1
Considere a situação a seguir.
Um pedreiro cobra R$ 30,00 por metro quadrado de parede rebocada. Observe no quadro a seguir o valor que ele receberá de acordo com a área das paredes que rebocar.
Valor do serviço de acordo com a área rebocada
Área rebocada (em m2) 20 30 40 50
Valor (em real) 600,00 900,00 1 200,00 1 500,00
Observe que cada área de pare
de rebocada determina um único valor a ser recebido pelo pedreiro.
Quando isso ocorre, podemos dizer que o valor que o pedreiro vai rece
ber é dado em função da área de parede rebocada.
Quando relacionamos duas gran
dezas, e para cada medida da pri
meira grandeza corres ponde uma única medida da segunda grandeza, dizemos que a segunda grandeza é função da primeira.
• Lei de formação da função
Quando temos uma relação em que uma grandeza é função de outra, a correspondência en
tre cada valor de uma grandeza e cada valor da outra pode ser expressa por uma sentença cha
mada lei de formação da função ou lei da função.
Na situação anterior, se representarmos por y o valor, em real, a ser recebido pelo pedreiro e por x a área, em metro quadrado, de parede rebocada, a lei da função será:
y 5 30 3 x
• Variáveis
As grandezas envolvidas em uma relação em que uma é função da outra são chamadas de va-riáveis da situação apresentada. No caso da situação anterior, as vava-riáveis são o valor, em real, e a medida da área, em metro quadrado.
O valor a ser recebido pelo pedreiro é a variável dependente, pois depende da área de parede que rebocar.
A área de parede rebocada é a variável independente, pois podemos escolher um valor para essa variável.
GEORGE TUTUMI
129
Lendo e aprendendo
• O tema tratado nesta se-ção visa desenvolver a com-petência específica 1.
• Chame a atenção dos alu-nos para a razão entre a massa e o volume de um corpo, ou seja, a densida-de densida-desse corpo, bem como para a relevância do assun-to estudado no capítulo em relação às demais áreas do conhecimento.
Competência específica 1: Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de di-ferentes culturas, em didi-ferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho.
Lendo e aprendendo
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
129
© NYK LINE
Densidade de um corpo
Estudamos em Ciências que a densidade (d ) de um corpo é a razão entre sua massa, em grama, e seu volume, em centímetro cúbico.
massa em g volume em cm3
d 5 Vm
Assim, conhecendo a massa e o volume de um corpo, podemos calcular sua densidade.
Por exemplo:
Corpo m (g) V (cm3) d (g/cm3)
Alumínio 540 200 200540 5 2,7
Aço 1 560 200 1560 5 7,8200
Mercúrio 2 720 200 2720 5 13,6200
Para que um corpo possa flutuar na água, ele deve ter densidade menor que 1 g/cm3, que é a densidade da água.
Desse modo, se jogarmos na água um bloco maciço de aço de massa 1 560 g e volume 200 cm3, ele afundará, pois sua densidade é maior que a da água. Agora, se derretermos esse bloco de aço e cons-truirmos um objeto oco de mesma massa, de modo que a razão mV seja menor que 1 g/cm3, esse objeto, mesmo sendo de aço, flutuará na água.
Os navios não afundam porque são construídos de modo que sua densidade, mesmo com toda a carga que carregam, seja menor que 1 g/cm3.
Faça as atividades no caderno.
ATIVIDADES
1 Uma indústria produz embalagens biodegradáveis. Sua produção é de 600 unidades por hora.
a) Em 10 horas de trabalho, quantas embalagens biodegradáveis são produzidas?
b) Para produzir 4 800 unidades de embalagens biodegradáveis, quantas horas são necessárias?
c) Podemos afirmar que a quantidade de embalagens biodegradáveis produzidas é função do tempo de produção? Por quê?
d) Escreva uma lei que relacione a quantidade de embalagens biodegradáveis com o tempo, em hora.
2 A área (A) de um quadrado é dada em função da medida (a) do seu lado. Escreva a lei des-sa função e identifique a variável dependente e a variável independente.
6 000 embalagens
A 5 a2;
variável dependente: medida da área;
variável independente: medida do lado 8 horas
y 5 600t, em que y representa a quantidade de embalagens produzidas e t o tempo (em hora).
Sim; porque cada hora corresponde a uma única quantidade de embalagens produzidas.
