RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
FÓRMULA EMPÍRICA
Precisa de uma teoria que a
O próprio Planck não ficou totalmente satisfeito com a
“dedução” da fórmula acima, pois ele sabia que tal equação carecia de fundamentação física.
Assim, Planck procurou (e encontrou em alguns meses!!!) por um modelo que justificasse a equação encontrada empiricamente.
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
O empirismo da fórmula obtida por Planck
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⇒ ⇒⇒⇒⇒
Na busca pelo conteúdo físico para sua fórmula, Planck se deu conta que a entropia dos osciladores teria que ser determinada por argumentos probabilísticos.
Para tal, Planck utilizou-se dos conceitos da Mecânica Estatística, recém desenvolvida por Boltzmann.
Planck aplicou a análise combinatória de Boltzmann, dividindo a energia total U de um conjunto de N osciladores idênticos e distinguíveis, obtendo a equação
mostrada ao lado.
N
U = U
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RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A busca pelo modelo físico na Mecânica Estatística
Por outro lado, Planck admitiu que poderiam existir M células indistinguíveis tal que a energia E de um único oscilador seja dada pela equação ao lado.
Desta forma, Planck distribuiu os N osciladores pelas M células e calculou o número total de estados possíveis G desta distribuição, obtendo o resultado mostrado abaixo.
( )
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RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
O número de estados possíveis com N osciladores em M células
A aproximação feita na equação de G é porque N e M são muito maiores do que 1.
Pela Mecânica Estatística, a entropia de um sistema está associada ao número de estados possíveis G existentes dentro dele através da famosa expressão proposta por Boltzmann, mostrada ao lado.
G k
S = B ⋅ ln
Assim, a entropia do sistema de N osciladores distribuídos por M células é dada pela equação mostrada ao lado.
( )
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RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A entropia total do conjunto de osciladores
Planck, após uma exaustiva manipulação chegou ao resultado para a energia média do conjunto de osciladores mostrado abaixo.
−
⋅
=
1 exp k T
E U E
B
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RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A energia média do conjunto de osciladores
Lembremos que E é a energia de um único oscilador!!!
Planck propôs então que a energia de um único oscilador E fosse proporcional à frequência
νννν
.ν
Esta proposição de Planck é coerente com os argumentos (corretos!!!) de Wien.
Lembremos que, segundo Wien, a fórmula para a densidade de energia espectral deve ser proporcional a
νννν
3⋅⋅⋅⋅
f(νννν
/T).h é uma constante a ser
determinada (constante de Planck)
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RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A energia de um único oscilador proporcional à frequência
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⇒⇒
Depois de calcular a energia média dos osciladores, Planck utilizou o seu teorema e determinou a densidade espectral de energia.
c U
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A densidade espectral de energia e a radiância espectral
⇒⇒⇒
⇒
Porém, após chegar com sucesso ao resultado correto para o espectro de radiação de um corpo negro, uma questão ainda precisou ser respondida por Planck.
Qual comportamento deve ter a interação da radiação com a matéria para que um oscilador com energia h
⋅ν ⋅ν ⋅ν ⋅ν
produza uma energia média do conjunto de osciladores dada abaixo? entre o corpo negro e a radiação emitida por ele, tal que esta seja a
energia média dos osciladores?
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O problema da interação da radiação com a matéria
Planck sabia que o conjunto de osciladores NÃO obedecia à Estatística Clássica de Maxwell-Boltzmann.
A Estatística Clássica de Maxwell-Boltzmann, baseada numa distribuição contínua da energia dos osciladores, dava como resultado final a fórmula de Rayleigh-Jeans.
Desta forma, não restou outra alternativa a Planck senão admitir que a interação entre o campo de radiação e o corpo aquecido se dava através de trocas de energias discretas (não contínuas)!!!
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Como sabemos a fórmula de Rayleigh-Jeans não está de acordo com os resultados experimentais.
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Uma outra estatística para tratar osciladores carregados
O modelo de Planck está baseado no postulado fundamental de que a troca de energia entre os osciladores e o campo de radiação NÃO é uma grandeza contínua.
Assim, Planck formulou o modelo físico que dá suporte a toda sua teoria e explica completamente o problema da radiação de corpo negro.
Einstein, em 1905, denominou esta quantidade elementar de QUANTUM DE ENERGIA.
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Assim, as trocas de energia só podem se dar através de valores discretos e múltiplos de uma quantidade elementar.
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Trocas discretas de energia entre radiação e matéria
n é um número inteiro
Como as trocas de energia se dão de forma discreta, nesta situação a energia dos osciladores U também admite apenas valores discretos, múltiplos do QUANTUM DE ENERGIA.
U n
U =
Assim, Planck propôs que a energia U dos osciladores obedecesse a equação abaixo.
U0 é o QUANTUM DE ENERGIA 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
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O quantum de energia
U 0
n
U n = ⋅
c U
Como logo veremos, a proposição de Planck leva ao resultado esperado para a densidade espectral de energia para a radiação de corpo negro.
U
0n U = ⋅
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Trocas de energia discretas e a fórmula de Planck
U
0 Lembramos que a proposição de Planck é que as trocas de energia entre a matéria (osciladores!!!) e a radiação são quantizadas.( )
O resultado teórico obtido por Planck para a densidade espectral de energia está completamente de acordo com os dados experimentais medidos por Lummer e Pringsheim.
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A fórmula de Planck e os resultados experimentais
( )
ν ν( )
νλ Espectro de corpo
negro obtido por Lummer e Pringsheim
Partindo da fórmula de Planck, que é aquela que traduz com exatidão os resultados experimentais, podemos fazer uma comparação entre todos os modelos estudados.
Com esta equação podemos estudar as situações limites para baixas frequências (comprimentos de onda elevados) e altas frequências (comprimentos de onda baixos).
Ao trabalhar com estas situações limites, iremos concluir que a fórmula de Wien e a fórmula de Rayleigh-Jeans são casos particulares da fórmula de Planck.
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Comparação entre os modelos estudados
( )
Fórmula de Wien 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
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A fórmula de Wien como caso particular da fórmula de Planck para altas frequências
Para altas frequências, temos que h
⋅ν ⋅ν ⋅ν ⋅ν
>> kB⋅⋅⋅⋅
T.Ao levarmos em conta esta aproximação na fórmula de Planck, obtemos a fórmula de Wien.
T
ν Fórmula de Planck
⇒⇒⇒
⇒
( )
Fórmula de Rayleigh-Jeans 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A fórmula de Rayleigh-Jeans como caso particular da fórmula de Planck para baixas frequências
⇒
⇒
⇒
⇒
Ao levarmos em conta esta aproximação na fórmula de Planck, obtemos a fórmula de Rayleigh-Jeans.
T k h⋅ν << B ⋅
Fórmula de Planck