2
A lei da função que relaciona o número (y) de litros de água despejado com o tempo (x), em minuto, de funcionamento da bomba pode ser representada por:
y 5 20x
Situação 2
Mônica comprou um apartamento, ainda em construção, na cidade de Caruaru, em Pernambuco. Veja a planta baixa do apartamento.
LUIZ RUBIO
CLAYTON CASSIANO
Essa planta é uma representação
em escala do apartamento que
comprei.
Representação esquemática da planta do apartamento de Mônica.
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137
• Após explorar a situa-ção 2, proponha aos alu-nos que meçam os cômodos que compõem suas casas.
Então, após a medição, que reproduzam a planta bai-xa da construção, definindo uma escala adequada.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
137
Escala é a razão entre a medida do comprimento que está na representação gráfica e a medi
da correspondente do comprimento real, expressos em uma mesma unidade de medida.
A planta baixa foi feita com escala de 1 4 100 ou 1
100 (lemos: “1 para 100”). Isso significa que 1 centímetro no desenho corresponde a 100 centímetros (1 metro) do comprimento real. Veja o quadro seguinte.
Medida na planta baixa (x) Medida do apartamento real (y)
1 100
2 200
3 300
4 400
5 500
A medida real do apartamento pode ser expressa pela função:
y 5 100x
Situação 3
Uma marcenaria fabrica mesas com medida de largura fixa de 1 m e comprimento de medidas variadas. O quadro a seguir mostra a relação entre as medidas de comprimento e o perímetro das mesas fabricadas.
Medida (x) do comprimento Perímetro (y)
1 4
2 6
3 8
4 10
5 12
TKEMOT/SHUTTERSTOCK
1 m
x
O perímetro (y) dessa mesa é função da medida (x) do comprimento e pode ser expresso por:
y 5 2x 1 2
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• Pergunte aos alunos se, nas leis associadas às situa-ções 1, 2 e 3, x pode ser qualquer número real. Eles devem concluir que não, porque, nas três situações, x representa uma medida, portanto o valor de x não pode ser negativo.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
138
• Gráfico da função afim
O gráfico que representa uma função afim é sempre uma reta não perpendicular ao eixo x.
Veja alguns exemplos.
Exemplos
• Vamos construir o gráfico da função f tal que f (x) 5 3x 1 2, em que x é qualquer número real.
y
x y 5 3x 1 2
1
1 2 3 4
21 21 22 23 24
22 23 24 25 26 27 2 3 4 5 6 7 8
Inicialmente escolhemos valores arbitrá
rios para x e calculamos os valores de y correspondentes para obter alguns pares ordenados.
Para x 5 23, temos: f (23) 5 3 3 (23) 1 2 5 27 Para x 5 22, temos: f (22) 5 3 3 (22) 1 2 5 24 Para x 5 21, temos: f (21) 5 3 3 (21) 1 2 5 21 Para x 5 0, temos: f (0) 5 3 3 0 1 2 5 2 Para x 5 1, temos: f (1) 5 3 3 1 1 2 5 5 Para x 5 2, temos: f (2) 5 3 3 2 1 2 5 8
x f (x) 5 y (x, y)
23 27 (23, 27)
22 24 (22, 24)
21 21 (21, 21)
0 2 (0, 2)
1 5 (1, 5)
2 8 (2, 8)
Representamos no plano cartesiano os pares ordenados encontrados e unimos os pontos.
LUIZ RUBIO
As leis das funções que correspondem às situações anteriores são do tipo y 5 ax 1 b, em que a e b são números reais.
Função afim é toda função f cuja lei pode ser escrita na forma f (x) 5 ax 1 b, em que a e b são números reais e x pode ser qualquer número real.
Exemplos
• f (x ) 5 2x 1 5, em que a 5 2 e b 5 5
• f (x ) 5 27x, em que a 5 27 e b 5 0 Nos casos em que a % 0 e b 5 0, chamamos a função afim de função linear e pode ser representada por f (x ) 5 ax.
• f (x ) 5 25, em que a 5 0 e b 5 25 Nos casos em que a 5 0, chamamos a função afim de função constante.
• f (x ) 5 x 3 1
1 Essa função também pode ser escrita da seguinte forma: f(x ) 5 x 13
31 1 . Assim, é fácil perceber que a 5 31 e b 5
31.
139
• Pergunte aos alunos: “Por que a função g de lei g(x) 5 22x é chamada de função linear?“. Espera-se que os alunos percebam que a função linear é um caso particular da função afim f(x) 5 ax 1 b, em que b 5 0.
Assim, a reta que representa a função g passará pela ori-gem do plano cartesiano, o ponto (0, 0).
