Dadas as sentenças A e B da lógica de primeira ordem, onde A é a sentença e B é a sentença , tem-se que (A) A é consequência da lógica de B.
(B) B é consequência da lógica de A. (C) A é consequência da lógica de B. (D) B é consequência da lógica de A. (E) B é consequência da lógica de A.
02. (CESGRANRIO - 2010 - Petrobrás) Parte superior do formulário
Considere o conjunto de conectivos lógicos da lógica sentencial. Por definição, um conjunto de operadores B é completo se somente se todos os operadores de A podem ser expressos em função do(s) operador(es) de B. Analise as afirmativas a seguir:
I- é um conjunto de operadores completo. II- é um conjunto de operadores completo. III- é um conjunto de operadores completo. IV- é um conjunto de operadores completo. V- é um conjunto de operadores completo. Conclui-se que
(A) uma das afirmativas acima é verdadeira e quatro são falsas. (B) duas das afirmativas acima são verdadeiras e três são falsas. (C) três das afirmativas acima são verdadeiras e duas são falsas. (D) quatro das afirmativas acima são verdadeiras e uma é falsa. (E) todas as afirmativas acima são verdadeiras.
03. (CESGRANRIO - 2010 - Petrobrás) Parte superior do formulário Considere as premissas: Premissa 1: as premissas 2 e 3 são verdadeiras.
Premissa 2: das premissas 3 e 4, uma delas é verdadeira e a outra, falsa. Premissa 3: as premissas 1 e 4 são ambas verdadeiras ou ambas falsas. Premissa 4: as premissas 1 e 3 são ambas falsas.
Sabendo-se que cada premissa acima é exclusivamente verdadeira ou exclusivamente falsa, são verdadeiras APENAS as premissas: (A) 1 e 2. (B) 1 e 3. (C) 2 e 3. (D) 2 e 4. (E) 3 e 4.
04. (CESPE - TRE-MG – Técnico Judiciário) Considere as sentenças apresentada a seguir. G - O preço do combustível automotivo é alto.
M - Os motores dos veículos são econômicos. I - Há inflação geral de preços.
C - O preço da cesta básica é estável.
Admitindo que os valores lógicos das proposições compostas (M ∨ G) → (C ∧ I), I → (C ∧ G), G → M e C ∨ M são verda- deiros, assinale a opção correta, considerando que, nessas proposições, os símbolos ∨ e ∧ representam os conectivos “ou” e “e”, respectivamente, e o símbolo ¬ denota o modificador negação.
(A) os motores dos veículos são econômicos e não há inflação geral de preços. (B) o preço da cesta básica não é estável e há inflação geral de preços.
(C) o preço do combustível automotivo é alto e os motores dos veículos não são econômicos. (D) os motores dos veículos são econômicos e o preço da cesta básica não é estável.
(E) o preço da cesta básica é estável e o preço do combustível automotivo é alto.
05. (FCC - TRE-PI - Técnico Judiciário) Todos os advogados que trabalham numa cidade formaram- se na universidade X. Sabe-se ainda que alguns funcionários da prefeitura dessa cidade são advogados. A partir dessas informações, é correto concluir que, necessariamente,
(A) existem funcionários da prefeitura dessa cidade formados na universidade X.
(B) todos os funcionários da prefeitura dessa cidade formados na universidade X são advogados. (C) todos os advogados formados na universidade X trabalham nessa cidade.
(D) dentre todos os habitantes dessa cidade, somente os advogados formaram-se na universidade X. (E) existem funcionários da prefeitura dessa cidade que não se formaram na universidade X.
06. (CESPE - SECONT-ES - Auditor do Estado) Se a proposição simbolizada por A ∧ B → C for um argumento válido, então a proposição A ∧ B ∧ (C) será falsa.
( ) Certo ( ) Errado
07. (CESPE - TRE-MA – Técnico Judiciário) Com base nas regras da lógica sentencial, assinale a opção que corresponde à ne- gação da proposição “Mário é contador e Norberto é estatístico”.
