R ESUMO E D ISCUSSÃO

Neste capítulo descrevemos a transformada de Fourier como a ferramenta fundamental para relacionarmos as descrições de um sinal determinístico no domínio do tempo e no do- mínio da freqüência. A transformada de Fourier inclui a série exponencial de Fourier como caso especial, desde que possamos utilizar a função delta de Dirac.

10 100 1000 10000 –40 –35 –30 –25 –20 –15 –10 –5 0 Resposta em amplitude (dB) Freqüência (Hz) 2 km 4 km 6 km 8 km

Figura 2.39 Resposta em freqüência típica de uma linha de transmissão utilizando par trançado de 26 AWG, para diferentes comprimentos com impedâncias da fonte e carga de (600Ω + 2μF).

Uma relação inversa existe entre as descrições de um sinal no domínio do tempo e no domínio da freqüência. Sempre que uma operação é executada na forma de onda do sinal no domínio do tempo, uma modificação correspondente é aplicada ao espectro do sinal no domínio da freqüência. Uma conseqüência importante desta relação inversa é o fato de que um produto tempo-largura de faixa de um sinal de energia é constante. As definições de duração de sinal e largura de faixa simplesmente afetam o valor da constante.

Uma operação de processamento de sinal importante geralmente encontrada em sis- temas de comunicação é a filtragem linear. Esta operação envolve a convolução do sinal de entrada com a resposta ao impulso do filtro ou, de forma equivalente, a multiplicação da transformada de Fourier do sinal de entrada pela função de transferência (isto é, a transfor- mada de Fourier da resposta ao impulso) do filtro. Note, entretanto, que o material apre- sentado no capítulo de filtragem linear assume que o filtro é invariante no tempo (isto é, a forma da resposta ao impulso do filtro é invariante com relação a quando o pulso unitário, ou a função delta, é aplicado ao filtro).

Outra importante operação no processamento de sinais encontrada em sistemas de comunicação é a correlação. Esta operação pode fornecer uma medida de similaridade entre o sinal e sua versão atrasada, no caso de falarmos da função de autocorrelação. Quando a medida de similaridade envolve um par de sinais diferentes, entretanto, falamos da função de correlação cruzada. A transformada de Fourier da função de autocorrelação é chamada de densidade espectral. A transformada de Fourier da função de correlação cru- zada é chamada de densidade espectral cruzada. Discussões sobre a correlação e densidade espectral apresentadas no capítulo são restringidas a sinais de energia e sinais de potência, exemplificados por sinais do tipo pulso e sinais periódicos, respectivamente. O tratamento do ruído (outra realização de sinal de potência) será apresentado no Capítulo 8.

A parte final do capítulo focalizou a transformada discreta de Fourier e seus cálculos numéricos. Basicamente, a transformada discreta de Fourier é obtida da transformada de Fourier padrão amostrando uniformemente tanto o sinal de entrada quanto o espectro de saída. O algoritmo da transformada rápida de Fourier fornece um meio prático para a im- plementação eficiente da transformada discreta de Fourier em computadores digitais, tor- nando o algoritmo da transformada rápida de Fourier em uma ferramenta computacional poderosa na análise espectral e filtragem linear.

Problemas adicionais

2.19 (a) Determine a transformada de Fourier do pulso de meio cosseno mostrado na Fig. 2.40(a).

(a) (b) (c) (d) 0 t g(t) –T –A –A –T —T 2 0 t g(t) T 0 A t g(t) – —T 2 —T2 0 A t g(t) T Figura 2.40 Problema 2.19

(b) Aplique a propriedade de deslocamento no tempo ao resultado obtido na parte (a) para calcular o espectro do pulso de meio seno mostrado na Fig. 2.40(b).

(c) Qual é o espectro do pulso de meio seno com duração igual a aT?

(d) Qual é o espectro do pulso de meio seno negativo mostrado na Fig. 2.40(c)? (e) Determine o espectro do pulso de meio seno mostrado na Fig. 2.40(d).

2.20 Qualquer função g(t) pode ser dividida de forma não ambígua em uma parte par e uma parte ímpar, como mostrado por

A parte par é definida por

e a parte ímpar é definida por

(a) Calcule as partes par e ímpar do pulso retangular definido por

(b) Quais são as transformadas de Fourier destas duas partes do pulso?

2.21 A expressão a seguir pode ser vista como uma representação aproximada de um pulso com tem- po de subida finito.

na qual assume-se que T >> τ. Determine a transformada de Fourier de g(t). O que acontecerá a esta transformada se τ se tornar zero?