• Pergunte aos alunos: “Por que a função h de lei h(x) 5 23 é chamada de fun-ção constante?“. Espera-se que os alunos percebam que ela é considerada constante porque, para qualquer valor de x, a função sempre resul-tará em 23 (já que, na lei da função, a 5 0).
• Gráficos da atividade 2.
x
• continuação da atividade 2: f)
b)
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
139 de y sempre será igual a 23, independentemente do valor atribuído a x.
O gráfico de uma função constante
sempre será uma reta paralela ao eixo x ou
coincidente com o eixo x.
• Vamos construir o gráfico da função g tal que g (x) 5 22x, em que x é qualquer número real.
Para x 5 0, g(0) 5 22 3 0 5 0 reta, precisamos conhecer apenas dois pontos para
traçar seu gráfico.
O gráfico de uma função linear é sempre uma reta que passa pelo
ponto (0, 0), ou seja, pela origem do plano
cartesiano.
ILUSTRAÇÕES: GEORGE TUTUMI
Faça as atividades no caderno.
ATIVIDADES
1 Identifique as leis de funções afim.
a) y 5 x 2 5 d) y 5 x 2 2 5x 1 6 b) y 5 4 2 2x e) y 5 24 2 x c) y 5 1 f) y 5 x 2
2 Construa o gráfico das funções definidas pelas leis abaixo.
alternativas a, b, c, e.
construções de gráficos
• Gráficos da atividade 5.
• Na abordagem do tópico
“zero de uma função afim“, pergunte aos alunos: “Será que uma função afim apre-senta sempre um zero, ou existe alguma função afim que não apresenta zero?“.
Espera-se que eles respon-dam que nem sempre uma função afim tem zero, pois, quando f é função cons-tante, cuja lei é f(x) 5 b, e b % 0, ela não apresenta zero.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
140
• Vamos determinar o zero da função dada por y 5 2x 2 2.
Fazendo y 5 0, temos:
2x 2 2 5 0 ] 2x 5 2 ] ] x 5 1
Portanto, 1 é o zero dessa função.
Representando graficamente, temos:
x y (x, y) em minuto, que uma válvula de saída de água fica aberta e o volume (V ), em litro, de água despejada na piscina.
t (min) V (c)
1 60
2 120
3 180
4 240
De acordo com o quadro, responda às questões.
a) Qual é a lei da função que relaciona o volume (V ), em litro, de água despeja-da na piscina e o tempo (t ), em minuto, que a válvula fica aberta?
b) Qual é a quantidade de água contida no interior da piscina no tempo de 10 minutos?
c) Qual é o tempo necessário para que a piscina fique com exatamente 900 c?
4 Copie em seu caderno as afirmações verdadeiras.
a) Função afim é toda função cuja lei po-de ser escrita na forma y 5 ax 1 b, em que a e b são números reais e x pode ser qualquer número real.
b) A função f tal que f (x) 5 x
2 é linear.
c) A função dada por y 5 x 2 não é afim.
d) O gráfico da função dada por g (x) 5 6 para qualquer x real é uma reta parale-la ao eixo x.
e) O gráfico da função afim dada pela lei r (x) 5 2x 1 2 é uma reta que passa pela origem.
5 Construa, em um mesmo plano cartesia-no, os gráficos das funções h, m, f, g, p e q e determine as coordenadas cartesia-nas do ponto de encontro, entre:
a) h (x) 5 x e m (x)5 2x
b) f (x) 5 2x 1 3 e g (x) 5 2x 2 3 c) p (x)5 x
2 1 1 e q (x) 5 x 2 1
Lembre-se:
Não escreva no livro!
Como podemos observar no gráfico, a reta intercepta o eixo das abscissas no ponto (1, 0); dessa forma, o valor 1 do eixo das abscissas é tido como zero da função.
V 5 60 3 t
141
• Caso os alunos apresen-tem dúvida para realizar a atividade 2, relembre que ser zero da função significa ter f(x) 5 0; e quando indi-camos um ponto do zero da função, devemos atribuí-lo ao x.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
141 1
2 3 4
21
21 1 2 3 4
22 23 24
22 23 24
0 x
y
y 52x 1 2 1
2 3
4 y 5 3x 2 3
21
21 1 2 3 4
22 23 24
22 23
24
0 x
y
• Variação de uma função afim
Observe os gráficos das funções dadas por y 5 3x 2 3 e y 5 2x 1 2, em que x pode ser qualquer número real.
x y (x, y)
0 23 (0, 23)
1 0 (1, 0)
x y (x, y)
0 2 (0, 2)
2 0 (2, 0)
Aumentando o valor de x, o valor de y aumenta; por isso, dizemos que a função é crescente. Observe que na lei y 5 3x 2 3, temos a 5 3.
