2 Matematica e Raciocinio Logico

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1. NUMERAÇÃO Essa imagem mostra todos os conjuntos, sendo

Números Naturais

Os números naturais são o modelo matemático necessário para efetuar uma contagem.

Começando por zero e acrescentando sempre uma unidade, obtemos os elementos dos números naturais:

ℕ = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … .

A construção dos Números Naturais

- Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado), considerando também o zero. Exemplos: Seja m um número natural.

a) O sucessor de m é m+1. b) O sucessor de 0 é 1. c) O sucessor de 1 é 2. d) O sucessor de 19 é 20.

- Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos. Exemplos:

a) 1 e 2 são números consecutivos. b) 5 e 6 são números consecutivos. c) 50 e 51 são números consecutivos.

- Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente.

Exemplos:

a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos. b) 5, 6 e 7 são consecutivos.

c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos.

- Todo número natural dado N, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número dado). Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero.

a) O antecessor do número m é m-1. b) O antecessor de 2 é 1.

c) O antecessor de 56 é 55. d) O antecessor de 10 é 9. Subconjuntos de

Vale lembrar que um asterisco, colocado junto à letra que simboliza um conjunto, significa que o zero foi excluído de tal conjunto.

ℕ

∗

= {1, 2, 3, 4, 5, … . }

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Números Inteiros

Podemos dizer que este conjunto é composto pelos números naturais, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto pode ser representado por:

ℤ = {… , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … . }

Subconjuntos do conjunto : 1)ℤ∗= … , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … . − 𝐸𝑠𝑡𝑒 é 𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑐𝑙𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑜 𝑧𝑒𝑟𝑜. 2)ℤ+= 0, 1, 2, 3, … . − 𝐸𝑠𝑡𝑒 é 𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜𝑠 𝑛ã𝑜 − 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 3)ℤ−= … , −3, −2, −1 − 𝐸𝑠𝑡𝑒 é 𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜𝑠 𝑛ã𝑜 − 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 Números Racionais

Chama-se de número racional a todo número que pode ser expresso na forma 𝑎

𝑏 , onde a e b são inteiros quaisquer, com b≠0 Assim, os números 5 =5₁ 𝑒 − 0,33333 … . (= −1₃) são dois exemplos de números racionais.

Números Irracionais

Identificação de números irracionais

- Todas as dízimas periódicas são números racionais. - Todos os números inteiros são racionais.

- Todas as frações ordinárias são números racionais. - Todas as dízimas não periódicas são números irracionais. - Todas as raízes inexatas são números irracionais.

- A soma de um número racional com um número irracional é sempre um número irracional. - A diferença de dois números irracionais, pode ser um número racional.

-Os números irracionais não podem ser expressos na forma , com a e b inteiros e b≠0.

Exemplo: √5 - √5 = 0 e 0 é um número racional.

- O quociente de dois números irracionais, pode ser um número racional.

Exemplo: √8 : √2 = √4 = 2 e 2 é um número racional.

- O produto de dois números irracionais, pode ser um número racional.

Exemplo: √5 . √5 = √25 = 5 e 5 é um número racional.

Exemplo: radicais( √2,√3) a raiz quadrada de um número natural, se não inteira, é irracional. Números Reais

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Exercícios

1) (FCC – 2012) – Um atleta, participando de uma prova de triatlo, percorreu 120 km da seguinte maneira: 1/10 em corrida, 7/10 de

bicicleta e o restante a nado. Esse atleta, para completar a prova, teve de nadar (A) 18 km.

(B) 20 km. (C) 24 km. (D) 26 km.

2)(Pref. Presidente Olegário-Agente Administrativo 2011) O combustível usado em automóveis numa certa cidade é composto de 3/5 de gasolina e 2/5 de álcool. Se o preço do litro de álcool é 3/4 do preço do litro de gasolina e este custa R$3,00 cada litro, o preço do litro de combustível é?

a) R$ 3,20 b) R$ 2,58 c) R$ 2,70 d) R$ 3,28

3) (Pref. Itabaiana-PB 2010) Resolvendo a operação 3(1/2) + 5/3 – 1/8 se obtém como resultado um número real : A) menor que 3,041. B) maior que 3,0417 C) entre 3,041 e 3,04167. D) entre 3,41 e 3,4167. E) menor que 3,0406. 4) O valor de (1/2) + (1/3) + (1/6) é: a) 1/11. b) 3/11. c) 5/11. d) 1. Respostas 1)C Total do percurso:120 Corrida: 1 10 𝑥120 = 12 Bicicleta: 7 10 𝑥120 = 84 Corrida+bicicleta=12+84=96 Nado=1200-96=24km 2)C

Para achar o preço do álcool: 3 4 𝑥3 =

9 4

O preço do álcool no combustível: 9_{4 𝑥}2_{5 =}18_{20 =}₁₀9 Gasolina:3

5 𝑥3 = 9 5

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3)C 3 2 + 5 3 − 1 8 Tirando o m.m.c:24 36 24 + 40 24 − 3 24 = 73 24 = 3,04166 … 4)D 1 2 + 1 3 + 1 6 = 3 + 2 + 1 6 = 6 6 = 1

2. NÚMEROS NATURAIS: MÚLTIPLOS, DIVISORES, DIVISIBILIDADE E RESTOS

Múltiplos e Divisores

Um número é múltiplo de outro quando ao dividirmos o primeiro pelo segundo, o resto é zero. Exemplo

10 ÷ 2 = 5

12 ÷ 3 = 4

O conjunto de múltiplos de um número natural não-nulo é infinito e podemos consegui-lo multiplicando-se o número dado por todos os números naturais.

M(3)={0,3,6,9,12,...}

Os números 12 e 15 são múltiplos de 3, portanto 3 é divisor de 12 e 15. D(12)={1,2,3,4,6,12}

D(15)={1,3,5,15} Observações:

- Todo número natural é múltiplo de si mesmo. - Todo número natural é múltiplo de 1.

- Todo número natural, diferente de zero, tem infinitos múltiplos. - O zero é múltiplo de qualquer número natural.

Divisibilidade

Em algumas situações precisamos apenas saber se um número natural é divisível por outro número natural, sem a necessidade de obter o resultado da divisão. Neste caso utilizamos as regras conhecidas como critérios de divisibilidade. Apresentamos as regras de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Critérios de divisibilidade Divisibilidade por 2

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Um número é divisível por 2 se ele é par, ou seja, termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.

Exemplos: O número 5634 é divisível por 2, pois o seu último algarismo é 4, mas 135 não é divisível por 2, pois é um número terminado com o algarismo 5 que não é par.

Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos é divisível por 3.

Exemplos: 18 é divisível por 3 pois 1+8=9 que é divisível por 3, 576 é divisível por 3 pois: 5+7+6=18 que é divisível por 3, mas 134 não é divisível por 3, pois 1+3+4=8 que não é divisível por 3.

Um número é divisível por 4 se o número formado pelos seus dois últimos algarismos é divisível por 4.

Exemplos: 4312 é divisível por 4, pois 12 é divisível por 4, mas 1635 não é divisível por 4 pois 35 não é divisível por 4. Divisibilidade por 5

Um número é divisível por 5 se o seu último algarismo é 0 (zero) ou 5.

Exemplos: 75 é divisível por 5 pois termina com o algarismo 5, mas 107 não é divisível por 5 pois o seu último algarismo não é 0 (zero) nem 5.

Um número é divisível por 6 se é par e a soma de seus algarismos é divisível por 3.

Exemplos: 756 é divisível por 6, pois 756 é par e a soma de seus algarismos: 7+5+6=18 é divisível por 3, 527 não é divisível por 6, pois não é par e 872 é par mas não é divisível por 6 pois a soma de seus algarismos: 8+7+2=17 não é divisível por 3.

Um número é divisível por 7 se o dobro do último algarismo, subtraído do número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 7. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 7.

Exemplo: 165928 é divisível por 7 pois: 8x2=16

16592-16=16576

Repete-se o processo com este último número. 6x2=12

1657-12=1645

164-10=154

15-8=7

A diferença é divisível por 7, logo o número dado inicialmente também é divisível por 7. Divisibilidade por 8

Um número é divisível por 8 se o número formado pelos seus três últimos algarismos é divisível por 8.

Exemplos: 45128 é divisível por 8 pois 128 dividido por 8 fornece 16, mas 45321 não é divisível por 8 pois 321 não é divisível por 8.

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Um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos é um número divisível por 9.

Exemplos: 1935 é divisível por 9 pois: 1+9+3+5=18 que é divisível por 9, mas 5381 não é divisível por 9 pois: 5+3+8+1=17 que não é divisível por 9.