(A) Se Mário não é contador, então Norberto não é estatístico. (B) Mário não é contador e Norberto não é estatístico. (C) Se Mário não é contador, então Norberto é estatístico. (D) Se Mário é contador, então Norberto não é estatístico. (E) Se Mário é contador, então Norberto é estatístico.
08. (FCC - TCE-GO - Técnico de Controle Externo) São dadas as afirmações: - Toda cobra é um réptil.
- Existem répteis venenosos.
Se as duas afirmações são verdadeiras, então, com certeza, também é verdade que (A) Se existe uma cobra venenosa, então ela é um réptil.
(B) toda cobra é venenosa.
(C) algum réptil venenoso é uma cobra. (D) qualquer réptil é uma cobra.
09. (FCC - TCE-GO - Técnico de Controle Externo) No próximo domingo, Dona Marieta completará 100 anos de idade e sua bis- neta Julieta resolveu presenteá-la construindo a árvore genealógica de seus descendentes. Para tal, Julieta usou as seguintes informações:
- Dona Marieta teve 10 filhos, três dos quais não lhe deram netos e cada um dos demais lhe deu 3 netos;
- Apenas quatro dos netos de Dona Marieta não tiveram filhos, enquanto que cada um dos demais lhe deu 5 bisnetos; - Dos bisnetos de Dona Marieta, apenas nove não tiveram filhos e cada um dos outros teve 2 filhos;
- Os tataranetos de Dona Marieta ainda não têm filhos.
Nessas condições, é correto afirmar que o total de descendentes de Dona Marieta é: (A) 277
(B) 272 (C) 268 (D) 264 (E) 226
10. (CESGRANRIO - 2010 - Petrobrás) x ↔ y possui a mesma tabela verdade que: (A) x → y (B) x → y (C) (x → y) ∨ y (D) (x → y) ∧ (y → x) (E) (x → y) ∨ (y → x) Respostas 01. Resposta “A”. Sentenças:
Para saber qual sentença manipular, é preciso lembrar algumas regras: (1) ¬∃xp(x) = ∀x¬p(x)
(2) ¬∀xp(x) = ∃x¬p(x)
Para a sentença A ser “transformada”, seria necessário introduzir uma negação dupla (¬¬). Observando a regra (1), percebe-se que a sentença B pode ser “transformada” sem a necessidade de utilização de uma negação dupla. Com isso, selecionamos a sentença
B para efetuar a manipulação. Manipulando a sentença B:
¬∃x¬p(x) ∨∀xq(x) ∀x¬¬p(x) ∨∀xq(x) ∀x(¬¬p(x) ∨q(x)) ∀x(¬¬p(x) ∨q(x)) Obs.: (¬p(x) ∨ q(x) = p(x) → q(x)) ∀x (¬p(x) → q(x))
Logo, a sentença A é consequência da lógica de B. É importante mencionar que não foram introduzidos elementos adicionais (negação dupla, por exemplo) na sentença original para se chegar ao resultado. Com isso, podemos afirmar que a sentença A é con- sequência da lógica (manipulação direta) de B.
São equivalências lógicas, ou seja, elas são bidirecionais. Dessa forma, pode-se concluir que a alternativa correta é a “A”, (B → A).
02. Resposta “C”.
Dizemos que um conjunto de operadores é completo se com eles pode exprimir as operações conjunção, disjunção e negação, que são: ∨, ∧,¬ e nand (não é).
I - Verdadeiro; II - Verdadeiro; III - Falso; IV - Verdadeiro; V - Falso.
Na lógica, um grupo de conectivos tem a propriedade da completude funcional se todos outros conectivos possíveis podem ser definidos em função dele. Os conjuntos {nand}, {nor}, {∨, ¬ }, {∧, ¬} e {→, ¬ } possuem a propriedade da completude funcional. Demonstração da completude funcional em um conjunto:
Utilizando apenas a negação (¬) e a implicação (→) podemos gerar todas as outras operações.