2.22 A transformada de Fourier de um sinal g(t) é representada por G(f). Prove as seguintes proprie- dades da transformada de Fourier:

(a) Se um sinal real g(t) é uma função par do tempo t, a transformada de Fourier G(f) é pura- mente real. Se um sinal real g(t) é uma função ímpar do tempo t, a transformada de Fourier

G(f) é puramente imaginária.

(b) na qual G(n)

(f) é a n- ésima G(f) com respeito a f.

(c) (d)

2.23 A transformada de Fourier G(f) de um sinal g(t) é limitada pelas três seguintes desigualdades: (a)

(b) (c)

Considera-se, ainda, que a primeira e a segunda derivada de g(t) existe.

Construa estes três limites para o pulso triangular mostrado na Fig. 2.41 e compare seu resulta- do com o espectro de amplitude do pulso regular.

A –T 0 t g(t) T Figura 2.41 Problema 2.23

2.24 Considere a convolução de dois sinais g1(t) e g2(t). Mostre que

(a) (b)

2.25 Um sinal x(t) de energia finita é aplicado a um dispositivo de lei quadrática cuja saída y(t) é definida por

O espectro de x(t) é limitado ao intervalo de freqüência –W ≤ f ≤ W. Logo, mostre que o espectro de y(t) é limitado a –2W ≤ f ≤ 2W. Dica: Expresse y(t) como x(t) multiplicado por ele mesmo. 2.26 Calcule a transformada de Fourier da função delta considerando-a como forma limite de (a)

pulso retangular de área unitária e (b) pulso sinc com área unitária. 2.27 A transformada de Fourier G(f) de um sinal g(t) é definida por

Determine o sinal g(t).

2.28 Considere uma função g(t) do tipo pulso constituída por um pequeno número de segmentos retos de linha. Suponha que esta função é diferenciável duas vezes com respeito ao tempo t de forma a gerar uma seqüência de funções delta ponderadas, como mostrado por

Na qual ki estão relacionados a inclinação dos segmentos de linha reta.

(a) Dados os valores de ki e ti, mostre que a transformada de Fourier de g(t) é dada por

(b) Usando este procedimento, mostre que a transformada de Fourier do pulso trapezoidal mos- trado na Fig. 2.42 é dado por

A t –tb –ta 0 ta tb g(t) Figura 2.42 Problema 2.28

2.29 O pulso retangular de amplitude A e duração 2ta pode ser visto como o caso limite do pulso

trapezoidal mostrado na Fig. 2.42 quando tb se aproxima de ta.

(a) Começando do resultado dado na parte (b) do Problema 2.28, mostre que quando tb se

aproxima de ta, este resultado se aproxima da função sinc.

(b) Reconcilie o resultado obtido na parte (a) com o par transformada de Fourier da Eq. (2.10).

2.30 Sejam x(t) e y(t) sinais de entrada e saída de um filtro linear invariante no tempo. Utilizando o teorema de Rayleigh para energia, mostre que se o filtro for estável e o sinal x(t) possuir energia finita, então o sinal de saída y(t) também terá energia finita. Ou seja, se

então

2.31 (a) Determine a resposta em amplitude total da conexão em série mostrada na Fig. 2.43, cons- tituída por N estágios idênticos, cada um com constante de tempo RC igual a τ0.

(b) Mostre que quando N tende ao infinito, a resposta em amplitude da conexão em série se aproxima da função gaussiana na qual, para cada valor de N, a constante de tempo τ0 é selecionada de tal forma que a condição

é satisfeita. R C … … … … Buffer amplificador R C Buffer amplificador R C Buffer amplificador Figura 2.43 Problema 2.31

2.32 Suponha que, para um dado sinal x(t), o valor integrado do sinal em um intervalo T é necessá- rio, como mostrado por

(a) Mostre que y(t) pode ser obtido pela transmissão do sinal x(t) através de um filtro cuja fun- ção de transferência é dada por

(b) Uma aproximação adequada desta função de transferência é obtida utilizando um filtro pas- sa-baixa com largura de faixa igual a 1/T, resposta em amplitude da faixa passante igual a

T e atraso T/2. Assumindo este filtro passa-baixa como ideal, determine a saída do filtro no

tempo t = T devido a uma função degrau unitário aplicada ao filtro em t = 0 e compare o re- sultado com a saída correspondente do integrador ideal. Note que Si(π) = 1,85 e Si(∞) = π/2. 2.33 Mostre que os dois pulsos diferentes definidos nas partes (a) e (b) da Fig. 2.44 possuem a mesma

densidade espectral de energia:

(a) (b) 0 A t g(t) – —T 2 — T 2 0 A t g(t) T Figura 2.44 Problema 2.33

2.34 Determine e rascunhe as funções de autocorrelação dos seguintes pulsos exponenciais: (a)

(b) (c)

na qual u(t) é a função degrau unitário e u(–t) é sua versão revertida no tempo. 2.35 Determine e rascunhe a função de autocorrelação do pulso Gaussiano definido por

2.36 A transformada de Fourier de um sinal é definida por sinc(f). Mostre que a função de autocorre- lação deste sinal possui forma triangular.

