A teoria de Savage

A teoria da decisão de Leonard Savage, como apresentada em seu (1954)  The Foundations of Statistics, é sem dúvida a mais conhecida teoria normativa de  escolha sob incerteza; em particular dentro da economia e das ciências da decisão. 

No livro, Savage apresenta um conjunto de axiomas que restringem as preferências  sobre um conjunto de opções, garantindo a existência de um par de funções de  probabilidade e utilidade em relação ao qual as preferências podem ser representadas  como maximização da utilidade esperada. Quase três décadas antes da publicação  do livro, Frank P. Ramsey (1926) havia proposto que um conjunto diferente de  axiomas poderia gerar mais ou menos o mesmo resultado. No entanto, a teoria de  Savage tem sido muito mais influente que a de Ramsey, talvez porque Ramsey não  deu uma prova completa de seu resultado, nem forneceu muitos detalhes de como  esta seria (BRADLEY, 2004). O resultado de Savage não será descrito aqui em  todos os seus detalhes. Entretanto, os ingredientes e a estrutura de seu teorema  serão expostos destacando seus pontos fortes e fracos.

As opções ou prospectos na teoria de Savage são semelhantes às loterias,  exceto que os possíveis resultados não vêm com chances objetivas, mas dependem  de se um determinado estado de coisas do mundo é real. De fato, os elementos  primitivos na teoria de Savage são resultados¹⁰  e estados (do mundo). Os primeiros  são os bons ou maus estados de coisas que, em última análise, afetam e importam  para um agente, enquanto os segundos são as características do mundo sobre as  quais o agente não tem controle e que são o locus de sua incerteza sobre o mundo. 

Conjuntos de estados são chamados de eventos. Esta distinção entre resultados e  estados serve para separar claramente desejo e crença: os primeiros são, de acordo  com a teoria de Savage, o alvo do desejo, enquanto os segundos são o alvo da crença.

As opções semelhantes a loterias sobre as quais o agente tem preferências  são um rico conjunto de atos que efetivamente equivalem a todas as possíveis  atribuições de resultados aos estados do mundo. Ou seja, os “atos” são funções  do espaço de estados para o espaço de resultados, e a ordenação de preferências  do agente é considerada como definida sobre todas essas possíveis funções. Alguns  desses “atos” parecerão bastante sensatos: considere o ato que atribui ao evento 

11 Este problema de atos sem sentido é considerado por alguns o principal problema com  o resultado de Savage (vide JOYCE, 1999, p. 108). Levantamos essa questão novamente  abaixo quando discutimos os pontos fracos da teoria de Savage.

"chove" o resultado "passeio molhado e miserável" e atribui ao evento "não chove" 

o resultado "passeio muito confortável". Este é aparentemente o ato de dar um  passeio sem o guarda­chuva. Outros atos de Savage não parecerão tão sensatos,  como o ato constante que atribui ao evento "chove" e "não chove" o mesmo resultado 

"passeio molhado e miserável" (note que os atos constantes proporcionam uma  forma de incluir resultados seguros dentro da ordenação de preferência). O problema  com este ato (e muitos outros) é que ele não corresponde a nada que um agente  poderia, sequer em princípio, optar por fazer ou executar¹¹ . 

A  distinção  de  Savage  entre ato/estado(evento)/resultado  pode  ser  naturalmente representada em forma de tabela, com linhas servindo como atos que  produzem um determinado resultado para cada coluna de estado/evento. A Tabela  2 mostra os dois atos mencionados acima, mais um terceiro com que o tomador de  decisão pode se importar: os atos i) "passear sem guarda­chuva", ii) "passear com  guarda­chuva",  e  iii)  o  bizarro  “ato  constante”.  É  claro  que  o  conjunto  de  atos  necessários para o teorema de Savage envolve ainda mais atos que respondem  por todas as combinações possíveis de estados e resultados.

Tabela 2. Tabela de decisão ao estilo de Savage

Antes de discutir os axiomas de Savage, falemos do resultado a que eles  dão origem. A seguinte notação será utilizada: f, g, etc, são vários atos, ou seja,  funções do conjunto S de estados do mundo no conjunto O de resultados, sendo  o conjunto destas funções F. f(s_i) denota o resultado de f quando o estado s_i∈S é  verdadeiro. A utilidade esperada de f, de acordo com a teoria de Savage, designada  por U(f), é dada pela

12 Para  simplificar,  assumiremos  que  o  conjunto  O  é  finito,  mas  Savage  provou  um  resultado semelhante para um conjunto O infinito.

Equação de Savage U(f) = ∑ _i u(f(s_i)) ⋅ P(s_i)

Savage demonstrou que o resultado pode ser enunciado da seguinte forma¹² : Teorema 3 (Savage).

Seja ⪯ uma relação de preferência fraca em F. Se 

⪯ satisfizer os axiomas de Savage, então o seguinte  se aplica:

● A confiança do agente na atualidade dos estados em  S  pode  ser  representada  por  uma  função  de  probabilidade única (e finitamente aditiva) P;

● a “força” de seus desejos pelos resultados em O pode  ser representada por uma função de utilidade, que  é única até a transformação linear positiva;

● e o par (P, u) dá lugar à função de utilidade esperada,  U,  que  representa  as  suas  preferências  pelas  alternativas em F ou seja, para qualquer f, g ∈ F:

f ⪯ g ⇔ U(f) ≤ U(g)

O resultado acima pode parecer notável; em particular, o fato de que as  preferências de uma pessoa podem determinar uma função de probabilidade única  que representa suas crenças. Em um olhar mais atento, entretanto, é evidente que  algumas de nossas crenças podem ser determinadas pelo exame de nossas preferências. 

Suponha que lhe seja oferecida uma escolha entre duas loterias, uma que resulte em  você ganhar um belo prêmio se uma moeda der cara, mas sem receber nada se a  moeda der coroa, e outra que resulte em você ganhar o mesmo prêmio se a moeda  der coroa, mas não receber nada se a moeda der cara. Então, assumindo que a  desejabilidade do prêmio (e, de modo similar, a de não haver prêmio) é independente  de como a moeda cai, sua preferência entre as duas loterias deve ser inteiramente  determinada por suas crenças comparativas para as duas maneiras como a moeda  pode cair. Por exemplo, se você prefere estritamente a primeira loteria à segunda,  isso sugere que você considera cara mais provável do que coroa.

A observação acima sugere que se podem medir as crenças comparativas  de um agente, e talvez mais, a partir de suas preferências. Savage foi um passo  além disso e definiu crenças comparativas em termos de preferências. Para afirmar  a definição de Savage, seja .≾. uma relação de crença comparativa fraca, definida  sobre o conjunto S de estados do mundo. (.≺. e .∼. são definidos em termos de .≾. 

da forma usual).

Definição 1 (Crença Comparativa).

Suponha que E e F sejam dois eventos (ou seja,  subconjuntos de S). Suponha que X e Y sejam dois  resultados,  e f  e g  dois  atos,  com  as  seguintes  propriedades:

● f(s_i)=X para todo si∈E, mas f(s_i)=Y para todo s_i∉E,

● g(s_i)=X para todo si∈F, mas g(s_i)=Y para todo s_i∉F,

● Y⪯X.

Logo, E .≾. F ⇔ f ⪯ g.

A definição 1 é baseada na simples observação de que geralmente se prefere  associar um bom resultado a um evento mais provável do que a um menos provável. 

Mas  a  ideia  de  que  isso define crenças  comparativas  pode  parecer  questionável. 

Poderíamos, por exemplo, imaginar pessoas que são instrumentalmente irracionais e,  como resultado, deixam de preferir g a f, mesmo quando todas as condições acima se  mantêm e elas acham F mais provável do que E. Além disso, esta definição levanta a  questão de como definir as crenças comparativas daqueles que são indiferentes entre  todos os resultados (ERIKSSON; HÁJEK, 2007). Talvez não existam tais pessoas (e o  axioma de Savage P5 de fato deixa claro que seu resultado não se refere a tais pessoas). 

No entanto, parece que uma definição de crenças comparativas não deve impedir que  tais pessoas, se existirem, tenham crenças comparativas. Savage sugere que esta  definição de crenças comparativas é plausível à luz do seu axioma P4, que será enunciado  a seguir. Em qualquer caso, ocorre que, quando as preferências de uma pessoa satisfazem  os axiomas de Savage, podemos ler a partir de suas preferências uma relação de crença  comparativa que pode ser representada por uma função de probabilidade (única).

Sem mais delongas, vamos enunciar, a seguir, os axiomas de Savage. Estes  são entendidos como restrições à relação de preferência de um agente sobre um conjunto  de atos, tal como descrito acima. O primeiro dos axiomas de Savage é o axioma básico  de ordenação.

P1. (Ordenação)

A relação ⪯ é completa e transitiva.

O próximo axioma lembra o axioma de Independência de vNM. Dizemos  que a alternativa f “concorda com” g se, para qualquer estado no evento E, f e g  produzem o mesmo resultado.

P2. Princípio da Coisa Segura (sure thing principle) Se f, g, e f′, g′ são tais que:

● f concorda com g e f′ concorda com g′ no evento ¬E,

● f concorda com f′ e g concorda com g′ no evento E,

● e f ⪯ g, então f′ ⪯ g′.

A ideia por trás do Princípio da Coisa Segura (PCS) é essencialmente a  mesma que está por trás da Independência: como devemos ser capazes de avaliar  cada  resultado  independentemente  de  outros  resultados  possíveis,  podemos  seguramente ignorar estados do mundo onde dois atos que estamos comparando  produzem o mesmo resultado. Colocar o princípio em forma de tabela pode tornar  isso mais aparente. A configuração envolve quatro atos com a seguinte forma:

A intuição por trás do PCS é que se g é fracamente preferível a f, então  isso deve ser porque a consequência Y é considerada pelo menos tão desejável  quanto X; o que pelo mesmo raciocínio implica que g′ é fracamente preferido a f′.

Savage também exige que a conveniência de um resultado seja independente  do estado em que ele ocorre. Para formalizar esta exigência, Savage introduz a  noção de evento nulo, definido da seguinte forma:

Definição 2 (Evento nulo)

O evento E é nulo para qualquer alternativa f, g ∈  F, f∼g dado que E.

A intuição é que eventos nulos são aqueles eventos que um agente tem  certeza de que não ocorrerão. Se, e somente se, um agente tiver a certeza de que  E não ocorrerá, então ele é indiferente quanto ao resultado, no caso de E, dos atos  diante dele. O seguinte axioma estipula então que saber qual é o estado real não  afeta a ordenação de preferência sobre resultados:

P3. (Neutralidade de estados)

Se f(s_i) = X e g(s_i) = Y sempre que s_i ∈ E e E não é  nulo, então f ⪯ g dado que E apenas no caso de X ⪯ Y.

O próximo axioma é realmente o que torna possível determinar uma relação  de crença comparativa a partir das preferências de um agente. Acima, foi sugerido  que ao pedir para você apostar um prêmio sobre se uma moeda dá cara ou coroa,  pode­se determinar qual desses eventos – seja cara, seja coroa – você acha mais  provável. Mas essa sugestão só é plausível se o tamanho do prêmio não afetar o  seu julgamento sobre a probabilidade relativa desses dois eventos. Essa suposição  é capturada pelos próximos axiomas. Uma vez que o axioma é bastante complicado,  ele será declarado em forma de tabela:

P4. Considere os seguintes atos:

Agora suponha que:

X ′ ⪯ X,  Y ′ ⪯ Y,  f ′ ⪯ f Logo: 

g′ ⪯ g.

Menos formalmente (e enunciado em termos de preferência estrita): se  você prefere apostar o prêmio X em f em vez de f′, você deve considerar E mais  provável que F. Portanto, você deve preferir apostar o prêmio Y em g em vez de g′ 

uma vez que o prêmio em si não afeta a probabilidade dos eventos.

O próximo axioma não é indiscutivelmente um requisito de racionalidade,  mas um dos "axiomas estruturais" de Savage (vide SUPPES. 2002). Um agente  precisa ter alguma variação na preferência para que seja possível ler suas crenças  comparativas  a  partir  de  suas  preferências;  e,  mais  geralmente,  para  que  seja  possível representá­la como maximizando a utilidade esperada. Para isso, o próximo  axioma requer simplesmente que haja algumas alternativas entre as quais o agente  não fique indiferente:

P5.

Há algum f, g ∈ F, tal que f ≺ g.