Aumentando o valor de x, o valor de y diminui;
por isso, dizemos que a função é decrescente.
Observe que na lei y 5 2x 1 2, temos a 5 21.
De modo geral, temos:
▸
Uma função afim y 5 ax 1 b é crescente quando o coeficiente a é maior que zero (a . 0).▸
Uma função afim y 5 ax 1 b é decrescente quando o coeficiente a é menor que zero (a , 0).Vimos que, quando a 5 0 em y 5 ax 1 b, a função é constante, pois, aumentando o valor de x,
o valor de y não se altera. ILUSTRAÇÕES: LUIZ RUBIO
Faça as atividades no caderno.
ATIVIDADES
1 Determine o zero das funções afim.
a) y 5 24x 1 8 e) y 5 24x 2 64 b) y 5 23x 2 21 f) y 5 26x 1 18 c) y 5 2 2 8x g) y 5 3x 2 9 d) y 5 7 2 x h) y 5 4x 2 20
2 Determine o valor de m para que o zero da função f tal que f (x) 5 3x 1 m 2 2 seja igual a 4.
3 Qual é a lei da função afim cujo zero é 1 e o seu gráfico passa pelo ponto (21, 2)?
x 5 2 x 5 27
x 5 7 e) x 5 216 f) x 5 3
x 5 3 x 5 5 x 5 4
1
m 5 210
y 5 2x 1 1
Sugestão de leitura
• O documento “Material teórico – Módulo função afim“ do Prof. Angelo Papa Neto, Portal da Matemática (OBMEP), aprofunda o estudo de função afim, trazendo sua definição e propriedades básicas, bem como diversos exemplos para explorar a caracterização e a representação gráfica de funções afins.
Disponível em: <https://portaldosaber.obmep.org.br/uploads/material_teorico/brc70d5silssg.pdf>.
Acesso em: 2 nov. 2018.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
142
y
x y = –x + 4
zero da função (y = 0) y > 0
y < 0 1
1 2 3 4
–1 0 –1 –2
–2 2 3 4 y = 2x + 5
zero da função
(y = 0) y > 0
y < 0
y
1
1 2
–1 –2 –3
2 3 5
x – ––5
2
4
A função é crescente, pois a 5 2 (2 . 0).
O zero da função é 225.
Observando o gráfico, verificamos que para:
• x 5 225, a função é nula (y 5 0).
• x . 225, a função é positiva (y . 0).
• x , 225, a função é negativa (y , 0).
• Vamos estudar o sinal da função afim: y 5 2x 1 4
ILUSTRAÇÕES: LUIZ RUBIO
Exemplos
• A função f tal que f (x) 5 2x 1 1 é crescente, pois a 5 2 . 0.
• A função g tal que g (x) 5 23x 1 2 é decrescente, pois a 5 2 3 , 0.
• A função h tal que h (x) 5 3 é constante, pois a 5 0.
• Estudo do sinal da função afim
Em uma função afim, podemos verificar para quais valores de x a função é positiva, para quais valores é negativa e para qual valor é nula.
Exemplos
• Vamos estudar o sinal da função afim: y 5 2x 1 5
A função é decrescente, pois a 5 21 (21 , 0) O zero da função é 4.
Observando o gráfico, verificamos que para:
• x 5 4, a função é nula (y 5 0).
• x , 4 a função é positiva (y . 0).
• x . 4, a função é negativa (y , 0).
143
• Na atividade 4, espera-se que os alunos sejam capazes de escrever:
Para uma função afim cres-cente:
Para x 5 2b
a , a função é nula.
Para x . 2b , a função é a positiva.
Para x , 2
b , a função é a negativa.
Para uma função afim decrescente:
Para x 5 2b , a função é a nula.
Para x . 2b , a função é a negativa.
Para x , 2
b , a função é a positiva.
Faça as atividades no caderno.
ATIVIDADES
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
143 1 Construa o gráfico, localize o zero de cada
uma das funções e classifique-as em cres-cente, decrescente ou constante.
a) f (x ) 5 4x 2 20 c) f (x ) 5 24x 1 1 b) f (x ) 5 7x 2 21 d) f (x ) 5 x 2 3 2 Determine os valores reais de x que
tor-nam a função positiva, negativa ou nula.
a) y 5 2x 2 6 b) y 5 28 1 x
c) y 5 2x 1 11 d) y 5 22x 2 4
Na balança de dois pratos a seguir, podemos ver um abacaxi em um prato e um peso de 60 g e três maçãs de mesma massa no outro.
