AFIRMATIVA NEGATIVA

UNIVERSAL Todo S é P (A) Nenhum S é P (E)

PARTICULAR Algum S é P (I) Algum S não é P (O)

Diagrama de Euler

Para analisar, poderemos usar o diagrama de Euler. - Todo S é P (universal afirmativa – A)

- Nenhum S é P (universal negativa – E)

- Algum S é P (particular afirmativa – I)

Princípios

- Princípio da não-contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente.

- Princípio do Terceiro Excluído: Uma proposição só pode ter dois valores verdades, isto é, é verdadeiro (V) ou falso (F), não

podendo ter outro valor.

a) “O Curso Pré-Fiscal fica em São Paulo” é um proposição verdadeira. b) “O Brasil é um País da América do Sul” é uma proposição verdadeira. c) “A Receita Federal pertence ao poder judiciário”, é uma proposição falsa.

As proposições simples (átomos) combinam-se com outras, ou são modificadas por alguns operadores (conectivos), gerando novas sentenças chamadas de moléculas. Os conectivos serão representados da seguinte forma:

corresponde a “não”

∧ corresponde a “e”

∨_{corresponde a “ou”}

⇒_{corresponde a “então”} ⇔_{corresponde a “se somente se”}

Sendo assim, a partir de uma proposição podemos construir uma outra correspondente com a sua negação; e com duas ou mais, podemos formar:

- Conjunções: a ∧ b (lê-se: a e b) - Disjunções: a ∨ b (lê-se: a ou b)

- Condicionais: a ⇒ b (lê-se: se a então b) - Bicondicionais: a ⇔ b (lê-se: a se somente se b) Exemplo

“Se Cacilda é estudiosa então ela passará no AFRF”

Sejam as proposições: p = “Cacilda é estudiosa” q = “Ela passará no AFRF”

Daí, poderemos representar a sentença da seguinte forma:

Se p então q (ou p ⇒q)

Sentenças Abertas

Existem sentenças que não podem ser classificadas nem como falsas, nem como verdadeiras. São as sentenças chamadas sen- tenças abertas.

Exemplos 1. p(x):x+4=9

A sentença matemática x+4 =9 é aberta, pois existem infinitos números que satisfazem a equação. Obviamente, apenas um deles,

x=5

, tornando a sentença verdadeira. Porém, existem infinitos outros números que podem fazer com que a proposição se torne falsa, como x=−5.

2. q(x):x<3

Dessa maneira, na sentença

x<3

, obtemos infinitos valores que satisfazem à equação. Porém, alguns são verdadeiros, como

2 −

=

Atenção: As proposições ou sentenças lógicas são representadas por letras latinas e podem ser classificadas em abertas ou fechadas. A sentença s(x):2+2=5 é uma sentença fechada, pois a ela se pode atribuir um valor lógico; nesse caso, o valor de

s(x)

é F, pois a sentença é falsa.

A sentença p(x)“Phil Collins é um grande cantor de música pop internacional” é fechada, dado que possui um valor lógico e esse valor é verdadeiro.

Já a sentença e(x)“O sorteio milionário da Mega-Sena” é uma sentença aberta, pois não se sabe o objetivo de falar do sorteio da Mega-Sena, nem se pode atribuir um valor lógico para que

e(x)

seja verdadeiro, ou falso.

Modificadores

A partir de uma proposição, podemos formar outra proposição usando o modificador “não” (~), que será sua negação, a qual possuirá o valor lógico oposto ao da proposição.

Exemplo

p: Jacira tem 3 irmãos. ~p: Jacira não tem 3 irmãos.

É fácil verificar que:

1. Quando uma proposição é verdadeira, sua negação é falsa. 2. Quando uma proposição é falsa, sua negação é verdadeira.

V ou F Sentença: p Negação: ~p V ou F

4∈_N

4∉_N

F 12 é divisível por _zero 12 não é divisível por _zero. V

Para classificar mais facilmente as proposições em falsas ou verdadeiras, utilizam-se as chamadas tabelas-verdade. Para negação, tem-se

p ~p

V F F V

Atenção: A sentença negativa é representada por “~”. A sentença t:

“O time do Paraná resistiu à pressão do São Paulo” possui como negativa de t, ou seja, “~t”, o correspondente a: “O time do Paraná não resistiu à pressão do São Paulo”.