Quando estes cinco axiomas são satisfeitos, as preferências do agente  dão origem a uma relação de crença comparativa, .≾., que tem a propriedade de  ser uma relação de probabilidade qualitativa que é necessária para se poder  representar .≾. por uma função de probabilidade. Em outras palavras, .≾. satisfaz  as seguintes três condições, para quaisquer eventos E, F e G:

1. .≾. é transitiva e completa,

2. se E∩G = ∅ = F∩G, então E . ≾ . F ⇔ E ∪ G . 

≾ . F ∪ G, 3. ∅.≾.E, ∅.≺.S

Ser uma relação de probabilidade qualitativa não é, entretanto, suficiente  para  garantir  a  possibilidade  de  representação  probabilística  (dados  os  outros 

13 Quando  o  conjunto  de  resultados  é  infinito,  o  agente  precisa  satisfazer  um  axioma  adicional. Mas, para simplificar, assumiremos resultados finitos.

axiomas de Savage). Para garantir esta possibilidade, Savage adicionou o seguinte  axioma estrutural:

P6. (Não­atomicidade)

Suponha f ≺ g. Então, para qualquer X ∈ O, há uma  partição finita {E₁,E₂,…E_m} de S tal que:

● f′(s_i) = X para qualquer s_i ∈ E_j, mas f′(s_i) = f(s_i) para  qualquer s_j ∉ E_i,

● g′(s_i)=X para qualquer s_i ∈ E_j, mas g′(s_i) = g(s_i) para  qualquer s_j ∉ E_j,

● f′≺ g e f ≺ g′.

Assim como o axioma da continuidade de vNM, a não­atomicidade implica  que não importa quão ruim seja um resultado X, se g já é preferível a f, então se  adicionarmos X como um dos resultados possíveis de f – construindo assim uma  nova alternativa f′ – g ainda será preferível à alternativa modificada, desde que a  probabilidade de X seja suficientemente pequena. De fato, a não­atomicidade implica  que S contém eventos de probabilidade arbitrariamente pequena. Não é muito difícil  imaginar como isso poderia ser satisfeito. Por exemplo, qualquer evento F pode  ser particionado em dois sub­eventos equiprováveis, de acordo com o resultado de  um lance de cara ou coroa. Cada sub­evento pode ser dividido de maneira semelhante,  de acordo com o resultado do segundo sorteio da mesma moeda, e assim por  diante, ad infinitum.

Savage mostrou que sempre que estes seis axiomas são satisfeitos, a  relação de crença comparativa pode ser representada por uma função de probabilidade  única. Tendo feito isso, ele poderia contar com o teorema da representação vNM  para  mostrar  que  um  agente  que  satisfaz  todos  os  seis  axiomas¹³   pode  ser  representado como maximizando a utilidade esperada relativamente a uma função  de  probabilidade  única  que  representa  plausivelmente  as  crenças  dos  agentes  sobre os estados de coisas e uma função de utilidade cardinal que representa  plausivelmente os desejos do agente para os resultados (lembre­se da afirmação 

14 omo alguns apontaram (por exemplo, ZYNDA, 2000), a função de probabilidade derivada  sobre estados de coisas e a função de utilidade sobre resultados não precisam representar  as crenças e desejos reais do agente. Talvez o agente tenha preferências sobre atos que  satisfaçam  os  axiomas  de  Savage,  que  são  bastante  desconectados  de  suas  crenças  e  desejos reais. Além disso, o teorema de Savage não exclui que um agente com preferências  que  satisfazem  seus  axiomas  possa  ser  representado  usando  uma  forma  funcional  alternativa  que  melhor  corresponda  à  sua  psicologia  de  tomada  de  decisão.  Essas  são  leituras alternativas do teorema. No entanto, a inferência para a melhor explicação parece  apontar em favor de considerar a representação de utilidade esperada como descobrindo  crenças e desejos determinantes das preferências do agente.

do teorema de Savage acima)¹⁴ . A prova do próprio Savage é bastante complicada,  mas Kreps (1988) fornece uma ilustração útil dela.

