Se um sinal é estritamente limitado em freqüência, a descrição no domínio do tempo

do sinal será infinita, mesmo que sua amplitude assuma valores progressivamente menores. Dizemos que um sinal é estritamente limitado em freqüência ou estrita-

mente limitado em faixa se sua transformada de Fourier for exatamente zero fora de

uma faixa finita de freqüências. O pulso sinc é um exemplo de um sinal estritamente limitado em faixa, como ilustrado na Fig. 2.8. Esta figura também mostra que o pulso sinc é somente assintoticamente limitado no tempo. De forma inversa, se um sinal é estritamente limitado no tempo (isto é, o sinal é exatamente zero fora de um limite fi- nito de tempo), então o espectro do sinal é infinito em extensão. Este comportamento é exemplificado tanto pelo pulso retangular (descrito na Fig. 2.2) quanto pelo pulso triangular (descrito na Fig. 2.11(b)). Desta forma, podemos dizer que um sinal não

pode ser estritamente limitado no tempo e na freqüência. Largura de faixa

䊏

A largura de faixa de um sinal fornece uma medida da extensão do conteúdo espectral

significativo de um sinal para freqüências positivas. Quando o sinal é estritamente limita-

do em faixa, a largura de faixa é bem definida. Por exemplo, o pulso sinc descrito na Fig. 2.8(a) possui largura de faixa igual a W. Entretanto, quando o sinal não é estritamente limitado em faixa, o que geralmente ocorre, temos dificuldade em definir sua largura de faixa. A dificuldade aparece porque a palavra “significativo”, associada ao conteúdo es- pectral de um sinal, é matematicamente imprecisa. Conseqüentemente, não existe definição universal aceita para largura de faixa.

De qualquer forma, existem algumas definições geralmente aceitas para largura de faixa. Nesta seção, iremos considerar três destas definições. A formulação de cada defi- nição depende se o sinal é passa-baixa ou passa-faixa. Um sinal é dito ser passa-baixa se o conteúdo espectral significativo for centrado na origem, em f = 0. Um sinal é dito ser passa-faixa se seu conteúdo espectral significativo estiver centrado em ±f_c, onde f_c é uma

freqüência constante.

Quando o espectro do sinal é simétrico com um lóbulo principal limitado por nulos bem definidos (isto é, freqüências nas quais o espectro é zero), podemos utilizar o lóbulo principal como base para definição da largura de faixa. A razão para isto é que o lóbulo espectral principal contém a porção significativa da energia do sinal. Se um sinal é passa- baixa, a largura de faixa é definida como metade da largura total do lóbulo espectral prin- cipal, pois apenas metade do lóbulo estará dentro da região de freqüências positivas. Por exemplo, um pulso retangular de duração T segundos possui lóbulo espectral principal com largura total de (2/T) hertz, centrado na origem, como mostrado na Fig. 2.2(b). Portanto, podemos definir a largura de faixa deste pulso retangular como (1/T) hertz. Por outro lado, se o sinal é passa-faixa com lóbulo espectral principal centrado em ±f_c na qual f_c é grande,

a largura de faixa é definida como a largura do lóbulo principal para freqüências positivas. Esta definição de largura de faixa é chamada de largura de faixa de nulo para nulo. Por exemplo, um pulso RF de duração T segundos e freqüência f_c possui lóbulos espectral prin-

cipais com largura (2/T) hertz centrados em ±f_c, como mostrado na Fig. 2.9(b). Logo, po- demos definir a largura de faixa de nulo para nulo deste pulso RF como sendo (2/T) hertz. Com base nas definições apresentadas aqui, podemos afirmar que o deslocamento espectral do conteúdo de um sinal passa-baixa por uma freqüência suficientemente grande possui o efeito de dobrar a largura de faixa do sinal. Tal translação de freqüência é obtida utilizando o processo de modulação, o qual será discutido em detalhes no Capítulo 3.