Um número é divisível por 10 se termina com o algarismo 0 (zero).

Exemplos: 5420 é divisível por 10 pois termina em 0 (zero), mas 6342 não termina em 0 (zero). Divisibilidade por 11

Um número é divisível por 11 se a soma dos algarismos de ordem par Sp menos a soma dos algarismos de ordem ímpar Si é um número divisível por 11. Como um caso particular, se Sp-Si=0 ou se Si-Sp=0, então o número é divisível por 11.

Exemplos:

a) 1º 3º 5º → Algarismos de posição ímpar (Soma dos algarismos de posição ímpar: 4 + 8 + 3 = 15.) 4 3 8 1 3

2º 4º → Algarismos de posição par (Soma dos algarismos de posição par:3 + 1 = 4) 15 – 4 = 11 → diferença divisível por 11. Logo 43813 é divisível por 11.

Um número é divisível por 13 se o quádruplo (4 vezes) do último algarismo, somado ao número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 13. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 13. Este critério é semelhante àquele dado antes para a divisibilidade por 7, apenas que no presente caso utilizamos a soma ao invés de subtração.

Exemplo: 16562 é divisível por 13? Vamos verificar. 2x4=8

1656+8=1664

166+16=182

18+8=26

Como a última soma é divisível por 13, então o número dado inicialmente também é divisível por 13.

Restos das divisões

Na aplicação do caráter de divisibilidade, o resto da divisão de um número qualquer por outro, cujo caráter de divisibilidade conhecemos, será o mesmo resto encontrado na aplicação do caráter pelo divisor considerado.

Exemplo: Qual o resto da divisão de 1938 por 11? Solução:

Soma dos algarismos de ordem ímpar = 9 + 8 = 17 Soma dos algarismos de ordem par = 1 + 3 = 4 17 – 4 = 13 e 13 dividido por 11 deixa resto 2.

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Teoria dos restos

Proposição 1. O resto da divisão de uma soma por um número é o mesmo que o da divisão da soma dos restos das parcelas por

esse mesmo número.

Exemplo: Qual o resto da divisão da soma 18 + 27 + 14 por 4? Solução:

Soma dos restos das parcelas: 2 + 3 + 2 = 7 e 7 deixa resto 3 na divisão por 4. Portanto, o resto da soma de 18 + 27 + 14 por 4 será 3.

Proposição2. O resto da divisão de um produto por um número é o mesmo que o da divisão do produto dos restos dos fatores

por esse número.

Exemplo: Qual o resto da divisão do produto 4735 x 28624 x 74652 por 9? Solução:

Produto dos restos dos fatores: 1 x 4 x 6 = 24 e 24 deixa resto 6 na divisão por 9. Logo, o resto do produto 4735 x 28624 x 74652 por 9 será 6.

Exercícios

1) Qual é o menor número com dois dígitos que somando a 12345 o tornará um número divisível por 9?

2) Um número é divisível por 9 e por 5. Se somarmos 315 a este número ele ainda continuará divisível por 9 e por 5? 3) Numa divisão, o divisor é 15, o quociente é 11 e o resto é o maior possível. Então o dividendo é:

a) 151 b) 165 c) 175 d) 179 e) 181

4) Qual é o menor número que devemos subtrair de 61577 para que a diferença seja divisível ao mesmo tempo por 5 e por 9? 5) Qual é o menor número que devemos adicionar a 25013 para que a soma seja divisível ao mesmo tempo por 3 e por 7?

Respostas

1) Somando os algarismos:1+2+3+4+5=15 dividido por 9 dá resto 6

Devemos encontrar o menor múltiplo de 9 com dois dígitos, que ao ser subtraído de 6, continue com 2 algarismos. Esse número é o 18-6=12

Então o menor número para ser somado é o 12. Tirando a prova:12345+12=12357

1+2+3+5+7=18:9=2

2) Sabemos que se a um número é divisível por n, somarmos n ou qualquer um dos seus múltiplos, o número resultante continuará sendo divisível por n. Como 315 também é divisível por 5 e por 9, tal soma não afetará em nada a divisibilidade por tais números.

3) Alternativa D

O divisor equivale a 15 e o quociente a 11 e o resto o maior possível, ou seja, 14. Portanto, 11.15+14=179

4) Um número que ao mesmo tempo divisível por 5 e por 9, é divisível também por 45.

O número 61577 seria divisível por 45 se o resto da divisão fosse igual a zero, como não é, o que precisamos fazer então é subtrair de 61577 este resto, para que ele se torne um número divisível por 45.

61577 dividido por 45 é igual a 1368, com um resto de 17.

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5) 25013 dividido por 21, o produto de 3 por 7, é igual a 1191, com um resto de 2.

Se subtrairmos 2 de 25013, o resultado será um número divisível por 21, mas o enunciado diz que devemos adicionar e não subtrair, então devemos acrescentar 19, que é o resultado de 21 – 2, para obtermos o próximo número após 25013, que assim como ele também será divisível por 21.

Assim sendo:

Devemos adicionar 19 a 25013 para que a soma seja divisível ao mesmo tempo por 3 e por 7.

3. M.D.C. E M.M.C

Máximo Divisor Comum

O máximo divisor comum de dois ou mais números naturais não-nulos é o maior dos divisores comuns desses números. Para calcular o m.d.c de dois ou mais números, devemos seguir as etapas:

• Decompor o número em fatores primos

• Tomar o fatores comuns com o menor expoente

• Multiplicar os fatores entre si.

Exemplo:

15 = 3 × 5

24 = 2³ × 3

O fator comum é o 3 e o 1 é o menor expoente.

m.d.c

_{(15,24) = 3}

Mínimo Múltiplo Comum

O mínimo múltiplo comum (m.m.c) de dois ou mais números é o menor número, diferente de zero. Para calcular devemos seguir as etapas:

• Decompor os números em fatores primos

• Tomar os fatores comuns e não-comuns com o maior expoente

• Multiplicar os fatores entre si

Exemplo: Assim, o mmc

Exercícios

1) Uma empresa de logística é composta de três áreas: administrativa, operacional e vendedores. A área administrativa é com-posta de 30 funcionários, a operacional de 48 e a de vendedores com 36 pessoas. Ao final do ano, a empresa realiza uma integração entre as três áreas, de modo que todos os funcionários participem ativamente. As equipes devem conter o mesmo número de funcioná-rios com o maior número possível. Determine quantos funcionáfuncioná-rios devem participar de cada equipe e o número possível de equipes.

2) (PM AC 2012 - Funcab) Sendo D o Maior Divisor Comum entre os números 525 e 1120, e M o Mínimo Múltiplo Comum entre eles, determine o valor de M - 250.D.

A) 8050 B) 8750 C) 16000 D) 16835 E) 16765

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3) (Funcab -2012). Determine o MDC (Maior Divisor Comum) e o MMC (Mínimo Múltiplo Comum), nesta ordem, dos números 60, 70 e 240. A) 10 e 210 B) 30 e 210 C) 10 e 1680 D) 15 e 1680 E) 30 e 5040

4) (PUC–SP) Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feita na máquina A a cada 3 dias, na máquina B, a cada 4 dias, e na máquina C, a cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a manutenção nas três máquinas, após quantos dias as máquinas receberão manutenção no mesmo dia.

5) Alguns cometas passam pela terra periodicamente. O cometa A visita a terra de 12 em 12 anos e o B, de 32 em 32 anos. Em 2006, os dois cometas passaram por aqui. Em que ano os dois cometas passarão juntos pelo planeta novamente?

Respostas

1) Encontrar o MDC entre os números 48, 36 e 30.

Decomposição em fatores primos: Equipes

O número de equipes será igual a 19, com 6 participantes cada uma.

48 = 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 3

36 = 2 ∗ 2 ∗ 3 ∗ 3

30 = 2 ∗ 3 ∗ 5

𝑀𝐷𝐶 (30, 36, 48) = 2 ∗ 3 = 6

Determinando o número total de equipes: 48 + 36 + 30 = 114 → 114: 6 = 19 Equipes

O número de equipes será igual a 19, com 6 participantes cada uma. 2) Alternativa A

(12)

Daí,

16800 – 250.35 = 16800 – 8750 = 8050

3) alternativa C

4) Temos que determinar o MMC entre os números 3, 4 e 6.

MMC (3, 4, 6) = 2 * 2 * 3 = 12

Concluímos que após 12 dias, a manutenção será feita nas três máquinas. Portanto, dia 14 de dezembro. 5)

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4. NÚMEROS FRACIONÁRIOS E OPERAÇÕES COM FRAÇÕES

As frações pertencem ao conjunto dos números racionais e o uso delas está presente em diversas situações matemáticas.