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Um pouco de história
• Se julgar oportuno, reto-me o conceito de “variável“
e “constante“ e peça aos alunos que deem exemplos de funções, nos quais eles terão de informar qual é a constante e qual é a variável da função apresentada.
• Comente com os alunos que a lei de uma função e a variá vel dependente podem ser representadas por quais-quer letras, não necessaria-mente f e x.
Exemplos:
g(x) 5 3x
f(c) 5 c 2 2 1
h(y) 5 y 3
2
2 Repr
odução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
130
• A notação f (x)
Observe a afirmação de Teresa.
Meu carro consome 1 litro de combustível a cada 12 quilômetros rodados.
GEORGE TUTUMI
A quantidade de litros (L) de combustível consumido é função da distância (x) percorrida. A lei dessa função é L 5 x
A função também pode ser representada por f; quando f varia em função de uma variável x, 12.
é o mesmo que escrevermos f(x). Assim, a função representada anteriormente poderia ser escrita da seguinte forma:
f (x) 5 x
12 elemos: “f de x é igual a x "
12 o
Nessa notação, a função foi representada por f, x representa a distância percorrida, em quilômetro, e f (x), o número de litros de combustível consumido.
3 Você leu na seção “Lendo e aprendendo” que a densidade de um corpo pode ser dada por d V . 5 m Observe a relação entre a massa e o volume ocupado por platina, cuja densidade é 21,4 g/cm3.
Massa (g) 21,4 42,8 64,2 85,6
Volume (cm³) 1 2 3 4
a) As grandezas massa e volume são diretamente ou inversamente proporcionais?
b) Encontre uma sentença algébrica que dê a massa (em grama) em função do volume (em cm3), identificando as variáveis dependente e independente.
c) Se uma pepita de platina tem 15 cm3 de volume, qual é a sua massa?
Um pouco de história
Função
O primeiro matemático a usar o termo função foi Gottfried W. Leibniz (1646–1716) em 1673. Em seu manuscrito Methodus tangentium inversa, seu de fuctionibus ele usa o termo função para determinar termos gerais que dependem de outros; nesse mesmo trabalho, ele introduz, também, os conceitos de constante e variável.
Dados obtidos em: <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm28/hist.htm>.
Acesso em: 20 set. 2018. Caricatura de
Gottfried W. Leibniz.
XAVI
Lembre-se:
Não escreva no livro!
diretamente proporcionais
m 5 21,4v, em que m (massa) é a variável dependente e v (volume) a variável independente.
321 g
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131
• É interessante propor aos alunos que utilizem, além de valores inteiros, valo-res fracionários e irracionais para a variável independen-te no cálculo de valores de uma função, como proposto na atividade 4.
Sugestão de atividade extra
• Desenhe uma reta numérica no quadro de giz e marque nela apenas os valores inteiros, de forma que os espaços entre os valores fiquem relativamente grandes. Imprima e recorte valores variados (incluindo raízes, frações e números na forma decimal, a fim de que os alunos colem-nos com fita adesiva no quadro, localizan-do os pontos que representam esses números na reta numérica. Deixe esses valores sobre uma mesa e peça aos alunos que, um a um, peguem o papel na mesa e coloquem no local que consideram o mais adequado.
Ao final, verifique com a turma se todos os valores estão adequadamente posicionados.
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–3 –2
–2,666... +0,333... +√2 5
+ —2 –1,4
–1 0 +1 +2 +3
• Representação gráfica de uma função
Você já deve ter estudado que cada número real tem um ponto correspondente na reta real e que cada ponto da reta corresponde a um número real. Observe.
Faça as atividades no caderno.
ATIVIDADES
1 A lei de formação de uma função f é f (x) 5 5x 1 2. Calcule:
a) f (0) b) f (21) c) f (22) d) f
4 e o3 2 Dada a lei de uma função f (x) 5 5x 2 2, determine o valor de x de modo que:
a) f (x) 5 0 b) f (x) 5 3 c) f (x) 5 210 d) f (x) 5 13 3 A lei de uma função f é f (x ) 5 2x
1 4
2 3 . Calcule:
a) ( ) ( ) ( )
f
f f
2 0 2 1
b) ( ) ( ) ( )
f
f f
0 2 3 1 4 Ana elaborou o quadro a seguir.
x 0 161
81 4 1
f(x) 0 81 41
2 1
a) Qual é a lei de formação da função f que relaciona os valores da segunda e da primeira linha desse quadro?
b) Calcule o valor de f (x) para x 5 5 2 1 . c) Qual é o valor de x quando f (x) 5
2 7 ?
