3.5 Conseqüências dos Casos de
3.5.4 Linhas Notáveis e Pontos Notáveis
Uma ceviana de um triângulo é qualquer segmento com uma ex- tremidade em um vértice e a outra na reta que contém o lado opos- to àquele vértice. As principais cevianas de um triângulo são:
Definição 3.5. As alturas de um triângulo são cevianas perpen- diculares a cada lado do triângulo. As medianas são as cevianas que têm como uma das extremidades os pontos médios de cada lado do triângulo. As bissetrizes são as cevianas contidas nas bissetrizes dos ângulos internos do triângulo.
A B A B A B C C C M D H
Figura 3.47 - (A) CH- altura; (B) CM- mediana, (C) CD - bissetriz
Faremos referência a estes segmentos, citando o lado, o vértice ou o ângulo do triângulo. Por exemplo, na figura, CH é a altura
relativa ao lado AB (a), CM é a mediana relativa ao lado AB(b) e CD é a bissetriz do ângulo ∠C (c).
São notáveis ainda as mediatrizes dos lados e as bissetrizes dos ângulos externos (bissetrizes externas). Essas cevianas (e as me- diatrizes) proporcionam um resultado surpreendente que enun- ciamos no parágrafo seguinte.
As três mediatrizes dos lados de um triângulo se interceptam em um mesmo ponto, chamado circuncentro do triângulo. As três bissetrizes se interceptam em um mesmo ponto, chamado incen-
tro do triângulo. As três alturas se interceptam em um mesmo ponto, chamado ortocentro do triângulo. As três medianas se in- terceptam em um mesmo ponto, chamado baricentro do triângu- lo. Esses pontos são chamados centros notáveis do triângulo. Já vimos, em exercícios na seção 3.5.2, que as mediatrizes e as bis- setrizes se interceptam cada qual em um mesmo ponto. O circun- centro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo, ou seja, a circunferência que passa pelos três vértices do triângulo. Esta circunferência é única devido ao fato de que as mediatrizes são lugares geométricos. Dizemos também que o triângulo está inscrito naquela circunferência. O incentro é o centro da circun- ferência inscrita no triângulo, ou seja, que é tangente aos lados do triângulo (ver tangência na penúltima seção deste capítulo). Esta circunferência também é única. Dizemos da, mesma forma, que o triângulo é circunscrito àquela circunferência.
Vamos verificar agora a intersecção das três alturas. Seja ∆ABC
um triângulo qualquer. Por cada um dos vértices deste triângu- lo traça-se a paralela ao lado oposto, obtendo-se um triângulo
MNP
∆ (figura). Note, então, que, pelo 2º caso de congruência,
ABC MCB CNA BAP
∆ ≡ ∆ ≡ ∆ ≡ ∆ (verifique). Segue-se, então, que
AB=MC=NC, BC =NA=PA e AC =PB=MB. A B C P M N
Figura 3.48 - O ortocentro de um triângulo ∆ABC
Mas, então, C é ponto médio de MN, A é ponto médio de NP
e B é ponto médio de PM. Além disso, as retas que contêm as
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NP e PM, respectivamente em C, A e B. Portanto estas retas são
as mediatrizes do ∆MNP e se interceptam em um mesmo ponto.
Assim, o ortocentro do triângulo ∆ABC é o circuncentro do tri-
ângulo ∆MNP.
Para verificarmos a intersecção das medianas, vamos usar o teo- rema 3.5 da seção anterior. Veremos que o baricentro divide as medianas em uma determinada razão.
Seja então ∆ABC um triângulo qualquer e sejam AM e BN as
medianas relativas aos lados BC e AC respectivamente. Seja J o
ponto de intersecção destas medianas. Vamos provar que a me- diana relativa ao lado AB passa por J.
A B C J P M N Q
Figura 3.49 - O baricentro de um triângulo ∆ABC
Seja P o ponto médio de AJ e seja Q o ponto médio de BJ. Como
N é ponto médio de AC, temos que, no triângulo ∆ACJ, NP para-
lelo a CJ e
2 CJ
NP= (Teorema 3.5). Da mesma forma, no triângulo
BCJ
∆ , M é ponto médio de BC e, portanto, MQ é paralelo a CJ e 2
CJ
MQ= . Segue-se que NP e MQ são paralelos e NP=MQ. Resul-
ta daí que N PJ =QM J (alternos internos), P N J =M QJ (alternos
internos) e, juntamente com NP=MQ, temos que ∆NPJ ≡ ∆QMJ
(caso ALA). Segue-se
3 AM JM =PJ =AP= e 3 BN JN =QJ =BQ= .
Portanto, o ponto J divide cada uma das duas medianas na razão 2:1 (do vértice para o ponto médio). Esta propriedade será mantida
se considerarmos as medianas AM e a mediana relativa ao lado AB. Portanto, esta última mediana deve passar também por J.