03. Resposta “D”.
Premissa 1: as premissas 2 e 3 são verdadeiras. FALSO (apenas a premissa 2 é verdadeira a 3 é falsa);
Premissa 2: das premissas 3 e 4, uma delas é verdadeira e a outra é falsa. VERDADEIRA (a premissa 3 é falsa e a 4 é verdadeira); Premissa 3: as premissas 3 e 4 são ambas verdadeiras ou ambas falsas. FALSO (premissa 3 é falsa e a 4 é verdadeira);
Premissa 4: as premissas 1 e 3 são ambas falsas. VERDADEIRA. Normalmente ler as premissas em ordem inversa facilita a resposta. Premissa 4: afirma que 1 e 3 são falsas, portanto 2 deverá ser verdadeira. Premissa 3: contraditória com a P4 - Falsa.
Premissa 2: até aqui a 4 é verdadeira e a 3 falsa – Verdadeira. Premissa 1: contraditória com a P4 – Falsa.
04. Resposta “A”.
- Atribui-se verdadeiro para todas as sentenças simples, ou seja, G, M, I, C - são a princípio (V).
- Comece pela primeira sentença composta: M ∨ ~G então C ∧ G - Por essa sentença conclui-se que atribuindo à sentença I como verdadeira essa sentença composta seria falsa e como a questão afirma que todas as compostas são verdadeiras, então I = Falsa e ~I = V, daí a sentença seria verdadeira, ou seja: Não há inflação geral de preços.
- Na segunda sentença composta: I então ~C ∧ G - considerando I (falsa) o resultado era verdadeiro para a sentença indepen- dente de ser Falso ou Verdadeiro a 2ª parte - por isso não tinha ainda argumento válido.
- Na terceira sentença: G então M - se considerar M verdadeira então G pode ser falso ou Verdadeiro.
- Na quarta sentença: ~C ∨ M - se considerar M verdadeira então ~C pode ser falso ou verdadeiro (mas como na primeira sen- tença já considera C como verdadeira), ou seja: Os motores dos veículos são econômicos.
O enunciado da questão diz:
1) Se (M ∨ ~G) então (C ∧ ~ I) que equivale a: Se (Se G então M ) então ~(Se C então I); 2) Se I então (~C ∧ G) que;
3) Se G então M; 4) ~C ∨ M que.
Precisa-se somente das proposições 1 e 3. Inicia-se pela proposição 3. Supunha que o G era verdadeiro, desta forma o M só poderia ser verdadeiro. Caso contrário a proposição se tornaria falsa.
Então para a proposição 1: Como a primeira parte é verdadeira a segunda só poderia ser verdadeira, ou seja ~(se C então I) tam- bém tinha que ser verdadeira.
Como tem o “~” na frente, Se C então I tem que ser falsa. E para ser falsa I deve ser falso e C deve ser verdadeira. Desta forma descobre-se o valor real de cada proposição.
05. Resposta “A”.
Quando temos a expressão “Todo” e “Todo”, a resposta tem que obrigatoriamente ter a expressão “Todo” e não pode aparecer a expressão comum. Ex.: Todo indivíduo que fuma tem bronquite. Todo indivíduo que tem bronquite costuma faltar ao trabalho. Expressão comum: bronquite. Logo: Todo indivíduo que fuma costuma faltar ao trabalho.
Quando temos as expressões “Todo” e “Algum”, na resposta prevalece o “Algum” e não pode aparecer a expressão comum. Na questão acima, descartamos a “B” e a “C”, pois começam com “Todo”. Depois descartamos “D” pois aparece a expressão comum “advogados”. Depois descartamos a “E” pois aparece uma negação “não se formaram na universidade x”. Resumo:
Todo e Todo = Todo Todo e Nenhum = Nenhum Algum e Todo = Algum Algum e Nenhum = Algum Não
Se todos os advogados são formados na universidade X e se existem funcionários da prefeitura que são advogados, logo, certa- mente existem funcionários da prefeitura dessa cidade formados na universidade X. Com relação a letra “E”, temos que não neces- sariamente os outro funcionários que não são advogados não se formaram na universidade X, pois nada garante que eles tenham se formado nesta universidade ou não, como deixa dúvida, esta não pode ser necessariamente correta.
06. Resposta “Certo”.
Um argumento válido considere todas as premissas verdadeiras, e a conclusão terá que ser verdadeira.
