e polinômios
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Neste capítulo, retomaremos brevemente a ideia de expressões algébricas, a partir das quais estudaremos os monômios e polinômios.
(90 000 1 68 000 1 75 000) 8 x 2 (2 500 1 3 200 1 1 800) 8 y 5 233 000x 2 7 500y
A expressão algébrica obtida representa o lucro trimestral da fábrica, em função dos valores de x e y.
Se o ganho com cada embalagem sem defeito fosse de R$ 0,26 e o prejuízo com cada emba-lagem com defeito fosse de R$ 0,15, o lucro trimestral da fábrica seria de R$ 59 455,00; pois:
233 000 8 0,26 2 7 500 8 0,15 5 59 455
Nessa situação, empregamos letras (x e y) para representar os números referentes ao ganho e ao prejuízo. Com base nisso, montamos uma expressão algébrica para representar o lucro trimestral: 233 000x 2 7 500y
Expressões algébricas são aquelas que indicam operações matemáticas que contêm números e letras ou somente letras.
Quando usamos letras para representar números reais desconhecidos; nesse caso, as letras representam as variáveis.
Observe outro exemplo.
▸
Vamos representar a área da parte verde da figura abaixo.Embalagens cartonadas são usadas para a proteção e o transporte de produtos líquidos ou pastosos, que necessitam de uma boa barreira contra os efeitos do ambiente externo.
Dados obtidos pelo gerente comercial.
EPSICONS/SHUTTERSTOCK
GUILHERME CASAGRANDI
Quantidade de embalagens Sem defeito Com defeito Janeiro 90 mil 2,5 mil Fevereiro 68 mil 3,2 mil
Março 75 mil 1,8 mil
Expressões algébricas
Acompanhe a situação a seguir.
Uma fábrica produz embalagens cartonadas em série. No processo de fabricação, algumas embalagens apresentam defeitos. Cada emba-lagem sem defeito gera um ganho de x reais, e cada uma das defeituosas, um prejuízo de y reais. Observe, na tabela ao lado, a produção da fábrica nos três primeiros meses do ano.
O gerente comercial concluiu que o lucro da fábrica, no trimestre, poderia ser expresso da seguinte maneira:
Portanto, a área da parte verde será representada pela expressão bc 2 100.
Como Aamarela 5 10 8 10 5 102 5 100 e Atotal 5 b 8 c, então:
Averde 5 (Atotal) 2 (Aamarela) 5 bc 2 100
Competência específica 6: Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não ditamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes re-gistros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados).
• Para que os alunos com-preendam como os valores, referentes ao ganho com as embalagens sem defei-tos (x) e ao prejuízo com as defeituo sas (y), podem mo-dificar o lucro da fábrica, al-tere-os da situação inicial e faça outras perguntas, como:
Se a fábrica conseguis-se adquirir a matéria-prima por um preço mais baixo, de forma que o ganho com cada embalagem sem defei-to fosse R$ 0,30 e o prejuízo por embalagem defeituosa fosse R$ 0,13, qual seria o lucro da fábrica? (Resposta:
R$ 68 925,00)
Se, por um defeito na matéria-prima, a quantida-de quantida-de embalagens quantida- defeituo-sas aumentassem em 20%
(sem que houvesse diminui-ção das embalagens sem defeito), qual seria o lucro da fábrica no trimestre?
(Resposta: R$ 59 230,00)
Faça as atividades no caderno.
ATIVIDADES
a a
a
c
h
w
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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1 Determine uma expressão algébrica que representa o perímetro de cada figura.
a) c)
b) d)
2 Responda, com uma expressão algébri-ca, às perguntas abaixo.
a) Quantos meses há em x anos?
b) Quantos anos há em y dias? (Considere o ano não bissexto.)
ILUSTRAÇÕES: GUILHERME CASAGRANDI
a
a
a a 4 8 a 5 4a
Monômio
Observe as representações algébricas utilizadas nas situações a seguir.
