Faça as atividades no caderno.
ATIVIDADES
b A a
D
B
C a2
b2 ab
ab
a + b Repr
odução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
100
A Álgebra na Antiguidade
A Álgebra geométrica grega é apresentada de forma muito interessante na obra Os elementos, de Euclides.
No livro II dessa obra, encontramos o conceito de produ-tos notáveis e, na proposição 4, o seguinte texto:
Nessa proposição, vemos como os problemas que envolviam Álgebra eram concebidos e apresentados na Antiguidade. O uso de figuras era extremamente importante para o melhor entendimento dos textos. Na figura abaixo estão representados os itens 1, 2 e 3 dessa pro-posição de Euclides, sendo:
(1) o quadrado ABCD;
(2) os quadrados de áreas a 2 e b 2; (3) os retângulos de áreas ab.
GUILHERME CASAGRANDI
Se uma reta é dividida em duas partes quaisquer, o qua-drado sobre a linha toda (1)
é igual aos quadrados sobre as duas partes (2), junto com
duas vezes o retângulo que as partes contêm (3).
XAVI
DIOGO SAITO
1 Desenvolva algebricamente cada qua drado da soma de dois termos.
a) (x 1 1)2 b) (2x 1 10)2 c) xy 3
1 1
e o2
d) (x 1 5)2 e) (x 5 1 2x 3) 2
f) (6 1 x) 2 g) (2x 1 xy) 2 h) (x 2 1 1) 2 i) (x 1 2y) 2 j) x 3
1 1
3
e o2
2 Simplifique as expressões.
a) x 8 (2x 2 1) 1 x 8 (1 2 3x) b) (a 1 5) 8 (a 1 5) 2 (a 1 5) 2 c) y 8 (y 1 2) 2 2y 8 (3 2 y) d) (2 1 x) 2 2 (x 1 2) 2
3 Dados os polinômios A 5 2x 2 1 3 e B 5 x 2 1 4, determine:
a) A2 b) B 2 c) (A 1 B)2
Caricatura de Euclides, matemático grego, autor de Os elementos.
x 2 1 2x 1 1 1. b) 4x 2 1 40x 1 100
x 2 1 10x 1 25
36 1 12x 1 x 2 4x 2 1 4x 2y 1 x 2y 2
x6 1 x 3 2
91
3 1 x 2 1 4xy 1 4y 2
x10 1 4x8 1 4x6
c) x 2y 2 1 32xy 1 91
x 4 1 2x 2 1 1
2x 2 0 3y 2 2 4y 0
x 4 1 8x 2 1 16 4x 4 1 12x 2 1 9
9x 4 1 42x 2 1 49
Um pouco de história
• Caso os alunos tenham di-ficuldade de interpretar o texto do pergaminho, es-creva, com a turma, parte a parte, no quadro de giz para que haja melhor com-preensão por parte deles.
101
3
I II
IV III
3
a a
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
101
• Quadrado da diferença de dois termos
O quadrado da diferença de dois termos, a e b, é indicado por (a 2 b) 2. Desenvolvendo esse produto, obtemos:
Ou seja:
Exemplos
• (x 2 y)2 5 x 2 2 2xy 1 y 2
• ea3 22bo25ea3o2228 a3 28 b1( )2b25a92 2 43ab 14b2
O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos duas vezes o produto dos dois termos mais o quadrado do segundo termo.
(a 2 b) 2 5 a 22 2ab 1 b 2
(a 2 b) 2 5 (a 2 b) 8 (a 2 b) 5 a 2 2 ab 2 ba 1 b 2
4 Veja como Pedro utilizou a ideia de produtos notáveis para calcular o qua drado de 41:
41 2 5 (40 1 1) 2 5 40 2 1 2 8 40 8 1 1 1 2 5 1 600 1 80 1 1 5 1 681 Agora, como Pedro, calcule os quadrados:
a) 122 b) 612 c) 332 d) 922
5 Sabendo que a 2 1 b 2 5 34 e (a 1 b) 2 5 64, calcule o valor de 6ab, sendo a . 0 e b . 0.
6 Desenvolva o produto (x 1 3y) 2 e justifique geometricamente.
7 Sendo (x 1 y)2 5 256 e x 2 1 y 2 5 136, determine xy.
8 Observe a figura ao lado e responda às questões.
a) Qual é a expressão algébrica que representa a área do quadrado maior?
b) Quais são as expressões algébricas que repre-sentam as áreas das figuras I, II, III e IV?