Não há dúvida de que o teorema da representação da utilidade esperada,  de Savage, é muito poderoso. Há, no entanto, duas perguntas importantes a serem  feitas sobre se Savage atinge seus objetivos: 1) Savage caracteriza as preferências  racionais, pelo menos no sentido genérico? E (2) o teorema de Savage nos diz  como tomar decisões racionais no mundo real? A teoria de Savage tem problemas  para atender a essas duas demandas consideradas em conjunto. Pode­se arguir  que a fraqueza central da teoria é que suas várias restrições e suposições puxam  em diferentes direções quando se trata de construir modelos de decisão realistas  e, além disso, pelo menos uma restrição (notadamente, o Princípio da Coisa Segura)  só é plausível sob premissas de modelagem de decisão que supostamente são o  resultado, e não o input, da teoria.

Um requisito bem reconhecido de modelagem de decisão para a teoria de  Savage é que os resultados sejam tão específicos quanto possível em todos os  aspectos  importantes  para  sua  avaliação.  Se  não  fosse  assim,  o  axioma  da  Neutralidade de Estado, por exemplo, seria uma restrição de racionalidade muito  implausível. Suponha que estejamos, por exemplo, nos perguntando se vamos  comprar chocolate quente ou limonada para o fim de semana, e suponha que o  quão bom achamos cada opção depende de como estará o clima. Então precisamos  descrever os resultados de forma que eles incluam o estado meteorológico. Pois  se  não  o  fizermos,  a  desejabilidade  dos  resultados  dependerá  de  qual  estado  efetivamente ocorre. Como a limonada é, suponhamos, melhor nos dias quentes  do que nos frios, um resultado como “Eu bebo limonada neste fim de semana” seria 

15 No entanto, um resultado semelhante ao de Savage pode ser obtido sem a Suposição  de Campo Retangular, em particular adicionando alguma estrutura extra ao conjunto de  prospectos. (vide BRADLEY, 2007).

mais ou menos desejável dependendo de sua ocorrência em um dia quente ou frio. 

Isto seria contrário ao axioma da Neutralidade de Estado. Portanto, os resultados  apropriados neste caso são da forma “Eu bebo limonada neste fim de semana com  tempo quente”. É claro que este resultado deve ser dividido em resultados ainda  mais finos, se ainda houver outras características que afetem a escolha em questão,  como compartilhar a bebida com um amigo que ama limonada versus compartilhar  a bebida com um amigo que ama chocolate quente, e assim por diante.

O fato de que os resultados no caso acima devem ser suficientemente  específicos para conter o estado da meteorologia pode parecer bastante inócuo. 

Entretanto, esta exigência exacerba o problema acima mencionado que muitas das  opções/ações que Savage requer para seu teorema de representação são absurdas,  na medida em que o conteúdo semântico dos pares estado/resposta é contraditório. 

Lembre­se que o domínio da ordenação de preferências na teoria de Savage equivale  a toda função desde o conjunto de estados até o conjunto de resultados (o que  Broome (1991a) chama de Assunção de Campo Retangular). Então, se “eu bebo  limonada neste fim de semana em clima quente” é um dos resultados com os quais  estamos trabalhando, e dividimos o conjunto de estados de acordo com o tempo,  então deve haver, por exemplo, um ato que tenha esse resultado num estado em  que  faz  frio!  Quanto  mais  detalhados  os  resultados  (como  requerido  para  a  plausibilidade da Neutralidade do Estado), menos plausível é a Assunção de Campo  Retangular. Esta é uma tensão interna no quadro de Savage. Na verdade, é difícil  ver como ou por que um agente racional pode/deve formar preferências sobre atos  sem sentido (contudo, veja Dreier 1996 para um argumento de que esta não é uma  questão  tão  importante).  Sem  esse pressuposto,  porém,  o  ordenamento  de  preferências  do  agente  não  será  suficientemente  rico  para  as  restrições  de  racionalidade de Savage produzirem o resultado da representação da UE¹⁵ .