Frações Equivalentes

Para encontrar frações equivalentes, multiplicamos o numerador e o denominador da fração ½ por um mesmo número natural diferente de zero.

Assim: ½, 2/4, 4/8, 3/6, 5/10 são algumas frações equivalentes a 1/2

Simplificando Frações

Cláudio dividiu a pizza em 8 partes iguais e comeu 4 partes. Que fração da pizza ele comeu?

Cláudio comeu 4/8 da pizza. Mas 4/8 é equivalente a 2/4. Assim podemos dizer que Cláudio comeu 2/4 da pizza. A fração 2/4 foi obtida dividindo-se ambos os termos da fração 4/8 por 2 veja:

4/8 : 2/2 = 2/4

Dizemos que a fração 2/4 é uma fração simplificada de 4/8.

A fração 2/4 ainda pode ser simplificada, ou seja, podemos obter uma fração equivalente dividindo os dois termos da fração por 2 e vamos obter ½

Tipos de Frações

a) Fração própria : é aquela cujo o numerador é menor que o denominador. Exemplos : 2/3, 4/7, 1/8

b) Fração imprópria: é a fração cujo numerador é maior ou igual ao denominador Exemplo: 3/2, 5/5

c) Fração aparente: é a fração imprópria cujo o numerador é múltiplo do denominador Exemplo: 6/2, 19/19, 24/12, 7/7

Representação Fracionária dos Números Decimais

Trata-se do problema inverso: estando o número racional escrito na forma decimal, procuremos escrevê-lo na forma de fração. Temos dois casos:

1º) Transformamos o número em uma fração cujo numerador é o número decimal sem a vírgula e o denominador é composto pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número decimal dado:

0,9 = 9 10 5,7 = 57₁₀ 0,76 = 76 100 3,48 = 348 100

(14)

Operações com frações Adição e Subtração

A adição ou subtração de frações requer que todas as frações envolvidas possuam o mesmo denominador. Se inicialmente todas as frações já possuírem um denominador comum, basta que realizemos a soma ou a diferença de todos os numeradores e mantenha-mos este denominador comum.

1 3 −

2 3 +

5 3 =

4

3

Vejamos agora este outro exemplo:

2 3 +

1 2 −

1

6

Nesse caso, devemos achar o MMC. O MMC(2,3,6)=6, então: 4 + 3 − 1 6 = 6 6 = 1 Multiplicação

basta que multipliquemos os seus numerados entre si, fazendo-se o mesmo em relação aos seus denominadores.

1 2 ∙

3 4 =

3

8

Divisão

A divisão de frações resume-se a inversão das frações divisoras, trocando-se o seu numerador pelo seu denominador e realizan-do-se então a multiplicação das novas frações.

2 3 :

4

5

Para realizar essa divisão, basta inverter:

2 3 ∙

5 4 =

10 12 =

5

6

(15)

Exercícios

1) Um grande depósito foi esvaziado a um terço da sua capacidade e mais tarde, do que sobrou foram retirados três quartos. Sabe--se que o reservatório ainda ficou com vinte mil litros de água. Qual é a capacidade total deste reservatório?

2) Das figurinhas que eu possuía, 3/7 eu perdi e 2/5 foram dadas ao meu irmão, ficando 72 delas comigo. Quantas figurinhas foram dadas ao meu irmão?

3) Um assentador de pisos consegue assentar todos os pisos de um salão em 24 horas. Um outro assentador consegue fazer o mesmo trabalho em 21 horas. Trabalhando juntos, conseguem realizar tal trabalho em quantas horas?

4) Para comprar um certo brinquedo, da quantia necessária João possui um terço e Maria possui um quarto. Dona Lurdes, a mãe deles, prometeu completar com os R$ 125,00 que faltam para eles completarem o valor. Quanto custa tal brinquedo?

5) Cinco oitavos de três sétimos do valor de uma multa de trânsito que Zeca pé de chumbo recebeu, é igual a R$ 75,00. Qual é o valor da multa de trânsito referente à infração que Zeca pé de chumbo cometeu?

Respostas 1) 1 3 − 3 4 . 1 3 = 1 12 20000 1 12 = 240000 𝑙

Temos que dividir por 1/12 porque se multiplicarmos, obtemos o que restava. 2) 3 7 + 2 5 = 29 35 1 −29_{35 =}₃₅6 72 ∙35_{6 = 420} 420 ∙2_{5 = 168}

Foram dadas 168 figurinhas ao meu irmão. 3) 1 21 + 1 24 = 5 56

Em uma hora eles conseguem assentar 5/56

(16)

1 hora---60 minutos 0,2---x

X=12 minutos

Eles assentam juntos em 11 horas e 12 minutos 4) 1 −1_{3 −}1_{4 =}₁₂5 125 ∙12_{5 = 300} O brinquedo custa R$300,00 5) _75:5 8 : 3 7 75 ∙8_{5 ∙}7_{3 = 280} O valor da multa é R$280,00

5. NÚMEROS DECIMAIS E DÍZIMAS PERIÓDICAS

Representação Decimal das Frações

Tomemos um número racional qp , tal que p não seja múltiplo de q. Para escrevê-lo na forma decimal, basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador.

Nessa divisão podem ocorrer dois casos:

1º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um número finito de algarismos. Decimais Exatos:

5

2

= 0,4

4

1

= 0,25

4

35

= 8,75

50

153

_{= 3,06}

2º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), repetindo-se periodicamente. Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas:

3

1

_{= 0,333...}

22

1

= 0,04545...

66

167

_{= 2,53030...}

(17)

Exemplo 1

Seja a dízima 0, 333... .

Façamos x = 0,333... e multipliquemos ambos os membros por 10: 10x = 0,333 Subtraindo, membro a membro, a primeira igualdade da segunda:

10x – x = 3,333... – 0,333...

_

9x = 3 a x = 3/9 Assim, a geratriz de 0,333... é a fração

9

3

Exemplo 2

Seja a dízima 5, 1717... .

Façamos x = 5,1717... e 100x = 517,1717... . Subtraindo membro a membro, temos: 99x = 512



x = 512/99

Assim, a geratriz de 5,1717... é a fração

99

512

Classificando as Dízimas Periódicas em Simples e Compostas

A dízima periódica 0,1535353... é composta, pois ela possui um ante período que não se repete, no caso o número 1, e um período formado pelo número 53, que se repete indefinidamente. Se fosse apenas 0,535353... teríamos uma dízima periódica simples, pois ela possui apenas um período, 53, mas não um ante período.

Veja abaixo alguns exemplos:

Exemplos de Dízimas Periódicas Simples 0,111... período igual a 1

0,252525... período igual a 25 0,010101... período igual a 01 0,123123123... período igual a 123

Exemplos de Dízimas Periódicas Compostas 0,2333... ante período igual a 2 e período igual a 3 0,45222... ante período igual a 45 e período igual a 2 0,171353535... ante período igual a 171 e período igual a 35 0,32101230123... ante período igual a 32 e período igual a 0123

Exercícios

1) A dízima periódica simples 0,024024… pode ser escrita como: a) 24/99

b) 24/999 c) 240/299 d) 24/1000 e) 240/1000

(18)

2) Resolvendo a expressão

3) Resolva a expressão abaixo, apresentando a resposta na forma mais simples.

(19)

5) Dada a dízima x=0,222..., então o valor da expressão a)67/103 b)65/103 c)67/105 d)65/104 e)67/104 Respostas 1) Alternativa B X=0,024024... 1000x=24,024024... Subtraindo: 999x=24 X=24/999 2) Alternativa A A dizima 0,333...é igual a: X=0,333... 10x=3,333... 9x=3 X=1/3 0,3=3/10 Portanto 3)

(20)

4) Alternativa A Y=0,242424... 100x=24,242424... 99x=24 X=24/99 5) Alternativa A X=0,222... 10x=2,222... 9x=2 X=2/9 SISTEMAS DE UNIDADE, NOTAÇÃO CIENTÍFICA E BASES NÃO

DECIMAIS

Sistemas de unidade

Para a Física como ciência da Natureza, é fundamental a medição das grandezas utilizadas para descrever os aspectos do Univer-so que os físicos aceitam como verdadeiros.

O processo de medida de uma grandeza física qualquer está associado à ideia de comparação. Neste sentido, medir uma grandeza é estabelecer o seu valor como múltiplo de certa unidade. Por exemplo, quando dizemos que o comprimento de uma das dimensões de uma mesa é 2 m, estamos dizendo que esse comprimento equivale a duas vezes o comprimento correspondente à unidade chamada metro.