V ∨ V
A ∧ B → C (Argumento válido) A ∧ B ∧ (~C)
V ∧ V ∧ (~V) V ∧ F = F (Falsa)
Nota-se que na proposição composta que a alternativa diz ser falsa só foi usado o conectivo E (∧), isto torna a questão fácil, ou seja, tanto o A, o B e a negação de C têm que ter valores verdadeiros para a proposição ser verdadeira (regra do conectivo E). Se a negação de C tem que ser verdade, logo, o C é falso. Se o C é falso, A ∧ B não pode ser verdadeiro, pois V então F, que é o argumento válido trazido pela questão, é falso. Se a questão diz que o argumento é válido, ele realmente é válido, temos que acreditar nisso, logo, o valor de A ∧ B tem que ser falso obrigatoriamente, senão o argumento não é válido. Se A ∧ B tem que ser falso, significa que ou o A ou o B tem que ser falso (regra do E, um falso tudo falso). Sendo ou o A ou o B falso, torna a proposição A ∧ B ∧ ~C falsa.
07. Resposta “D”.
A negativa de uma conjunção pode ser:
- uma condicional - afirma a 1ª parte e nega a 2ª parte = P então não Q. - uma disjunção - Não P ou Não Q.
Mário é contador e Norberto é estatístico. P e Q = P e não Q, portanto:
Se Mário é contador, então Norberto não é estatístico. Considerando:
P: “Mário é contador”. Q: “Norberto é estatístico”.
A negação de P ∧ Q é ~P “ou” ~Q.
08. Resposta “A”.
(A) Verdade, toda cobra é um réptil.
Se as duas afirmações são verdadeiras, então, com certeza, também é verdade que
- Se existe uma cobra venenosa (P), então ela é um réptil (Q). (P → Q = V). Obs: segundo as afirmações “dadas” não se pode determinar se P é V ou F, no entanto isto não altera a correção da assertiva.
(B) Falsa = nem toda cobra é venenosa.
(C) Falsa = nem todo réptil venenoso é cobra (há lagartos venenosos, répteis e não são cobras).
No contexto geral, esta afirmação poderia ser considerada verdadeira, mas segundo as afirmações “dadas” pela questão ela é falsa, pois não é mencionada qualquer ligação entre o grupo das cobras e dos répteis venenosos; A cobra é um réptil; Alguns répteis
são venenosos; mas embasando-se somente nestas duas afirmações não há como se garantir que Algum réptil venenoso é uma cobra.
(D) Falsa = nem todo réptil é uma cobra (Jacaré é réptil).
(E) Falsa = nem todo réptil venenoso é cobra (há lagartos venenosos, são répteis e não são cobras).
Um grande conjunto é o dos répteis, obrigatoriamente o conjunto das cobras, que é menor, estará totalmente dentro do conjunto dos répteis. Já o conjunto dos Venenosos existem 3 possibilidades:
1 - o conjunto dos venenosos estar totalmente dentro do conjunto dos répteis, mas não se mistura com o conjunto das cobras, ou seja, são dois conjuntos dentro do grande conjunto que é o dos répteis;
2 - o conjunto dos venenosos estar parcialmente dentro do conjunto dos répteis, mas não se mistura com o conjunto das cobras, ou seja, um conjunto (cobras) dentro do conjunto dos répteis e outro (venenosos) parcialmente dentro e fora (como na figura).
3 - o conjunto dos venenosos estar totalmente dentro do conjunto dos répteis, e parcialmente, também, dentro do conjunto das cobras. 4 - o conjunto dos venenosos estar totalmente dentro do conjunto dos répteis e totalmente dentro do conjunto das cobras. Logo, a única coisa que conseguimos garantir dentre as alternativas é que “todas as cobras são répteis”, elas podem ser ou não venenosas e os venenosos podem ou não ser répteis e podem ou não ser cobras.
09. Resposta “C”.
Dona Marieta teve 10 filhos = 7 férteis e 3 inférteis. Sete férteis tiveram 21 filhos = 17 férteis e 4 inférteis. Dezessete férteis tiveram 85 filhos = 76 férteis e 9 inférteis. Setenta e seis férteis tiveram 152 filhos = 152 férteis.
