A transmissão precisa operar dentro dos canais alocados para o broadcasting de FM 2 Ela precisa ser compatível com receptores de rádio mono (não estéreos).

A primeira condição ajusta os parâmetros de freqüência permitidos, incluindo o des- vio de freqüência. A segunda condição restringe a forma pela qual o sinal transmitido é configurado.

A Fig. 4.16(a) mostra o diagrama em blocos do sistema de multiplexação usado no transmissor de FM estéreo. Sejam m_l(t) e m_r(t) os sinais recebidos pelos microfones do lado esquerdo e direito do lado transmissor do sistema. Eles são aplicados a um mixer que gera o sinal soma m_l(t) + m_r(t) e o sinal diferença m_l(t) – m_r(t). O sinal soma é mantido não pro- cessado em sua forma banda base, disponibilizado para a recepção mono. O sinal diferença e uma subportadora de 38 kHz (obtida de um oscilador a cristal de 19 kHz pela multiplica-

ção de freqüência) são aplicados a um modulador de produto, produzindo, portanto, uma onda modulada DSB-SC. Em adição ao sinal soma e esta onda modulada DSB-SC, o sinal multiplexado m(t) também inclui um piloto de 19 kHz para fornecer uma referência para a detecção coerente do sinal diferença no receptor estéreo. Portanto, de acordo com a Fig. 4.16(a), o sinal multiplexado é descrito por

(4.69) na qual fc = 19 kHz e K é a amplitude do tom piloto. O sinal multiplexado m(t), então, mo-

dula em freqüência a portadora principal produzindo o sinal transmitido. Esta modulação em freqüência não é mostrada na Fig. 4.16(a) O piloto é posicionado entre 8 e 10 porcento do pico do desvio de freqüência. A amplitude K da Eq. (4.69) é escolhida para satisfazer esta condição.

No lado do receptor estéreo, antes de qualquer coisa, o sinal multiplexado m(t) é recuperado pela demodulação de freqüência da onda FM de entrada. Então, m(t) é aplica- do ao sistema de demultiplexação mostrado na Fig. 4.16(b). Os componentes individuais do sinal multiplexado m(t) são separados pela utilização de três filtros apropriados. O

(a) (b) Dobrador de freqüência Mixer m(t) cos (2␲fct) fc = 19 kHz K m_l(t) mr(t) Σ Σ + + + + + Σ – + m(t) m_l(t) + m_r(t) ml(t) – mr(t) 2m_r(t) 2ml(t) Detector coerente Σ Mixer + + + Σ – FPB banda base FPF centrado em 2f_c = 38 kHz Filtro faixa-estreita sintonizado em fc = 19 kHz FPB banda base Dobrador de freqüência

Figura 4.16 (a) Multiplexador para a transmissão de FM estéreo. (b) Demulti- plexador no receptor de FM estéreo.

piloto recuperado (usando um filtro de faixa estreita ajustado para 19 kHz) é dobrado em freqüência para produzir a subportadora desejada de 38 kHz. A disponibilidade desta sub- portadora possibilita a detecção coerente da onda modulada DSB-SC, veja a parte da Fig. 4.16(b) dentro do retângulo tracejado. O sinal diferença m_l(t) – m_r(t) é, portanto, recupe- rado. O filtro passa-faixa banda base no caminho de cima da Fig. 4.16(b) é projetado para passar o sinal soma m_l(t) + m_r(t). Finalmente, o mixer simples reconstrói o sinal original do lado esquerdo m_l(t) e o sinal do lado direito m_r(t), exceto pelo fator 2 de escala, e os aplica aos respectivos alto-falantes. A recepção FM estereofônica é, portanto, obtida.

4.10 R

D

No Capítulo 3, estudamos os princípios básicos da primeira família de modulação de ondas contínuas, baseado na modulação em amplitude e suas variantes. Neste capítulo, com- pletamos o estudo dos princípios básicos da modulação de ondas contínuas, baseado na modulação em ângulo.

Fundamentalmente, existem dois tipos de modulação em ângulo:

Modulação em fase (PM), na qual a fase instantânea da onda portadora senoidal é

䉴

linearmente variada com o sinal de mensagem.

Modulação em freqüência (FM), na qual a freqüência instantânea da onda portadora

䉴

senoidal é linearmente variada com o sinal de mensagem.

Estes dois métodos de modulação são fortemente relacionados no sentido de que, se tivermos uma, podemos obter a outra. Por esta razão, focalizamos muito na discussão da modulação em freqüência.

A modulação em freqüência (FM) é tipificada pela equação

(4.70) Na qual m(t) é o sinal de mensagem, A_c cos(2πf_ct) é a onda portadora senoidal e k_f

é a sensibilidade de freqüência do modulador. A Eq. (4.70) é uma repetição da Eq. (4.7), reproduzida aqui por pura conveniência.

Ao contrário da modulação em amplitude, a partir da Eq. (4.70), vemos que a FM é um processo de modulação não linear. Desta forma, a análise espectral de FM é mais difícil do que a para AM. Mesmo assim, estudando FM de tom único, fomos capazes de desenvol- ver nosso conhecimento sobre as propriedades espectrais do FM. Em particular, obtemos uma regra empírica chamada de regra de Carson generalizada para o cálculo aproximado da largura de faixa B_T de transmissão de FM. De acordo com esta regra, B_T é controlado por um único parâmetro: o índice de modulação β para FM senoidal ou a razão de desvio

D para FM não senoidal.

No FM, a amplitude da portadora e, portanto, a potência média transmitida, é man- tida constante. Esta é uma importante vantagem do FM sobre AM no combate aos efeitos do ruído ou interferência na recepção, uma questão que estudaremos no Capítulo 9, após estarmos mais familiarizados com a teoria da probabilidade e processos aleatórios do Capí- tulo 8. Esta vantagem se torna ainda mais pronunciada quando o índice de modulação (ra- zão de desvio) é aumentado, o que, de forma correspondente, possui o efeito de aumentar a largura de faixa de transmissão. Portanto, a modulação em freqüência fornece um método prático para o compromisso entre a largura de faixa do canal e a melhoria da performance frente ao ruído, o que não é possível na modulação em amplitude.

Um comentário final é importante. Tal como na modulação em amplitude, o desen- volvimento da família da modulação em ângulo foi motivado por sua relevância direta em comunicações analógicas, mas vários aspectos deste ramo da teoria de modulação são igualmente aplicáveis às comunicações digitais. Por exemplo, se o sinal de mensagem na Eq. (4.70) for restrito aos níveis –1 e +1, representando os símbolos binários 0 e 1, respec-

tivamente, então temos a forma básica da modulação digital chamada de chaveamento por deslocamento em freqüência binário (BFSK), discutida no Capítulo 7.

Problemas adicionais

4.8 Trace as ondas PM e FM produzidas pela onda dente de serra mostrada na Fig. 4.17 como a fonte da modulação. m(t) t 0 A T₀ 2T₀ 3T₀ Figura 4.17 Problema 4.8

4.9 Em um radar modulado em freqüência, a freqüência instantânea da portadora transmitida é variada como na Fig. 4.18. Tal sinal é gerado pela modulação em freqüência com a onda mo- dulante triangular periódica. A freqüência instantânea do sinal de eco recebido é mostrado em tracejado na Fig. 4.18, na qual τ é o atraso de tempo de retorno. Os sinais transmitidos e de eco são aplicados a um mixer e a componente de diferença de freqüência é mantida. Assumindo que

f0τ << 1 para todo τ, determine o número médio em um segundo de ciclos de batimento na saída

do mixer, em termos do pico de desvio Δf da freqüência de portadora, o atraso τ, e a freqüência de repetição f0 do sinal transmitido. (O batimento se refere a um sinal cuja freqüência é a dife-

rença entre as freqüências dos dois sinais de entrada.)

f_i(t) t fc fc + ⌬f fc – ⌬f Eco Sinal transmitido ␶ 1 f0 –– Figura 4.18 Problema 4.9

4.10 Considere um intervalo Δt de uma onda FM s(t) = Ac cos[θ(t)] tal que θ(t) satisfaz a condição

Logo, mostre que se Δt é suficientemente pequeno, a freqüência instantânea da onda FM dentro deste intervalo é aproximadamente dada por

4.11 A onda modulante senoidal

é aplicada a um modulador de fase com sensibilidade de fase kp. A onda portadora não modu-

lada possui freqüência fc e amplitude Ac. Determine o espectro da onda modulada em fase resul-

tante assumindo que o desvio de fase máximo β = kpAm não excede 0,3 radianos.

4.12 Uma onda portadora é modulada em freqüência por um sinal senoidal com freqüência fm e am-

(a) Determine os valores do índice de modulação β para o qual a componente da portadora da onda FM é reduzida para zero. Para este cálculo você pode utilizar os valores de J0(β) dados

no Apêndice 3.

(b) Em um certo experimento realizado com fm = 1 kHz, e aumentando-se Am (começando de zero

volts), foi determinado que a componente da portadora da onda FM é reduzida para zero pela primeira vez quando Am = 2 volts. Qual é a sensibilidade de freqüência do modulador? Qual é

o valor de Am para o qual a componente da portadora é reduzida para zero pela segunda vez?

4.13 A onda portadora com freqüência 100 MHz é modulada em freqüência por uma onda senoidal de amplitude 20V e freqüência 100 kHz. A sensibilidade de freqüência do modulador é 25 kHz/V. (a) Determine a largura de faixa aproximada da onda FM utilizando a regra de Carson. (b) Determine a largura de faixa obtida pela transmissão apenas das freqüências laterais com

amplitudes acima de 1% da amplitude da portadora não modulada. Utilize a curva univer- sal da Fig. 4.9 para este cálculo.

(c) Repita seus cálculos assumindo que a amplitude da onda modulante é dobrada. (d) Repita seus cálculos assumindo que a freqüência da modulante é dobrada.

4.14 Considere uma onda PM de faixa larga produzida pela onda modulante senoidal Am cos(2πfmt)

utilizando um modulador com sensibilidade de fase igual a kp radianos por volt.

(a) Mostre que, se o desvio de fase máximo da onda PM for grande quando comparado com um radiano, a largura de faixa da onda PM varia linearmente com a freqüência de modulação fm.

(b) Compare esta característica de uma onda PM de faixa larga com a de uma onda FM de faixa larga.

4.15 A Fig. 4.19 mostra um diagrama de blocos de um sistema de malha fechada para a estabilização da freqüência da portadora de um modulador de freqüência de faixa larga. O oscilador controla- do a tensão mostrado na figura constitui o modulador de freqüência. Utilizando as idéias de mi- xagem (isto é, translação de freqüência) (descritas no Capítulo 3) e discriminação de freqüência (descrita neste capítulo), discuta como o sistema realimentado da Fig. 4.19 é capaz de explorar a precisão de freqüência do oscilador a cristal para estabilizar o oscilador controlado a tensão.

Sinal de mensagem m(t) Oscilador controlado à tensão Filtro passa-baixa Discriminador de freqüência Onda FM estabilizada em freqüência Mixer Oscilador à cristal Figura 4.19 Problema 4.15

4.16 Considere o esquema de demodulação de freqüência mostrado na Fig. 4.20 no qual a onda FM

s(t) de entrada é passado em uma linha de atraso que produz um deslocamento de fase de –π/2

radianos na portadora com freqüência fc. A saída da linha de atraso é subtraída de s(t) e a onda

composta resultante é, então, passada em um detector de envelope. Esta demodulação possui apli- cação na demodulação de ondas FM com freqüências na faixa de microondas. Assumindo que

analise a operação deste demodulador quando o índice de modulação β é menor do que a uni- dade e o atraso T produzido pela linha de atraso é suficientemente pequeno para justificar as aproximações:

Linha de atraso Detector de envelope Onda FM s(t) Sinal de saída – + Σ Figura 4.20 Problema 4.16.

4.17 Considere o seguinte par de sinais modulantes:

no qual as e bs são parâmetros constantes.

O sinal 1 é aplicado a um modulador de freqüência, enquanto o sinal 2 é aplicado a um modulador de fase. Determine as condições para as quais as saídas destes dois moduladores de ângulo são exatamente os mesmos.

4.18 Neste problema, iremos trabalhar nas especificações de um receptor FM super heterodino lista- do na Tabela 3.2. Em particular, dadas aquelas especificações, faça o seguinte:

(a) Determine a faixa de freqüências fornecidas pelo oscilador local do receptor para acomodar a faixa de portadora RF de 88-108 MHz.

(b) Determine a faixa correspondente de imagens de freqüência. Problemas avançados

4.19 A freqüência instantânea de uma onda senoidal é igual a fc + Δf para |t| < T/2 e fc para |t| > T/2.

Determine o espectro desta onda modulada em freqüência. Dica: Divida o intervalo de tempo de interesse em três regiões não sobrepostas:

4.20 A Fig. 4.21 mostra um diagrama em blocos de um analisador espectral de tempo real trabalhan- do com o princípio de modulação em freqüência. O sinal g(t) e o sinal modulado em freqüência

s(t) são aplicados ao multiplicador e a saída g(t)s(t) passa por um filtro com resposta h(t) ao im-

pulso. s(t) e h(t) são sinais FM lineares cujas freqüências instantâneas variam em taxas opostas, como mostrado por

e

na qual k é uma constante. Mostre que o envelope da saída do filtro é proporcional ao es- pectro de amplitude do sinal de entrada g(t) com o termo em produto kt possuindo o papel de freqüência f. Dica: Utilize a notação complexa descrita na Seção 3.8 para a transmissão passa-faixa. Filtro: resposta h(t) ao impulso Saída g(t) s(t) Figura 4.21 Problema 4.20.

4.21 Considere a onda modulada

na qual a(t) é uma função envelope que varia lentamente, fc é a freqüência da portadora, kf é a

sensibilidade de freqüência e m(t) é o sinal de mensagem. A onda modulada s(t) é processada por um limitador passa-faixa, o qual é constituído por um limitador seguido por um filtro passa- faixa. A função do limitador passa-faixa é remover flutuações de amplitude devido a a(t). Espe- cifique os parâmetros para o componente do filtro passa-faixa de forma a produzir a onda FM

na qual A é uma amplitude constante.

4.22 A análise de distorção produzida em uma onda FM aplicada a um canal de comunicação linear é de importante interesse prático. Neste problema, iremos explorar a análise para o caso especial de uma onda FM de faixa larga produzida por uma onda modulante senoidal. Seja H(f) a função de transferência do canal. Começando da Eq. (4.15):

(a) Obtenha a expressão para o sinal modulado produzido na saída do canal.

(b) Utilizando a expressão obtida na parte (a), discuta a distorção produzida pelo canal. 4.23 Na Seção 4.1, mostramos que o ângulo instantâneo θi(t) em ondas moduladas em ângulo pode

ser variado de acordo com o sinal de mensagem m(t) de infinitas formas. O tratamento da mo- dulação em ângulo apresentado neste capítulo focalizou na modulação em fase e modulação em freqüência como dois importantes candidatos. O propósito deste problema é explorar outros métodos de produzir ondas moduladas em ângulo.

(a) Para esta exploração, considere derivadas e integrais do sinal de mensagem m(t) como pos- síveis funções responsáveis pelo processo de modulação.

(b) Existiriam benefícios práticos nestes novos métodos de modulação em ângulo? Elabore sua resposta.

4.24 Neste problema, iremos explorar como o uso de FM pode superar distorção não linear. Consi- dere um canal sem memória caracterizado pela seguinte relação não linear de entrada/saída:

na qual vi(t) é a entrada e vo(t) é a saída; a1, a2 e a3 são coeficientes constantes. A entrada é defi-

nida pelo sinal modulado em freqüência

a largura de faixa da mensagem é definida por W, e o desvio de freqüência do sinal FM é Δf. (a) Calcule a saída vo(t).

(b) Utilizando a regra de Carson generalizada, mostre que se a freqüência da portadora satisfi- zer a condição

então o efeito da distorção não linear pode ser removido pela filtragem passa-faixa. (c) Especifique a freqüência de meia faixa e a largura de faixa do filtro da parte (b).

4.25 Considere um PLL de segunda ordem utilizando um filtro de malha com função de transferência

na qual a é um parâmetro do filtro.

mostre que a transformada de Fourier resultante do erro de fase φe(t) é descrita por

na qual fn é a freqüência natural da malha e

é o fator de amortecimento.

(b) Logo, justifique as afirmativas de que pela escolha apropriada dos parâmetros fn e ζ é possí-