A teoria de Jeffrey

independentes dos atos. Por exemplo, suponha que uma pessoa gosta de fumar e  está tentando decidir se quer parar ou não. Quanto tempo ela viverá está entre as  contingências que afetam a desejabilidade de fumar. Seria natural dividir o conjunto  de estados de acordo com o tempo de vida da pessoa. Mas então é óbvio que as  opções  que  ela  está  considerando  poderiam,  e  sem  dúvida  deveriam,  afetar  a  probabilidade de ela encontrar cada estado do mundo, pois é bem reconhecido que  a  expectativa  de  vida  é  reduzida  pelo cigarro.  Savage,  portanto,  exigiria  uma  representação alternativa do problema de decisão – os estados não se referem  diretamente à expectativa de vida, mas sim à propensão fisiológica do agente para  reagir de uma certa forma ao fumo.

Talvez haja sempre uma maneira de se chegar a modelos de decisão tais  que os atos sejam intuitiva e probabilisticamente independentes dos estados. Mas  aí reside o problema mais sério. Lembremos que Savage estava tentando formular  uma maneira de determinar as crenças de um agente racional a partir de suas  preferências sobre os atos, de tal modo que as crenças possam ser representadas  por uma função de probabilidade. Se estamos interessados em decisões do mundo  real, então os atos em questão devem ser opções reconhecíveis para o agente (o  que já vimos ser questionável). Além disso, agora vemos que uma das restrições  de racionalidade de Savage sobre preferências – o Princípio da Coisa Segura – só  é plausível se os atos modelados forem probabilisticamente independentes dos  estados. Em outras palavras, essa independência deve ser embutida no modelo  de decisão se for para facilitar medidas apropriadas de crença e desejo. Mas isto  é para assumir que já temos informações importantes sobre as crenças do agente  cujas  atitudes  estamos  tentando  representar;  isto  é,  que  estado­partições  ela  considera probabilisticamente independentes de seus atos.

Os problemas acima sugerem que existe a necessidade de uma teoria  alternativa de escolha sob incerteza. A teoria de Richard Jeffrey, que será discutida  a seguir, evita todos os problemas que têm sido discutidos até agora. Mas, como  veremos, a teoria de Jeffrey tem problemas bem conhecidos, embora não sejam  problemas intransponíveis.

16 Levi (1991), por exemplo, critica a teoria de Jeffrey por envolver probabilidades sobre  atos  que  ele  afirma  que  não  podem  ser  sensatamente  interpretados.  Joyce  (2002)  e  Rabinowicz (2002) argumentam, no entanto, que tais probabilidades são significativas e  muitas vezes necessárias para a deliberação. Levi (1991), por exemplo, critica a teoria de  Jeffrey  por  envolver  probabilidades  sobre  atos,  que  ele  afirma  que  não  podem  ser  sensatamente interpretados. Joyce (2002) e Rabinowicz (2002) argumentam, no entanto,  que tais probabilidades são significativas e muitas vezes necessárias para a deliberação.

das restrições de racionalidade nas preferências sobre os prospectos. A vantagem  distinta da teoria de Jeffrey é que problemas de decisão no mundo real podem ser  modelados exatamente como o agente os percebe; a plausibilidade das restrições  de racionalidade nas preferências não depende de problemas de decisão serem  modelados de uma determinada forma (e pode­se acrescentar questionamentos). 

Primeiramente, descrevemos os prospectos ou a configuração da decisão e a regra  de utilidade esperada resultante, antes de nos voltarmos às restrições de racionalidade  pertinentes às preferências e ao teorema correspondente.

Ao contrário de Savage, Jeffrey não faz distinção entre os objetos de desejo  instrumental e não instrumental (atos e resultados, respectivamente) e os objetos  de crença (estados do mundo). Ao contrário, Jeffrey assume que as proposições  que descrevem os estados de coisas são objetos tanto de desejo quanto de crença. 

À primeira vista, isto não parece objetável: assim como podemos ter visões sobre  se de fato vai chover, também podemos ter visões sobre como isso seria desejável. 

A parte desconfortável desse arranjo é que atos também são apenas proposições  – são estados de coisas comuns sobre os quais um agente tem crenças e desejos. 

Assim como a pessoa tem uma ordenação de preferência sobre, digamos, possíveis  cenários meteorológicos para o fim de semana, ela tem uma ordenação de preferência  sobre os possíveis atos que ela pode realizar, e em nenhum dos casos o estado  de coisas mais preferido é necessariamente o mais provável de ser verdade. Em  outras palavras, a única coisa que define os atos como especiais é o seu conteúdo  substantivo – estas são as proposições de que o agente tem o poder de escolher/

tornar verdade na situação em questão. É como se o agente avaliasse suas próprias  opções de atuação a partir de uma perspectiva da terceira pessoa. Se se sustenta  que um modelo de decisão deve representar de forma convincente a perspectiva  subjetiva do agente em questão, então este é um ponto fraco da teoria de Jeffrey  – embora possa ser um ponto sem consequências relevantes¹⁶ .