Observação: Alguns matemáticos utilizam o símbolo “¬ O Brasil possui um grande time de futebol”, que pode ser lida como “O Brasil não possui um grande time de futebol”.

Proposições Simples e Compostas

Uma proposição pode ser simples (também denominada atômica) ou composta (também denominada molecular). As proposições simples apresentam apenas uma afirmação. Pode-se considerá-las como frases formadas por apenas uma oração. As proposições simples são representadas por letras latinas minúsculas.

Exemplos

(1) p: eu sou estudioso (2) q: Maria é bonita (3) r: 3 + 4 > 12

Uma proposição composta é formada pela união de duas ou mais proposições simples. Indica-se uma proposição composta por letras latinas maiúsculas. Se P é uma proposição composta das proposições simples p, q, r, ..., escreve-se P (p, q, r,...). Quando P estiver claramente definida não há necessidade de indicar as proposições simples entre os parênteses, escrevendo simplesmente P.

Exemplos:

(4) P: Paulo é estudioso e Maria é bonita. P é composta das proposições simples p: Paulo é estudioso e q: Maria é bonita. (5) Q: Maria é bonita ou estudiosa. Q é composta das proposições simples p: Maria é bonita e q: Maria é estudiosa. (6) R: Se x = 2 então x2_{+ 1 = 5. R é composta das proposições simples p: x = 2 e q: x}2_{+ 1 = 5.}

(7) S: a > b se e somente se b < a. S é composta das proposições simples p: a > b e q: b < a.

As proposições simples são aquelas que expressam “uma única ideia”. Constituem a base da linguagem e são também chamadas de átomos da linguagem. São representadas por letras latinas minúsculas (p, q, r, s, ...).

As proposições composta são aquelas formadas por duas ou mais proposições ligadas pelos conectivos lógicos. São geralmente representadas por letras latinas maiúsculas (P, Q, R, S, ...). O símbolo P (p, q, r), por exemplo, indica que a proposição composta P é formada pelas proposições simples p, q e r.

Exemplos

São proposições simples:

p: A lua é um satélite da terra. q: O número 2 é primo. r: O número 2 é par.

s: Roma é a capital da França. t: O Brasil fica na América do Sul. u: 2 + 5 = 3 . 4

São proposições compostas:

P(q, r): O número 2 é primo ou é par.

Q(s, t): Roma é a capital da França e o Brasil fica na América do Sul. R: O número 6 é par e o número 8 é cubo perfeito.

Não são proposições lógicas: - Roma - O cão do menino - 7+1 - As pessoas estudam - Quem é? - Que pena! Tabela Verdade

Proposição Simples - Segundo o princípio do terceiro excluído, toda proposição simples p, é verdade ou falsa, isto é, tem o valor lógico verdade (V) ou o valor lógico falso (F).

p V F

Proposição Composta - O valor lógico de qualquer proposição composta depende unicamente dos valores lógicos das proposi- ções simples componentes, ficando por eles univocamente determinados. É um dispositivo prático muito usado para a determinação do valor lógico de uma proposição composta. Neste dispositivo figuram todos os possíveis valores lógicos da proposição composta, correspondentes a todas as possíveis atribuições de valores lógicos às proposições simples componentes.

Proposição Composta - 02 proposições simples

Assim, por exemplo, no caso de uma proposição composta cujas proposições simples componentes são p e q, as únicas possíveis atribuições de valores lógicos a p e a q são:

p q V V

V F

F V

F F

Observe-se que os valores lógicos V e F se alternam de dois em dois para a primeira proposição p e de um em um para a segunda proposição q, e que, além disso, VV, VF, FV e FF são os arranjos binários com repetição dos dois elementos V e F.

