Inequação
Uma inequação é uma sentença matemática expressa por uma ou mais incógnitas, que ao contrário da equação que utiliza um sinal de igualdade, apresenta sinais de desigualdade. Veja os sinais de desigualdade:
>: maior <: menor
≥: maior ou igual ≤: menor ou igual
O princípio resolutivo de uma inequação é o mesmo da equação, onde temos que organizar os termos semelhantes em cada mem- bro, realizando as operações indicadas. No caso das inequações, ao realizarmos uma multiplicação de seus elementos por –1 com o intuito de deixar a parte da incógnita positiva, invertemos o sinal representativo da desigualdade.
Exemplo 1 4x + 12 > 2x – 2 4x – 2x > – 2 – 12 2x > – 14 x > –14/2 x > – 7 Inequação-Produto
Quando se trata de inequações-produto, teremos uma desigualdade que envolve o produto de duas ou mais funções. Portanto, surge a necessidade de realizar o estudo da desigualdade em cada função e obter a resposta final realizando a intersecção do conjunto resposta das funções.
Exemplo a)(-x+2)(2x-3)<0
Inequação-Quociente
Na inequação-quociente, tem-se uma desigualdade de funções fracionárias, ou ainda, de duas funções na qual uma está dividindo a outra. Diante disso, deveremos nos atentar ao domínio da função que se encontra no denominador, pois não existe divisão por zero. Com isso, a função que estiver no denominador da inequação deverá ser diferente de zero.
O método de resolução se assemelha muito à resolução de uma inequação-produto, de modo que devemos analisar o sinal das funções e realizar a intersecção do sinal dessas funções.
Exemplo
Resolva a inequação a seguir:
x-2≠0 x≠2
Exercícios
1) De acordo com o conjunto dos números Reais, determine o valor de x na seguinte inequação produto: (2x + 1) (x + 2) ≤ 0. 2) Resolva, de acordo com os números Reais, a inequação quociente dada por
3) Dada a inequação 2(x + 3) ≤ 4(x - 1), qual o menor número inteiro de três algarismos que seja solução? 4) Resolva: 3 (x+1) – 3 ≤ x+4
5) Qual a solução da inequação:
Respostas 1) 2) 3)2x+6≤4x-4 -2x≤-10 x≥5
Então o menor número de três algarismos é o 100. 4)3x+3-3≤x+4
2x≤4 x≤2
x-3=0 x=3 x-5=0 x=5
Para valores x<3, a inequação é positiva Para valores 3<x<5, negativo
x>5, positivo S{x∈R|x<3 ou x>5} SEQUÊNCIAS E PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS Sequências
Sempre que estabelecemos uma ordem para os elementos de um conjunto, de tal forma que cada elemento seja associado a uma posição, temos uma sequência.
O primeiro termo da sequência é indicado por a1,o segundo por a2, e o n-ésimo por an.
Termo Geral de uma Sequência
Algumas sequências podem ser expressas mediante uma lei de formação. Isso significa que podemos obter um termo qualquer da sequência a partir de uma expressão, que relaciona o valor do termo com sua posição.
Para a posição n(n∈N*), podemos escrever an=f(n)
Progressão Aritmética
Denomina-se progressão aritmética(PA) a sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido adicionando-se uma cons- tante r ao termo anterior. Essa constante r chama-se razão da PA.
Exemplo
Classificação
As progressões aritméticas podem ser classificadas de acordo com o valor da razão r. r<0, PA decrescente
r>0, PA crescente r=0 PA constante
Propriedades das Progressões Aritméticas
-Qualquer termo de uma PA, a partir do segundo, é a média aritmética entre o anterior e o posterior.
-A soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.
Termo Geral da PA
Podemos escrever os elementos da PA(a1, a2, a3, ..., an,...) da seguinte forma:
Observe que cada termo é obtido adicionando-se ao primeiro número de razões r igual à posição do termo menos uma unidade.
Soma dos Termos de uma Progressão Aritmética
Considerando a PA finita (6,10, 14, 18, 22, 26, 30, 34). 6 e 34 são extremos, cuja soma é 40
Numa PA finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.