O nome da unidade é sempre escrito em letras minúsculas. Os símbolos das unidades são entes matemáticos e não abreviaturas. Por isso, eles não devem ser seguidos de ponto (exceto quando aparecem nos finais de frases) nem da letra s para formar o plural.

(21)

Unidades de Comprimento

km hm dam m dm cm mm

Quilômetro Hectômetro Decâmetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro

1000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m

Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto os submúltiplos, para pequenas distâncias. Para medidas milimétricas, em que se exige precisão, utilizamos:

mícron (µ) = 10-6_m _{angströn (Å) = 10}-10_m

Para distâncias astronômicas utilizamos o Ano-luz (distância percorrida pela luz em um ano): Ano-luz = 9,5 · 1012_km

Massa

A subunidade grama é do gênero masculino. Por isso, ao falar e escrever o quilograma ou seus múltiplos ou submúltiplos, de-vemos fazer a concordância correta. Por exemplo, escrede-vemos duzentos e um gramas ou trezentos e vinte e dois miligramas. Além disso, no símbolo do quilograma (kg), a letra k é minúscula.

Unidades de Massa

kg hg dag g dg cg mg

quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama

1000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m

Superfície

A medida de superfície é sua área e a unidade fundamental é o metro quadrado(m²).

Para transformar de uma unidade para outra inferior, devemos observar que cada unidade é cem vezes maior que a uni-dade imediatamente inferior. Assim, multiplicamos por cem para cada deslocamento de uma uniuni-dade até a desejada.

Unidades de Área

km2 _hm2 _dam2 _m2 _dm2 _cm2 _mm2

Quilômetro

Quadrado HectômetroQuadrado DecâmetroQuadrado QuadradoMetro DecímetroQuadrado CentímetroQuadrado MilímetroQuadrado 1000000m2 _10000m2 _100m2 _1m2 _0,01m2 _0,0001m2 _0,000001m2 Volume

Os sólidos geométricos são objetos tridimensionais que ocupam lugar no espaço. Por isso, eles possuem volume. Podemos encon-trar sólidos de inúmeras formas, retangulares, circulares, quadrangulares, entre outras, mas todos irão possuir volume e capacidade.

Unidades de Volume

km3 _hm3 _dam3 _m3 _dm3 _cm3 _mm3

Quilômetro

Cúbico HectômetroCúbico DecâmetroCúbico CúbicoMetro DecímetroCúbico CentímetroCúbico MilímetroCúbico 1000000000m3 _1000000m3 _1000m3 _1m3 _0,001m3 _0,000001m3 _0,000000001m3

(22)

Capacidade

Para medirmos a quantidade de leite, sucos, água, óleo, gasolina, álcool entre outros utilizamos o litro e seus múltiplos e submúl-tiplos, unidade de medidas de produtos líquidos.

Se um recipiente tem 1L de capacidade, então seu volume interno é de 1dm³ 1L=1dm³

Unidades de Capacidade

kl hl dal l dl cl ml

Quilolitro Hectolitro Decalitro Litro Decilitro Centilitro Mililitro 1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l

Notação Científica

A notação científica é uma outra forma de escrevermos números reais recorrendo a potências de 10.

Mantissa e Ordem de Grandeza

Ao escrevermos um número em notação científica utilizamos o seguinte formato:

Onde o coeficiente a é um número real denominado mantissa, cujo módulo é igual ou maior que 1 e menor que10 e o expoente b, a ordem de grandeza, é um número inteiro.

Exemplos de Números Escritos em Notação Científica

Para escrevemos o número real n em notação científica precisamos transformá-lo no produto de um número real igual ou maior que 1 e menor que 10, por uma potência de 10 com expoente inteiro.

A mantissa é obtida se posicionando a vírgula à direita do primeiro algarismo significativo deste número. Se o deslocamento da vírgula foi para a esquerda, a ordem de grandeza será o número de posições deslocadas.

Se o deslocamento da vírgula foi para a direita, a ordem de grandeza será o simétrico do número de posições deslocadas, será portanto negativa.

Veja como fica 2048 escrito na forma de notação científica:

2048 foi escrito como 2,048, pois 1 ≤ 2,048 < 10.

Como deslocamos a vírgula 3 posições para a esquerda, devemos multiplicar 2,048 por 103_{como compensação.} Veja agora o caso do número 0,0049 escrito na forma de notação científica:

Neste caso deslocamos a vírgula 3 posições à direita, então devemos multiplicar 4,9 por 10-3_{. Veja que neste caso a ordem de} grandeza é negativa.

Bases não-decimais

Para expressarmos quantidades ou para enumerarmos objetos, por exemplo, utilizamos um sistema de numeração. Existem vá-rios sistemas de numeração, mas o mais comum e que é frequentemente utilizado por nós, é o sistema de numeração decimal.

Neste sistema os números são representados por um agrupamento de símbolos que chamamos de algarismos ou dígitos. No sistema decimal contamos com dez símbolos distintos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9

(23)

Exemplo:

Podemos representar os números da seguinte maneira 1300=1 milhar + 3 centenas=1.10³+3.10²

45=4 dezenas+5 unidades=4.10+5.10’

No entanto, ele não é a única base válida ou usada. Os computadores utilizam a base 2 ( sistema binário ).

Qualquer sistema de numeração pode ser representado pela seguinte expressão geral: …

Na expressão acima, d é o número do sistema (0,1,2,3...) e b é a base do sistema. Tempo

A unidade fundamental do tempo é o segundo(s). É usual a medição do tempo em várias unidades. Exemplo: 4 dias 13 horas 28 minutos 17 segundos Mudanças de unidades

Deve-se saber: 1 dia=24horas 1hora=60minutos 1 minuto=60segundos

No exemplo dado, vamos transformar para segundos. A maneira mais simples de resolver é fazendo regra de três: 1 dia---24horas 4 dias---x X=24x4=96horas 96+13=109horas 1hora---60min 109---x X=109x60=6540min 6540+28=6568 minutos 1min---60s 6568----x X=6568x60=394080s Portanto, 394080+17=394097s

(24)

Como vimos anteriormente, podemos expressar um mesmo número em diferentes bases. O número 9 na base 10 expressa-se como 1001 na base 2.

Isto é:

Exemplo

Da mesma forma, o numeral 2345 na base dez, na base sete ou base seis representa números distintos, mas as regras para realizar as operações não mudam com a mudança de base.

Exercícios

1) Em uma estrada havia 9km de congestionamento. Quantos carros estavam em uma única fila se cada carro ocupa um espaço de 4,5m em média?

2) Quantos litros cabem em uma caixa d’água de 0,5m³?

3) Uma tonelada de carne moída será distribuída em bandejas de isopor que comportam 320g cada uma. Quantas bandejas serão necessárias?

4) Um caminhão pipa carrega 3,5 kl de água. Quantos galões de 5 litros são necessários para engarrafar toda a água?

5) No tanque de um automóvel cabe 0,57hl de combustível. Se o litro custa R$2,00, quanto se gastará para encher do tanque? Respostas 1) 9km-9000 m 2) 1L-1dm³ 0,5m³=500dm³ Portanto, temos 500 l. 3) 1t-1000kg-1000000g Portanto, 4) 3,5kl-3500L

(25)

5) 0,57 hl-57 l

Gastará R$ 76,00

RAZÕES E PROPORÇÕES Razão

Chama-se de razão entre dois números racionais a e b, com b 0, ao quociente entre eles. Indica-se a razão de a para b por a/b ou a : b.

Exemplo:

Na sala do 1º ano de um colégio há 20 rapazes e 25 moças. Encontre a razão entre o número de rapazes e o número de moças. (lembrando que razão é divisão)

Proporção

Proporção é a igualdade entre duas razões. A proporção entre A/B e C/D é a igualdade:

Propriedade fundamental das proporções Numa proporção:

Os números A e D são denominados extremos enquanto os números B e C são os meios e vale a propriedade: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é:

A x D = B x C

Exemplo: A fração 3/4 está em proporção com 6/8, pois:

Exercício: Determinar o valor de X para que a razão X/3 esteja em proporção com 4/6. Solução: Deve-se montar a proporção da seguinte forma:

(26)

Exercícios

1) Durante um torneio uma equipe de futebol obteve o seguinte resultado: 40 vitórias, 24 empates e 16 derrotas. Qual a razão do número de vitórias para o número de partidas disputadas?

2) Uma equipe de futebol obteve, durante o ano de 2013, 26 vitórias, 15 empates e 11 derrotas. Qual é a razão do número de vitórias para o número total de partidas disputadas?

