Como foi dito no início, neste capítulo apresentamos uma gran- de quantidade de resultados, permitindo-nos ampliar o nosso conhecimento sobre triângulos, suas propriedades e diversas conseqüências (algumas ainda por vir nos próximos capítulos), propiciando ainda resolver diversos problemas de construções geométricas com régua e compasso. O coração do capítulo é o estudo da congruência de triângulos. No entanto, os resultados apresentados são, em sua maioria, de ordem qualitativa, não per- mitindo praticamente calcular nenhuma medida (como se pôde ver nos exercícios). Por exemplo, não sabemos ainda calcular o comprimento de nenhum segmento no triângulo eqüilátero (ape-
nas conhecemos seus ângulos), o mais simétrico entre todos os triângulos. Muito menos sabemos calcular neste momento os comprimentos de alturas, medianas ou bissetrizes para triângu- los quaisquer.
No próximo capítulo, ao estudarmos os quadriláteros, veremos mais algumas conseqüências do que foi aqui apresentado. Somen- te nos capítulos posteriores é que teremos resultados de ordem quantitativa. Em que direções deveremos olhar para obter resul- tados deste tipo? Que aspectos da geometria deverão ser abor- dados? Há dois essenciais. Um deles será o estudo quantitativo do “preenchimento” das figuras, ou seja, o estudo de áreas, que desenvolveremos no capítulo 5. O outro foi sugerido no teorema 3.5 deste capítulo: se, pelo ponto médio de um dos lados de um triângulo, a paralela a qualquer um dos outros dois interceptar o terceiro em seu ponto médio, então será verdade que, se por um ponto que divide um dos lados de um triângulo em uma deter- minada razão tirarmos uma paralela a um dos outros dois lados, esta interceptará o terceiro lado, dividindo-o em dois segmentos naquela mesma razão? Este estudo de proporções de figuras geo- métricas será o objeto do capítulo sobre semelhanças dessas figu- ras. Um importante resultado relacionando as medidas dos lados de um triângulo, no caso de um triângulo específico, será conse- qüência do estudo de congruência e do estudo de áreas (ou ain- da, do estudo de semelhanças). Que tipo de triângulo será esse? Temos aqui já alguns elementos que nos permitem conjecturar a resposta. Observe que um ângulo agudo, sujeito a uma pequena “perturbação” (uma pequena mudança em seu valor, para mais ou para menos) permanece um ângulo agudo. O mesmo ocorre com um ângulo obtuso. O único tipo de ângulo que é “estrutural- mente instável” é o ângulo reto: uma pequena perturbação pode levá-lo a um ângulo agudo ou a um ângulo obtuso. Do ponto de vista de um triângulo, variá-lo (por exemplo, mantendo as medi- das de dois lados e variando o ângulo entre eles) de acutângulo para obtusângulo corresponde a deslocar o circuncentro do seu interior para o exterior, passando por um de seus lados no caso do triângulo retângulo. Isto pode nos sugerir que o tipo de triân- gulo procurado seja o triângulo retângulo. De fato, um resulta- do particular sobre este triângulo (uma das mais fundamentais relações em geometria) já era conhecido muito antes dos gregos
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desenvolverem o método dedutivo na geometria (possivelmente desde 2000 a.C.): o teorema de Pitágoras, que será visto no final do capítulo 5.
Para finalizar, queremos fazer aqui algumas observações sobre dois tipos de exercícios que surgiram neste capítulo. Um deles, já comentado no início do capítulo, trata de construções com ré- gua e compasso. Este é um tipo de “problema inverso” em geo- metria. Normalmente, os problemas em geometria apresentam um objeto geométrico, uma figura, e pedem que se estabeleçam relações entre seus elementos, ou que se calculem as medidas desses elementos. No problema de construção ocorre o oposto: são dados alguns elementos de um determinado objeto e pede-se para reconstruí-lo. Isto é feito a partir de uma análise do objeto, supondo-o já construído, para se obterem, assim, as “pistas” que permitam, passo a passo, chegar de fato ao objeto. Insistimos aqui que os aspectos técnicos de operação das ferramentas necessárias para realizar essas construções, ou seja, da utilização do compas- so e da régua, e mesmo da precisão dessas ferramentas, são aqui para nós irrelevantes.