Descendentes = férteis + inférteis = 252 + 16 = 268 descendentes. Seguindo os passos:
- Dona Marieta teve 10 filhos, três dos quais não lhe deram netos e cada um dos demais lhe deu 3 netos; dos 10 filhos de Dona Marieta 3 não lhe deram netos, enquanto que 7 lhe deram 3 netos “cada”, então fazemos o seguinte cálculo: 7. 3 = 21 netos.
- Apenas quatro dos netos de Dona Marieta não tiveram filhos, enquanto que cada um dos demais lhe deram 5 bisnetos; Sabemos que Dona Marieta teve 21 netos, mas, desses 21, quatro não tiveram filhos, enquanto que os outros 17 lhe deram 5 bisnetos cada: 17. 5 = 85 bisnetos.
- Dos bisnetos de Dona Marieta, apenas nove não tiveram filhos e cada um dos outros tiveram 2 filhos; Dona Marieta teve 85 bisnetos, e desses 85 nove não tiveram filhos, o que implica que 76 tiveram 2 filhos “cada”: 76 . 2 = 152 tataranetos.
- Os tataranetos de Dona Marieta ainda não têm filhos. Como os tataranetos não tiveram filhos, então somamos os filhos, netos, bisnetos e tataranetos: 10 + 21 + 85 + 152 = 268.
10. Resposta “D”.
Segundo Sérates (1997), a conjunção da sentença x → y com a sentença y → x resulta na sentença x y. Assim, (x → y) ∧ (y →
x) equivale a x y.
x se e somente se y: somente admite resposta verdadeira quando ambas possuem o mesmo sinal. Tabela verdade: tabela verdade
de x-y e y-x:
x se e somente se y é equivalente a y, se x e x, se y.
Probabilidade
Ponto Amostral, Espaço Amostral e Evento
Em uma tentativa com um número limitado de resultados, todos com chances iguais, devemos considerar: Ponto Amostral: Corresponde a qualquer um dos resultados possíveis.
Espaço Amostral: Corresponde ao conjunto dos resultados possíveis; será representado por S e o número de elementos do espaço amostra por n(S).
Evento: Corresponde a qualquer subconjunto do espaço amostral; será representado por A e o número de elementos do evento por n(A).
Os conjuntos S e Ø também são subconjuntos de S, portanto são eventos. Ø = evento impossível.
S = evento certo.
Conceito de Probabilidade
As probabilidades têm a função de mostrar a chance de ocorrência de um evento. A probabilidade de ocorrer um determinado evento A, que é simbolizada por P(A), de um espaço amostral S ≠ Ø, é dada pelo quociente entre o número de elementos A e o número de elemento S. Representando:
Exemplo: Ao lançar um dado de seis lados, numerados de 1 a 6, e observar o lado virado para cima, temos: - um espaço amostral, que seria o conjunto S {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
- um evento número par, que seria o conjunto A1 = {2, 4, 6} C S. - o número de elementos do evento número par é n(A1) = 3. - a probabilidade do evento número par é 1/2, pois
Propriedades de um Espaço Amostral Finito e Não Vazio
- Em um evento impossível a probabilidade é igual a zero. Em um evento certo S a probabilidade é igual a 1. Simbolicamente:
P(Ø) = 0 e P(S) = 1.
- Se A for um evento qualquer de S, neste caso: 0 ≤ P(A) ≤ 1. - Se A for o complemento de A em S, neste caso: P(A) = 1 - P(A).
Demonstração das Propriedades
Considerando S como um espaço finito e não vazio, temos:
União de Eventos
Considere A e B como dois eventos de um espaço amostral S, finito e não vazio, temos:
Logo: P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) Eventos Mutuamente Exclusivos
Considerando que A ∩ B, nesse caso A e B serão denominados mutuamente exclusivos. Observe que A ∩ B = 0, portanto: P(A B)
= P(A) + P(B). Quando os eventos A1, A2, A3, …, An de S forem, de dois em dois, sempre mutuamente exclusivos, nesse caso temos, analogicamente:
Eventos Exaustivos
Quando os eventos A1, A2, A3, …, An de S forem, de dois em dois, mutuamente exclusivos, estes serão denominados exaustivos se A1 A2 A3 … An = S
Então, logo:
Portanto: P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(An) = 1
Probabilidade Condicionada
Considere dois eventos A e B de um espaço amostral S, finito e não vazio. A probabilidade de B condicionada a A é dada pela probabilidade de ocorrência de B sabendo que já ocorreu A. É representada por P(B/A).