• Valor de uma função
Na situação anterior, a quantidade de litros de combustível consumido de acordo com a dis
tância percorrida, em quilômetro, foi representado por uma função f tal que f (x) 5 x
Desse modo, para calcular a quantidade de litros de combustível consumido após o auto12.
móvel percorrer 108 km, basta substituir x por 108 na lei da função e efetuar a operação indicada. Veja:
f (x) 5 x
12 ] f (108) 5 12108 ] f (108) 5 9 Isso significa que, quando x é igual a 108, o valor da função é 9.
Logo, o automóvel consumiu 9 litros de combustível após percorrer 108 km.
LUIZ RUBIO
2 23 28 4
23
f(x) 5 2x
5 22
4 7
1 3
5 2
5 28
22 121
• Para retomar o conceito de par ordenado no plano car-tesiano, desenhe um plano cartesiano no quadro de giz, indicando apenas os valores inteiros do eixo. Em segui-da, indique um par ordena-do para cada aluno e solicite a eles que façam a marcação no quadro de giz.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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Toda situação que permite expressar uma grandeza em função da outra pode ser representa
da em um plano cartesiano na forma de um gráfico. Veja as situações a seguir.
GEORGE TUTUMI
Exemplo
Veja como podemos localizar os pontos A (23, 3); B (0, 5); C (26, 0); D (5, 2); E (25, 23);
F (7, 25); G (0, 24) e H (3, 0) no plano cartesiano.
Cada par ordenado (x, y) corresponde a um ponto de coordenadas
x e y; e cada ponto corresponde a um
par ordenado.
y
1 x 1 2
3 4 5
–1
–2 –1
–3 –4 –5 –2 –3 –4 –5 –6
–7 2 3 4 5 6
7 0
B
D A
C
E
H
G
F –3
–3 –2
–2 –1
3
3 2
2 1
1 –1
0 x
y
Estudou também que podemos representar um par de números reais por pontos de um plano.
Para isso, construímos um sistema de coordenadas cartesianas ou plano cartesiano.
Esse sistema consiste em duas retas reais perpendiculares (eixos), cujo ponto de inter secção corresponde à origem do sistema.
Temos que:
▸
O eixo x é chamado de eixo das abscissas.▸
O eixo y é chamado de eixo das ordenadas.▸
O ponto de coordenadas (0, 0) é a origem do plano cartesiano.ILUSTRAÇÕES: LUIZ RUBIO GEORGE TUTUMI
133
• Em cada uma das situa-ções exploradas a seguir, peça aos alunos que deter-minem a lei da função que relaciona as variáveis envol-vidas. Assim, na situação 1, teremos uma função f, tal que f(t) 5 7t.
E na situação 2, temos uma função f, tal que f(t) 5 x1.
Orientações para o professor acompanham o Material Digital Audiovisual
Material Digital Audiovisual
• Vídeo: Noção de função
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
133 21
1,5 2
1 3
14 Indica o desperdício
de água (em mc)
Indica o tempo em que a torneira fica gotejando (em minuto) 10,5
7
t q
(1, 7)
(3, 21)
(1,5; 10,5)
(0, 0)
Situação 1
A quantidade (q) de água desperdiçada por uma torneira gotejando lentamente é função do tempo (t ). Veja alguns valores de q e t.
CLAYTON CASSIANO
Observe que o fato de o tempo poder assumir qualquer valor real positivo ou nulo garante que a representação gráfica dessa função seja uma linha contínua que parte da origem, ponto de coordenadas (0, 0), e continua indefinidamente.
Situação 2
Beatriz elaborou uma planilha eletrônica que determina o inverso, com duas casas deci
mais, de qualquer número real, diferente de zero, inserido nela. Observe alguns números que Beatriz inseriu na planilha e os números correspondentes calculados:
14
B C D E E
A 1
3 2
Resultados obtidos pela planilha de acordo com os números inseridos Número inserido (x)
Resultado (y)
–3 –0,33
–1,5 –0,66
0,5 2
1,5 0,66
4 0,25
Cada par de números (número inserido, resultado) forma um par ordenado (x, y), que pode ser representado por um ponto em um plano cartesiano.
Como os pontos representados
no plano cartesiano parecem estar alinhados,
eles podem ser unidos por uma linha
contínua?
