A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO O segundo trabalho de Wien

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Wien com a esposa Luise e os filhos Gerda, Karl, Waltraut e Hildegard em fotografia de 1919

Ilustração de Wien com frase elogiosa

de Max von Laue

O terceiro trabalho de Wien

Por fim em 1896 Wien publicou o artigo “Über die Energievertheilung im Emissionsspektrum eines schwarzen Körpers” na revista Wiedmannsche Annalen der Physik, volume 58, pg. 662-669.

Em português o título deste artigo é

“Sobre a distribuição de energia no espectro de emissão de um corpo negro”.

4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Selo sueco em

homenagem aos 100 anos do Prêmio Nobel de

Wien

Selo sueco em comemoração ao Prêmio Nobel de Wien

1. Introdução

2. A Física no Final do Século XIX

3. Propriedades do Campo de Radiação

4. A Radiação de Corpo Negro

b. Modelos Teóricos

- Modelo de Planck

- Modelo de Rayleigh-Jeans a. Resultados Experimentais

- A Demonstração de Boltzmann - Modelo de Wien

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

a. As Equações de Maxwell e a Equação de Onda b. Ações Mecânicas do Campo de Radiação

Os estudos de Sir Rayleigh sobre a radiação térmica

John Strutt – Lord Rayleigh (1842-1919)

Strutt herdou o título de Barão de Rayleigh após a morte de seu pai em 1873 e a partir desta data passou a ser conhecido como Lord Rayleigh.

No final do Século XIX o físico inglês John William Strutt (1842-1919) tomou conhecimento dos resultados de Wien.

4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Prêmio Nobel de Física de 1904 – “pelas investigações sobre as

densidades dos gases e pela descoberta do Argônio”

Medalha concedida aos agraciados com o Prêmio Nobel de Física

A crítica de Lord Rayleigh à Lei de Wien

Lord Rayleigh sugeriu então uma “modificação na lei de Wien, a qual parece ser mais provável, a priori”.

4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Além disso, Lord Rayleigh afirmou que “esta lei parece ser de difícil aceitação, especialmente a implicação que à medida que a temperatura aumenta, a radiação para um dado comprimento de onda se aproxima de um limite”.

Em seu trabalho sobre o tema da radiação térmica Lord Rayleigh comentou a necessidade de se determinar a forma correta da função g(λ⋅λ⋅λ⋅λ⋅T), já que equação proposta por Wien é

“pouco mais do que uma conjectura”.

O uso do Teorema da Equipartição da Energia 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Por outro lado, Lord Rayleigh indicou que “Especulação sobre este assunto é impedida pelas dificuldades que decorrem do Teorema da Equipartição da Energia a partir da Estatística de Maxwell-Boltzmann”.

Este teorema, baseado na Estatística de Maxwell-Boltzmann, implicitamente admite que qualquer modo de vibração é igualmente favorecido no que diz respeito à sua contribuição para a energia total do sistema.

Quando falava em “modos de vibração” Lord Rayleigh se referia aos modos de oscilação do campo eletromagnético de radiação dentro de uma cavidade (corpo negro).

Os modos normais de oscilação do campo de radiação 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Lord Rayleigh deixa claro em seu trabalho que, embora a Estatística de Maxwell-Boltzmann falhe ao ser aplicada para todas as frequências, ela parece ser aplicável para modos mais graves, isto é, aqueles correspondentes a baixas frequências.

A partir destas considerações, Lord Rayleigh admitiu que a Radiação de Corpo Negro pôde ser tratada como radiação de cavidade.

Nestas condições, o campo eletromagnético responsável pela emissão de radiação pôde ser tratado a partir de seus modos normais de vibração (ou modos de oscilação).

Os limites da proposta de Rayleigh

4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Ao utilizar o Teorema da Equipartição da Energia e a Estatística de Maxwell-Boltzmann Lord Rayleigh chegou ao resultado no qual a densidade espectral de energia u_λλλλ era proporcional a

λλλλ

^-4, que ele entendia ser adequado para altos valores de comprimento de onda.

Nas conclusões de seu trabalho Lord Rayleigh reconheceu que o resultado obtido por ele não se adequava à fórmula de Wien.