3) Um reservatório com capacidade para 8m³ de água, está com 2000L de água. Qual a razão da quantidade de água que está no reservatório para a capacidade total do reservatório? (Lembre-se que 1dm³ = 1L).

4) Um número a somado a um outro número b totaliza 216. a está para 12, assim como b está para 15. Qual o valor

de a e de b?

5) A idade de Pedro está para a idade de Paulo, assim como 5 está para 6. Quantos anos tem Pedro e Paulo sabendo-se que as duas idades somadas totalizam 55 anos?

Respostas 1) número de partidas:40+24+16=80 2) número de partidas:26+15+11=52 Razão:26/52=1/2 3)8m³=8000dm³ 2000/8000=1/4 4) 5)a=Pedro b=Paulo a+b=55 b=30 a=25

(27)

ESCALAS

Escalas

As Escalas representam, de forma gráfica, um mapa e a realidade do espaço geográfico real, com isso os mapas podem utilizar duas escalas, numérica ou gráfica.

Usamos escala quando queremos representar um esboço gráfico de objetos, da planta de uma casa ou de uma cidade, mapas, maquetes, etc.

- Escala numérica: É representada em forma de fração 1/10.000 ou razão 1:10.000, isso significa que o valor do numerador é o do mapa e o denominador é o valor referente ao espaço real.

Ex: 1:10.000, cada 1 cm no papel (mapa) corresponde a 10.000 cm no espaço real. - Escala Gráfica: Representa de forma gráfica a escala numérica.

Cada unidade da escala, ou seja, 1 cm representa 50 km no espaço real.

Exercícios

1) Um mapa está na escala 1:6000000. Se duas localidades estão representadas no mapa à distância de 14,2 cm, qual é então a distância real entre as mesmas em quilômetros?

a)8,52 b)85,2 c)852 d)8250 e)85200

2) Um terreno tem 100 metros de comprimento e está representado numa planta por 10 centímetros. Então sua escala é de: a)1:1000

b)1:2000 c)1:100 d)1:1500 e)1:10000

3) Em um mapa desenhado na escala 1: 50.000, a distância entre duas cidades é de 4 cm. Se o mesmo mapa for desenhado na escala 1: 1.250.000, a distância entre essas cidades será de:

a)0,8cm b)0,16cm c)2cm d)12cm e)15cm

4) Num mapa, cuja escala é 1:3.000.000, a estrada Belém-Brasília tem 67 cm. Calcular, em km, a distância real: a)2100

b)2010 c)2280 d)1910 e)2233

5) Um protótipo foi desenhado na escala 1:100. Qual será o comprimento desse protótipo se o modelo em tamanho real tem um comprimento igual a 4m?

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Respostas 1) Alternativa C 1---6000000 14,2----x X=85200000cm=852km 2) Alternativa A 100m=10000cm 10:10000 1:1000 3) Alternativa B 1---50000 4---x X=200000cm 1----1250000 x----200000 x=0,16 4) Alternativa B 1----3000000 67---x X=201000000cm=2010km 5) 1----100 x----400 x=4cm DIVISÃO PROPORCIONAL

Algumas situações financeiras, ou somente casos envolvendo divisões, são satisfatoriamente resolvidas utilizando a divisão pro-porcional. Essa divisão é aplicada em situações de partilha de heranças, formulação de inventários, cálculo de salário proporcional aos dias trabalhados, entre outras inúmeras situações.

Diretamente Proporcionais

Para decompor um número M em partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, deve-se montar um sistema com n equações e n incógnitas, sendo as somas X1+X2+...+Xn=M e p1+p2+...+pn=P.

(29)

Exemplo

Carlos e João resolveram realizar um bolão da loteria. Carlos entrou com R$ 10,00 e João com R$ 15,00. Caso ganhem o prê-mio de R$ 525.000,00, qual será a parte de cada um, se o combinado entre os dois foi de dividirem o prêprê-mio de forma diretamente proporcional?

Carlos ganhará R$210000,00 e Carlos R$315000,00.

Inversamente Proporcionais

Para decompor um número M em n partes X1, X2, ..., Xn inversamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, basta decompor este número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a 1/p1, 1/p2, ..., 1/pn.

A montagem do sistema com n equações e n incógnitas, assume que X1+X2+...+ Xn=M e além disso

cuja solução segue das propriedades das proporções:

Exemplo

Para decompor o número 220 em três partes A, B e C inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas, de modo que A+B+C=220. Desse modo:

(30)

Exercícios

1) Três trabalhadores devem dividir R$ 1.200,00 referentes ao pagamento por um serviço realizado. Eles trabalharam 2, 3

e 5 dias respectivamente e devem receber uma quantia diretamente proporcional ao número de dias trabalhados. Quanto deverá receber cada um?

2) Dois ambulantes obtiveram R$ 1.560,00 pela venda de certas mercadorias. Esta quantia deve ser dividida entre eles em

partes diretamente proporcionais a 5 e 7, respectivamente. Quanto irá receber cada um?

3) Os três jogadores mais disciplinados de um campeonato de futebol amador irão receber um prêmio de R$ 3.340,00

rateados em partes inversamente proporcionais ao número de faltas cometidas em todo o campeonato. Os jogadores cometeram 5, 7 e 11 faltas. Qual a premiação referente a cada um deles respectivamente?

4) Um pai distribuiu 546 bolas de gude aos seus 2 filhos em partes diretamente proporcionais à média final na disciplina

de matemática e em partes inversamente proporcionais ao número de faltas em todo o ano letivo. O primeiro filho teve média final 9 e faltou 8 vezes, enquanto que o segundo filho teve média final 8 e faltou 3 vezes. Quantas bolas de gude eles ganharam respectivamente?

5) Divida o número 124 em parcelas diretamente proporcionais a 11, 7 e 13.

Respostas 1) P1=2k P2=3k P3=5k P1+p2+p3=1200 2k+3k+5k=1200 k=120 p1=120.2=240 p2=120.3=360 p3=120.5=600

Quem trabalhou 2 dias receberá R$240,00 3 dias-R$360,00 5 dias- R$600,00 2) P1=5k P2=7k P1+p2=1560 5k+7k=1560 k=130 p1=130.5=650 p2=130.7=910

Os ambulantes irão receber R$650,00 e R$910,00, respectivamente. 3) P1=1/5k

P2=1/7k P3=1/11k P1+p2+p3=3340

(31)

k=7700

p1=7700.1/5=1540 p2=7700.1/7=1100 p3=7700.1/11=700

A premiação será respectivamente R$ 1.540,00, R$ 1.100,00 e R$ 700,00. 4) P1=9/8k P2=8/3k P1+p2=546 k=144 p1=9/8.144=162 p2=8/3.144=384

O primeiro filho ganhou 162 bolas de gude e o segundo ganhou 384. 5) P1=11k P2=7k P3=13k P1+p2+p3=124 11k+7k+13k=124 K=4 P1=11.4=44 P2=7.4=28 P3=13.4=52

As parcelas procuradas são respectivamente 44, 28 e 52.

REGRA DE TRÊS SIMPLES OU COMPOSTA

Regra de três simples

Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

Passos utilizados numa regra de três simples:

1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.

2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 3º) Montar a proporção e resolver a equação.

Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?

(32)

Solução: montando a tabela: 1) Velocidade (Km/h) Tempo (h) 400---3

480--- x

2) Identificação do tipo de relação: Velocidade---tempo

400↓---3↑ 480↓--- x↑

Obs.: como as setas estão invertidas temos que inverter os números mantendo a primeira coluna e invertendo a segunda coluna ou seja o que está em cima vai para baixo e o que está em baixo na segunda coluna vai para cima

Velocidade---tempo 400↓---X↓ 480↓--- 3↓

Regra de três composta

Regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais. Exemplos:

1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?

Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espé-cies diferentes que se correspondem:

Horas ---caminhões---volume 8↑---20↓---160↑ 5↑---x↓---125↑

A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. Observe que:

Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente pro-porcional (seta para cima na 1ª coluna).

Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Horas ---caminhões---volume

8↑---20↓---160↓ 5↑---x↓---125↓

Obs.: Assim devemos inverter a primeira coluna ficando: Horas ---caminhões---volume

5---20---160 8---x---125

(33)

Simplificando fica:

Logo, serão necessários 25 caminhões

Exercícios

1)Em uma hora, 4 máquinas produzem 1200 parafusos. Nesse mesmo tempo, 3 máquinas produzirão quantos parafusos? a) 800

b) 900 c) 1000 d) 1100 e) 1600

2) Uma torneira despeja 18 litros de água em 9 minutos. Em 2 horas e 15 minutos despejará: a) 300

b) 270 c) 240 d) 220 e) 200

3) Um certo volume de medicação demora 6 horas para ser ministrado em um gotejamento de 12 gotas por minuto. Se o número de gotas por minuto fosse de 18 gotas, quanto tempo teria demorado a aplicação desta mesma medicação?