Proposição Composta - 03 proposições simples

No caso de uma proposição composta cujas proposições simples componentes são p, q e r as únicas possíveis atribuições de valores lógicos a p, a q e a r são:

p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F

Analogamente, observe-se que os valores lógicos V e F se alternam de quatro em quatro para a primeira proposição p, de dois em dois para a segunda proposição q e de um em um para a terceira proposição r, e que, além disso, VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV e FFF sãos os arranjos ternários com repetição dos dois elementos V e F.

Notação: O valor lógico de uma proposição simples p indica-se por V(p). Assim, exprime-se que p é verdadeira (V), escrevendo: V(p) = V. Analogamente, exprime-se que p é falsa (F), escrevendo: V(p) = F.

Exemplos p: o sol é verde;

q: um hexágono tem nove diagonais; r: 2 é raiz da equação x² + 3x - 4 = 0 V(p) = F

V(q) = V V(r) = F

Questões

01. Considere as proposições p: Está frio e q: Está chovendo. Traduza para linguagem corrente as seguintes proposições: a) P ˅ ~q

b) p → q c) ~p ^ ~q d) p ↔ ~q

e) (p ˅ ~q) ↔ (q ^~p)

02. Considere as proposições p: A terra é um planeta e q: Aterra gira em torno do Sol. Traduza para linguagem simbólica as seguintes proposições:

a) Não é verdade: que a Terra é um planeta ou gira em torno do Sol. b) Se a Terra é um planeta então a Terra gira em torno do Sol. c) É falso que a Terra é um planeta ou que não gira em torno do Sol. d) A Terra gira em torno do Sol se, e somente se, a Terra não é um planeta. e) A Terra não é nem um planeta e nem gira em torno do Sol.

(Expressões da forma “não é nem p e nem q” devem ser vistas como “não p e não q”) 03. Dada a condicional: “Se p é primo então p = 2 ou p é impar”, determine:

a) a contrapositiva b) a recíproca 04. a) Supondo V (p ^ q ↔ r ˅ s) = F e V (~r ^ ~s) = V, determine V (p → r ^ s). b) Supondo V (p ^ (q ˅ r)) = V e V (p ˅ r → q) = F, determine V (p), V (q), V (r). c) Supondo V (p → q) = V, determine V (p ^ r → q ^ r) e V (p ˅ r → q ˅ r). 05. Dê o conjunto-verdade em R das seguintes sentenças abertas:

a) x² + x – 6 = 0 → x² - 9 = 0 b) x² ˃ 4 ↔ x² -5x + 6 = 0

06. Use o diagrama de Venn para decidir quais das seguintes afirmações são válidas:

a) Todos os girassóis são amarelos e alguns pássaros são amarelos, logo nenhum pássaro é um girassol. b) Alguns baianos são surfistas. Alguns surfistas são louros. Não existem professores surfistas. Conclusões: I- Alguns baianos são louros.

II- Alguns professores são baianos. III- Alguns louros são professores. IV- Existem professores louros.

07. (CESPE - PF - Regional) Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos ̚ , ^, ˅ e → sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Com base nas infor- mações apresentadas no texto, julgue os itens a seguir.

a) Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição ( ̚ P) ˅ ( ̚ Q) também é verdadeira. b) Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R→ ( ̚ T) é falsa.

c) Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição (P ^ R) → (¬ Q) é verdadeira.

08. (CESPE - Papiloscopista) Sejam P e Q variáveis proposicionais que podem ter valorações, ou serem julgadas verdadeiras (V) ou falsas (F). A partir dessas variáveis, podem ser obtidas novas proposições, tais como: a proposição condicional, denotada por P → Q, que será F quando P for V e Q for F, ou V, nos outros casos; a disjunção de P e Q, denotada por P v Q, que será F somente quando P e Q forem F, ou V nas outras situações; a conjunção de P e Q, denotada por P ^ Q, que será V somente quando P e Q forem V, e, em outros casos, será F; e a negação de P, denotada por ¬P, que será F se P for V e será V se P for F. Uma tabela de valorações para uma dada proposição é um conjunto de possibilidades V ou F associadas a essa proposição. A partir das informações do texto, julgue os itens subsequentes.

a) As tabelas de valorações das proposições P v Q e Q → ¬P são iguais.