Para contornar esta dificuldade Lord Rayleigh indicou que a lei completa da radiação devia ser o produto de seu resultado (

∝ ∝ ∝ ∝ λλλλ

^-4) pela exponencial exp(-

ββββ

^/

λ⋅ λ⋅ λ⋅ λ⋅

^T)!!

A contribuição de Jeans

Ao longo do desenvolvimento de seu modelo, Lord Rayleigh cometeu um pequeno erro de natureza geométrica.

Este erro foi observado em 1905 pelo físico inglês James Hopwood Jeans (1877-1946).

James Jeans (1877-1946)

Por causa desta correção, a teoria clássica da radiação de corpo negro é conhecida como Modelo de Rayleigh-Jeans.

4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Frase de Jeans

Desta forma, Lord Rayleigh pôde aplicar o Teorema da Equipartição da Energia ao problema da radiação de corpo negro.

As hipóteses do Modelo Clássico de Rayleigh-Jeans

A hipótese fundamental deste modelo é que o campo de radiação está em equilíbrio termodinâmico com o corpo negro que o emite.

Com esta hipótese, Lord Rayleigh considerou a troca de energia entre o corpo aquecido a uma temperatura T e os modos de oscilação do campo eletromagnético existentes dentro da cavidade (corpo negro).

4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Teorema da Equipartição de Energia O Teorema da Equipartição da Energia

4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Em um sistema termodinâmico em equilíbrio térmico a uma temperatura T, com N graus de liberdade, cada um deles contribui para o sistema com a mesma quantidade de energia elementar k_B

⋅⋅⋅⋅

^T.

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Vamos relembrar o enunciado do Teorema da Equipartição da Energia.

Lembremos que a constante de Boltzmann admite o valor k_B = 1,38

××××

^{10-23 J/K.}

Nesta equação

∆∆∆∆

^{n é o número}

de modos normais de oscilação (graus de liberdade) do campo de radiação com frequência entre

νννν

^e

νννν

⁺

∆ν ∆ν ∆ν ∆ν

^.

Desta forma, a energia total contida no campo de radiação com frequência entre

νννν

^e

νννν

⁺

∆ν ∆ν ∆ν ∆ν

é dada abaixo.

n T

k

U = _B ⋅ ⋅ ∆

∆

Aqui é importante lembrar que

νννν

^{é uma} variável contínua, ao passo que n expressa uma quantidade discreta!!!

4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

A energia total do campo de radiação

O problema então passa a ser construir um modelo para o cálculo de

∆∆∆∆

^n.

Lord Rayleigh levou em conta ainda que a cavidade era feita com material condutor.

Para este cálculo, Lord Rayleigh considerou a radiação de corpo negro como sendo o campo eletromagnético dentro de uma cavidade a uma dada temperatura T.

Desta forma, o campo elétrico na superfície da cavidade deve ser nulo!!!

4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

O campo de radiação dentro da cavidade

Cavidade cúbica de aresta a e volume a³

Por simplicidade de cálculo, consideramos a forma geométrica mais simples para a cavidade.

Desta forma, a cavidade tem uma forma de um cubo de aresta a, e assim o seu volume é V = a³.

O campo eletromagnético dentro da cavidade, além da equação de onda, deve obedecer também condições de contorno adequadas.

4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

A cavidade cúbica

Vamos voltar a escrever a equação de onda para o campo eletromagnético.

A Equação de Onda para o campo de radiação na cavidade

1 0

4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

( ) ( )

As condições de contorno para o campo de radiação

( ) ( )

4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Lembremos que as paredes da cavidade cúbica são de material condutor, o que implica em condições de contorno adequadas.

Estas condições são tais que o campo elétrico e magnético são nulos nas paredes da cavidade.

Vamos considerar que a onda eletromagnética seja composta de ondas harmônicas no tempo, de frequência

νννν

^.

Ondas eletromagnéticas harmônicas no tempo

( ) ( )

4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

B E

r r ⊥

Assim, tanto o campo elétrico quanto o campo magnético devem ser expressos como abaixo.

