O envelope contém uma modulação em amplitude residual que varia com o tempo 2 O ângulo θ i (t) contém distorção harmônica na forma de harmônicas de terceira or-

dem e superiores da freqüência de modulação f_m.

PROBLEMA 4.3

䉴 A representação Cartesiana de sinais passa-faixa discutida na Seção 3.8 é ade- quada para esquemas de modulação lineares exemplificados pela família de modulação em am- plitude. Por outro lado, a representação polar

Ac sen(2␲fct )

Onda

modulante Integrador Modulador

de produto Onda FM de faixa estreita Onda portadora Ac cos(2␲fct ) Deslocador de fase –90° – + Σ Modulador de fase de faixa estreita

Figura 4.4 Diagrama em blocos para um método indireto de geração de uma onda FM de faixa estreita.

é adequada para esquemas de modulação não linear exemplificados pela família de modu- lação em ângulo. a(t) nesta nova representação é o envelope de s(t) e φ(t) é sua fase.

Começando com a representação [veja a Eq. (3.39)]

na qual s_I(t) é a componente em fase e s_Q(t) é a componente em quadratura, podemos escrever

e

Mostre que a representação polar de s(t) em termos de a(t) e φ(t) é exatamente equivalente a sua representação Cartesiana em termos de s_I(t) e s_Q(t). 䉳 PROBLEMA 4.4

䉴 Considere a onda FM de faixa estreita aproximadamente definida pela Eq. (4.17). Utilizando o Problema 4.3:

(a) Determine o envelope desta onda modulada. Qual é a razão do máximo ao mínimo valor deste envelope?

(b) Determine a potência média da onda FM de faixa estreita, expressada como um percentu- al da potência média da onda portadora não modulada.

(c) Expandindo o argumento angular θ(t) = 2πfct + φ(t) da onda FM s(t) de faixa estreita na

forma de uma série de potências, e restringindo o índice de modulação β ao valor máximo de 0,3 radianos, mostre que

Qual é o valor da distorção harmônica para β = 0,3 radianos? Dica: Para x pequeno, a seguinte aproximação por série de potência

é válida. Nesta aproximação, os termos a partir de x5 são ignorados, o que é justificado quando x é pequeno se comparado à unidade. 䉳

O ponto importante de nota do Problema 4.4 é que, restringindo-se o índice de mo- dulação a β ≤ 0,3 radianos, os efeitos da modulação em amplitude residual e a distorção harmônica são limitados a valores negligenciáveis. Estamos, portanto, capacitados a conti- nuar a utilizar a Eq. (4.17) desde que β ≤ 0,3 radianos. Em particular, podemos expandir a onda modulada em três componentes de freqüência:

(4.18) Esta expressão é, de alguma forma, similar à equação correspondente na definição da onda AM, a qual é reproduzida do Exemplo 3.1 do Capítulo 3:

(4.19) na qual μ é o fator de modulação do sinal AM. Comparando as Eqs. (4.18) e (4.19) e igno- rando as constantes respectivas β e μ, vemos que no caso da modulação senoidal, a diferen- ça básica entre a onda AM e a onda FM de faixa estreita está no fato do sinal algébrico da freqüência lateral inferior na onda FM de faixa estreita ser inverso. De qualquer forma, a onda FM de faixa estreita requer, essencialmente, a mesma largura de faixa de transmissão (isto é, 2f_m para modulação senoidal) da onda AM.

Interpretação fasorial

䊏

Podemos representar a onda FM pelo diagrama fasorial mostrado na Fig. 4.5(a), no qual utilizamos o fasor da portadora como referência. Vemos que o resultante dos dois fasores das freqüências laterais está sempre em 90o com o fasor da portadora. O efeito desta geometria é a produção de um fasor resultante representando uma onda FM de faixa estreita aproxima- damente de mesma amplitude do fasor da portadora, mas fora de fase com relação a ela.

O diagrama fasorial para a onda FM deve ser contrastado com o da Fig. 4.5(b) re- presentando a onda AM correspondente. Neste último caso, vemos que o fasor resultante representando a onda AM possui amplitude diferente do fasor da portadora, mas sempre em fase com ele.

Apesar de tanto a onda FM de faixa estreita da Eq. (4.18) quanto a onda AM da Eq. (4.19) possuírem três componentes senoidais, as duas partes da Fig. 4.5 ilustram claramen- te as principais diferenças entre estas duas ondas moduladas. As diferenças são atribuídas a forma pela qual estas duas ondas moduladas são geradas.