4) Uma família com 2 duas pessoas consome 12m3_{de água a cada 30 dias. Se mais uma pessoa com os mesmos hábitos de}

consumo se juntar a ela, quantos metros cúbicos de água eles consumirão em uma semana?

5) Um grupo de 10 trabalhadores descarregam 210 caixas de mercadoria em 3 horas. Quantas horas 25 trabalhadores precisarão para descarregar 350 caixas?

Respostas 1)b Máquinas---parafusos 4---1200 3--- x X=900 2)b litros---minutos 18---9 x--- 135 X=270l 3)12gotas↑---6horas↓ 18gotas↑---x↓

Quanto mais gotas menos horas 12↑ ---x↑

18---6↑ X=4horas

(34)

4)P=pessoas V=volume D=dias V P D

12---2---30 x---3---7

Ao aumentar o número de pessoas, aumenta o volume Diminuindo o número de dias, diminui o volume. Portanto, são grandezas diretamente proporcionais

X=4,2

Com 3 integrantes, a família irá consumir 4,2m³. 5) T=trabalhadores C=caixas D=descarga ↑ T ↓C D↓ 10---210----3 25----350---x ↓T ↓C D↓ 25----210----3 10----350---x X=2

As caixas podem ser descarregadas em 2 horas.

PORCENTAGEM

Porcentagem

Porcentagem é uma fração cujo denominador é 100, seu símbolo é (%). Sua utilização está tão disseminada que a encontramos nos meios de comunicação, nas estatísticas, em máquinas de calcular, etc. A utilização da porcentagem se faz por regra de 3 simples. Por exemplo, a vendedora de uma loja ganha 3% de comissão sobre as vendas que faz. Se as vendas do mês de outubro forem de R$ 3.500,00 qual será sua comissão? Equacionando e montando a regra de 3 temos:

(35)

Logo, a comissão será de R$ 105,00. Existe outra maneira de encarar a porcentagem, que seria usar diretamente a definição: Logo 3% de R$ 3.500,00 seriam

Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO.

Acréscimo

Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo:

Acréscimo ou Lucro Fator de Multiplicação

10% 1,10

15% 1,15

20% 1,20

47% 1,47

67% 1,67

Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos:

Desconto

No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será: Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal) Veja a tabela abaixo:

Desconto Fator de Multiplicação

10% 0,90

25% 0,75

34% 0,66

60% 0,40

90% 0,10

Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos:

Chamamos de lucro em uma transação comercial de compra e venda a diferença entre o preço de venda e o preço de custo.

(36)

Podemos expressar o lucro na forma de porcentagem de duas formas:

Exemplo:

O preço de venda de um bem de consumo é R$ 100,00. O comerciante tem um ganho de 25% sobre o preço de custo deste bem. O valor do preço de custo é:

a) R$ 25,00 b) R$ 70,50 c) R$ 75,00 d) R$ 80,00 e) R$ 125,00 Resolução Ganho = lucro Resposta: D Exercícios

1)

Ao comprar um produto que custava R$1500,00 obtive um desconto de 12%. Por quanto acabei pagando o produto? Qual o valor do desconto obtido?

2)

Um guarda-roupa foi comprado a prazo, pagando-se R$ 2.204,00 pelo mesmo. Sabe-se que foi obtido um desconto de 5% sobre o preço de etiqueta. Se a compra tivesse sido à vista, o guarda-roupa teria saído por R$ 1.972,00. Neste caso, qual teria sido o desconto obtido?

3)

Ana passou a ganhar R$550,00 porque teve um aumento de 10%. Qual era seu salário antigo?

4)

(PCSP1205/001-AgentePolicia – 2013) – Um produto foi vendido com desconto de 10% sobre o preço normal de venda. Se ele foi vendido por R$ 54,00, o preço normal de venda desse produto é

(A) R$ 59,40. (B) R$ 58,00. (C) R$ 60,00. (D) R$ 59,00. (E) R$ 58,40.

5)

(VNSP1201/003-AssistAdmin-I 2012) – Um arquiteto projetou uma Escola Infantil, utilizando 45% da área total do terreno para o prédio que continha as salas de aula e 15% para as salas de projeção, biblioteca e laboratórios. Mesmo assim, sobrou uma área de 900 m² para ambientes de lazer. Podemos concluir que o terreno tinha um total, em m², de

(A) 3 250. (B) 3 000. (C) 2 750. (D) 2 450. (E) 2 250.

(37)

Respostas

1)

R$1500,00-R$180,00=R$1320,00

O valor do desconto é de R$180,00 e o valor do produto é R$1320,00 2) Como é um desconto:

1-0,05=0,95

O preço do guarda roupa sem desconto é R$2320,00 O desconto obtido é:

R$2320,00-R$1972,00=R$348,00 2320---100%

348---x X=15%

O desconto à vista seria de 15% 3) Como é um acréscimo de 10 %: O fator de multiplicação é 1,1. Então dividindo o salário reajustado:

4) Alternativa C 1-0,1=0,9

O preço de venda do produto é R$60,00 5) Alternativa E 45%+15%=60% 900m²=40% X----100% 900—40 X=2250

(38)

TEORIA DOS CONJUNTOS: CONJUNTOS NUMÉRICOS; RELAÇÕES,

Conjunto está presente em muitos aspectos da vida, sejam eles cotidianos, culturais ou científicos. Por exemplo, formamos con-juntos ao organizar a lista de amigos para uma festa agrupar os dias da semana ou simplesmente fazer grupos.

Os componentes de um conjunto são chamados de elementos. Para enumerar um conjunto usamos geralmente uma letra maiúscula. Pode ser definido de duas maneiras:

• Enumerando todos os elementos do conjunto: S={1, 3, 5, 7, 9}

• Simbolicamente: B={x ∈ N|x<8}, enumerando esses elementos temos:

B={0,1,2,3,4,5,6,7}

• Há também um conjunto que não contém elemento e é representado da seguinte forma: S=∅ ou S={ }.

Quando todos os elementos de um conjunto A pertencem também a outro conjunto B, dizemos que:

• A é subconjunto de B

• Ou A é parte de B

• A está contido em B escrevemos:

• A⊂B

• Se existir pelo menos um elemento de A que não pertence a B: A⊄B

Igualdade

Propriedades básicas da igualdade

• Para todos os conjuntos A, B e C,para todos os objetos x ∈ U, temos que:

(1) A = A.

(2) Se A = B, então B = A. (3) Se A = B e B = C, então A = C. (4) Se A = B e x ∈ A, então x∈ B. Se A = B e A ∈ C, então B ∈ C.

Dois conjuntos são iguais se, e somente se, possuem exatamente os mesmos elementos. Em símbolo:

Para saber se dois conjuntos A e B são iguais, precisamos saber apenas quais são os elementos. Não importa ordem:

A={1,2,3} e B={2,1,3} Não importa se há repetição: A={1,2,2,3} e B={1,2,3}

Classificação

Definição

Chama-se cardinal de um conjunto, e representa-se por #, ao número de elementos que ele possui. Exemplo

Por exemplo, se A ={45,65,85,95} então #A = 4. Definições

Dois conjuntos dizem-se equipotentes se têm o mesmo cardinal. Um conjunto diz-se

a) infinito quando não é possível enumerar todos os seus elementos b) finito quando é possível enumerar todos os seus elementos c) singular quando é formado por um único elemento d) vazio quando não tem elementos

(39)

Exemplos

N é um conjunto infinito (O cardinal do conjunto N (#N) é infinito (∞)); A = {½, 1} é um conjunto finito (#A = 2);

B = {Lua} é um conjunto singular (#B = 1) { } ou ∅ é o conjunto vazio (#∅ = 0)

Pertinência

O conceito básico da teoria dos conjuntos é a relação de pertinência representada pelo símbolo ∈. As letras minúsculas designam os elementos de um conjunto e as maiúsculas, os conjuntos. Assim, o conjunto das vogais (V) é:

V={a,e,i,o,u}

A relação de pertinência é expressa por: a∈V

A relação de não-pertinência é expressa por:b∉V, pois o elemento b não pertence ao conjunto V.