09. (CESPE - PF - Regional) Considere as sentenças abaixo. I- Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam. II- Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde. III- Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido.

IV- Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então fumar deve ser proibido.

V- Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve ser proibido; consequentemente, muitos europeus fumam. Considere também que P, Q, R e T representem as sentenças listadas na tabela a seguir.

P Fumar deve ser proibido. Q Fumar de ser encorajado. R Fumar não faz bem à saúde. T Muitos europeus fumam.

Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto, julgue os itens seguintes. a) A sentença I pode ser corretamente representada por P ^ (¬ T).

b) A sentença II pode ser corretamente representada por (¬ P) ^ (¬ R). c) A sentença III pode ser corretamente representada por R → P.

d) A sentença IV pode ser corretamente representada por (R ^ (¬ T)) → P. e) A sentença V pode ser corretamente representada por T → ((¬ R) ^ (¬ P)).

10. Um agente de viagens atende três amigas. Uma delas é loura, outra é morena e a outra é ruiva. O agente sabe que uma delas se chama Bete, outra se chama Elza e a outra se chama Sara. Sabe, ainda, que cada uma delas fará uma viagem a um país diferente da Europa: uma delas irá à Alemanha, outra irá à França e a outra irá à Espanha. Ao agente de viagens, que queria identificar o nome e o destino de cada uma, elas deram as seguintes informações:

A loura: “Não vou à França nem à Espanha”. A morena: “Meu nome não é Elza nem Sara”. A ruiva: “Nem eu nem Elza vamos à França”.

O agente de viagens concluiu, então, acertadamente, que: a) A loura é Sara e vai à Espanha.

b) A ruiva é Sara e vai à França. c) A ruiva é Bete e vai à Espanha. d) A morena é Bete e vai à Espanha. e) A loura é Elza e vai à Alemanha. Respostas:

01.

a) “Está frio ou não está chovendo”. b) “Se está frio então está chovendo”. c) “Não está frio e não está chovendo”.

d) “Está frio se e somente se não está chovendo”.

e) “Está frio e não está chovendo se e somente se está chovendo e não está frio”. 02. a) ~(p ˅ q); b) p → q c) ~(p ˅ ~q) d) ~p ^ ~q e) q ↔ ~p

03.

a) a contrapositiva: “Se p 2 e p é par, então p não é primo”. b) a recíproca: “Se p = 2 ou p é ímpar, então p é primo”. 04.

a) Supondo V (p ^ q ↔ r ˅ s) = F (1) e V (~r ^ ~s) = V (2), determine V (p → r ^ s). Solução: De (2) temos que V (r) = V (s) = F; Usando estes resultados em (1) obtemos: V (p) = V (q) = V, logo, V (p → r ^ s) = F

b) Supondo V (p ^ (q ˅ r)) = V (1) e V (p ˅ r → q) = F (2), determine V (p), V (q) e V (r). Solução: De (1) concluímos que V (p) = V e V (q ˅ r) = V e de (2) temos que V (q) = F, logo V (r) = V

c) Supondo V (p → q) = V, determine V (p ^ r → q ^ r) e V (p ˅ r → q ˅ r). Solução: Vamos supor V (p ^ r → q ^ r) = F. Temos assim que V (p ^ r) = V e V (q ^ r) = F, o que nos permite concluir que V (p) = V (r) = V e V (q) = F, o que contradiz V (p → q) = V. Logo, V (p ˅ r → q ˅ r) = V. Analogamente, mostramos que V (p ˅ r → q ˅ r) = V.