Antes de prosseguir, uma palavra sobre proposições pode ser útil: elas  são objetos abstratos que podem ser verdadeiros ou falsos, e são comumente  identificados com conjuntos de mundos possíveis. Um mundo possível pode ser  pensado como uma representação abstrata de como as coisas são ou poderiam  ser (STALNAKER, 1987). Consulte, também, o verbete Mundos Possíveis, da  SEP. A proposição de que “chove no tempo t”, por exemplo, é apenas o conjunto  de todos os mundos onde chove no tempo t. E esta proposição é verdadeira se, e  somente se, o mundo real é um membro do conjunto de todos os mundos onde  chove no tempo t. No contexto da teoria da decisão, os mundos pertinentes são os  epistemicamente possíveis, dado o ponto de vista do agente.

O resultado básico da teoria de Jeffrey é que a desejabilidade de uma  proposição, incluindo uma representando atos, depende tanto da desejabilidade  das  diferentes  maneiras  em  que  a  proposição  pode  ser  verdadeira,  quanto  da  probabilidade relativa de que ela seja verdadeira dessas respectivas maneiras. Para  dizer isto mais precisamente, p, q, etc., denotarão variáveis proposicionais. Seja  {p₁,p₂,...,p_n } uma entre muitas partições finitas da proposição p; ou seja, conjuntos  de maneiras nas quais a proposição p pode ser realizada que são mutuamente  incompatíveis, mas conjuntamente exaustivas. Por exemplo, se p é a proposição 

“está chovendo”, então poderíamos particionar essa proposição muito grosseiramente  de acordo com se vamos à praia ou não, mas também poderíamos particionar p  muito mais precisamente – por exemplo, de acordo com a quantidade precisa de  chuvas em milímetros por hora. A desejabilidade de p, segundo Jeffrey, denotada  Des (p), é dada por:

Equação de Jeffrey:

Des (p) = ∑_i Des (p_i) ∙ P (p_i ∣ p ) 

Esta é de fato uma fórmula de utilidade esperada condicional para avaliar  p.  Como  observado,  um  caso  especial  é  quando  o  conteúdo  de  p é  tal  que  é  reconhecidamente algo que o agente pode escolher tornar verdadeiro, ou seja, um ato.

Uma diferença importante entre a fórmula de desejabilidade de Jeffrey e  a fórmula de utilidade esperada de Savage é que na de Jeffrey não há distinção  feita entre desejabilidade e desejabilidade "esperada", ao contrário do que deve ser  feito na teoria de Savage, onde há uma distinção clara entre utilidade, que mede  os desejos fundamentais de um agente em relação aos últimos resultados, e a  utilidade esperada, que mede as preferências de um agente sobre prospectos ou 

atos incertos. Essa desanalogia se deve ao fato de que não há nenhum sentido no  qual as proposições do tipo “p_i”, nos termos dos quais a variável p é avaliada,  necessariamente precise referir os últimos resultados; elas próprias podem ser  consideradas  como  prospectos  incertos  que  são  avaliados  em  termos  de  suas  diferentes realizações possíveis.

Outra coisa importante a se notar sobre a maneira de Jeffrey calcular a  desejabilidade é que ela não assume independência probabilística entre a alternativa  que está sendo avaliada, p, e as formas possíveis, as “p_i”, em que a alternativa  pode ser realizada. De fato, a probabilidade de cada p_i é explicitamente condicional  em relação ao p em questão. Quando se trata de avaliar atos, isto quer dizer (na  terminologia de Savage) que as probabilidades para os possíveis pares de estados  para o ato são condicionadas ao ato em questão. Assim, vemos por que a pessoa  pode descrever seu problema de decisão exatamente como ela o vê; não há nenhuma  exigência de que ela identifique um conjunto de estados (no caso de Jeffrey, esta  seria uma partição do espaço proposicional que é ortogonal à partição do ato) de  forma  que  os  estados  sejam  adequadamente refinados e  probabilisticamente  independentes dos atos.

Além disso, deve ser evidente, dada a discussão do Princípio da Coisa  Segura (PCS) na Seção 3.1, que a teoria de Jeffrey não tem esse axioma. Como  os estados podem ser probabilisticamente dependentes de atos, um agente pode  ser representado como maximizando o valor da função de desejabilidade de Jeffrey  e ao mesmo tempo violando o PCS. Além disso, ao contrário de Savage, o teorema  da representação de Jeffrey não depende de nada como a Assunção de Campo  Retangular. O agente não é obrigado a ter preferências sobre atos ou proposições  artificialmente construídas que se revelem sem sentido, dada a interpretação de  estados e resultados particulares. Na verdade, apenas aquelas proposições que o  agente considera possíveis (no sentido de que lhes atribui uma probabilidade maior  que zero) estão, segundo a teoria de Jeffrey, incluídas em sua ordenação de preferências.

Claro que ainda precisamos de certos pressupostos estruturais para provar  um teorema de representação para a teoria de Jeffrey. Em particular, o conjunto Ω,  sobre o qual se define a ordenação de preferências ⪯, tem de ser uma álgebra  booleana  sem  átomos  de  proposições,  da  qual  foram  retiradas  as  proposições  impossíveis, denotada por ⊥. Uma álgebra booleana é apenas um conjunto de, por  exemplo, proposições ou sentenças que é fechado sob os clássicos operadores  lógicos (incluindo a negação). Uma álgebra é sem átomo, caso todos os seus  elementos possam ser divididos em elementos mais granulares. A suposição de 

17 N.T.: “U” aqui refere a operação de “união de conjuntos”, equivalendo, pois, ao conectivo  lógico “ou” ­ como o autor deixa claro a seguir; Jeffrey (1963) usa o sinal “V” no lugar.

que Ω é sem átomo é, portanto, semelhante à P6 de Savage, e lhe pode ser dada  uma justificação semelhante: qualquer forma p_i na qual p pode ser verdadeiro pode  ser dividida em duas outras proposições de acordo com o resultado de um “cara ou coroa”.

Então, em que condições uma relação de preferência ⪯ no conjunto Ω  pode  ser  representada  como  maximizadora  da  desejabilidade?  Algumas  das  condições exigidas de preferência devem ser familiares agora e não serão discutidas  mais. Em particular, ⪯ tem que ser transitiva, completa e contínua (lembre­se de  nossa discussão na Seção 2.3 do axioma de preferência de continuidade de vNM).

As próximas duas condições, no entanto, não são explicitamente parte dos  dois teoremas de representação que foram considerados até agora:

Média

Se p,q ∈ Ω são mutuamente incompatíveis, então p ⪯ q ⇔ p ⪯ (p∪ q) ⪯ q¹⁷ 

Imparcialidade

Suponha que p, q ∈ Ω sejam mutuamente incompatíveis  e p ∼ q. Então, se (p ∪ r) ∼ (q ∪ r) para algum r que  é mutuamente incompatível com ambos p e q, e tal  que ¬ ( r ∼ p ), então p ∪ r ∼ q ∪ r é verdadeiro para  cada r.

A condição Média é a condição de racionalidade distintiva na teoria de  Jeffrey. Na verdade, ela pode ser vista como uma versão fraca da Independência  e do Princípio da Coisa Segura, tendo um papel semelhante na teoria de Jeffrey. 

Mas não é diretamente incompatível com as preferências de Allais, e sua plausibilidade  não depende do tipo de independência probabilística que o PCS implica. O postulado  exige que nenhuma proposta seja estritamente melhor ou pior do que todas as suas  possíveis realizações, o que parece ser um requisito razoável. Quando p e q são  mutuamente incompatíveis, p ∪ q implica que p ou q é verdade, mas não ambas. 

Portanto, parece razoável que p ∪ q deve não ser nem mais nem menos desejável  que p e q. Suponha que ou p ou q é mais desejável que o outro. Então, como p ∪ 

18 A prova de Bolker é bastante complicada e parece não existir nenhuma introdução para estudantes.

q é compatível com a verdade do mais ou do menos desejável dos dois, a desejabilidade  de p ∪ q deve estar estritamente entre a de p e a de q. Entretanto, se p e q são  igualmente desejáveis, então p ∪ q deve ser tão desejável quanto cada uma das duas.

O apelo intuitivo da Imparcialidade, que desempenha na teoria de Jeffrey  um papel semelhante ao de P4 na de Savage, não é tão grande quanto o da Média. 

O próprio Jeffrey admitiu o mesmo em seu comentário: “O axioma está lá porque  precisamos  dele,  e  se  justifica  por  nossa  crença  anterior  na  plausibilidade  do  resultado que pretendemos deduzir dele” (JEFFREY, 1965, p. 147).

No entanto, parece que se pode argumentar que qualquer pessoa razoável  irá satisfazer este axioma. Suponha que você fique indiferente entre duas proposições,  p e q, que não podem ser simultaneamente verdadeiras. E suponha agora que  encontramos uma proposição r, que é incompatível com ambos p e q, e que você  acha mais desejável do que ambos p e q. Então, se se verificar que você é indiferente  entre “p em conjunto com r” e “q em conjunto com r”, isso deve ser porque você  acha p e q igualmente prováveis. Caso contrário, você preferiria a conjunção contendo  aquele entre p e q que você acha menos provável, já que isso lhe dá uma chance  maior da proposta mais desejável r. Segue­se que, para qualquer outra proposição  s que satisfaça as condições r acima mencionadas, você também deve ficar indiferente  entre p ∪ s e q ∪ s, já que, novamente, as duas conjunções são igualmente prováveis  de resultar em s.

A primeira pessoa a provar um teorema afirmando condições suficientes  para que uma relação de preferência fosse representativa como maximização do  valor de uma função de desejabilidade de Jeffrey não foi na verdade o próprio  Jeffrey, mas o matemático Ethan Bolker (1966, 1967). Ele provou o seguinte resultado  (lembre­se da definição de “medida de desejabilidade” dada acima)¹⁸ :

Teorema 4 (Bolker)

Seja Ω uma álgebra de proposições booleana completa  e sem átomos, e ⪯ uma relação contínua, transitiva  e completa em Ω ∖⊥, que satisfaça a Média e a  Imparcialidade.  Então  há  uma  medida  de 

19 Isso realmente decorre do fato de que as preferências não determinam uma única função  de  probabilidade,  dado  que  o  domínio  da  função  de  probabilidade  é  infinito  (esse  último  ponto  decorre  da  ausência  de  atomização  de  Ω).  Pois  se  P  e  Q  são  funções  de  probabilidade em um domínio infinito que concordam com a ordem de todas as proposições  em seu domínio, P e Q são a mesma função de probabilidade (VILLEGAS, 1964).

desejabilidade em Ω ∖⊥ e uma medida de probabilidade  em Ω em relação à qual ⪯ pode ser representada  como maximizando a desejabilidade.

Infelizmente, o teorema da representação de Bolker não produz um resultado  nem de perto tão único quanto o de Savage. Isto é, mesmo que as preferências de  uma pessoa satisfaçam todas as condições do teorema de Bolker, não é garantido  que haverá apenas uma função de probabilidade que represente suas crenças,  nem que a função de desejabilidade que representa seus desejos será única até  uma transformação linear positiva. Pior ainda, a mesma ordenação de preferências  que satisfaz todos esses axiomas poderia ser representada como maximizando a  desejabilidade  em  relação  a  duas  funções  de  probabilidade  que  nem  sequer  concordam em como ordenar as propostas de acordo com sua probabilidade¹⁹ .

Para aqueles que pensam que a única maneira de determinar as crenças  comparativas de uma pessoa é olhar para suas preferências, a falta de singularidade  na teoria de Jeffrey é um grande problema. Na verdade, esta pode ser uma das  principais razões pelas quais os economistas ignoraram em grande parte a teoria  de Jeffrey. Os economistas têm sido tradicionalmente céticos em relação a qualquer  conversa sobre os desejos e crenças de uma pessoa que vá além do que pode ser  estabelecido pelo exame das preferências da pessoa, que eles consideram ser a  única atitude que é revelada diretamente pelo comportamento de uma pessoa. Para  esses economistas, portanto, não é uma notícia bem­vinda não podermos, em  princípio, determinar as crenças comparativas de uma pessoa racional através do  exame das suas preferências.

Aqueles que estão menos inclinados ao behaviorismo podem, no entanto,  não achar essa falta de singularidade no teorema de Bolker como um problema. 

James Joyce (1999), por exemplo, acha que a teoria de Jeffrey acerta exatamente  nesse sentido, já que não se deve esperar que condições razoáveis impostas às  preferências de uma pessoa sejam suficientes para determinar uma função de 

probabilidade única que represente as crenças da pessoa. Só impondo condições  excessivamente fortes, como faz Savage, é que podemos conseguir isso. Entretanto,  se  a  singularidade  é  o  que  procuramos,  então  podemos,  como  Joyce  aponta,  complementar os axiomas Bolker­Jeffrey com certas condições na relação de crença  comparativa do agente que garantem que ela dê origem a uma e apenas uma função  de probabilidade, como, por exemplo, as condições de crença comparativa propostas  em Villegas (1964). Feito isso, podemos mostrar que qualquer função que represente  os desejos do agente será única até uma transformação linear positiva.

Ao invés de acrescentar postulados específicos de crenças à teoria de  Jeffrey, como Joyce sugere, pode­se obter o mesmo resultado de singularidade  enriquecendo  o  conjunto  de  prospectos.  Richard  Bradley  (1998),  por  exemplo,  mostrou que se a álgebra booleana na teoria de Jeffrey for estendida aos condicionais  indicativos, então uma relação de preferência no domínio estendido que satisfaça  os  axiomas  Bolker­Jeffrey  (e  alguns  axiomas  relacionados  que  se  aplicam  especificamente  aos  condicionais)  será  representável  como  maximizando  a  desejabilidade, onde a função de probabilidade e a função de desejabilidade são  únicas até uma transformação linear positiva.