′< AD+DB′= AD+DB= AB (pela desigualdade triangular).
■
Exercícios Resolvidos
Um Problema de Minimização: O Problema de Heron
1) –
Dados dois pontos A e B, em um mesmo lado de uma reta
r, achar o ponto P de r tal que AP+BP seja mínima (entre
124
Resolução: Este problema é um problema de construção com ré- gua e compasso. A posição relativa do ponto P na reta r pode ser calculada em função das posições relativas de A e B, mas para isto será necessário usar semelhança de triângulos. Sejam então uma reta r e dois pontos A e B e dados como na figura.
A A' P M Q N r B
Figura 3.55 - Problema de Heron
Seja AA′ perpendicular a r cujo ponto médio M está em r (dize-
mos que A′ é o simétrico de A em relação à reta r). Note que r é a
mediatriz de AA′. O segmento A B′ cruza a reta r. Afirmamos que
o ponto de interseção P é o ponto procurado.
Justificativa: AP= A P′ . Mas A B′ = A P′ +BP= AP+BP. Seja
Q um outro ponto qualquer de r. Então AQ=A Q′ . Mas, no
triângulo ∆A BQ′ , temos A B′ <A Q′ +BQ=AQ+BQ. Como A B′ =AP+BP, temos que AP+BP< AQ+BQ. Logo, a soma
é mínima em P.
Observação: Da solução concluímos ainda que APM =BPN (fi-
gura acima), pois BPN =A PM′ (opostos ao vértice) e A PM′ =APM
(pois ∆PAA′ é isósceles e PM ⊥AA′). Este problema é conhe-
cido em ótica como o problema da reflexão de um raio de luz, e o que se conclui é que o ângulo de incidência (∠APM)
é “igual” ao ângulo de reflexão (∠BPN), imaginando-se um raio
de luz indo de A para B e refletindo em r. Isto ocorre segundo um princípio de minimização na natureza que diz que a luz vai de um ponto a outro no menor tempo possível. Uma variação interessan- te do problema de Heron está enunciada no problema seguinte.
Dentre todos os triângulos com um lado dado e com altura 2)
relativa a esse lado dada, encontre aquele que tem o menor perímetro.
Resolução: Seja AB o lado dado. Seja r a reta que está a uma
distância igual à altura dada da reta que contém AB. A solução é
a mesma do problema 1. A B C P M r
Figura 3.56 - O ∆ABP tem perímetro mínimo
Só que agora ∆APM ≡ ∆A PM′ ≡ ∆BPC (por quê?), onde C é o
pé da perpendicular a r por B. Então AP=BP, e o triângulo de
perímetro mínimo é o triângulo isósceles (note que basta minimi- zar AP+BP pois AB é fixo).
Seja
3) ∆ABC um triângulo e seja P um ponto no interior deste
triângulo. Prove que AP+BP<AC+BC.
Resolução: A B C D P Figura 3.57 - AP+BP<AC+BC Da figura, no ∆APD: AP<AD+PD. Assim, AP+BP<AD+PD+BP=AD+BD. Agora, no ∆BCD: BD<DC+BC. Assim, AP+BP<AD+BD< AD+DC+BC=AC+BC.
Exercícios Propostos
Prove o problema “dual” do exercício 2 resolvido acima: 1)
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rímetro dado, aquele que possui a maior altura relativa ao lado dado é o triângulo isósceles.
Sugestão: Raciocine da seguinte forma: se fixarmos o lado AB e
a altura através da reta r (figura 3.56), então qualquer ponto no semi-plano oposto ao dos pontos A e B, em relação à reta r, ou qualquer ponto de r distinto de P, forma com A e B um triângu- lo de perímetro maior do que o perímetro do triângulo isósceles
PAB
∆ (por quê?). Conclua.
Construir com régua e compasso o caminho mínimo para se 2)
ir de um ponto P até um ponto Q, ambos no interior de um ângulo ∠AOB, passando uma vez por cada lado do ângulo.
Sugestão: A solução é uma dupla aplicação da solução do proble- ma de Heron.
Seja
3) P um ponto no interior de um triângulo ∆ABC. Mostre
que: 2 AB BC AC PA PB PC AB BC AC + + < + + < + +
Sugestão: Para provar a primeira desigualdade, use a desigualda- de triangular nos triângulos ∆ABP, ∆BCP e ∆ACP, escrevendo
AB<PA PB+ etc. Para a segunda desigualdade, use o exercício
resolvido 3 acima. Dados dois pontos
4) A e B, em um mesmo lado de uma reta r
dada, achar o ponto P sobre r tal que AP−BP seja máximo.
Sugestão: Observe que qualquer lado de um triângulo é maior do que o valor absoluto da diferença dos outros dois, e que A, B e P formam um triângulo (qualquer que seja P em r?).