Exemplo
Uma progressão aritmética finita possui 39 termos. O último é igual a 176 e o central e igual a 81. Qual é o primeiro termo? Solução
Como esta sucessão possui 39 termos, sabemos que o termo central é o a20, que possui 19 termos à sua esquerda e mais 19 à sua direita. Então temos os seguintes dados para solucionar a questão:
Sabemos também que a soma de dois termos equidistantes dos extremos de uma P.A. finita é igual à soma dos seus extremos. Como esta P.A. tem um número ímpar de termos, então o termo central tem exatamente o valor de metade da soma dos extremos.
Em notação matemática temos:
Assim sendo:
O primeiro termo desta sucessão é igual a -14.
Progressão Geométrica
Denomina-se progressão geométrica(PG) a sequência em que se obtém cada termo, a partir do segundo, multiplicando o anterior por uma constante q, chamada razão da PG.
Exemplo
Dada a sequência: (4, 8, 16)
q=2
Classificação
As classificações geométricas são classificadas assim:
- Crescente: Quando cada termo é maior que o anterior. Isto ocorre quando a1 > 0 e q > 1 ou quando a1 < 0 e 0 < q < 1. - Decrescente: Quando cada termo é menor que o anterior. Isto ocorre quando a1 > 0 e 0 < q < 1 ou quando a1 < 0 e q > 1. - Alternante: Quando cada termo apresenta sinal contrário ao do anterior. Isto ocorre quando q < 0.
- Constante: Quando todos os termos são iguais. Isto ocorre quando q = 1. Uma PG constante é também uma PA de razão r = 0. A PG constante é também chamada de PG estacionaria.
Termo Geral da PG
Pelo exemplo anterior, podemos perceber que cada termo é obtido multiplicando-se o primeiro por uma potência cuja base é a razão. Note que o expoente da razão é igual à posição do termo menos uma unidade.
Portanto, o termo geral é:
Soma dos Termos de uma Progressão Geométrica Finita
Seja a PG finita de razão q e de soma dos termos Sn: 1º Caso: q=1
2º Caso: q≠1
Exemplo
Dada a progressão geométrica (1, 3, 9, 27,..) calcular: a) A soma dos 6 primeiros termos
b) O valor de n para que a soma dos n primeiros termos seja 29524 Solução
a)
Soma dos Termos de uma Progressão Geométrica Infinita
1º Caso:-1<q<1
Quando a PG infinita possui soma finita, dizemos que a série é convergente. 2º Caso:
A PG infinita não possui soma finita, dizemos que a série é divergente 3º Caso:
Também não possui soma finita, portanto divergente
Produto dos termos de uma PG finita
Exercícios
1) Considere a PA(100, 93, 86,...). Determine a posição do termo de valor 37.
2) O dono de uma fábrica pretende iniciar a produção com 2000 unidades mensais e, a cada mês, produzir 175 unidades a mais. Mantidas essas condições, em um ano quantas unidades a fábrica terá que produzir no total?
3) Ao financiar uma casa no total de 20 anos, Carlos fechou o seguinte contrato com a financeira: para cada ano, o valor das 12 prestações deve ser igual e o valor da prestação mensal em um determinado ano é R$ 50,00 a mais que o valor pago, mensalmente, no ano anterior. Considerando que o valor da prestação no primeiro ano é de R$ 150,00, determine o valor da prestação no último ano.
4) A medida do lado, o perímetro e a área de um quadrado estão, nessa ordem, em progressão geométrica. Qual a área do quadrado?
5) Comprei um automóvel e vou pagá-lo em 7 prestações crescentes, de modo que a primeira prestação seja de 100 reais e cada uma das seguintes seja o dobro da anterior. Qual é o preço do automóvel?
Respostas 1) r=93-100=86-93=-7 37 é o décimo termo. 2)r=175 (2000,2175, 2350,...) 1 ano =12 meses
3) an = a1 + (n – 1)r a20 = 150 + (20 – 1)50 a20 = 150 + 19 ∈50 a20 = 150 + 950 a20 = 1100
O valor da prestação no último ano será de R$ 1 100,00. 4)(L, 4L, L²)
Portanto, a área é 16⋅16=256 5)a1=100; r=2
OPERAÇÕES COM MATRIZES,