O que interessa é o conhecimento da geometria, mesmo porque, como já dissemos no início, softwares de geometria dinâmica tais como o “Cabri Géomètre II”, são excelentes para se poder efetu- ar aquelas construções. Outro tipo de exercício de que tratamos aqui foi o de problemas de extremos: máximos e mínimos em geometria. Tais problemas, de caráter essencialmente quantitati- vo, surpreendentemente possuem elegantes soluções puramente geométricas (não analíticas), muitas delas sendo do tipo constru- tivo. Com um pouco mais de elementos de geometria quantitati- va poderemos calcular medidas e posições relativas de soluções desses problemas. Exemplo disso são os problemas de Heron e de Regiomontanus: com semelhança de figuras e o teorema de Pitágoras poderemos calcular as posições dos pontos que são soluções desses problemas discutidos no capítulo. O Cálculo Di- ferencial é a ferramenta poderosa e apropriada para tratar tais problemas, porém soluções geométricas algumas vezes são mais diretas e simples.
Exercícios Propostos
I) Exercícios Gerais
Provar que, se um triângulo tiver duas alturas congruentes, 1)
então ele é isósceles. Provar que, se um triângulo tiver duas medianas congruentes, então ele é isósceles.
Sejam
2) r e s duas retas paralelas e seja t uma transversal que
intercepta r e s nos pontos A e B respectivamente. Seja M o ponto médio de AB. Prove que M também é ponto médio
do segmento com extremidades em r e s determinado por qualquer outra transversal que passa por M.
Sejam
3) r e s duas retas não paralelas e seja t uma transversal
que intercepta r e s nos pontos A e B respectivamente. Consi- dere as bissetrizes dos quatro ângulos internos (aqueles que possuem um lado contendo o segmento AB). Mostre que os
dois pontos de intersecção destas bissetrizes estão na bisse- triz do ângulo formado pelas retas r e s.
Um método para achar a bissetriz de um ângulo, 4)
baseado nas propriedades dos triângulos isósceles é o seguinte: sejam A e B pontos nos lados de um ângulo de vértice O tais que OA=OB, e seja M o ponto médio
de AB. Então OM é bissetriz de ∠AOB. Explique por-
que um método análogo, dividindo-se o segmento AB
em três partes iguais (veja como dividir um segmen- to em n partes iguais no capítulo 7) não funciona. Veja a figura 3.103, onde AP=PQ=QB, e explique porque
AOP=BOQ mas POQ é maior do que a medida da-
queles ângulos. Sejam
5) AB e AC dois segmentos com extremidade comum
A e com comprimentos fixados. Considere todos os triângu-
los ∆ABC, variando-se o ângulo ∠BAC. Mostre que medida
do segmento BC cresce conforme B AC cresce. Em outras
palavras, se ∠BAC for agudo, então BC é menor do que a
hipotenusa do triângulo quando ele for retângulo em A, e se
BAC
∠ for obtuso, então BC é maior do que aquela hipote-
nusa. Entre que valores pode variar BC? E 2
(BC) ? A B O P Q
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Considere o arco capaz de um ângulo agudo
6) em relação a
um segmento AB. Provar que o arco de circunferência que
passa pelo centro O daquele arco capaz, pelo ponto médio
M de AB e por B, é o arco capaz de em relação a MB.
Conclua daí que o segmento BC, com C no arco capaz em
relação a AB, cruza o arco capaz em relação a MB em seu
ponto médio (em outras palavras, conforme C descreve o arco capaz em relação a AB, o ponto médio de BC descre-
ve o arco capaz em relação a MB). Prove que isto ainda é
válido se α ≥90º.
Seja
7) ∆ABC um triângulo retângulo com 90ºA= e 60ºB= .
Prove que a medida de cateto AB é igual à metade da medi-
da da hipotenusa BC.
II) Problemas de Extremos
Qual é o triângulo retângulo inscrito em uma circunferên- 8)
cia dada, cuja soma da altura relativa à hipotenusa com um dos catetos é máxima?
Sugestão: Este problema é uma aplicação do exercício proposto 4 da seção 3.5.8 – considere o triângulo retângulo simétrico ao triângulo dado em relação à hipotenusa.
São dados um ponto
9) A e uma circunferência de um mesmo
lado de uma reta r. Achar um ponto P em r e um ponto Q na circunferência tal que AP+PQ é mínima.
Sugestão: este problema é uma variação do problema de Heron (exercício 1 da seção 3.5.6).
Observação: Este problema deve ser resolvido por construção. Provar que, dentre todos os triângulos retângulos cuja 10)
soma dos catetos é uma constante dada, aquele que tem hi- potenusa mínima é o triângulo isósceles.
Achar o ponto do arco de circunferência da figura abaixo 11)
tal que a soma de suas distâncias às semi-retas OA e OB
A B O P M N
Figura 3.104 - Quando PM+PN é máxima?
Provar que, dentre todos os triângulos retângulos com pe- 12)
rímetro fixado dado, aquele que tem a hipotenusa mínima é o triângulo isósceles.