2.37 Especifique dois sinais diferentes de pulso que possuem exatamente a mesma função de autocor- relação.

2.38 Considere o sinal senoidal g(t) definido por

(a) Determine a função de autocorrelação Rg(τ) deste sinal.

(b) Qual é o valor de Rg(0)?

(c) Alguma informação sobre g(t) foi perdida na obtenção da função de autocorrelação? Ex- plique.

2.39 Determine a função de autocorrelação do pulso triplo mostrado na Fig. 2.45.

0 A t g(t) – —T 2 – —–3T 2 —–3T2 —T 2

2.40 Seja G(f) a transformada de Fourier de um sinal de energia de valor real g(t) e Rg(τ) a sua função

de autocorrelação. Mostre que

2.41 Determine a função de correlação cruzada R12(τ) do pulso retangular g1(t) e do pulso triplo g2(t)

mostrado na Fig. 2.46 e mostre-a em um gráfico. Qual é R21(τ)? Estes dois sinais são ortogonais

entre si? Por quê?

0 t g₂(t) –1,0 1,0 3 1 –1 –3 0 t g₁(t) 1,0 3 –3 Figura 2.46 Problema 2.41

2.42 Considere dois sinais de energia g1(t) e g2(t). Estes dois sinais são, então, atrasados por um total

igual a t1 e t2 segundos, respectivamente. Mostre que os atrasos de tempo são aditivos na convo-

lução do par de sinais atrasados, enquanto que eles são subtrativos na correlação cruzada dos sinais.

2.43 (a) Um sinal de energia x(t), sua transformada de Fourier X(f), a função de autocorrelação Rx(τ)

e a densidade espectral de energia ψx(f) estão todos relacionados, direta ou indiretamente.

Construa um grafo de fluxo que mostre todas as possíveis relações diretas entre eles. (b) Se você tiver a descrição X(f) no domínio do tempo, a função de autocorrelação Rx(τ) pode ser

calculada a partir de X(f). Descreva duas formas pelas quais este cálculo pode ser realizado. 2.44 Determine a função de autocorrelação de um sinal de potência g(t) cuja densidade espectral de

potência é mostrada na Fig. 2.47. Qual é o valor da função de autocorrelação na origem?

0 f S_g(f) –1 1 1 2 2 –2 Figura 2.47 Problema 2.44

2.45 Considere a forma de onda quadrada g(t) mostrada na Fig. 2.48. Determine a densidade espec- tral de potência e a função de autocorrelação desta onda quadrada. A forma de onda possui potência CC? Explique sua resposta.

t (segundos) g(t) –1,0 1,0 1 –1 –3 –5 –7 0 3 5 7

...

...

Figura 2.48 Problema 2.45

2.46 Considere dois sinais periódicos gp1(t) e gp2(t) que possuem as seguintes representações por série

de Fourier:

e

Os dois sinais possuem um período comum igual a T0.

Usando a seguinte definição de função de correlação cruzada para um par de sinais periódicos,

mostre que o par de sinais periódicos descritos satisfaz o par transformada de Fourier

2.47 Um sinal periódico gp(t) com período T0 é representado pela série de Fourier complexa

na qual cn são os coeficientes complexos de Fourier. A função de autocorrelação de gp(t) é defi-

nida por

(a) Considere a forma de onda senoidal

Determine a função de autocorrelação R_gp(τ) e trace sua forma de onda. (b) Mostre que R_gp(0) = A2/2.

2.49 Determine a densidade espectral de potência de (a) a forma de onda senoidal do Problema 2.47 e (b) a onda quadrada do Problema 2.48.

2.50 Seguindo um procedimento similar ao descrito na Seção 2.10 que levou ao grafo de fluxo da Fig. 2.36 para o algoritmo de FFT de 8 pontos baseado na decimação em freqüência, faça o seguinte: (a) Desenvolva o grafo de fluxo correspondente para um algoritmo de FFT de 8 pontos baseado

na decimação no tempo.