GUILHERME CASAGRANDI
Lembre-se:
Não escreva no livro!
(10 1 2) 2 5 10 2 1 2 8 10 8 2 1 2 2 5 144 (60 1 1) 2 5 60 2 1 2 8 60 8 1 1 1 2 5 3 721 (30 1 3) 2 5 30 2 1 2 8 30 8 3 1 3 2 5 1 089 (90 1 2) 2 5 90 2 1 2 8 90 8 2 1 2 2 5 8 464
(x 1 3y)2 5 x 2 1 6xy 1 9y 2
a) Exemplo de resposta: a2 1 6a 1 9
b) Exemplo de resposta: I: a2; II: 3a; III: 9; IV: 3a
60
90 x
3y
3y x
x2 3xy
3xy 9y2
6.
GUILHERME CASAGRANDI
• Comente com os alunos a estratégia utilizada para calcular as potências na ati-vidade 4. Pergunte qual forma de cálculo eles consi-deram mais fácil, sem o uso da calculadora.
Faça as atividades no caderno.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
102
figura 1
figura 2
GUILHERME CASAGRANDI
Demonstração geométrica
Considere o quadrado ABCD, cujos lados medem a (figura 1). Vamos diminuir a medida do lado e determinar o quadrado AB’C’D’, cujos lados medem (a 2 b) (figura 2). Veja:
Determinando a área A do quadrado de lado a 2 b de duas maneiras, obtemos:
▸
A 5 (a 2 b) 3 (a 2 b) 5 (a 2 b)2▸
A 5 a 2 2 b(a 2 b) 2 b(a 2 b) 2 b 2 5 a 2 2 2ba 1 2b 2 2 b 2 5 a 2 2 2ab 1 b 2Portanto, as expressões (a 2 b)2 e a 22 2ab 1 b 2 representam a mesma área, justificando geometrica-mente a igualdade:
(a 2 b)2 5 a 2 2 2ab 1 b 2
Multiplicando as medidas das dimensões do quadrado AB’C’D’
área do
área do quadrado III
1 Desenvolva algebricamente cada quadrado da diferença de dois termos.
a) (x 2 3)2
2 Veja como Ana utilizou a ideia de produtos notáveis para calcular o quadrado de 16:
162 5 (20 2 4)2 5 202 2 2 8 20 8 4 1 42 5 256 Agora, como Ana, calcule os quadrados:
a) 172 b) 192 c) 142
GEORGE TUTUMI
A expressão a 2 2 2ab 1 b 2 também é denominada trinômio quadrado perfeito.
2. Exemplo de respostas:
a) 172 5 (20 2 3)2 5 400 2 2 8 20 8 3 1 9 5 289 b) 192 5 (20 2 1)2 5 400 2 2 8 20 8 1 1 1 5 361 c) 142 5 (20 2 6)2 5 400 2 2 8 20 8 6 1 36 5 196
Sugestão de atividade extra
• Proponha este jogo entre os alunos com o intuito de promover o cálculo mental.
Numere fichas de 0 a 20 e coloque-as sobre uma mesa com o número virado para baixo.
Selecione os alunos, dois a dois, para que retirem uma ficha cada aluno e calculem mentalmente o quadrado daquele número o mais rá-pido possível.
Aquele que acertar pri-meiro, passa para a próxima etapa.
Repita esse processo até que todos os alunos tenham participado e tenha restado apenas um aluno.
103
m
n n
n
m
m
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
103
(a 1 b) 8 (a 2 b) 5 a 2 2 ab 1 ba 2 b 2
LUIZ RUBIO
• Produto da soma pela diferença de dois termos
O produto da soma pela diferença de dois termos, a e b, é indicado por (a 1 b) 8 (a 2 b).
Desenvolvendo esse produto, obtemos:
3 Qual é o polinômio que representa a área do quadrado verde?
4 Sabendo que (a 2 b)25 16 e a 21 b 25 106, calcule o valor de ab
3 , sendo a . 0 e b . 0.
5 Sabendo que a 2 1 b 2 5 52 e ab 5 24, calcule o valor de (a 2 b)2.
6 A figura a seguir foi utilizada por um pro-fessor, em sala de aula, para mostrar a igualdade:
4ab 1 (a 2 b)2 5 (a 1 b)2
a) Copie a figura no caderno e indique os segmentos que medem a e b.
b) Reúna-se com um colega e mostrem que essa igualdade é verdadeira usando as áreas dos retângulos e dos quadrados.