Sugestão: use o problema resolvido 2 da seção 3.5.7.
III) Problemas de Construção com Régua e Compasso ou
Aplicados
(Problema da Navegação Costeira)
13) : Um navio navega per-
to da costa de um país na qual podem ser avistados dois faróis A e B. O navegador possui uma carta náutica (mapa) detalhada da região, onde aparecem identificados os faróis na costa e onde está indicada a direção norte – sul (ver figu- ra 3.105). Sabendo-se que a proa do navio aponta na direção 30°W (oeste) e que os faróis A e B são avistados do navio res- pectivamente sob os ângulos de 45°W e 120°W com a proa, achar a posição deste navio no mapa.
terra firme A B N S
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Observação: Na prática, em navegação, os ângulos eram marca- dos com transferidor e paralelas eram tomadas com esquadros (dizemos eram porque hoje em dia são usados aparelhos GPS para localização nos mapas).
Seja
14) P um ponto de uma reta r. Construa ângulos de 60°,
45°, 30°, 15°, 75°, 90°, 120°, 135° e 105°, todos eles tendo P como vértice e um dos lados sobre r. Seja agora Q um ponto fora de r. Construa os mesmos ângulos acima tal que um dos lados esteja em r e o outro passe por Q.
Construa um triângulo isósceles sendo dados a base e a 15)
altura relativa a essa base. Construa um triângulo
16) ∆ABC sendo dados o lado AB, o
ângulo ∠C e a mediana relativa ao lado BC.
Sugestão: veja o exercício proposto 6 acima (página 164).
São dadas duas retas paralelas e um ponto entre elas. Tra- 17)
çar uma circunferência tangente às duas retas, passando pelo ponto.
São dados dois pontos
18) A e B e uma reta r tais que AB é pa-
ralelo a r. Traçar uma circunferência tangente a r, passando por A e B.
Resumo
Estudamos congruência de triângulos e todos os resultados sobre triângulos daí decorrentes, passando pelo estudo de tangência e de ângulos na circunferência. Abordamos também, pela primeira vez, problemas de construção geométrica com régua e compasso. Tais problemas estão espalhados ao longo de todo capítulo como aplicação do desenvolvimento do conteúdo. Iniciamos o capítulo com uma breve introdução a essas construções.
Bibliografia comentada
DOLCE, O.; POMPEO, J. N.1) Fundamentos de matemática ele- mentar. 7. ed. São Paulo: Atual, 1997. v. 9.
É um livro básico e simples, contendo muitos resultados e exercícios.
COURANT, R.; ROBBINS, H.
2) O que é matemática?. Rio de Ja- neiro: Ciência Moderna, 2000.
Uma referência elegante e de profundidade para muitos aspectos da matemática. Lá são comentados problemas de extremos e, em particular, a bela solução de Steiner (Jacob Steiner, 1836) do problema de Dido: dentre todas as curvas planas de perímetro fixado, aquela que delimita a maior área é a circunferência.
PASQUALI, K. C.
3) Máximos e mínimos em geometria eucli- diana plana. 2004. 419 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Mate- mática) – Centro de Ciências Físicas e Matemáticas, Universidade Federal de Santa Catarina, 2004.
Uma referência sobre problemas de extremos em geometria com soluções exclusivamente geométricas. Encontra-se disponível no ambiente virtual da disciplina (www.ead.ufsc.br).
NIVEN, I.
4) Maxima and minima without calculus. Dolclani Mathematical Expositions, n. 6, MAA, 1981.
Outra elegante referência a problemas de extremos. Não é mais editado.
WAGNER, E.
5) Construções geométricas. Rio de Janeiro: SBM, 1993. (Coleção Professor de Matemática).
Excelente livro sobre construções geométricas onde é dada a devida importância à geometria. Está fora de edição no momento.
LOPES, L.
6) Manuel de construction de triangles. Québec (Ca- nadá): QED Texte, 1996.
Mais uma referência excelente sobre construções geométricas, dedicada exclusivamente a construções de triângulos. São 371 construções resolvidas.
Capítulo 4
Polígonos
O objetivo deste capítulo é o de estudar os quadriláteros e, em particular, os chamados quadriláteros especiais. Não é possível conceituar um quadrilátero da maneira como fizemos com um triângulo. Uma tentativa seria dizer que um quadrilátero é formado por quatro pontos não colineares três a três, mas aí não fica claro que seg- mentos devemos tomar para lados. Basicamente, o que se deseja é obter, como no caso do triângulo, uma figura que separe o plano em duas regiões. Apresentaremos, então, uma definição mais geral, a de polígono, que de- verá satisfazer determinadas propriedades e da qual o quadrilátero é caso particular.