Inclusão

A Relação de inclusão possui 3 propriedades:

1. Propriedade reflexiva: A⊂_{A, isto é, um conjunto sempre é subconjunto dele mesmo.}

2. Propriedade antissimétrica: se A⊂_{B e B}⊂_{A, então A=B}

3. Propriedade transitiva: se A⊂_{B e B}⊂_{C, então, A}⊂_C.

Operações União

Dados dois conjuntos A e B, existe sempre um terceiro formado pelos elementos que pertencem pelo menos um dos conjuntos a que chamamos conjunto união e representamos por: A∪B.

Formalmente temos: A∪B={x|x∈A ou x∈B} Exemplo:

A={1,2,3,4} e B={5,6} A∪B={1,2,3,4,5,6}

Interseção

A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que são ao mesmo tempo de A e de B, e é representada por : A∩B. Simbolicamente: A∩B={x|x∈A e x∈B} Exemplo: A={a,b,c,d,e} e B={d,e,f,g} A∩B={d,e} Diferença

Uma outra operação entre conjuntos é a diferença, que a cada par A, B de conjuntos faz corresponder o conjunto definido por: A – B ou A\B que se diz a diferença entre A e B ou o complementar de B em relação a A.

A este conjunto pertencem os elementos de A que não pertencem a B. A\B = {x : x∈A e x∉B}.

(40)

Exemplo:

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e B = {5, 6, 7}

Então os elementos de A – B serão os elementos do conjunto A menos os elementos que pertencerem ao conjunto B. Portanto A – B = {0, 1, 2, 3, 4}. Exercícios 1) Dados os conjuntos: A={1,2,3,4,5}; B={4,5,6} Calcular: a) A ∪ _B b) A∩B c) A-B

2) Numa escola há n alunos. Sabe-se que 56 alunos leem o jornal A, 21 leem os jornais A e B, 106 leem apenas um dos jornais e 66 não leem o jornal B. O valor de n é:

a) 249 b) 137 c) 158 d) 127 e) 183

3) Em um grupo de 30 crianças, 16 têm olhos azuis e 20 estudam canto. O número de crianças desse grupo que têm olhos azuis e estudam canto é: a) exatamente 16. b) no mínimo 6. c) exatamente 10. d) no máximo 6. e) exatamente 6.

4) Numa escola de 630 alunos, 350 deles estudam Português, 210 estudam Espanhol e 90 estudam as duas matérias. Pergunta-se: a) Quantos alunos estudam apenas Português?

b) Quantos alunos estudam apenas espanhol? c) Quantos alunos estudam Português ou Espanhol?

d) Quantos alunos não estudam nenhuma das duas matérias?

5) Num grupo de estudantes, verificou-se que 310 leram apenas um dos romances A ou B; 270, o romance B; 80, os dois roman-ces, A e B, e 340 não leram o romance A. O número de estudantes desse grupo é igual a:

a) 380 b) 430 c) 480 d) 540 e) 610

(41)

Respostas

1) a) A∪_{B={1, 2, 3, 4, 5, 6}}

b) A∩B={4, 5}

c) A-B ={1, 2, 3}

2)

Leem jornal A=56-21=35 Leem jornal B=106-35=71 Não leem o jornal B=66-35=31 O valor de n é :35+21+71+31=158 3) (16-x)+x+(20-x)=30 -x=-6 x=6 4)

(42)

P=350-90=260 E=210-90=120

Nenhuma das duas: 630-470=160 a)350-90=260 b)210-90=120 c)260+90+120=470 d)630-470=160 5) B=270-80=190 Não A=340-190=150 A e B=80 A ou B=310-190=12 O número de estudantes é :190+80+120+150=540 FUNÇÕES DE PRIMEIRO E SEGUNDO GRAU Função 1 grau

A função do 1° grau relacionará os valores numéricos obtidos de expressões algébricas do tipo (ax + b), constituindo, assim, a função f(x) = ax + b.

Note que para definir a função do 1° grau, basta haver uma expressão algébrica do 1° grau. Como dito anteriormente, o objetivo da função é relacionar para cada valor de x um valor para o f(x). Vejamos um exemplo para a função f(x)= x – 2.

x = 1, temos que f(1) = 1 – 2 = –1 x = 4, temos que f(4) = 4 – 2 = 2

Note que os valores numéricos mudam conforme o valor de x é alterado, sendo assim obtemos diversos pares ordenados, consti-tuídos da seguinte maneira: (x, f(x)). Veja que para cada coordenada x, iremos obter uma coordenada f(x). Isso auxilia na construção de gráficos das funções.

Portanto, para que o estudo das funções do 1° grau seja realizado com sucesso, compreenda bem a construção de um gráfico e a manipulação algébrica das incógnitas e dos coeficientes.

(43)

Estudo dos Sinais

Definimos função como relação entre duas grandezas representadas por x e y. No caso de uma função do 1º grau, sua lei de for-mação possui a seguinte característica: y = ax + b ou f(x) = ax + b, onde os coeficientes a e b pertencem aos reais e diferem de zero. Esse modelo de função possui como representação gráfica a figura de uma reta, portanto, as relações entre os valores do domínio e da imagem crescem ou decrescem de acordo com o valor do coeficiente a. Se o coeficiente possui sinal positivo, a função é crescente, e caso ele tenha sinal negativo, a função é decrescente.

Função Crescente – a > 0

Função Decrescente – a < 0

Raiz da função

Calcular o valor da raiz da função é determinar o valor em que a reta cruza o eixo x, para isso consideremos o valor de y igual a zero, pois no momento em que a reta intersecta o eixo x, y = 0. Observe a representação gráfica a seguir:

Podemos estabelecer uma formação geral para o cálculo da raiz de uma função do 1º grau, basta criar uma generalização com base na própria lei de formação da função, considerando y = 0 e isolando o valor de x (raiz da função). Veja:

y = ax + b y = 0 ax + b = 0 ax = –b x = –b/a

(44)

Função Quadrática

Em geral, uma função quadrática ou polinomial do segundo grau tem a seguinte forma: f(x)=ax²+bx+c, onde a≠0

É essencial que apareça ax² para ser uma função quadrática e deve ser o maior termo.

Considerações

Concavidade

A concavidade da parábola é para cima se a>0 e para baixo se a<0

Relação do na função

Quando , a parábola y=ax²+bx+c intercepta o eixo x em dois pontos distintos, (x1,0) e (x2,0), onde x1 e x2 são raízes da equação ax²+bx+c=0

Quando , a parábola y=ax²+bx+c é tangente ao eixo x, no ponto

Repare que, quando tivermos o discriminante , as duas raízes da equação ax²+bx+c=0 são iguais a . Se, a parábola y=ax²+bx+c não intercepta o eixo.

Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V.

(45)

Imagem

O conjunto-imagem Im da função y = ax2_{+ bx + c, a 0, é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades:} 1ª - quando a > 0,

a > 0

2ª quando a < 0,

(46)

Exemplo

Vamos construir o gráfico da função y = x2_{+ x:}

Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.

Exercícios

1) Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes: 1.000 a parte fixa, e uma parte variável que corres-ponde a uma com comissão de 18% do total de vendas que ele fez durante o mês.

a)expressar a função que representa seu salário mensal.

b) calcular o salário do vendedor durante um mês, sabendo-se que vendeu 10.000 em produtos.

2) Um motorista de táxi cobra R$ 3,50 de bandeirada (valor fixo) mais R$ 0,70 por quilômetro rodado (valor variável). Deter-mine o valor a ser pago por uma corrida relativa a um percurso de 18 quilômetros.

3) O salário de um vendedor é composto de uma parte fixa no valor de R$ 800,00, mais uma parte variável de 12% sobre o valor de suas vendas no mês. Caso ele consiga vender R$ 450 000,00, calcule o valor de seu salário.

