A realização da função de transferência aproximada por um dispositivo físico.

Para uma aproximação de uma função de transferência H(f) ser fisicamente realizá- vel, ela deve representar um sistema estável. A estabilidade é definida com base no critério entrada limitada-saída limitada, descrito pela Eq. (2.110), a qual envolve na resposta h(t) ao impulso. Para especificar a condição correspondente de estabilidade em termos da fun- ção de transferência, a abordagem tradicional é substituir j2πf por s e reescrever a função de transferência em termos de s. A nova variável s pode possuir parte real e parte imaginá- ria. Desta forma nos referimos a s como freqüência complexa. Seja H'(s) a representação da função de transferência do sistema, definida na forma descrita aqui. Ordinariamente, a função de transferência aproximada H'(s) é uma função racional, a qual, portanto, pode ser descrita em uma forma fatorada

na qual K é chamado de fator de escala; z₁, z₂,..., z_m são chamados de zeros da função de transferência e p₁, p₂, ..., p_n são chamados de pólos. Para uma função de transferência

passa-baixa, o número m de zeros é menor do que o número n de pólos. Se o sistema for causal, então a condição de entrada limitada-saída limitada para a estabilidade do sistema é satisfeita restringindo-se todos os pólos da função de transferência H'(s) a permanecerem no lado esquerdo do plano s, ou seja,

Note que a condição para a estabilidade envolve apenas os pólos da função de trans- ferência H'(s). Os zeros podem estar em qualquer local do plano s. Dois tipos de sistemas podem ser distinguidos, dependendo da localização dos m zeros no plano s:

Sistemas de fase mínima

䉴 , caracterizados por uma função de transferência cujos pólos e zeros estejam todos dentro do lado esquerdo do plano s.

Sistemas de fase não mínima

䉴 , cuja função de transferência pode possuir zeros no eixo imaginário e no lado direito do plano s.

Sistemas de fase mínima distinguem deles mesmos pela propriedade de que a resposta de fase desta classe de sistema linear invariante no tempo é unicamente relacionada com a resposta do ganho.

No caso de filtros passa-baixa, onde a principal restrição é aproximar a resposta em amplitude ideal mostrada na Fig. 2.23, podemos mencionar duas famílias de filtros: Filtros de Butterworth e Filtros de Chebyshev. Os dois possuem todos os seus zeros em s = ∞. Em um filtro de Butterworth, os pólos da função de transferência H'(s) estão em um círculo com o centro na origem e raio igual a 2πB, na qual B é a largura de faixa de 3dB do filtro. Em um filtro Chebyshev, por outro lado, os pólos estão em uma elipse. Nos dois casos, obviamente, os pólos são confinados ao lado esquerdo do plano s.

Voltando nossa atenção à questão de realização física do filtro, vemos que existem duas opções básicas para esta realização. Uma analógica e outra digital:

Filtros analógicos

䉴 , construídos usando (a) indutores e capacitores ou (b) capacitores, resistores e amplificadores operacionais. A vantagem dos filtros analógicos é a simpli- cidade de implementação.

Filtros digitais

䉴 , para os quais os sinais são amostrados no tempo e suas amplitudes quantizadas. Estes filtros são construídos usando hardware digital, por isso o nome. Uma característica importante de um filtro digital é que ele é programável, oferecen- do, portanto, um alto grau de flexibilidade no projeto. De fato, existe um compromis- so entre complexidade e flexibilidade.

2.8 C

D

E

: S

E

Nesta seção, iremos continuar a caracterizar sinais e sistemas considerando a classe de sinais de energia e, portanto, focalizando na noção de energia. (A caracterização de sinais e sistemas é completada na Seção 2.9, na qual iremos considerar outra classe de sinais, cha- mados de sinais de potência.) Em particular, apresentamos um novo parâmetro chamado de densidade espectral, a qual é definida como o quadrado do espectro de amplitude de um sinal de interesse. Vemos que a densidade espectral é a transformada de Fourier da função de correlação, a qual foi mostrada na Propriedade 13 na Seção 2.2.

Função de autocorrelação

䊏

Assuma um sinal de energia x(t) que, para o propósito de generalidade, é considerado como um valor complexo. Seguindo o material apresentado no teorema da correlação (Pro- priedade 13), na Seção 2.2, definimos formalmente a função de autocorrelação do sinal de energia x(t) para o atraso _{τ como}

De acordo com esta fórmula, a função de autocorrelação R_x(τ) fornece uma medida da similaridade entre o sinal x(t) e sua versão atrasada x(t – τ). E, como tal, pode ser medi- da usando o arranjo mostrado na Fig. 2.29. O tempo de atraso τ possui o papel de varrer ou de ser uma variável de busca. Note que R_x(τ) é um valor complexo se x(t) for de valor complexo.

Da Eq. (2.124), podemos facilmente ver que o valor da função de autocorrelação

R_x(τ) para τ = 0 é igual a energia do sinal x(t), ou seja,

Densidade espectral de energia

䊏

O teorema de Rayleigh para energia, discutido na Propriedade 14, Seção 2.2, é importante porque ele não somente fornece um método útil para o cálculo da energia de um sinal de pulso, mas também ressalta o quadrado do espectro de amplitude como a distribuição de energia do sinal medida no domínio da freqüência. É à luz deste teorema que definimos, formalmente, a densidade espectral de energia ou espectro de densidade de energia de um sinal de energia x(t), dada por

(2.125) na qual |X(f)| é o espectro de amplitude de x(t). Claramente, a densidade espectral de ener- gia _ψx(f) é uma quantidade de valor real não negativa para todo f, mesmo que o sinal x(t) seja, ele próprio, de valor complexo.

Relações de Wiener-Khitchine para sinais de energia

䊏

Referindo ao teorema da correlação, descrito na Eq. (2.53), seja g₁(t) = g₂(t) = x(t), no qual

x(t) é um sinal de energia e, portanto, possui transformada de Fourier. Sob esta condição,

o lado esquerdo resultante da Eq. (2.53) define a função de autocorrelação R_x(τ) do sinal

x(t). No domínio do tempo, de forma correspondente, temos G₁(f) = G₂(f) = X(f) e, neste

caso, o lado direito da Eq. (2.53) define a densidade de energia espectral ψ_x(f). Com esta base, podemos, portanto, afirmar que dado um sinal de energia x(t), a função de auto-

correlação R_x(τ) e a densidade espectral de energia ψ_x(f) formam um par transformada de

Fourier. Especificamente, temos o par de relações:

(2.126) e (2.127) x(t) Integrador Atraso ␶ ajustável Conjugado complexo R_x(␶) x*(t – ␶)

Figura 2.29 Esquema para a medição da função de autocorrelação

Note, entretanto, que a transformação de Fourier da Eq. (2.126) é realizada com relação à variável de atraso τ. O par de Equações (2.126) e (2.127) constitui as relações de

Wiener-Khitchine para sinais de energia.

Das Eqs. (2.126) e (2.127), podemos facilmente deduzir as duas propriedades: