A resolução de problemas no contexto do ensino

Começamos com o modelo clássico e bem conhecido desenvolvido por Polya (1965) e que consiste de quatro:

Quadro 4: Etapas de resolução de problemas

Primeira etapa Compreender o problema

É necessário compreender o problema (ver claramente o que se pede)

- Qual é a incógnita? Quais são os dados? Quais são as condições?

- Encontrar a relação entre os dados e as incógnitas.

Segunda etapa Estabelecimento de um plano Traçar um plano (captar as

relações entre os elementos do problema para encontrar as chaves da solução)

- Este problema é parecido a outros que já conhecemos? - Pode-se formular o problema de outra forma?

- Imaginar um problema parecido, porém mais simples. - Ao supor que o problema já está resolvido; como se

relaciona à situação de chegada com a de partida? - Utilizam-se todos os dados quando se faz o plano?

Terceira etapa Execução do plano

Executar o plano idealizado - Ao executar o plano deve-se comprovar cada um dos passos.

- Pode-se ver claramente que cada passo é correto?

- Antes de fazer algo se deve pensar: que se consegue com isto?

Quarta etapa Examinar a solução obtida

Voltar atrás (revisar e comprovar a solução encontrada)

- Ler de novo o enunciado e comprovar que o que se pede é o que se averiguou.

- Devemos nos fixar na solução. Parece logicamente possível?

- Pode-se comprovar a solução?

- Há algum outro modo de resolver o problema? - Pode-se encontrar alguma outra solução?

- Deve-se utilizar o resultado obtido e o processo seguido para formular novos problemas.

Fonte: Polya (1965)

Essas etapas caracterizam claramente o resolutor ideal. Cada uma é acompanhada de uma série de perguntas, cuja intenção é atuar como guia para a ação. Os trabalhos de Polya (1965) podem ser considerados como um intento de descrever a maneira de atuar de um resolutor ideal.

Schoenfeld (1985), outro autor convergente com as idéias de Polya, propõe um marco com quatro componentes que servem para a análise da complexidade do comportamento na resolução de problemas.

1. Recursos cognitivos - Conjunto de fatos e procedimentos à disposição do resolutor. 2. Controle - Aquele que permite um uso eficiente dos recursos disponíveis.

trabalhar com ela.

4. Heurísticas - Regras para progressão em situações dificultosas.

Cada um desses componentes explica as carências, o pouco êxito na RP dos seus resolutores. Schoenfeld, observando estudantes resolvendo problemas, constatou que ainda que os estudantes tenham recursos, conheçam as heurísticas para resolver problemas, são incapazes de aplicá-las/utilizá-las com êxito se desconhecerem suas capacidades para regular/controlar seus pensamentos, indicando com isso, ausência de um bom controle ou uma boa gestão dos recursos disponíveis. Também observa que o conhecimento de como utilizar as heurísticas e ter um bom controle podem não ser suficientes para resolver um problema, se este lhe exige um algoritmo ou procedimento específico, por exemplo, do domínio matemático que ele desconhece, faltando-lhe recursos cognitivos para seguir adiante. Por outro lado, a maior parte das vezes se carece de heurísticas para resolver um problema, pois embora se disponha de conhecimentos específicos do tema e de um bom controle, a falha está no conhecimento de regras para superar as dificuldades na tarefa. Nesses estudos ainda se observa que um bom controle pode levar ao êxito em uma dada solução, ainda que tenham poucos recursos. (Schoenfeld, 1985 apud Gusmão, 2006)

Pode ser também que todo o anterior esteja presente na mente do resolutor, mas suas crenças do que é resolver problemas em matemáticas ou da própria concepção sobre a matemática faça que não progrida na resolução. A explicação para esta falha é contemplada por Schoenfeld no quarto elemento, as crenças.

Em se tratando especificamente das heurísticas, tem que estas são as operações mentais tipicamente úteis na RP, são como regras ou modos de comportamentos que favorecem o êxito no processo de resolução, sugestões gerais que ajudam ao indivíduo ou ao grupo a compreender melhor o problema e a fazer progressos para sua solução.

Existe uma ampla, possivelmente incompleta, lista de heurísticas. Entre as mais importantes, caberia citar: Buscar um problema relacionado; Resolver um problema similar mais simples; Dividir o problema em partes; Considerar um caso particular; Fazer uma tabela; Buscar regularidades; Começar o problema desde o fim; Variar as condições do problema.

Para Fernández (1992), as heurísticas mais frequentes que se costumam utilizar na RP, dentro de um contexto de ensino de matemática são: Ensaio-erro; Começar pelo fácil, resolver um problema semelhante mais simples; Manipular e experimentar manualmente; Decompor o

problema em pequenos problemas (simplificar); Resolver problemas análogos (analogia); Fazer esquemas, tabelas, recontagem (contagem); Analisar os casos limite; Reformular o problema; Supor que não (redução ao absurdo); Começar pelo final (dar o problema por resolvido).

No processo de resolução, Schoenfeld (1985) mostrou que tão importante como as heurísticas é o controle do processo, através de decisões executivas, cuja característica mais importante é que tem consequências globais para a evolução do processo.

As decisões executivas determinam a eficiência dos conhecimentos e dos recursos. São decisões executivas: Fazer um plano; Selecionar objetivos centrais e específicos; Buscar os recursos conceituais e heurísticos que parecem adequados para o problema; Avaliar o processo de resolução à medida que evoluem; Revisar ou abandonar planos quando sua avaliação indicar.

Miguel de Guzmán (1991), partindo das idéias de Polya (1965), Mason (1988) e Schoenfeld (1985), elaborou um modelo que inclui tanto as decisões executivas, as de controle, como as de heurísticas. A finalidade de tal modelo é que o resolutor examine e remodele seus próprios métodos de pensamento de forma sistemática, a fim de eliminar obstáculos e de se chegar a estabelecer hábitos mentais eficazes, é o mesmo que Polya denominou de pensamento produtivo. A saber:

1. Familiarizar-se com o problema: entender a fundo a situação; resolvê-la com calma, serenidade etc.

2. Busca de estratégias: Começar pelo mais fácil, fazer um esquema, uma figura, um diagrama, escolher uma linguagem adequada, buscar um problema semelhante etc. 3. Levar adiante sua estratégia: Seleciona e leva adiante as melhores ideias que pensou,

atuando com flexibilidade etc.

4. Revisar o processo e perceber as consequências dele: Examina a fundo o caminho que seguiu, trata de entender não só que a coisa funciona, senão, porque funciona etc. Ainda dentro do contexto da RP, Perales (2000), nos apresenta alguns fatores com suas respectivas dificuldades.

a) O enunciado: Em todo esse contexto de RP ainda vale a pena ressaltar que a natureza do enunciado de qualquer problema responde a uma estrutura sintática, isto é, elaborada seguindo uns padrões de relação entre os elementos gramaticais, próprios da língua, uma estrutura semântica que permita a este ser compreensível; e uma estrutura

funcional própria do campo de conhecimento ao que corresponde ao problema em questão. Assim, para resolver um problema, não basta compreender o seu enunciado, há outros elementos importantes. (Perales, 2000, p.301).

b) Contexto da resolução: Esta parte reúne um conjunto heterogêneo de variáveis, a saber: a) interação do aluno com materiais reais, o que aproximaria esta tarefa à realização de trabalhos práticos; b) dispor livremente de material de consulta, usado, por exemplo, para resolver tarefas em casa, mas não normalmente nas sessões de avaliação; c) dispor ou não do algoritmo para resolver um problema pode constituir em um fator determinante na informação fornecida ao sujeito para lhe ajudar na tomada de decisões; d) limitação do tempo de resolução, por exemplo, num contexto de avaliação, pode ser uma variável geradora de ansiedades; a variável individual/grupal durante o processo de resolver um problema.

c) Resolutor: Nesta parte, Perales se refere ao agente ativo do processo. Este necessita dispor de umas ferramentas cognitivas, as quais poderiam se agrupar em torno do seu conhecimento teórico, suas habilidades e destrezas, assim como certa predisposição (atitude) à tarefa, como afirma o autor. A elas se acrescentam outras de distinta natureza, tais como, as relativas ao caráter, a idade, ao sexo. No tocante ao fator conhecimento teórico, este autor enfatiza a necessidade de que o resolutor possua um domínio dos conhecimentos teóricos para resolver problemas de um modo eficiente; e com respeito ao conhecimento procedimental, é o saber fazer frente ao saber característico do conhecimento teórico, isto é, o domínio por parte dos indivíduos de determinadas habilidades cognitivas e sua possível influência na RP. Este conhecimento vai desde uma pormenorização de habilidades particulares a construtos que tratam de modelar o funcionamento cognitivo dos sujeitos ou determinadas propriedades singulares do pensamento.

1.5. TEORIA DAS SITUAÇÕES DIDÁTICAS

A forma como os indivíduos aprendem tem sido objeto de estudo por parte de importantes pessoas ligadas à área educacional, como é o caso de Guy Brousseau (1986), considerado um

pioneiro da Didática da Matemática. Brousseau desenvolveu a Teoria das Situações Didáticas (TSD) que se baseia no princípio de que cada conhecimento ou saber pode ser determinado por uma situação.

Professor e pesquisador do Instituto de Investigação do Ensino de Matemática de Bourdeaux (IREM), Brousseau propõe o estudo das condições que engendram a constituição dos conhecimentos, bem como o acompanhamento dessas condições a fim de reproduzir e otimizar os processos de aquisição do conhecimento (Gálvez, 1996).

É preocupação de Brousseau compreender as relações existentes entre alunos, professores e o meio onde acontece o aprendizado. Considerada uma teoria de ensino, a TSD busca as condições para uma gênese artificial dos conhecimentos matemáticos, sob a hipótese de que os mesmos não se constroem de maneira espontânea, e está sustentada em uma concepção construtivista - no sentido piagetiano - da aprendizagem. Assim, também na visão desse teórico, todo conhecimento se constrói por interação constante entre o sujeito e o meio que é fator de contradições, de dificuldades, de desequilíbrios etc., este saber, fruto da adaptação do aluno, se manifesta por respostas novas que são prova da sua aprendizagem. A TSD se distingue de outras teorias construtivistas pelo seu modo de enfrentar a relação aluno-saber (Godino, 1999).

Da TSD apresentamos uma síntese de seus conceitos e termos básicos e alguns que estão relacionados ou que se aproximam da Teoria de Jogos. Assim, nos aproximaremos ao significado de conceitos chaves como: situação didática, situação adidática, contrato didático e os tipos de situações didáticas, estas últimas, vinculadas mais intimamente com a resolução de problemas.