▸
A área de um quadrado de medida de lado x.x
x
x 8 x 5 x2
b c
a
abc
▸
O volume de um paralelepípedo retângulo de medidas a, b e c.Nas situações descritas, verificamos a existência de diferentes expressões algébricas que recebem o nome de monômio.
3 Qual é a expressão algébrica que repre-senta a área de cada figura?
a)
b)
c)
4 Qual é a expressão algébrica que repre-senta o volume de cada paralelepípedo representado abaixo?
a) b)
a a
a a
x x + 2
x + 1
y
x
b h
▸
O perímetro de um quadrado de medida de lado a.Um monômio pode ser um número real ou uma expressão algébrica formada pela multi-plicação de um número real e variáveis ou somente variáveis, de expoente natural.
2b 1 2h 3x 1 3 4a
2x 1 2y
12x y
365
a 2
b 8 h
8 D d
2
a3 c 8 w 8 h
d D
a a
h
b
• Comente com os alunos que, como visto em anos anteriores, as áreas, os pe-rímetros e os volumes de figuras geométricas po-dem ser representados por expressões algébricas. O uso de expressão algébri-ca permite a generaliza-ção. Por exemplo, sabemos que a área de um quadra-do é dada pela expressão Aquadrado 5 a2 e que o períme-tro é dado por Pquadrado 5 4a, em que a é a medida do lado do quadrado. Para en-contrar a área e o perímetro de qualquer quadrado, bas-ta conhecer essa medida e aplicá-la nas expressões.
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Faça as atividades no caderno.
ATIVIDADES
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
87 Exemplos
• 16 • x • a 3b 2 • 21 x 3y 2 • 25n2
Em um monômio, distinguimos:
▸
o coeficiente, que corresponde à parte numérica (que é um número real);▸
a parte literal, que corresponde a uma variável ou um produto de variáveis, com expoente natural.Exemplos
• 213x 2y 2
• 2a 3b 5
coeficiente: 213 parte literal: x 2y 2
coeficiente: 21 parte literal: a 3b 5
• 21x 4y 3
• 2,5m 2n
coeficiente: 21 parte literal: x 4y 3
coeficiente: 2,5 parte literal: m 2n
Observações
1 O monômio que tem coeficiente zero representa o número real zero e é chamado de monômio nulo. Veja os exemplos:
• 0x 5 0 • 0a 2b 3 5 0 • 0m 5n 4 5 0 2 Todo número real é um monômio sem a parte literal. Observe os exemplos:
• 12 • 25 • 43 • 20,6
3 Quando um monômio é formado apenas por uma variável ou por uma multiplicação de variáveis, o coeficiente é igual a 1. Por exemplo:
• y 5 1y • x 3yz 2 5 1x 3yz 2 • xy 5 1xy • x 4z 3 5 1x 4z 3
1 Determine o coeficiente e a parte literal dos monômios.
a) 5 1a 3b 4 b) 2a 2bc 3 c) 2
3x 3 d) 5 32 mn2 e) a 8b 8c
5
2 3 4
f) xyz g) 2xy h) r
3 4s 3
2 Identifique, entre as expressões abaixo, as que são monômios.
a) 28 e) x 5 i) x 2y b) a 1 2b f) a
3
2 j) x y
2 1 c) b
5 g) 2ay k) 1 000
d) 16abc h) 2a 1 a 2 l) 20,06b Converse com o professor e os colegas sobre o porquê de as outras expressões não serem classificadas como monômios.
21; a2bc3
51; a3b4 1; xyz
23; x3 5 3 2 ; mn2
43s; r 3 21; xy
51; a2 8 b3 8 c 4
alternativas a, b, d, e, f, g, i, k, l
• Na atividade 2, caso os alunos mostrem dificuldade, relembre-os de que a soma de variáveis diferentes não caracteriza monômio, e sim a multiplicação.
• Comente com os alunos que os números reais que não estão acompanhados da parte literal também são con-siderados monômios, pois a parte literal poderá ser ele-vada a zero e, dessa forma, equivaleria a 1. Por exemplo:
16w 0 5 16 3 1 5 16
Faça as atividades no caderno.
ATIVIDADES
y
a a
a a
a
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