05. a) R – {2} b) [-2,2[ 06.

a) O diagrama a seguir mostra que o argumento é falso:

b) O diagrama a seguir mostra que todos os argumentos são falsos:

07.

a) Item ERRADO. Pela tabela do “ou” temos: (¬ P) v (¬ Q)

(¬ V) v (¬ V) (F) v (F)

Falsa

b) Item ERRADO. A condicional regra que: R → (¬ T)

F (¬ V) F (F)

Verdadeira

c) Item CERTO. Obedecendo a conjunção e a condicional: (P ^ R) → (¬ Q)

(V ^ F) → (¬ V) F F

Verdadeira

08.

a) Item ERRADO. Basta considerarmos a linha da tabela-verdade onde P e Q são ambas proposições verdadeiras para verificar que as tabelas de valorações de P v Q e Q → ¬P não são iguais:

P Q ¬P P v Q Q → ¬P

V V F V F

b) Item ERRADO. Nas seguintes linhas da tabela-verdade, temos os valores lógicos da proposição (P v Q) → S diferente dos da proposição (P → S) v (Q → S):

P Q S (P v Q) → S P → S v Q → S

V F F F V

F V F F V

09.

a) Item ERRADO. Sua representação seria P ^ T.

b) Item CERTO. Apenas deve-se ter o cuidado para o que diz a proposição R: “Fumar não faz bem à saúde”. É bom sempre ficarmos atentos à atribuição inicial dada à respectiva letra.

c) Item CERTO. É a representação simbólica da Condicional entre as proposições R e P.

d) Item CERTO. Proposição composta, com uma Conjunção (R ^ ¬T) como condição suficiente para P.

d) Item ERRADO. Dizer “...consequentemente...” é dizer “se... então...”. A representação correta seria ((¬ R) ^ (¬ P)) → T. 10. Resposta “E”.

A melhor forma de resolver problemas como este é arrumar as informações, de forma mais interessante, que possa prover uma melhor visualização de todo o problema. Inicialmente analise o que foi dado no problema:

a) São três amigas

b) Uma é loura, outra morena e outra ruiva. c) Uma é Bete, outra Elza e outra Sara.

d) Cada uma fará uma viagem a um país diferente da Europa: Alemanha, França e Espanha. e) Elas deram as seguintes informações:

A loura: “Não vou à França nem à Espanha”. A morena: “Meu nome não é Elza nem Sara”. A ruiva: “Nem eu nem Elza vamos à França”. Faça uma tabela:

Cor dos

cabelos Loura Morena Ruiva

Afirmação França nem a Não vou à Espanha

Meu nome não é Elza nem

Sara

Nem eu nem Elza vamos à

França

País Alemanha França Espanha

Nome Elza Bete Sara

Com a informação da loura, sabemos que ela vai para a Alemanha. Com a informação da morena, sabemos que ela é a Bete. Com a informação da ruiva sabemos que ela não vai à França e nem Elza, mas observe que a loura vai a Alemanha e a ruiva não vai à França, só sobrando a Bete ir à França. Se Bete vai à França a ruiva coube a Espanha. Elza é a loura e Sara fica sendo a ruiva.

Tabela Verdade

A tabela-verdade é usada para determinar o valor lógico de uma proposição composta, sendo que os valores das proposições simples já são conhecidos. Pois o valor lógico da proposição composta depende do valor lógico da proposição simples. A seguir vamos compreender como se constrói essas tabelas-verdade partindo da árvore das possibilidades dos valores lógicos das proposições.

Proposição Composta do Tipo P(p, q)

p q P(p, q)

V V ?

V F ?

F V ?

F F ?

p q r P(p, q, r) V V V ? V V F ? V F V ? V F F ? F V V ? F V F ? F F V ? F F F ?

Proposição Composta do Tipo P(p, q, r, s): a tabela-verdade possui 24_{= 16 linhas e é formada igualmente as anteriores.} Proposição Composta do Tipo P(p₁, p₂, p₃,…, p_n): a tabela-verdade possui 2n_{linhas e é formada igualmente as anteriores.} O Conectivo “não” e a negação

O conectivo “não” e a negação de uma proposição p é outra proposição que tem como valor lógico V se p for falsa e F se p é

verdadeira. O símbolo ~p (não p) representa a negação de p com a seguinte tabela-verdade:

p ~p V F F V Exemplo: a) p = 7 é ímpar. ~p = 7 não é ímpar. p ~p V F b) q = 24 é múltiplo de 5. ~q = 24 não é múltiplo de 5. q ~q F V

Observação: A negação de “Roma é a capital da Itália” é “Roma não é a capital da Itália” ou “Não é verdade que Roma é a

capital da Itália”. Note que:

- A negação de “Todos os brasileiros são carecas” é “Nem todos os brasileiros são carecas” ou “Pelo menos um brasileiro não

é careca”.