O axioma na teoria de Savage que tem recebido mais atenção é o Princípio  da Coisa Segura. Não é difícil ver que este princípio entra em conflito com as  preferências de Allais pela mesma razão por que estas preferências entram em  conflito com a Independência (lembre­se da seção 2.3). O desafio de Allais será  discutido  novamente  mais  tarde.  Por  enquanto,  nossa  preocupação  é  antes  o 

Princípio da Coisa Segura em relação à lógica interna da teoria de Savage. Para  começar,  o  Princípio  da  Coisa  Segura,  assim  como  a  Neutralidade  do  Estado,  exacerba as preocupações com a Assunção de Campo Retangular. Isto porque o  Princípio da Coisa Segura só é plausível se os resultados forem suficientemente  específicos para responder por qualquer tipo de dependência entre os resultados  em diferentes estados do mundo. Por exemplo, se o fato de se poder ter escolhido  uma alternativa sem risco – e assim garantir um resultado aceitável – faz uma  diferença para a conveniência de não receber nada depois de ter assumido um  risco (como no problema de Allais), então isso tem que ser contabilizado na descrição  dos  resultados.  Mas,  novamente,  se  levarmos  em  conta  tais  dependências  na  descrição dos resultados, encontramos o problema de que haverá atos na ordenação  de preferência que não fazem sentido (vide BROOME, 1991a, cap. 5).

Há  um  outro  problema  interno  com  a  teoria  de  Savage  associada  ao  Princípio da Coisa Segura: o princípio só é razoável quando o modelo de decisão  é construído de tal forma que haja independência probabilística entre os atos que  um agente está considerando e os estados do mundo que determinam os resultados  desses atos. Lembramos que o princípio diz que se tivermos quatro opções com a  seguinte forma:

Neste  caso,  se g  é  fracamente preferível a f, g′  deve  ser  fracamente  preferível a f′. Suponha, entretanto, que exista uma dependência probabilística entre  os  estados  do  mundo  e  as  alternativas  que  estamos  considerando,  e  que  nós  achamos que Z é melhor que ambos X e Y, e, também, achamos W melhor que  ambos X e Y. Além disso, suponha que g faz ¬E mais provável do que f o faz, e f′ 

faz ¬E mais provável do que g’ o faz. Então, parece perfeitamente razoável preferir  g a f, mas f′ a g′.

Por que a exigência de independência probabilística é problemática? Para  começar, em muitas circunstâncias de decisão do mundo real, é difícil enquadrar  o modelo de decisão de tal forma que os estados sejam intuitivamente probabilisticamente 

independentes dos atos. Por exemplo, suponha que uma pessoa gosta de fumar e  está tentando decidir se quer parar ou não. Quanto tempo ela viverá está entre as  contingências que afetam a desejabilidade de fumar. Seria natural dividir o conjunto  de estados de acordo com o tempo de vida da pessoa. Mas então é óbvio que as  opções  que  ela  está  considerando  poderiam,  e  sem  dúvida  deveriam,  afetar  a  probabilidade de ela encontrar cada estado do mundo, pois é bem reconhecido que  a  expectativa  de  vida  é  reduzida  pelo cigarro.  Savage,  portanto,  exigiria  uma  representação alternativa do problema de decisão – os estados não se referem  diretamente à expectativa de vida, mas sim à propensão fisiológica do agente para  reagir de uma certa forma ao fumo.

Talvez haja sempre uma maneira de se chegar a modelos de decisão tais  que os atos sejam intuitiva e probabilisticamente independentes dos estados. Mas  aí reside o problema mais sério. Lembremos que Savage estava tentando formular  uma maneira de determinar as crenças de um agente racional a partir de suas  preferências sobre os atos, de tal modo que as crenças possam ser representadas  por uma função de probabilidade. Se estamos interessados em decisões do mundo  real, então os atos em questão devem ser opções reconhecíveis para o agente (o  que já vimos ser questionável). Além disso, agora vemos que uma das restrições  de racionalidade de Savage sobre preferências – o Princípio da Coisa Segura – só  é plausível se os atos modelados forem probabilisticamente independentes dos  estados. Em outras palavras, essa independência deve ser embutida no modelo  de decisão se for para facilitar medidas apropriadas de crença e desejo. Mas isto  é para assumir que já temos informações importantes sobre as crenças do agente  cujas  atitudes  estamos  tentando  representar;  isto  é,  que  estado­partições  ela  considera probabilisticamente independentes de seus atos.

Os problemas acima sugerem que existe a necessidade de uma teoria  alternativa de escolha sob incerteza. A teoria de Richard Jeffrey, que será discutida  a seguir, evita todos os problemas que têm sido discutidos até agora. Mas, como  veremos, a teoria de Jeffrey tem problemas bem conhecidos, embora não sejam  problemas intransponíveis.