(b) Compare o grafo de fluxo obtido na parte (a) com o mostrado na Fig. 2.36, ressaltando as simi- laridades e diferenças entre estes dois métodos básicos para a obtenção do algoritmo de FFT. Problemas avançados

2.51 (a) A largura de faixa de raiz média quadrática (rms) de um sinal passa-baixa g(t) com energia finita é definido por

Na qual |G(f)|2 é a densidade espectral de energia do sinal. De forma correspondente, a duração

de raiz média quadrática do sinal é definida por

Usando estas definições, mostre que

Assuma que |g(t)| → 0 mais rápido do que quando |t| → ∞. (b) Considere um pulso Gaussiano definido por

Mostre que, para este sinal, a igualdade

pode ser atingida.

Dica: Utilize a desigualdade de Schwarz (veja o Apêndice 5).

na qual fazemos

e

De forma similar, a transformada inversa de Hilbert é definida por

Usando estas duas fórmulas, obtenha o seguinte conjunto de pares de transformada de Hilbert

2.53 Calcule a transformada inversa de Fourier g(t) da função (a qual possui espectro apenas para freqüências não negativas).

Logo, mostre que g(t) é complexa, e que suas partes real e imaginária constituem um par trans- formada de Hilbert.

2.54 Um transformador de Hilbert pode ser visto como um dispositivo cuja função de transferência possui as seguintes características:

(a) A resposta em amplitude é unitária para todas as freqüências positivas e negativas.

(b) A resposta em fase é +90º para freqüências negativas e –90º para freqüências positivas. Co- meçando com a definição da transformada de Hilbert dada no Problema 2.52, demonstre a descrição no domínio da freqüência embutida nas partes (a) e (b).

A modulação é definida como o processo pelo qual alguma característica da onda portado-

ra é variada de acordo com o sinal contendo a informação. A portadora é necessária para

facilitar o transporte do sinal modulado ao longo de um canal passa-faixa, do transmissor ao receptor. Uma portadora geralmente utilizada é a onda senoidal, cuja fonte é fisicamente independente da fonte do sinal contendo a informação. Quando o sinal contendo a infor- mação é do tipo analógico, falamos de uma modulação de onda contínua, um termo que ressalta a continuidade da onda modulada em função do tempo.

No contexto de comunicações, a motivação primária para a modulação é facilitar a transmissão de um sinal contendo informação em um canal de comunicação (por exemplo, um canal de rádio), com uma faixa passante determinada. Na modulação de onda contí- nua, isto é possível variando-se a amplitude ou o ângulo da forma de onda da portadora. Com esta base, podemos classificar a modulação de onda contínua em duas famílias gené- ricas: modulação em amplitude e modulação em ângulo. Estas duas famílias de modulação se distinguem pelo oferecimento de características espectrais completamente distintas e, portanto, benefícios práticos diferentes. A classificação é feita se a amplitude da portadora ou o ângulo de fase da portadora é variado de acordo com o sinal contendo a informação. A família de modulação em amplitude é estudada neste capítulo, seguido pelo estudo da modulação em ângulo no próximo capítulo.

No Capítulo 1, identificamos a complexidade dos sistemas e os dois recursos primá- rios de comunicação – explicitamente, potência transmitida e largura de faixa do canal – como questões centrais envolvidas no projeto de um sistema de comunicação. Com estas questões em mente, neste capítulo iremos estudar quatro estratégias de modulação lineares

que constituem a família de modulação em amplitude:

Modulação em amplitude (AM)

䉴

Faixa lateral dupla – portadora suprimida (DSB-SC)

䉴

Faixa lateral única (SSB)

䉴

Faixa lateral vestigial (VSB)

䉴

Estes quatro tipos de modulação diferem um do outro em virtude de suas caracterís- ticas espectrais. Este estudo nos ensinará as seguintes lições:

Lição 1: A análise de Fourier é uma poderosa ferramenta matemática para o desenvolvi-

䉴

mento da análise matemática e física das características espectrais das estratégias de mo- dulação linear.

Lição 2: A implementação de comunicações analógicas é significativamente simplificada

䉴

pela utilização de AM, ao custo da potência transmitida e da largura de faixa do canal. Lição 3: A utilização da potência transmitida e da largura de faixa do canal é melhorada

䉴

através de modificações bem definidas do conteúdo espectral da onda modulada em ampli- tude, ao custo de aumento na complexidade do sistema.

Resumindo, podemos fazer a seguinte afirmação:

Não existe almoço grátis no projeto de um sistema de comunicação: Para cada ga- nho realizado, existe um preço a ser pago.

No documento Introdução Aos Sistemas de Comunicação - 2ª Ed - Haykin (páginas 104-114)