Substituímos esta proposta de solução na equação de onda e encontramos a chamada Equação de Helmholtz.

A Equação de Helmholtz

( ) ( )

4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

A constante k (número de onda) satisfaz a condição expressa ao lado.

A solução da Equação de Helmholtz para o campo elétrico no caso de uma cavidade cúbica de paredes condutoras é dada abaixo.

( ) ^

A solução da Equação de Helmholtz

4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

O espaço de variáveis discretas

Nas equações acima, temos ainda que n_x, n_y e n_z são números inteiros positivos e não nulos.

4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

2

Após alguma manipulação obtemos uma equação relacionando estes números n_x, n_y e n_z.

Trata-se da equação de uma “esfera” nas variáveis discretas n_x, n_y e n_z.

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

O número de modos

∆∆∆∆

ⁿ é diretamente proporcional ao

“volume” de uma “casca esférica” no espaço das variáveis discretas n_x, n_y e n_z.

4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Para ser preciso, o número de modos

∆∆∆∆

ⁿ é proporcional ao volume desta “casca esférica” contida no octante positivo.

ν ν

π ^{⋅ ⋅ ⋅ ∆}

⋅

=

∆ ' 4

₃^{3 2}

c n a

Após alguma manipulação, obtemos a relação abaixo.

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

A casca esférica no espaço de variáveis discretas

Isto ocorre pois números n_x, n_y e n_z são números inteiros e positivos.

Espaço de variáveis n_x, n_y e n_z

Entra aqui a contribuição dada por Jeans em 1905 e ignorada por Lord Rayleigh em 1900.

Jeans considerou que o campo eletromagnético tem dois estados de polarização possíveis.

Desta forma, o número de estados calculado por Lord Rayleigh deve ser multiplicado por dois.

'

2 n

n = ⋅ ∆

∆ ^{∆ n = 8 ⋅ π ⋅ a} _c

³³

^{⋅ ν}

²

^{⋅ ∆ ν}

4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

O número de modos de oscilação do campo de radiação

⇒

⇒

⇒

⇒

Após o cálculo do número de modos de oscilação do campo eletromagnético

∆∆∆∆

ⁿ com frequências entre

νννν

^e

νννν

^{+ d}

νννν

^,

podemos então determinar a energia do campo de radiação

∆∆∆∆

^U.

Lembremos que no modelo clássico proposto por Lord Rayleigh a energia do campo de radiação é diretamente proporcional a

∆∆∆∆

^n.

n T

k

U =

_B

⋅ ⋅ ∆

∆ ∆ = 8 ⋅ π ⋅

₃³

⋅ k ⋅ T ⋅ ν

²

⋅ ∆ ν

c

U a

_B

4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

O cálculo da energia da radiação na cavidade

⇒

⇒

⇒

⇒

Com o resultado ao lado, determinamos então a densidade de energia do campo de radiação du na cavidade cúbica.

Como a frequência do campo eletromagnético é uma variável contínua, podemos obter a energia do campo de radiação dU com frequências entre

νννν

^e

νννν

^{+ d}

νννν

fazendo a troca da diferença

∆∆∆∆

^U pela diferencial dU.

ν

4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

A passagem para o contínuo de frequências

⇒

⇒

⇒

⇒

O cálculo da radiância espectral

Por fim, para poder comparar com os resultados experimentais, calculamos a radiância espectral do campo de radiação R_νννν.

Com este resultado, determinamos então a densidade espectral de energia do campo de radiação u_νννν.

ν

4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

⇒

( ) ^{ν 2}

₂

^{π ν}

²

ν

= ⋅ ⋅ k ⋅ T ⋅

R c

_B

A comparação com os resultados experimentais

Vamos agora fazer a comparação entre o resultado teórico sugerido por Lord Rayleigh usando apenas argumentos clássicos com os resultados calculados para R_νννν(

νννν

⁾ a partir dos resultados experimentais de R_λλλλ(

λλλλ

^).