GEORGE TUTUMIILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO
Quantidade de água desperdiçada por uma torneira gotejando lentamente
t
(em minuto) 0 1 1,5 3
q
(em mililitro) 0 7 10,5 21
Cada par ordenado pode ser representado por um ponto em um sistema cartesiano. Nesse exemplo, o primeiro número do par ordenado indica o tempo (em minuto), e o segundo número, a quantidade de água desperdiçada pela torneira (em mililitro).
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• Observando o gráfico apresentado para a situação 3, peça aos alunos que indi-quem mais um par ordena-do pertencente ao gráfico.
Verifique com eles se o ponto está correto; para isso, usem a lei da função f, tal que f(n) 5 2n, com n 9 N
• Comente com os alunos que, se a função traduz uma situa ção real, então os valores que a variável in-dependente pode assumir devem ser coerentes com essa situação.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
134
18,00
6 4
1 9
12,00 Indica o preço
(em real)
Indica a quantidade de CDs 8,00
2,00
n p
(9; 18,00)
(6; 12,00) (4; 8,00) (1; 2,00)
Situação 3
Uma loja vende CDs de acordo com o quadro abaixo.
Preço de acordo com a quantidade de CDs
Quantidade de CDs (n) 1 4 6 9
Preço (em real) (p) 2,00 8,00 12,00 18,00
Nesse exemplo, também podemos representar por pontos os pares ordenados de números obtidos (n, p) em um sistema cartesiano.
Observe que a quantidade de CDs só pode ser um número natural. Assim, no eixo das abscis-sas representamos apenas números naturais.
Observe que os pontos representados no
plano estão alinhados, porém não podemos uni-los com uma linha
contínua.
ILUSTRAÇÕES: LUIZ RUBIO GEORGE TUTUMI
Como posso inserir qualquer número real, diferente
de zero, na planilha, o gráfico dessa função é formado por linhas, só que elas não terão
início nem fim.
GEORGE TUTUMI
x 5 4 2 1
(1, 1)
(1,5; 0,66) (4; 0,25) (–3, –0,33)
(–1,5; –0,66) –1
–1 –2 –3 –2
–3 –4 –5
3 0
1 3 2 y
Em seguida, Beatriz usou o mesmo programa em que fez a planilha e solicitou que fosse representado o gráfico da função que relaciona x e y.
135
Veja a sequência didática 2 do 2o bimestre no Material do Professor – Digital.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
135
ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO
Faça as atividades no caderno.
ATIVIDADES
1 Uma loja de fotografias está fazendo uma promoção para a impressão de fotos.
a) Qual é a lei da função que relaciona o preço (y) a pagar e a quantidade (x) de fotos impressas?
b) Qual dos gráficos abaixo corresponde à função encontrada no item a? Por quê?
A
2 Sejam x e y duas grandezas inversamen-te proporcionais. Sabe-se que, quando a medida de x é 3, a medida de y é 5.
Determine a lei da função que relaciona a medida y com a medida x.
3 Em Geografia, denomina-se densidade de-mográfica a medida expressa pela razão entre a população de uma região e a área correspondente.
d 5 densidade p 5 população a 5 área
• Densidade demográfica e área são gran-dezas diretamente ou inversamente pro-porcionais? E as grandezas densidade demográfica e população?
d 5 a p
4 Qual dos gráficos seguintes pode represen-tar a função f tal que ( )f x x
1. b) Gráfico A. Espera-se que os alunos percebam que o gráfico dessa função não é uma linha contínua, pois a quantidade de fotos só pode ser representada por números naturais.
inversamente; diretamente y 5 15x
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• Após a apresentação da si-tuação 1, questione os alu-nos: se o número de litros fosse 30, ao invés de 20, para cada minuto, como seria a lei da função que relaciona o número (y) de litros de água despejado com o tempo (x) em minuto?
Espera-se que eles respon-dam que a lei dessa função poderia ser representada por: y 5 30 3 x
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
136
3 cm
1 cm Sala
Banheiro Banheiro
Dormitório
Dormitório Dormitório
Cozinha
Terraço
TIAGO SILVA
Tempo (min) Número de litros (c)
1 20
2 40
3 60
4 80
5 100
6 120
Observe as situações a seguir.
Situação 1
Uma bomba retira água de uma cisterna e lança em uma caixa d'água com vazão de 20 c de água por minuto. O quadro abaixo mostra a relação da quantidade de litros de água despejado na caixa d'água em função do tempo.