- A negação de “Nenhum homem é careca” é “Algum homem é careca” ou “Pelo menos um homem é careca”. Número de linhas da Tabela Verdade

Seja “L” uma linguagem que contenha as proposições P, Q e R. O que podemos dizer sobre a proposição P? Para começar, se- gundo o princípio de bivalência, ela é ou verdadeira ou falsa. Isto representamos assim:

V F

Agora, o que podemos dizer sobre as proposições P e Q? Oras, ou ambas são verdadeiras, ou a primeira é verdadeira e a segunda é falsa, ou a primeira é falsa e a segunda é verdadeira, ou ambas são falsas. Isto representamos assim:

P Q

V V V F F V F F

Como você já deve ter reparado, uma tabela para P, Q e R é assim:

P Q R V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F

Cada linha da tabela (fora a primeira que contém as fórmulas) representa uma valoração. Agora, o que dizer sobre fórmulas moleculares, tais como ⌐P, Q∨R, ou (Q∧R) → (P↔Q)? Para estas, podemos estabelecer os valores que elas recebem em vista do valor de cada fórmula atômica que as compõe. Faremos isto por meio das tabelas de verdade. Os primeiros passos para construir uma tabela de verdade consistem em:

- Uma linha em que estão contidas todas as subfórmulas de uma fórmula e a própria fórmula. Por exemplo, a fórmula ⌐(P˄Q)

→ R tem o seguinte conjunto de subfórmulas: [(P˄Q) → R, P˄Q, P, Q, R].

- “L” linhas em que estão todos os possíveis valores que as proposições atômicas podem receber e os valores recebidos pelas fórmulas moleculares a partir dos valores destes átomos.

O número de linhas é L = nt_{, sendo n o número de valores que o sistema permite (sempre 2 no caso do CPC) e t o número de} átomos que a fórmula contém. Assim, se uma fórmula contém 2 átomos, o número de linhas que expressam a permutações entre estes será 4: um caso de ambos serem verdadeiros (V V), dois casos de apenas um dos átomos ser verdadeiro (V F , F V) e um caso no qual ambos serem falsos (F F).

Se a fórmula contiver 3 átomos, o número de linhas que expressam a permutações entre estes será 8: um caso de todos os átomos serem verdadeiros (V V V), três casos de apenas dois átomos serem verdadeiros (V V F , V F V , F V V), três casos de apenas um dos átomos ser verdadeiro (V F F , F V F , F F V) e um caso no qual todos átomos são falsos (F F F). Então, para a fórmula ⌐(P˄Q)

P Q R P˄Q (P˄Q) → R ⌐(P˄Q) → R V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F

Para completar esta tabela precisamos definir os operadores lógicos. Ao fazê-lo, vamos aproveitar para explicar como interpretá-los. O Conectivo e “e” a conjunção

O conectivo “e” e a conjunção de duas proposições p e q é outra proposição que tem como valor lógico V se p e q forem verda-

deiras, e F em outros casos. O símbolo p ∧ q (p e q) representa a conjunção, com a seguinte tabela-verdade:

p q p∧ q V V V V F F F V F F F F Exemplo: a) p = 2 é par. q = o céu é rosa.

p ∧ q = 2 é par e o céu é rosa.

p q p∧ q V F F b) p = 9 < 6. q = 3 é par. p ∧ q: 9 < 6 e 3 é par. p q p∧ q F F F c) p = O número 17 é primo. q = Brasília é a capital do Brasil.

p ∧ q = O número 17 é primo e Brasília é a capital do Brasil.