(47)

(A) (B) (C) (D) (E)

5) (UFRGS) Para que a parábola da equação y=ax²+bx-1 contenha os pontos (-2; 1) e (3; 1), os valores de a e b são, respecti-vamente, (A) e (B) e (C) e (D) e (E) e Respostas 1) a)S=1000+0,18V b) S=1000+0,18*10000 = 2800.00

2) Função que define o valor a ser cobrado por uma corrida de x quilômetros: f(x) = 0,70x + 3,50. Valor a ser pago por uma corrida de percurso igual a 18 quilômetros.

f(x) = 0,70x + 3,50 f(18) = 0,70 * 18 + 3,50 f(18) = 12,60 + 3,50 f(18) = 16,10

(48)

3) f(x) = 12% de x (valor das vendas mensais) + 800 (valor fixo) f(x) = 12/100 * x + 800 f(x) = 0,12x + 800 f(450 000) = 0,12 * 450 000 + 800 f(450 000) = 54 000 + 800 f(450 000) = 54 800

O salário do vendedor será de R$ 54 800,00. 4) Alternativa C

a>0 pois a concavidade está para cima. c=-9 - onde corta o eixo y

o eixo x é cortado em -3/2 e 3 portanto:0=a(-3/2)²+b(-3/2)-9 0=9a+3b-9

Multiplicando a primeira equação por- 4:

Somando as duas equações 9b+27=0

b=-3 a=2 y=2x²-3x-9 5)Alternativa B

Multiplicando a primeira equação por 3 e a segunda por 2:

(49)

NOÇÕES DE PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA DESCRITIVA

Probabilidade

Considere os seguintes experimentos: -Lançamento de um dado

-Lançamento de uma moeda

Mesmo se esses experimentos forem repetidos várias vezes, nas mesmas condições, não poderemos prever o resultado. Um experimento cujo resultado, embora único, é imprevisível, é denominado experimento aleatório.

A Teoria da Probabilidade surgiu para tentar medir a chance de ocorrer um determinado resultado num experimento aleatório.

Espaço Amostral

O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório é denominado espaço amostral, que vamos indicar por E. -lançamento de um dado: E={1, 2, 3, 4, 5, 6}

-lançamento de uma moeda:E={cara, coroa}

Qualquer subconjunto do espaço amostral é chamado evento.

Probabilidade em Espaços Amostrais Finitos

Probabilidade de um evento A representa a chance de ocorrer um evento A. O valor p(A) é igual ao número de elementos de A, dividido pelo número de elementos do espaço amostral E.

Adição de probabilidades

Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral E, finito e não vazio. Tem-se:

Exemplo

No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de se obter um número par ou menor que 5, na face superior? Solução

E={1,2,3,4,5,6} n(E)=6 Sejam os eventos A={2,4,6} n(A)=3 B={1,2,3,4} n(B)=4

(50)

Probabilidade Condicional

É a probabilidade de ocorrer o evento A dado que ocorreu o evento B, definido por:

Do exemplo anterior: E={1,2,3,4,5,6}, n(E)=6 B={2,4,6} n(B)=3 A={2}

Exemplo

Calcule a probabilidade de, jogando um dado ideal, obter um número maior que 4. Solução

E={1, 2, 3, 4, 5, 6} Evento:A={5, 6}

Estatística Descritiva

A estatística descritiva é a etapa inicial da análise utilizada para descrever e resumir os dados. A disponibilidade de uma grande quantidade de dados e de métodos computacionais muito eficientes revigorou está área da estatística.

Frequências

A primeira fase de um estudo estatístico consiste em recolher, contar e classificar os dados pesquisados sobre uma população estatística ou sobre uma amostra dessa população.

Frequência Absoluta

É o número de vezes que a variável estatística assume um valor.

Frequência Relativa

É o quociente entre a frequência absoluta e o número de elementos da amostra. Na tabela a seguir, temos exemplo dos dois tipos:

(51)

Medidas de Tendência Central Média aritmética

Média aritmética de um conjunto de números é o valor que se obtém dividindo a soma dos elementos pelo número de elementos do conjunto.

Representemos a média aritmética por .

A média pode ser calculada apenas se a variável envolvida na pesquisa for quantitativa. Não faz sentido calcular a média aritmé-tica para variáveis quantitativas.

Na realização de uma mesma pesquisa estatística entre diferentes grupos, se for possível calcular a média, ficará mais fácil esta-belecer uma comparação entre esses grupos e perceber tendências.

Considerando uma equipe de basquete, a soma das alturas dos jogadores é:

Se dividirmos esse valor pelo número total de jogadores, obteremos a média aritmética das alturas:

A média aritmética das alturas dos jogadores é 2,02m.

Média Ponderada

A média dos elementos do conjunto numérico A relativa à adição e na qual cada elemento tem um “determinado peso” é chamada média aritmética ponderada.

Exemplo

O peso médio (média aritmética dos pesos) dos 100 alunos de uma academia de ginástica é igual a 75 kg. O peso médio dos homens é 90 kg e o das mulheres é 65 kg.

a) Quantos homens frequentam a academia?

(52)

Solução

a) x=número de homens 100-x=número de mulheres

Portanto, 40 homens frequentam a academia b) A=soma dos pesos dos 10 alunos mais pesados

A=1020 O peso médio é:

Mediana (Md)

Sejam os valores escritos em rol:

1. Sendo n ímpar, chama-se mediana o termo tal que o número de termos da sequência que precedem é igual ao número de termos que o sucedem, isto é, é termo médio da sequência ( ) em rol.

2. Sendo n par, chama-se mediana o valor obtido pela média aritmética entre os termos e , tais que o número de termos que precedem é igual ao número de termos que sucedem , isto é, a mediana é a média aritmética entre os termos centrais da sequência (

) em rol.

Exemplo 1:

Determinar a mediana do conjunto de dados: {12, 3, 7, 10, 21, 18, 23}

Solução:

Escrevendo os elementos do conjunto em rol, tem-se: (3, 7, 10, 12, 18, 21, 23). A mediana é o termo médio desse rol. Logo: Md=12

(53)

Resposta: Md=12. Exemplo 2:

Determinar a mediana do conjunto de dados: {10, 12, 3, 7, 18, 23, 21, 25}.

Solução:

Escrevendo-se os elementos do conjunto em rol, tem-se:

(3, 7, 10, 12, 18, 21, 23, 25). A mediana é a média aritmética entre os dois termos centrais do rol. Logo:

Resposta: Moda (Mo)

Num conjunto de números: , chama-se moda aquele valor que ocorre com maior frequência.

Observação:

A moda pode não existir e, se existir, pode não ser única.

Exemplo 1:

O conjunto de dados 3, 3, 8, 8, 8, 6, 9, 31 tem moda igual a 8, isto é, Mo=8.

Exemplo 2:

O conjunto de dados 1, 2, 9, 6, 3, 5 não tem moda.

Exemplo 3:

O conjunto de dados 1, 5, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 8 possui duas modas, 5 e 8, e é chamada bimodal.

Medidas de dispersão

Duas distribuições de frequência com medidas de tendência central semelhantes podem apresentar características diversas. Ne-cessita-se de outros índices numéricas que informem sobre o grau de dispersão ou variação dos dados em torno da média ou de qualquer outro valor de concentração. Esses índices são chamados medidas de dispersão.

Variância

Há um índice que mede a “dispersão” dos elementos de um conjunto de números em relação à sua média aritmética, e que é chamado de variância. Esse índice é assim definido:

Seja o conjunto de números , tal que é sua média aritmética. Chama-se variância desse conjunto, e indica-se por , o número:

(54)

Exemplo 1:

Em oito jogos, o jogador A, de bola ao cesto, apresentou o seguinte desempenho, descrito na tabela abaixo:

Jogo Número de pontos

1 22 2 18 3 13 4 24 5 26 6 20 7 19 8 18

a) Qual a média de pontos por jogo? b) Qual a variância do conjunto de pontos?

Solução:

a) A média de pontos por jogo é:

b) A variância é:

Desvio padrão Definição

Seja o conjunto de números , tal que é sua média aritmética. Chama-se desvio padrão desse conjunto, e indica-se por , o número:

Isto é:

Exemplo:

As estaturas dos jogadores de uma equipe de basquetebol são: 2,00 m; 1,95 m; 2,10 m; 1,90 m e 2,05 m. Calcular: a) A estatura média desses jogadores.

(55)

Solução:

a) Sendo a estatura média, temos:

b) Sendo o desvio padrão, tem-se:

Exercícios

1) No lançamento de um dado, determinar a probabiliade de se obter: a)o número 2

b)um número par

c) um número múltiplo de 3

2) Calcule a probabilidade de retirar 1 bola vermelha de uma urna contendo 3 bolas brancas, 2 vermelhas e 5 verdes. 3) Observe as notas de três competidores em uma prova de manobras radicais com skates.

Competidor A: 7,0 – 5,0 – 3,0 Competidor B: 5,0 – 4,0 – 6,0 Competidor C: 4,0 – 4,0 – 7,0

Sabendo que a média é 5 para todos, calcule a variância e o desvio padrão.

4) O quadro seguinte mostra o desempenho de um time de futebol no último campeonato. A coluna da esquerda mostra o número

de gols marcados e a coluna da direita informa em quantos jogos o time marcou aquele número de gols.

Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a mediana e a moda desta distribuição, então A) X = Y < Z.

B) Z < X = Y. C) Y < Z < X. D) Z < X < Y. E) Z < Y < X.