Depois, expliquem para o professor e os demais colegas da classe como vocês resolveram a atividade.
GUILHERME CASAGRANDI
Ou seja:
O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.
Exemplos
• (x 1 y) 8 (x 2 y) 5 x 2 2 y 2
• (bx 1 5) 8 (bx 2 5) 5 (bx)2 2 (5)2 5 b 2x 2 2 25
• k 8 k k ( ) k
32 11 32 21 5 32 22 125 94 21
e o e o e o
Lembre-se:
Não escreva no livro!
(a 1 b) 8 (a 2 b) 5 a 22 b 2
m2 2 2mn 1 n2
a a a
b b
b b a
A A
A A
a)
(a 1 b)2 5 4A 1 (a 2 b)2 (a 1 b)2 5 4ab 1 (a 2 b)2 15
4
• Se os alunos sentirem difi-culdade na atividade 4, peça que comecem resolvendo o produto notável (a 2 b)2 e voltem a analisar os da-dos fornecida-dos e a pergunta do problema. Espera-se que percebam que essa estraté-gia também auxilia na reso-lução da atividade 5.
Faça as atividades no caderno.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
104
Podemos decompor essa figura e compor um retângulo.
ILUSTRAÇÕES: GUILHERME CASAGRANDI
Demonstração geométrica
Considere os quadrados ao lado.
No retângulo obtido, temos:
▸
medida da base: a 2 b▸
medida da altura: a 1 b▸
A 5 (a 2 b) 8 (a 1 b)Como as duas figuras têm mesma área, verificamos que: a 2 2 b 2 5 (a 1 b) 8 (a 2 b)
1 Desenvolva algebricamente os produtos.
a) (x 1 1) 8 (x 2 1) c) (x 1 5) 8 (x 2 5) b) (3x 1 y) 8 (3x 2 y) d) (2x 1 5) 8 (2x 2 5) 2 Simplifique a expressão algébrica abaixo.
(x 1 1)21 (x 2 1)21 2(x 1 1)(x 2 1) 3 Determine os produtos.
a) x 8
4 Veja como Roberta calculou o produto de 41 por 39:
41 8 39 5 (40 1 1)8(40 2 1) 5 4022 125 1 599 Agora, calcule, como Roberta, os produtos:
a) 57 8 63 b) 52 8 48 c) 42 8 34
5 Sabendo que a 1 b 5 13 e a2 2 b2 5 39, reúna-se com um colega e determinem o valor de a. Depois, escrevam um texto explicando como vocês chegaram a esse valor. Apresentem o texto para o professor e os demais colegas da turma.
Retirando do quadrado verde uma superfí-cie igual à do quadrado laranja, obtemos uma figura com área A igual a a 2 2 b 2. Veja abaixo. vão apresentar um texto ex-plicando a forma de reso-lução escolhida pela dupla.
Assim, uma possibilidade de resposta é:
Primeiro, escrevemos o produto da soma pela di-ferença de dois números e o seu desenvolvimento:
(a 1 b) (a 2 b) 5 (a2 2 b2)
Depois, substituímos a 1 b e a² 2 b² pelos valores for-necidos no enunciado, ob-tendo, assim:
13(a 2 b) 5 39 ou a 2 b 5 3
Com essa equação e a fornecida no enunciado (a 1 b 5 13), montamos um sistema de equações, obten-do a 5 8.
105
a
a
b b
c c
c c
a b
x ax bx
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
105
Fatoração
3
ILUSTRAÇÕES: GUILHERME CASAGRANDI
Podemos escrever o número 100 como o produto de dois ou mais números. Veja:
▸
100 5 4 8 25▸
100 5 10 8 10▸
100 5 2 8 50▸
100 5 2 8 2 8 25▸
100 5 2 8 5 8 10▸
100 5 2 8 2 8 5 8 5 Nesses casos, escrevemos o número 100 na forma fatorada.Além de números, podemos fatorar polinômios, isto é, escrevê-los como o produto de dois ou mais polinômios.
Fatorar um número é escrevê-lo como o produto de dois ou mais fatores.
Agora, vamos estudar alguns processos utilizados para fatorar uma expressão algébrica.
• Fatoração com um fator comum em evidência
Observe a figura abaixo, formada por dois retângulos.
Exemplo
O polígono ao lado possui lados de medidas a, b e c.
Seu perímetro pode ser representado por:
a 1 a 1 b 1 b 1 c 1 c 1 c 1 c 5 2a 1 2b 1 4c
Podemos, também, escrever esse polinômio da seguinte forma:
2(a 1 b 1 2c)
O polinômio 2(a 1 b 1 2c) é uma forma fatorada de 2a 1 2b 1 4c.
A área total da figura pode ser obtida se adicionarmos as áreas dos retângulos que a compõem:
ax 1 bx
Também podemos determinar a área dessa figura calculando a área do retângulo de base (a 1 b) e altura x:
x 8 (a 1 b)
ax 1 bx 5 x(a 1 b) Assim:
• Para iniciar o estudo deste tópico, relembre a decompo-sição em fatores primos, estu-dado no 6o ano, mostrando que 100 5 2 3 2 3 5 3 5, ou seja, é uma decomposição em números primos ou, sim-plesmente, uma fatoração.
Mostre que podemos escrever o número 100 com diferentes fatores, como mostrado nos outros exemplos.
Faça as atividades no caderno.
ATIVIDADES
a b
x
y
ax bx
ay by
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
106
Exemplos
Vamos fatorar os seguintes polinômios:
• a 3 1 2a 5 a 8 (a 2 1 2)
fator comum a 3 9 a 2a 9 a
• km 1 2kn 1 k 2 5 k 8 (m 1 2n 1 k)
k 2 9 k 2kn 9 k
km 9 k fator comum
• 12a 4b 6 2 20a 5b 8 1 8a 3b 2 5 4a 3b 2 8 (3ab 4 2 5a 2b 6 1 2)
8a 3b 2 9 4a 3b 2 20a 5b 8 9 4a 3b 2
12a 4b 6 9 4a 3b 2 fator comum
• (a 1 b) 1 (a 1 b)x 5 (a 1 b) 8 (1 1 x)
fator comum (a 1 b) 9 (a 1 b) (a 1 b)x 9 (a 1 b)
1 Escreva os números na forma fatorada.
a) 36 b) 450 c) 120 d) 500
2 Colocando os fatores comuns em evidên-cia, fatore:
a) ax 1 ay b) 16x 2 1 20y 2 c) 5x 1 15y 2 10z d) 25x 3y 1 20x 2y 2
GUILHERME CASAGRANDI
• Fatoração por agrupamento
Observe a figura abaixo.
O polinômio x(a 1 b) é uma forma fatorada do polinômio ax 1 bx. Nesse caso, colocamos o fator comum (x) em evidência, obtendo uma forma fatorada da expressão.
3 Fatore as expressões.
a) ax 3 1 bx 2 2 cx b) 12a 3x 2 1 6a 2x 3 2 8ax 4 c) ab a b ab
8 1 42 2 22
4 Escreva os polinômios abaixo na forma de um produto:
a) x 5 1 x 4 2 2x 2 b) 6x 1 3xy 1 12xyz c) 6x 2y 2 18xy 3 d) 15x 7 2 3yx 4
22 8 32 2 8 328 52 23 8 3 8 5
22 8 53
a(x 1 y) 4(4x 2 1 5y 2)
5(x 1 3y 2 2z) 5x 2y(2x 1 4y) Exemplos de resposta:
x(ax 2 1 bx 2 c)
2ax 2(6a 2 1 3ax 2 4x 2)
ab a b
2 41 122
e o
3x(2 1 y 1 4yz) x 2(x 3 1 x 2 2 2)
6xy(x 2 3y 2) 3x 4(5x 3 2 y)
• Explique aos alunos que, para fatorar colocando um fator comum em evidência, é preciso encontrar um fa-tor que esteja presente em todos os termos. No primei-ro exemplo, o termo a está em a3, pois a3 5 a 3 a 3 a, e a está em 2a, pois 2a 5 2 3 a;
portanto, a é o fator comum do polinômio a3 1 2a.
107
Faça as atividades no caderno.
ATIVIDADES
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
107
A área total da figura pode ser obtida pela adição das áreas dos retângulos menores:
ax 1 bx 1 ay 1 by
Ou pode ser obtida pelo cálculo da área do retângulo de base (a 1 b) e altura (x 1 y):
(a 1 b) 8 (x 1 y) Assim:
ax 1 bx 1 ay 1 by 5 (a 1 b) 8 (x 1 y)
Veja como podemos escrever ax 1 bx 1 ay 1 by na forma (a 1 b) 8 (x 1 y) usando a fatoração:
(ax 1 bx) 1 (ay 1 by) Agrupamos os termos com fatores comuns.
x(a 1 b) 1 y(a 1 b) Colocamos o fator comum de cada grupo em evidência.