p q p∧ q

O Conectivo “ou” e a disjunção

O conectivo “ou” e a disjunção de duas proposições p e q é outra proposição que tem como valor lógico V se alguma das pro- posições for verdadeira e F se as duas forem falsas. O símbolo p v q (p ou q) representa a disjunção, com a seguinte tabela-verdade:

p q p∨ q V V V V F V F V V F F F Exemplo: a) p = 2 é par. q = o céu é rosa.

p ν q = 2 é par ou o céu é rosa.

p q p∨ q V F V b) p = 9 < 6. q = 3 é par. p ν q: = 9 < 6 ou 3 é par. p q p∨ q F F F c) p = O número 17 é primo. q = Brasília é a capital do Brasil.

p ν q = O número 17 é primo ou Brasília é a capital do Brasil.

p q p∨ q

V V V

p = O número 9 é par. q = O dobro de 50 é 100.

p ν q: O número 9 é par ou o dobro de 50 é 100.

p q p∨ q

F V V

O Conectivo “se… então…” e a condicional

A condicional se p então q é outra proposição que tem como valor lógico F se p é verdadeira e q é falsa. O símbolo p → q repre- senta a condicional, com a seguinte tabela-verdade:

p q p → q V V V V F F F V V F F V Exemplo: a) p: 7 + 2 = 9. q: 9 – 7 = 2. p → q: Se 7 + 2 = 9 então 9 – 7 = 2. p q p → q V V V b) p = 7 + 5 < 4. q = 2 é um número primo.

p → q: Se 7 + 5 < 4 então 2 é um número primo.

p q p → q

F V V

p = 24 é múltiplo de 3. q = 3 é par.

p → q: Se 24 é múltiplo de 3 então 3 é par.

p q p → q V F F d) p = 25 é múltiplo de 2. q = 12 < 3. p → q: Se 25 é múltiplo de 2 então 2 < 3.

O Conectivo “se e somente se” e a bicondicional

A bicondicional p se e somente se q é outra proposição que tem como valor lógico V se p e q forem ambas verdadeiras ou ambas falsas, e F nos outros casos. O símbolo p ↔ q representa a bicondicional, com a seguinte tabela-verdade:

p q p ↔ q V V V V F F F V F F F V Exemplo: a) p = 24 é múltiplo de 3. q = 6 é ímpar.

p q p ↔ q

V F F

p = 25 é quadrado perfeito. q = 8 > 3.

p ↔ q = 25 é quadrado perfeito se, e somente se, 8 > 3.

p q p ↔ q

V V V

p = 27 é par. q = 6 é primo.

p ↔ q = 27 é par se, e somente se, 6 é primo.

p q p ↔ q

F F V

Tabela-Verdade de uma Proposição Composta

Exemplo: veja como se procede a construção de uma tabela-verdade da proposição composta P(p, q) = ((p ∨ q) → (~p)) → (p ∧ q), onde p e q são duas proposições simples quaisquer. Resolução: uma tabela-verdade de uma proposição do tipo P(p, q) possui 24 = 4 linhas, logo: p _{q p ∨ q} _{~p (p ∨ q) → (~p) p ∧ q} ((p ∨ q) → (~p)) → (p ∧ q) V V V F F V F F

Agora veja passo a passo a determinação dos valores lógicos de P. a) Valores lógicos de p ν q p _{q p ∨ q} _{~p (p ∨ q) → (~p) p ∧ q} _{((p ∨ q) → (~p)) → (p ∧ q)} V V V V F V F V V F F F b) Valores lógicos de ~p p q p ∨ q ~p (p ∨ q) → (~p) p ∧ q ((p ∨ q) → (~p)) → (p ∧ q) V V V F V F V F F V V V F F F V

c) Valores lógicos de (p ν q) → (~p) p q p ∨ q ~p (p ∨ q) → (~p) p ∧ q ((p ∨ q) → (~p)) → (p ∧ q) V V V F F V F V F F F V V V V F F F V V d) Valores lógicos de p ∧ q p q p ∨ q ~p (p ∨ q) → (~p) p ∧ q ((p ∨ q) → (~p)) → (p ∧ q) V V V F F V V F V F F F F V V V V F F F F V V F e) Valores lógicos de P(p, q) = ((p ν q) → (~p)) → (p ∧ q) p q p ∨ q ~p (p ∨ q) → (~p) p ∧ q ((p ∨ q) → (~p)) → (p ∧ q) V V V F F V V V F V F F F V F V V V V F F F F F V V F F QUESTÕES 01. Considere as proposições p: Está frio e q: Está chovendo.

Traduza para linguagem corrente as seguintes proposições: (A) p v ~q

(B) p → q c) ~p ∧ ~q

(C) p ↔ ~q e) (p v ~q) ↔ (q ∧ ~p) 02. Considere as proposições

p: A Terra é um planeta e q: A Terra gira em torno do Sol.

Traduza para linguagem simbólica as seguintes proposições: (A) Não é verdade: que a Terra é um planeta ou gira em torno do Sol. (B) Se a Terra é um planeta então a Terra gira em torno do Sol. (C) É falso que a Terra é um planeta ou que não gira em torno do Sol. (D) A Terra gira em torno do Sol se, e somente se, a Terra não é um planeta. (E) A Terra não é nem um planeta e nem gira em torno do Sol.

03. Escreva a negação das seguintes proposições numa sentença o mais simples possível. (A) É falso que não está frio ou que está chovendo.

(B) Se as ações caem aumenta o desemprego.

(D) A condição necessária para ser um bom matemático é saber lógica. (E) Jorge estuda física mas não estuda química.

(Expressões da forma “p mas q” devem ser vistas como “ p e q”)

04. Dada a condicional: “Se p é primo então p = 2 ou p é ímpar”, determine: (A) a contrapositiva

(B) a recíproca 05.

(A) Supondo V(p Λ q ↔ r v s) = F e V(~r Λ ~s) = V, determine V(p → r Λs). (B) Supondo V(p Λ (q v r)) = V e V (p v r → q) = F, determine V(p), V(q) e V(r). (C) Supondo V(p→ q) = V, determine V(p Λ r → q Λ r) e V(p v r → q v r).

06. Utilizando as propriedades das operações lógicas, simplifique as seguintes proposições: (A) (p v q) Λ ~p

(B) p Λ (p → q) Λ (p →~q) (C) p Λ (p v q) → (p v q) Λ q (D) ~(p → q) Λ ((~p Λ q) v ~(p v q)) (E) ~p → (p v ~(p v ~q))

07. Escrever as expressões relativas aos circuitos. Simplificá-las e fazer novos esquemas. (A)

08. Verifique a validade ou não dos seguintes argumentos sem utilizar tabela-verdade: (A) p v q, ~r v ~q ╞ ~p → ~r

(B) p → q v r, q → ~p, s → ~r ╞ ~(p ∧ s) (C) p → q, r → s, p v s ╞ q v r

(D) Se o déficit público não diminuir, uma condição necessária e suficiente para inflação cair é que os impostos sejam aumentados. Os impostos serão aumentados somente se o déficit público não diminuir. Se a inflação cair, os impostos não serão aumentados. Portanto, os impostos não serão aumentados.

09. Dê o conjunto-verdade em R das seguintes sentenças abertas: (A) x² + x – 6 = 0 → x² - 9 = 0

(B) x² > 4 ↔ x² - 5x + 6 = 0

10. Dê a negação das seguintes proposições:

(A) Existem pessoas inteligentes que não sabem ler nem escrever. (B) Toda pessoa culta é sábia se, e somente se, for inteligente.

01.

(A) “Não está frio e não está chovendo”.

(B) “Está frio se e somente se não está chovendo”.

(C) “Está frio e não está chovendo se e somente se está chovendo e não está frio”. 02. (A) ~(p v q) (B) p → q (C) ~(p v ~q) (D) ~p ∧ ~q (E) q ↔ ~p 03.

(A) “Não está frio ou está chovendo”.

No documento 2 Matematica e Raciocinio Logico (páginas 105-137)

x=5

x<3

2

−

=

s(x)

e(x)

4∈N

4∉N

4∈_N

4∉_N