4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Comparação entre o resultado sugerido por Lord Rayleigh e os resultados calculados para a radiância espectral

( ) ^λ _λ

ν

( ) ^ν

λ

c R

R =

₂

⋅

Mais comparação com os resultados experimentais

Podemos também fazer a comparação entre o resultado teórico sugerido por Lord Rayleigh usando apenas argumentos clássicos com os resultados experimentais para R_λλλλ(

λλλλ

^).

4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Comparação entre o resultado sugerido por Lord Rayleigh e os resultados experimentais

para a radiância espectral

( ) ^{λ 2 π} _λ ¹

₄

λ

= ⋅ ⋅ c ⋅ k ⋅ T ⋅

R

_B

A catástrofe do ultravioleta

Para evidenciar ainda mais a falha no resultado obtido por Lord Rayleigh vamos calcular a energia total do campo eletromagnético contido na cavidade.

∫

∞

4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

∫

∞

Ao aparecimento deste absurdo e impossível infinito no resultado, dá-se o nome de catástrofe do ultravioleta.

É importante frisar que o absurdo da catástrofe do ultravioleta era do conhecimento de Lord Rayleigh.

O artigo de Lord Rayleigh

Os resultados de Lord Rayleigh foram publicados em 1900 no artigo “Remarks upon the law of complete radiation”

na revista Philosophical Magazine, volume 49, pg. 539-540.

Em português o título deste artigo é “Apontamentos sobre a lei da radiação completa”.

4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Fotografia de Lord Rayleigh e William Ramsay em 1894

Selo sueco de 1964 em comemoração aos 60 anos do Prêmio Nobel de Lord

Rayleigh

CATÁSTROFE DO ULTRAVIOLETA

MODELO CLÁSSICO É INADEQUADO

⇒

⇒ ⇒

⇒

FALHA AO USAR O TEOREMA DA EQUIPARTIÇÃO DA

ENERGIA NECESSIDADE DE UM

NOVO MODELO PARA DESCREVER AS TROCAS

DE ENERGIA ENTRE A RADIAÇÃO E A MATÉRIA

4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

A necessidade de um novo modelo

O quadro abaixo mostra a situação encontrada por Max Planck quando ele resolveu atacar o problema da radiação de corpo negro a partir dos primeiros princípios da Física.

⇐

1. Introdução

2. A Física no Final do Século XIX

3. Propriedades do Campo de Radiação

4. A Radiação de Corpo Negro

b. Modelos Teóricos

- Modelo de Planck

- Modelo de Rayleigh-Jeans a. Resultados Experimentais

- A Demonstração de Boltzmann - Modelo de Wien

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

a. As Equações de Maxwell e a Equação de Onda b. Ações Mecânicas do Campo de Radiação

Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858-1947) era professor na Universidade Friedrich Wilhelm em Berlim no ano de 1900, sucedendo a Gustav Kirchoff na cadeira de Física Teórica.

Max Planck (1858-1947)

4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Um pouco de história

Prêmio Nobel de Física de 1918 – “por trabalhos no

desenvolvimento da Física e pela descoberta dos quanta de

energia”

Medalha concedida aos agraciados com o Prêmio

Nobel de Física

Por residir em Berlim, Planck tinha contato permanente com os pesquisadores do Physicalisch-Technische Reichsanstall, tais como Lummer, Pringsheim, Rubens e Kurlbaum, já citados anteriormente.

Ao longo do ano de 1900, de Fevereiro a Outubro, estes cientistas haviam obtido uma curva experimental para a radiação emitida por um corpo negro.

Como já vimos, estes resultados contradiziam o modelo teórico apresentado por Wien em 1896.

4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

A importância do contato entre teóricos e experimentais

Espectro de corpo negro

Planck decidiu então abordar o problema da radiação de corpo negro, já que havia um desafio em obter um modelo teórico que explicasse o resultado experimental.

Em Outubro de 1900, Planck encontrou uma fórmula que fornecia um excelente ajuste a todos os resultados experimentais conhecidos.

Nos três meses seguintes, Planck buscou uma justificativa teórica para a sua fórmula.

4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Para chegar ao resultado final, Planck utilizou argumentos da Teoria Eletromagnética, da Termodinâmica e da recém fundada Mecânica Estatística.