Outra definição popular de largura de faixa é a largura de faixa de 3dB. Especifi- camente, se o sinal é passa-baixa, a largura de faixa de 3dB é definida como a separação entre a freqüência zero, na qual a amplitude do espectro é mantida em seu valor de pico e a freqüência positiva na qual a amplitude do sinal cai para de seu valor de pico. Por exemplo, os pulsos exponenciais decrescente e crescente definidos na Fig. 2.4 possuem largura de faixa de 3dB de (a/2π) hertz. Se, por outro lado, o sinal é passa-faixa, centrado em ±f_c, a largura de faixa de 3dB é definida como a separação (ao longo do eixo de fre- qüências positivas) entre as duas freqüências na qual o espectro de amplitude do sinal cai para do valor de pico em f_c. A largura de faixa de 3dB possui a vantagem de poder ser obtida diretamente do gráfico de espectro de amplitude. Entretanto, ela possui a des- vantagem de poder resultar em uma análise errônea se o espectro de amplitude decrescer muito lentamente.

Outra medida de largura de faixa de um sinal é a largura de faixa de raiz média qua-

drática (rms – root mean-square), ou largura de faixa eficaz, definida como a raiz quadrá-

tica do segundo momento de uma forma adequadamente normalizada do quadrado do es- pectro de amplitude, de tal forma que o segundo momento pode ser calculado na origem. Para a forma normalizada do quadrado do espectro de amplitude, utilizamos a função não negativa df, na qual o denominador resulta na correta normalização

no sentido do valor integrado desta razão sobre todo o eixo de freqüências é unitário. Po- demos, portanto, definir formalmente a largura de faixa rms de um sinal passa-baixa g(t) com transformada de Fourier G(f) como sendo dada por:

(2.58)

Uma característica atraente da largura de faixa rms, W_rms, é que ela por si só possibi- lita a determinação matemática mais fácil do que as duas outras definições de largura de faixa, apesar dela não ser facilmente medida em laboratório.

Produto tempo-largura de faixa

䊏

Para qualquer família de sinais de pulso que diferem por um fator de escala no tempo, o produto da duração do sinal por sua largura de faixa é constante, mostrado por

(duração) × (largura de faixa) = constante

O produto é chamado de produto tempo-largura de faixa ou produto largura de faixa-

duração. O fato do produto tempo-largura de faixa ser constante é outra manifestação da

relação inversa que existe entre as descrições no domínio do tempo e no domínio da freqüência do sinal. Em particular, se a duração de um sinal de pulso é diminuída comprimindo-se a escala de tempo por um fator a, digamos, a escala de freqüência do espectro do sinal e, portanto, a

largura de faixa do sinal, é expandida pelo mesmo fator a, em virtude da Propriedade 2 (di- latação), e o produto tempo-largura de faixa do sinal será, portanto, mantido constante. Por exemplo, um pulso retangular de duração T segundos possui largura de faixa (definida com base na parte de freqüências positivas do lóbulo principal) igual a (1/T) hertz, fazendo com que o produto tempo-largura de faixa do pulso seja unitário. O ponto importante a ser notado é que qualquer que seja a definição de largura de faixa utilizada para o sinal, o produto tempo- largura de faixa será mantido constante para uma certa classe de sinais de pulso. A escolha de uma definição particular para largura de faixa simplesmente altera o valor da constante.

Para sermos mais específicos, considere a largura de faixa rms definida na Eq. (2.58). A definição correspondente de duração rms para o sinal g(t) é

(2.59)

na qual assume-se que o sinal g(t) esteja centrado na origem. Pode ser mostrado que usando as definições de rms das Eqs. (2.58) e (2.59), o produto tempo-largura de faixa possui a seguinte forma:

(2.60) na qual a constante é (1/4π). Também pode ser mostrado que o pulso Gaussiano satisfaz esta condição com o sinal de igualdade. Para detalhes sobre estes cálculos, o leitor deve se referir ao Problema 2.51.

2.4 F

D

D

Falando estritamente, a teoria da transformada de Fourier, como descrita nas Seções 2.2 e 2.3, é aplicável apenas a funções no tempo que satisfazem as condições de Dirichlet. Tais funções incluem sinais de energia – ou seja, sinais para os quais a condição

é válida. Entretanto, pode ser extremamente desejável estender a teoria por dois motivos: