A questão da existência de ângulos retos pode ser resolvida de for- ma rigorosa através de resultados (axiomas e proposições) de con- gruência. Euclides, em seus “Elementos”, trata congruência (igual- dade) como uma “noção comum” (uma figura é congruente a si própria, etc) e “prova” a existência de retas perpendiculares, mas é obrigado a estabelecer o seguinte postulado de uniformização:
Postulado 4 (Euclides). Todos os ângulos retos são congruentes entre si.
Esse postulado nos diz que um ângulo reto não é apenas con- gruente a um suplemento seu mas também a qualquer outro ân- gulo do plano que possui um suplemento congruente a ele.
Isso faz com que o (com o artigo definido, pois só há um tipo) ângulo reto seja um ângulo especial: o único ângulo que possui uma caracterização própria. Por essa razão, ele pode ser conside- rado como uma medida padrão natural de ângulo (ao contrário do que ocorre, em Geometria Euclidiana com a medida de seg- mento, cujas unidades são arbitrárias).
Nosso enfoque aqui será o seguinte: usaremos o Postulado 4 de Euclides para definir uma unidade de medida de ângulo e, a par- tir daí, a congruência de ângulos será tratada como igualdade de medida de ângulos. Com isso, com o axioma das paralelas a ser visto no último parágrafo deste capítulo (com suas formulações equivalentes) e com um axioma de congruência de triângulos, chegaremos rapidamente a diversos resultados no próximo capí- tulo. Admitiremos também, por enquanto, a existência de retas perpendiculares.
A medida de um ângulo, assim como a medida de um segmento, é uma função que associa a cada ângulo um número real positivo, e que deve ser aditiva, ou seja, se ∠AOB e ∠BOC são ângulos ad-
jacentes, então a medida de ∠AOC é igual à soma das medidas de AOB
∠ e ∠BOC. Denotamos por AOB a medida do ângulo ∠AOB.
Veja no final deste capítulo a bibliografia comentada 1 (Heath) para saber mais sobre esta obra.
Observação: Alguns textos utilizam a notação AOB para indicar
o objeto geométrico ângulo (ao invés de ∠AOB), e a mesma nota-
ção para medida de ângulo.
Podemos agora definir uma unidade de medida a partir do pa- drão ângulo reto.
Definição 2.8. Definimos o grau como a medida de um ângulo que corresponde a 1
90 da medida de um ângulo reto.
Em outras palavras, se “somarmos” 90 ângulos de medida igual a um grau (colocando-os sucessivamente adjacentes), obteremos um ângulo reto. Denotamos um ângulo de x graus por x°. Por exemplo, um ângulo reto tem medida 90° (noventa graus). Decor- re da definição de ângulo reto que a soma das medidas de um ângulo e de um suplemento seu é igual à soma de dois ângulos retos, ou seja, igual a 180°. Reciprocamente, se a soma de dois ân- gulos adjacentes é igual a 180° então um é suplemento do outro. Em alguns textos, o “ângulo” de 180° (o ângulo cujos lados são semi-retas opostas) é chamado de ângulo raso. Na nossa concei- tuação isto não é ângulo (e nem é possível definir interior de um tal “ângulo”). Por ora, o ângulo raso não tem nenhuma utilidade e o valor 180° deve ser tomado como soma de medidas de ângu- los. Somente mais adiante, quando definirmos ângulo central na circunferência, e em trigonometria no círculo, é que será interes- sante estender o conceito de ângulo.
Tendo definido medida de um ângulo, passaremos a entender o termo “ângulo entre duas retas” como sendo a menor das medi- das dos dois ângulos que essas retas formam (se as retas forem perpendiculares então, como já vimos, o ângulo entre elas tem medida 90°).
Definição 2.9. Dois ângulos são ditos opostos pelo vértice se os lados de um deles são respectivamente semi-retas opostas aos la- dos do outro.
Decorre dessa definição que ângulos opostos pelo vértice pos- suem o mesmo vértice.
62 A B C O D
Figura 2.16 - ∠AOB e ∠COD são opostos pelo vértice.
Definiremos agora congruência de ângulos através da medida.
Definição 2.10. Dois ângulos são congruentes se, e somente se, eles possuem a mesma medida.
Resulta daí que congruência é uma relação de equivalência: é reflexiva (um ângulo é congruente a si próprio); i)
é simétrica (se
ii) ∠AOB é congruente a ∠CO D′ , então ∠CO D′
é congruente a ∠AOB);
é transitiva (se
iii) ∠AOB é congruente a ∠CO D′ e se ∠CO D′ é
congruente a ∠EO F′′ , então ∠AOB é congruente a ∠EO F′′ ).
A comparação de dois ângulos não congruentes se faz também através de suas medidas: ∠AOB é menor do que ∠CO D′ se, e
somente se, AOB <CO D′ .
Teorema 2.1. Suplementos de ângulos congruentes são congruen- tes. Em particular, ângulos opostos pelo vértice são congruentes.