O baricentro é o centróide do triângulo, ou centro de massa da figura com densidade (de área) constante. Daí seu nome.
Observe que o triângulo ∆MQP contém as três medidas das me-
dianas do ∆ABC: MP é igual a 2
3 da mediana relativa ao lado BC,
MQ é igual a 1
3 da mediana relativa ao lado AB, e QJ é igual a 1 3
da mediana relativa ao lado AC (observe ainda que QJ é media-
na relativa ao lado MP do ∆MQP). Temos ainda que
2 AB
PQ= .
Assim, dadas as medidas das três medianas, podemos construir o triângulo ∆MQP e daí obter o triângulo ∆ABC (exercício).
O incentro e o baricentro são pontos interiores ao triângulo. O cir- cuncentro pode não estar no interior do triângulo. Por exemplo, no triângulo retângulo, ele é o ponto médio da hipotenusa (seção 3.5.3). Nos triângulos obtusângulos, o circuncentro é ponto exte- rior ao triângulo. O ortocentro pode estar em um vértice (triân- gulo retângulo), no interior ou no exterior, neste último caso para triângulos obtusângulos.
Exercícios Resolvidos
Provar que, em um triângulo isósceles, a altura, a mediana 1)
e a bissetriz relativas à base coincidem. Neste caso, estas ce- vianas estão contidas na mediatriz da base do triângulo. Resolução: Já vimos, no exercício resolvido 2, da seção 3.5.1, que a mediana é altura e bissetriz. E isto já prova a proposição, pois só há uma perpendicular à base pelo vértice oposto, e só há uma bissetriz.
Observação: vale a seguinte recíproca do exercício 1:
“Se, em um triângulo, uma altura relativa a um lado coin- cide com a mediana relativa a este lado, então o triângulo é isósceles. Idem se a altura coincide com a bissetriz. Idem se a mediana coincidir com a bissetriz”.
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Estes são critérios bastante úteis de caracterização de um triân- gulo isósceles. O último caso é o menos óbvio. Vamos demons- trá-lo:
Demonstração: Seja ∆ABC um triângulo e seja M o ponto médio
de AB. Suponha que a mediana CM relativa ao lado AB coin-
cida com a bissetriz do ângulo ∠C. Então, por hipótese, temos
AM =BM e ACM =BCM . Sejam então MP e MQ perpendi-
culares aos lados AC e BC respectivamente, com P e Q nesses
lados. A B C P M Q
Figura 3.50 - AM =BM e ACM =BCM implica em ∆ABC isósceles
Então, ∆CMP≡ ∆CMQ, pois CM é hipotenusa comum e
PCM =QCM (caso hipotenusa-ângulo agudo). Segue-se que MP=MQ. Mas então ∆AMP≡ ∆BMQ, pois AM =BM (caso
hipotenusa-cateto). Concluímos que A=B e, pelo teorema 3.2 da
seção 3.5.1, o triângulo ∆ABC é isósceles.
■ Provar que, em um triângulo isósceles, a soma das distân- 2)
cias de qualquer ponto da base às laterais é constante e igual às alturas relativas às laterais.
Resolução: Ver o exercício resolvido 4, da seção 3.5.2. (
3) Teorema de Viviani): Provar que a soma das distâncias de um ponto interior de um triângulo eqüilátero aos três lados é constante e igual às alturas do triângulo.
Do exercício 2 temos que PF+PE=CN (por quê?) e, como PD=NM , então PF+PE+PD=CN+NM =CM . A B C D E F P M N
Figura 3.51 - Teorema de Viviani
Exercícios Propostos
Construa com régua e compasso um triângulo, sendo dados 1)
os comprimentos de suas três medianas.
Sugestão: construa o triângulo ∆PQM da figura 3.49. Note que PM é igual a 2
3 da mediana que parte do vértice A, JQ é igual a 1
3 da mediana que sai do vértice B, e MQ é igual a 1
3 da terceira
mediana.
Prove que, em um triângulo eqüilátero, os quatro centros 2)
notáveis coincidem. Prove também que as alturas, medianas e bissetrizes são congruentes nesse triângulo.
Prove que, se
3) dois quaisquer dos centros notáveis de um triângulo coincidem, então o triângulo é eqüilátero.
Prove que um triângulo isósceles possui duas alturas de 4)
mesma medida, duas medianas de mesma medida e duas bissetrizes de mesma medida (as cevianas congruentes são aquelas relativas aos lados congruentes do triângulo).
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