(a 1 b) 8 (x 1 y) Colocamos o polinômio comum (a 1 b) em evidência.
Portanto, (a 1 b) 8 (x 1 y) é uma forma fatorada do polinômio ax 1 bx 1 ay 1 by.
Exemplos
• 3a 2 6y 1 ab 2 2by 5 3a 1 ab 2 6y 2 2by 5 5 a(3 1 b) 2 2y(3 1 b) 5 5 (3 1 b) 8 (a 2 2y)
• x 4 1 x 3 1 x 2 1 x 5 x 3(x 1 1) 1 x(x 1 1) 5 5 (x 1 1) 8 (x 3 1 x)
• ax 2 2 abx 1 b 2 2 bx 5 ax(x 2 b) 1 b(b 2 x) 5 5 ax(x 2 b) 2 b(x 2 b) 5 5 (x 2 b) 8 (ax 2 b)
1 Fatore as expressões por agrupamento.
a) xy 1 x 2 2y 2 2 b) 6x 1 6y 1 ax 1 ay c) 2x 2 2 1 yx 2 y d) 2a 1 2b 1 ax 1 bx 2 Fatore as expressões.
a) 7x 1 7y 1 bx 1 by b) ax 2 ay 2 bx 1 by c) 6x 2 1 15x 2 4xy 2 10y d) 2ax 2 2ay 2 3bx 1 3by
3 Transforme as expressões em produtos.
a) 3(x 2 1) 1 a(x 2 1) 1 a 2(x 2 1) b) ax 1 bx 1 ay 1 by 1 az 1 bz c) (x 1 y)2 2 2(x 1 y)
d) ax 2 a 1 mx m
3 2 3
4 Agrupe os termos das expressões e fatore-as.
a) ax 2 ay 1 x 2 y b) abx 2 1 aby 2 1 cx 2 1 cy 2 c) x 4 1 9x 3 2 6x 2 54
d) ax 2 2ay 1 5bx 2 10by 1 11cx 2 22cy
(x 1 y)(6 1 a)
(a 1 b)(2 1 x) ( y 1 1)(x 2 2)
(x 2 1)(2 1 y)
(x 1 y)(7 1 b)
(x 2 y)(2a 2 3b) (x 2 y)(a 2 b)
(2x 1 5)(3x 2 2y)
(x 2 1)(3 1 a 1 a2) (x 1 y)[(x 1 y) 2 2]
(x 2 1)a m 13
f p
(a 1 b)(x 1 y 1 z)
(x 2 y)(a 1 1)
(x 1 9)(x3 2 6) (ab 1 c)(x 2 1 y 2)
(x 2 2y)(a 1 5b 1 11c)
• Mostre aos alunos que é possível agrupar os ter-mos com fatores comuns de modo diferente do apresen-tado. Por exemplo:
(ax 1 ay) 1 (bx 1 by) 5 5 a 3 (x 1 y) 1 b 3 (x 1 y) 5 5 (x 1 y) 3 (a 1 b)
• No terceiro exemplo, cha-me a atenção dos alunos para o fato de os sinais te-rem sido trocados na parcela 1b 3 (b 2 x), que é o mesmo que 2b(2b 1 x) ou 2b(x 2 b).
a a
a 2 b a 2 b
a 2 b a 2 b
b b
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
108
ILUSTRAÇÕES: LUIZ RUBIO
a
a
A a 2 b
a 2 b
b b
figura 1
figura 3 figura 2
• Fatoração da diferença de dois quadrados
De um quadrado de lado de medida a, retirou-se um quadrado de lado de medida b, com b , a, obtendo a figura a seguir:
A área da figura 1 é a 22 b 2, que corresponde a uma diferença de dois quadrados.
Recortando a figura pelo pontilhado e juntando as duas partes, conforme indicado abaixo (figura 2), formamos um retângulo (figura 3).
A área da figura 1, expressa por a 2 2 b 2, é igual à área da figura 3, que pode ser expressa por (a 1 b) 8 (a 2 b).