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Um problema que exige uma abordagem multidisciplinar

Por desenvolver seu modelo no mesmo ano, Planck, ao que parece, não conhecia ou não deu importância aos resultados obtidos por Lord Rayleigh.

Como vemos, Planck procurou por um modelo teórico que levasse em conta todos as grandes teorias existentes na sua época.

4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Planck considerou que o emissor de radiação eram as cargas elétricas presentes na superfície do corpo negro.

Assim, estas cargas elétricas comportavam-se como osciladores radiantes.

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

A emissão de radiação por osciladores radiantes

Desta forma, para Planck era muito importante utilizar os conceitos da Teoria Eletromagnética.

Segundo Planck, as cargas elétricas oscilavam excitadas pela temperatura do corpo aquecido.

4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Por sua vez, Planck dominava como poucos os conceitos da Termodinâmica.

Ele percebeu que o conceito de entropia deveria desempenhar um papel importante no processo de troca de energia entre o corpo negro aquecido (matéria) e a radiação.

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Os osciladores radiantes e a entropia

4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Por fim, como havia um número muito grande de osciladores presentes na matéria, Planck considerou importante usar os conceitos da Mecânica Estatística.

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

O primeiro artigo: correção da fórmula de Wien

No artigo “Sobre um aperfeiçoamento da fórmula de Wien” de 1900, Planck mostrou que a fórmula de Wien não era válida para todas as frequências emitidas pelo corpo negro.

Como sabemos, a fórmula de Wien é apenas aproximadamente correta como caso limite de grandes frequências.

4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Como vimos, Planck partiu do princípio que a radiação emitida por um corpo aquecido era proveniente das cargas das paredes da cavidade, aceleradas pela temperatura.

Planck considerou a situação mais simples, na qual as cargas aceleradas executam um movimento harmônico simples com frequência

νννν

^.

Estas cargas em movimento harmônico simples constituem-se nos já denominados osciladores carregados.

Osciladores carregados em movimento harmônico simples

4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Em primeiro lugar Planck procurou escrever uma expressão para a densidade de energia espectral u_νννν do campo eletromagnético em termos da energia média do oscilador.

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Para isto, Planck considerou que os osciladores das paredes das cavidades estavam em equilíbrio termodinâmico com a radiação eletromagnética estabelecida em seu interior.

Assim, a perda de energia de cada oscilador seria compensada pela absorção da energia da radiação.

O Teorema de Planck e o equilíbrio termodinâmico

Para alcançar seu objetivo, Planck utilizou o resultado obtido pelo físico irlandês Joseph Larmor (1857-1942).

Em 1897 Larmor calculou a potência média emitida por uma carga q em qualquer movimento acelerado com aceleração a.

2 3

0 2

6 a

c

P q ⋅

⋅

⋅

= ⋅

ε π

O resultado obtido por Larmor é mostrado abaixo.

Joseph Larmor (1857-1942)

4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

A fórmula de Larmor

c U

u = 8 ⋅ ₃ ⋅ ² ⋅

π ν

ν

Esta expressão mostra que a densidade espectral de energia da radiação é determinada a partir do cálculo da energia média de um único oscilador.

Para obter o teorema que leva o seu nome em 1899 Planck impôs o equilíbrio termodinâmico entre osciladores e radiação e obteve a equação mostrada abaixo.

4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

O Teorema de Planck

O problema a ser resolvido é então calcular a energia média deste oscilador.

Com este cálculo, determina-se facilmente a expressão para a densidade espectral de energia u_νννν(

νννν

^).

O Teorema de Planck é um resultado geral e portanto pode também ser usado para calcular u_νννν(

νννν

^{) segundo a}

abordagem clássica.

Para isto, basta calcular a energia média segundo o método clássico (Estatística de Maxwell-Boltzmann).

Sabemos que neste caso, o resultado final para a energia média é o conhecido Teorema da Equipartição da Energia.

4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

O cálculo da energia média do oscilador

Pelo Teorema da Equipartição da Energia, usando a Estatística de Maxwell-Boltzmann, obtemos a energia média do oscilador como mostrado ao lado.

Assim, a aplicação deste resultado clássico no Teorema de Planck fornece o resultado obtido por Rayleig-Jeans.