Observe que os pratos dessa balança estão em equilíbrio, ou seja, há igualdade das massas contidas nos dois pratos.
Sabese que o abacaxi tem 300 g, mas a massa das maçãs é desconhecida. Considerando que cada maçã tem x gramas, podemos representar essa igualdade na linguagem matemática pela seguinte equação:
300 5 60 1 3x
Agora, observe o que ocorre quando retiramos da balança uma das maçãs.
60 g
ILUSTRAÇÕES: LUIZ RUBIO
60 g
3 Escreva no caderno a lei de uma função afim que tenha as seguintes características:
• Para x 5 2, y 5 0;
• Para x , 2, y , 0;
• Para x . 2, y . 0.
4 Generalize o estudo do sinal de uma fun-ção afim cuja lei é y 5 ax 1 b, crescente (a . 0). Depois faça o mesmo para uma função afim decrescente.
Inequações
3
Nesse caso, podemos verificar uma desigualdade das massas contidas nos dois pratos da balança. Essa desigualdade também pode ser representada na linguagem matemática. Veja:
300 . 60 1 2x
2. a) Para x 5 3, a função é nula.
Para x . 3, a função é positiva.
Para x , 3, a função é negativa.
2. d) Para x 5 22, a função é nula.
Para x . 22, a função é negativa.
Para x , 22, a função é positiva.
b) Para x 5 8, a função é nula.
Para x . 8, a função é positiva.
Para x , 8, a função é negativa.
c) Para x 5 11, a função é nula.
Para x . 11, a função é negativa.
Para x , 11, a função é positiva.
Exemplo de resposta: y 5 x 2 2
c) x 5 41; decrescente a) x 5 5; crescente
b) x 5 3; crescente d) x 5 3; crescente 1.
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• É importante que os alunos compreendam que, embora a maior parte das atividades trate a variável como x, ela poderia ser nomeada com ou-tra leou-tra.
• Amplie a atividade 2, questionando os alunos:
“A sentença 6x 0 . 0 é uma inequação?“. Espera-se que respondam que não, pois o expoente de x é zero, fazen-do com que a expressão seja equivalente a 6 . 0.
Faça as atividades no caderno.
ATIVIDADES
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
144
1 Copie, no caderno, as inequações abaixo e identifique a(s) incógnita(s) de cada uma delas.
a) 2x 2 3 < 8 b) 23w , 2y 1 4 c) z
2 2 5 >
5 2 2 Identifique, no caderno, os itens que apresentam uma inequação.
a) 32 1 12 5 10 b) x
3 1 1 , 0
c) 4x 5 212 d) 6x % 0
e) 2x 2 y . 5 f) 2x 1 7 < 6x 3 Escreva no caderno uma inequação que represente cada uma das situações abaixo .
a) O dobro de um número mais cinco é menor que oito.
b) A diferença entre um número e sua quinta parte é menor ou igual a quatro.
c) O quíntuplo de um número menos sua terça parte é menor que dois.
d) A diferença entre o triplo de um número e sua quarta parte é maior ou igual a sete.
4 A distância entre duas estações de metrô é x km. Após percorrer 5 km, um trem está a menos da metade da distância entre as duas estações. Escreva uma inequação que represente essa situação.
Plataforma do metrô da estação Paulista em São Paulo, 2018.
Toda desigualdade que tenha pelo menos uma incógnita, com expoente maior ou igual a 1, é chamada de inequação. Observe alguns exemplos abaixo.
▸
x 1 5 . 23x▸
x 2 2 4 < 20▸
12 1 x % 5x▸
x 1 y , 8▸
y 2 2 2y > 216▸
22x , 14Uma inequação com uma incógnita é considerada do 1o grau quando o expoente da incógnita é igual a 1. Esse tipo de inequação pode ser escrito de uma das seguintes formas:
ax 1 b . 0, ax 1 b , 0, ax 1 b > 0, ax 1 b < 0, ax 1 b % 0, sendo a um número real diferente de zero, b um número real qualquer e x a incógnita.
Exemplos
• 3x . 6 (a incógnita é x )
• 4y , 7 (a incógnita é y )
• 2z >25 (a incógnita é z )
• 3w < 9 (a incógnita é w )
ROBERTO CASIMIRO/FOTOARENA
incógnita: x incógnitas: w e y
incógnita: z
alternativas b, d, e, f
x 2 5 , x 2 2x 1 5 , 8
x 2 x 5 < 4 5x 2 x
3 , 2 3x 2 x
4 > 7