4.5 M

F

F

L

A seguir queremos determinar o espectro de um onda FM de tom único definida pela fórmula exata da Eq. (4.15) para um valor arbitrário de índice de modulação β. Em geral, tal onda FM produzida por uma onda modulante senoidal é uma função periódica do tempo t somente quando a freqüência f_c da portadora é um múltiplo inteiro da freqüência modulante f_m.

PROBLEMA 4.5

䉴 Falando estritamente, a onda FM da Eq. (4.15) produzida por uma onda modu- lante senoidal é uma função não periódica do tempo t. Demonstre esta propriedade da modula-

ção em freqüência. 䉳

À luz deste problema, como podemos simplificar a análise espectral da onda FM de faixa larga definida na Eq. (4.15)? A resposta está na utilização da representação banda base complexa do sinal modulado (isto é, banda passante), a qual foi discutida na Seção 3.8. Especificamente, assuma que a freqüência f_c da portadora é grande o suficiente (comparada com a largura de faixa da onda FM) para justificar a escrita da Eq. (4.15) na forma

(a) (b) Portadora Freqüência lateral inferior Freqüência lateral superior

Somas dos fatores das freqüências laterais

fm fm Resultante Portadora Freqüência lateral inferior Freqüência lateral superior fm fm

Somas dos fatores das freqüências laterais

Figura 4.5 Comparação fasorial das ondas FM de faixa estreita e AM para modulação senoidal. (a) Onda FM de faixa estrei- ta. (b) Onda AM.

(4.20) na qual o operador Re[ ] extrai a parte real da grandeza complexa contida dentro dos col- chetes. O novo termo

(4.21) introduzido na Eq. (4.21) é o envelope complexo da onda FM s(t). O ponto importante a notar da Eq. (4.21) é que, ao contrário da onda FM original s(t), o envelope complexo é uma função periódica do tempo com freqüência fundamental igual à freqüência f_m da modulante. Especificamente, substituindo o tempo t na Eq. (4.21) por t + k/f_m para algum inteiro k, temos

o que confirma f_m como a freqüência fundamental de . Podemos, portanto, expandir na forma da série complexa de Fourier por:

(4.22) na qual o coeficiente complexo de Fourier

(4.23) define a nova variável:

(4.24) Logo, podemos redefinir o coeficiente complexo de Fourier c_n da Eq. (4.23) na nova forma

(4.25) A integral no lado direito da Eq. (4.25), exceto pela amplitude A_c da portadora, é referido como a n-ésima ordem da função de Bessel de primeiro tipo e argumento _{β. Esta} função é geralmente representada pelo símbolo J_n(β), portanto, podemos escrever

(4.26) Desta forma, podemos reescrever a Eq. (4.25) na forma compacta

(4.27) Substituindo a Eq. (4.27) na Eq. (4.22), temos, em termos da função de Bessel J_n(β), a seguinte expansão para o envelope complexo da onda FM:

A seguir, substituindo a Eq. (4.28) na Eq. (4.20), temos

(4.29) A amplitude A_c da portadora é constante e, portanto, pode ser retirada do operador de parte real Re[.]. Além disso, podemos alterar a ordem do somatório e da operação de parte real, pois os dois são operadores lineares. Desta forma, podemos reescrever a Eq. (4.29) na forma simplificada

(4.30) A Eq. (4.30) é a forma desejada para a expansão em série de Fourier do sinal FM s(t) de tom único para um valor arbitrário de índice de modulação β.

O espectro discreto de s(t) é obtido calculando as transformadas de Fourier dos dois lados da Eq. (4.30), o que resulta em

(4.31) na qual s(t) S(f) e cos(2_πfit) ½[_{δ(f – fi}) + _{δ(f + fi})] para um f_i arbitrário. A Eq. (4.31) mostra que o espectro de s(t) é constituído por um número infinito de funções delta espaça- das em f = f_{c± nfm} para n = 0, +1, +2,...

Propriedades da FM de tom único para um índice de modulação

䊏 ␤ arbitrário

Na Fig. 4.6, traçamos a função de Bessel J_n(β) em função do índice de modulação β para valores inteiros positivos diferentes de n. Podemos obter mais conhecimento sobre o com- portamento da função de Bessel J_n(β) utilizando as seguintes propriedades (veja o Apêndice 3 para mais detalhes):