T k

U = _B ⋅

( ) ^{ν 8}

₃

^{π ν}

²

ν

= ⋅ ⋅ k ⋅ T ⋅

u c

_B

Equação para a densidade espectral de energia obtida pelo modelo clássico de

Rayleigh-Jeans, que sabemos não descrever corretamente o fenômeno da

radiação de corpo negro

4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

O cálculo clássico da energia média do oscilador

Planck, por sua vez, preferiu realizar uma abordagem termodinâmica para o cálculo da energia média dos osciladores.

Ele levou em conta a relação entre a entropia s de um único oscilador e a sua energia média, mantido o volume da cavidade constante.

T U

d

ds

V

= 1

 

 





4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

A entropia de um único oscilador e sua energia média

Planck tomou como base o modelo empírico de Wien, que ele sabia que apresentava bom comportamento para altas frequências mas ruim para baixas frequências.

( ) ^

Como vimos, segundo Wien a densidade espectral de energia é dada pela equação mostrada ao lado.

4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Após algum cálculo, Planck chegou ao resultado

mostrado ao lado.

U

cte

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

O uso da fórmula de Wien

Planck sabia que a equação mostrada ao lado NÃO descreve corretamente a radiação de corpo negro, pois ela é obtida a partir do modelo de Wien.

U

Como sabemos, a fórmula de Wien apresenta bom comportamento para altas frequências mas é ruim para baixas frequências.

4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Lembrança: a fórmula de Wien não fornece a resposta correta para o problema da radiação de corpo negro

O que fez então Planck?

Comparação entre o resultado proposto

por Wien e os resultados calculados para a radiância espectral

U

Cálculo de Planck utilizando a equação baseada no Modelo de Wien

Correção feita por Planck, procurando

“encontrar” a solução para o problema

Planck propôs uma pequena alteração nesta expressão, considerando que isto poderia levar ao resultado esperado.

( ^{B U} )

4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

A alteração proposta por Planck

É provável que a alteração proposta por Planck tenha sido fruto de um exaustivo trabalho em busca da resposta correta ao problema da radiação de corpo negro.

Planck partiu então desta última expressão e percorreu o caminho inverso para determinar a energia média, e após alguma manipulação obteve a equação mostrada abaixo.

 

 



  −



 





⋅

=

1 exp A T

B U B

4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

O cálculo da energia média dos osciladores a partir da correção proposta por Planck

As constantes A e B devem ser determinadas a partir dos resultados experimentais.

Neste caso os resultados experimentais são a Lei de Stefan-Boltzmann e a Lei de Deslocamento de Wien.

De posse desta expressão, Planck voltou ao seu teorema e calculou a densidade espectral de energia obtendo a equação mostrada abaixo.

( )

4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

O cálculo corrigido da densidade de energia espectral

Como Planck as determinou?

Para determinar a constante B Planck seguiu o argumento de Wien (correto!!!) segundo o qual a densidade espectral de energia deve obedecer a fórmula de Wien.

Ao comparar as duas expressões acima, Planck observou que para satisfazer a fórmula de Wien, necessariamente a constante B deve ser proporcional à frequência.

( ) ^

4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

A determinação da constante B

c₁ e A são constantes a serem determinadas pelo ajuste com a curva experimental

⇒

⇒⇒

⇒

Com isto, Planck obteve a expressão para a densidade de espectral de energia mostrada abaixo, bem como a equação para a radiância espectral R_νννν(

νννν

^).

Este resultado ajusta-se completamente com os dados obtidos experimentalmente, dependendo apenas dos valores das constantes c₁ e A!!!

4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

O ajuste da curva proposta com os dados do experimento

Em 1900 Planck publicou o artigo “Über eine Verbesserung der Wienschen Spektralgleichung” na revista Verhandlungen der Deutschen Physikalishen Gesellschaff, volume 2, pg. 202-204.

Em português o título deste artigo é

“Sobre um aperfeiçoamento da equação de Wien para o espectro”.

4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

O primeiro artigo de Planck

O primeiro artigo de Planck

No documento São São Jerônimo Escritor Caravaggio (páginas 132-185)