Assim, justificamos geometricamente a igualdade:
Portanto, (a 1 b) 8 (a 2 b) é uma forma fatorada do polinômio a2 2 b 2. Exemplos
• a 2 2 25 5 (a 1 5)(a 2 5)
(a)2 (5)2
• 9a 2b 2 2 16x 4y 6 5 (3ab 1 4x 2y 3)(3ab 2 4x 2y 3)
(3ab)2 (4x 2y 3)2
• m 4 2 1 5 (m 2 1 1)(m 2 2 1) 5 (m 2 1 1)(m 1 1)(m 2 1)
(m2)2 (1)2 (m)2 (1)2
• a b a b a b
42 2 162 5e2 14 2oe 2 4o
a2 e o2 b
4 e o2
a 2 2 b 2 5 (a 1 b) 8 (a 2 b) A 5 a2 2 b2
área do quadrado de lado de medida a
área do quadrado de lado de medida b
• Verificando o entendimen-toda representação geo-métrica da fatoração da diferença de dois quadrados, relembre o produto notável produto da soma pela dife-rença e mostre aos alunos a relação entre eles.
109
Faça as atividades no caderno.
ATIVIDADES
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
109
GEORGE TUTUMI
1 Fatore as expressões.
a) x 2 2 49 e) 4x 2 2 25
2 Decomponha as expressões em produtos de fatores.
a) (x 1 y)2 2 1 c) 4x 2 2 y 2 b) 1 2 9a 2 d) x 2 2 (y 1 1) 2 3 Veja como Roberto calculou o produto de
21 por 19:
21 8 19 5 (20 1 1) 8 (20 2 1) 5 202 2 12 5 5 400 2 1 5 399
Agora, calcule, como Roberto:
a) 81 8 79 c) 101 8 99
• Fatoração do trinômio quadrado perfeito
Observe o quadrado de lado a 1 b.
A área desse quadrado pode ser indicada por:
a 2 1 ab 1 ab 1 b 2 5 a 2 1 2ab 1 b 2 Vimos em produtos notáveis que:
(a 2 b)2 5 a 2 2 2ab 1 b2
4 Agrupe convenientemente os termos e fatore as expressões.
a) a3 1 a2 2 4a 2 4 b) a2b2 2 a2 2 b2 1 1
5 Veja como Melissa calculou a diferença dos quadrados dos números 100 e 90:
Agora, calcule, da mesma forma que Melissa:
a) 5002 2 4002 b) 1 0002 2 9002 6 Demonstre, no caderno, que a soma de
dois números inteiros e consecutivos é igual à diferença dos seus quadrados.
1. a) (x 1 7)(x 2 7)
• Comente com os alunos que, em alguns casos, a fatoração pode ser utilizada para sim-plificar cálculos numéricos, como a estratégia emprega-da na ativiemprega-dade 3.
• Relembre os alunos de que no tópico “Produtos notá-veis”, de forma genérica, nomeamos a2 1 2ab 1 b2 e a2 2 2ab 1 b2 como trinô-mios quadrados perfeitos.
Assim, para esse caso de fatoração, também há uma relação com os produtos notáveis quadrado da soma e quadrado da diferença.
Faça as atividades no caderno.
ATIVIDADES
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
110
1 Fatore os polinômios.
a) x 2 1 6x 1 9 b) x 2 2 16x 1 64 c) 9x 2 1 30xy 1 25y 2 d) x 2 2 2ax 1 a 2 e) 1 1 9m 2 2 6m f) 4
1 a 2 2 5ab 1 25b 2
2 Quais dos polinômios abaixo são trinô-mios quadrados perfeitos?
a) a 2 1 6ab 1 9b 2 b) a 2 1 b 1
4 1 c) 16x 2 2 24xy 1 9y 2 d) 4x 2 2 4x 1 1
3 Escreva a forma fatorada dos polinômios.
a) x 2 2 6x 1 9 b) 1 2 6x 1 9x 2 c) x 2 2 10x 1 25 d) x 3 2 2x 2 1 x e) x 4 1 2x 3 1 x 2 f) 5
1 x 2 2 5 4x 1
5 4
4 Escreva as expressões como um produto de polinômios.
a) a 2 1 2ab 1 b 2 2 c 2 b) (a 2 1 b 2) 2 2 4a 2b 2
c) (a 2 1 b 2) 2 2 2(a 2 1 b 2) 1 1
d) a 4 1 2a 2b 2 1 b 4 2 (c 4 2 2c 2d 2 1 d 4)