Demonstração: Sejam ∠AOB e ∠DO E′ ângulos congruen-
tes e sejam ∠BOC e ∠EO F′ seus respectivos suplementos.
Então, de AOB +BOC =180º e DO E′ +EO F′ =180, e da hi-
pótese AOB =DO E′ , temos que BOC =EO F′ e, portanto,
BOC EO F′
∠ ≡ ∠ . Observe a figura a seguir:
A B C F E D O O'
Figura 2.17 - Se ∠AOB≡ ∠DO E′ então ∠BOC≡ ∠EO F′ .
No caso de ângulos opostos pelo vértice temos: B C D A O
Figura 2.18 - ∠AOB≡ ∠COD e ∠BOC≡ ∠AOD.
180º
AOB+BOC= e AOB +AOD =180º. Logo BOC =AOD .
Decorre do teorema que os dois suplementos de um ângulo são congruentes. Desta forma, passaremos a falar do suplemento de um ângulo. Em particular, temos que duas retas perpendiculares determinam quatro ângulos retos com o mesmo vértice. A soma destes quatro ângulos em torno do mesmo ponto é igual a 360°.
Figura 2.19 - Quatro ângulos retos em torno de um ponto.
De um modo geral, diremos que dois ângulos são suplementares se sua soma for igual a 180°.
Observação: O grau é decorrente do sistema sexagesimal (base 60), que foi utilizado pelosbabilônios. Note que 360 é múltiplo de 60. A própria subdivisão (não decimal) do grau utilizada até hoje é proveniente deste sistema: o minuto é igual a 1
60 do grau, e o
segundo é igual a 1
60 do minuto.
A milha marítima (aproximadamente 1852 m) é definida como sendo o comprimento de um arco sobre a linha do Equador cuja diferença de longitude é igual a um minuto. Até hoje, as veloci- dades dos navios são dadas na unidade “nó”, que corresponde a uma milha (marítima) por hora.
Os sistemas de escrita numérica mais antigos que se conhecem são os dos egípcios e dos babilônios, que datam aproximadamente do ano 3500 a.C.. Os babilônios usavam um sistema posicional que, em algumas inscrições, mostram que eles usavam não somente um sistema decimal, mas também um sistema sexagesimal (isto é, base 60). Os números de 1 a 59 eram representados novamente por agrupamento simples e a partir dali, se escreviam “grupos de cunhas”, com base 60. Por exemplo:
2(60) + 3 = 123
Fonte: <www.matematica.br/ historia/babilonia.html>.
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Outras unidades de medida de ângulo são: o
1) grado, que corresponde a 1
100 da medida do ângulo reto.
Essa unidade é pouco utilizada (parece que não foi de gran- de agrado...).
o
2) radiano, uma unidade “natural” associada ao comprimen- to de arco de circunferência, e que será extremamente impor- tante no estudo das razões trigonométricas como funções.
Exercícios Resolvidos
Na figura abaixo,
1) AOB =COD =90º. Mostrar que
AOC =BOD. A B C O D
Figura 2.20 - Se AOB =COD =90 então AOC =BOD .
Resolução: AOB =AOD +BOD e COD =AOD +AOC .
Daí e da hipótese temos: AOD +BOD = AOD +AOC , ou
AOC =BOD.
Dois ângulos são ditos
2) complementares se sua soma for igual a 90°. Calcule dois ângulos complementares, sabendo- se que um deles é o dobro do outro.
Resolução: Sejam e as medidas dos dois ângulos. Então:
90
+ = ° e =2. Segue-se que 3 =90°, ou =30°. Daí
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Exercícios Propostos
Prove a seguinte generalização do exercício resolvido 1 desta 1)
seção: se dois ângulos têm a mesma origem e os seus lados são respectivamente perpendiculares, então eles são con- gruentes ou são suplementares (Sugestão – considere dois casos: um em que os dois lados de um dos ângulos estão no mesmo semi-plano em relação a qualquer um dos lados do outro ângulo; o outro caso é aquele em que os dois lados de um mesmo ângulo estão em semi-planos distintos em rela- ção a qualquer um dos lados do outro ângulo).
Considere n ângulos congruentes de mesmo vértice cuja 2)
soma é igual a 360°. Explique porque, se n for par então, estes ângulos formam
2 n
pares de ângulos opostos pelo vértice. Explique porque, se n for ímpar, então não existe nenhum par destes ângulos que sejam opostos pelo vértice.
Determinar dois ângulos suplementares tais que um deles 3)
seja o triplo do complemento do outro.
Quais são os quatro ângulos adjacentes que podem ser ob- 4)
tidos em torno de um ponto, sabendo-se que estão em pro- gressão aritmética de razão 20°?
Quatro semi-retas
5) OA, OB, OC e OD formam os ângulos
adjacentes ∠AOB, ∠BOC e ∠COD. Se AOC =BOD =90º, e
se BOC =40º, quanto vale AOD ?