Veja:
Eventos Independentes
Considere dois eventos A e B de um espaço amostral S, finito e não vazio. Estes serão independentes somente quando:
P(A/N) = P(A) P(B/A) = P(B)
Intersecção de Eventos
Considerando A e B como dois eventos de um espaço amostral S, finito e não vazio, logo:
Assim sendo:
P(A ∩ B) = P(A) . P(B/A) P(A ∩ B) = P(B) . P(A/B)
Considerando A e B como eventos independentes, logo P(B/A) = P(B), P(A/B) = P(A), sendo assim: P(A ∩ B) = P(A) . P(B). Para saber se os eventos A e B são independentes, podemos utilizar a definição ou calcular a probabilidade de A ∩ B. Veja a representação:
A e B independentes ↔ P(A/B) = P(A) ou A e B independentes ↔ P(A ∩ B) = P(A) . P(B)
Lei Binominal de Probabilidade
Considere uma experiência sendo realizada diversas vezes, dentro das mesmas condições, de maneira que os resultados de cada experiência sejam independentes. Sendo que, em cada tentativa ocorre, obrigatoriamente, um evento A cuja probabilidade é p ou o complemento A cuja probabilidade é 1 – p.
Problema: Realizando-se a experiência descrita exatamente n vezes, qual é a probabilidade de ocorrer o evento A só k vezes? Resolução:
- Se num total de n experiências, ocorrer somente k vezes o evento A, nesse caso será necessário ocorrer exatamente n – k vezes o evento A.
- Se a probabilidade de ocorrer o evento A é p e do evento A é 1 – p, nesse caso a probabilidade de ocorrer k vezes o evento A e
n – k vezes o evento A, ordenadamente, é:
- As k vezes em que ocorre o evento A são quaisquer entre as n vezes possíveis. O número de maneiras de escolher k vezes o evento A é, portanto Cn,k.
- Sendo assim, há Cn,k eventos distintos, mas que possuem a mesma probabilidade pk . (1 – p)n-k, e portanto a probabilidade de-
sejada é: Cn,k . pk . (1 – p)n-k
QUESTÕES
01. A probabilidade de uma bola branca aparecer ao se retirar uma única bola de uma urna que contém, exatamente, 4 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 azuis é:
02. As 23 ex-alunas de uma turma que completou o Ensino Médio há 10 anos se encontraram em uma reunião comemorativa. Várias delas haviam se casado e tido filhos. A distribuição das mulheres, de acordo com a quantidade de filhos, é mostrada no gráfico abaixo. Um prêmio foi sorteado entre todos os filhos dessas ex-alunas. A probabilidade de que a criança premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a) é
03. Retirando uma carta de um baralho comum de 52 cartas, qual a probabilidade de se obter um rei ou uma dama?
04. Jogam-se dois dados “honestos” de seis faces, numeradas de 1 a 6, e lê-se o número de cada uma das duas faces voltadas para cima. Calcular a probabilidade de serem obtidos dois números ímpares ou dois números iguais?
05. Uma urna contém 500 bolas, numeradas de 1 a 500. Uma bola dessa urna é escolhida ao acaso. A probabilidade de que seja escolhida uma bola com um número de três algarismos ou múltiplo de 10 é
(A) 10% (B) 12% (C) 64% (D) 82% (E) 86%
06. Uma urna contém 4 bolas amarelas, 2 brancas e 3 bolas vermelhas. Retirando-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade de ela ser amarela ou branca?
07. Duas pessoas A e B atiram num alvo com probabilidade 40% e 30%, respectivamente, de acertar. Nestas condições, a proba- bilidade de apenas uma delas acertar o alvo é:
(A) 42% (B) 45% (C) 46% (D) 48% (E) 50%
08. Num espaço amostral, dois eventos independentes A e B são tais que P(A U B) = 0,8 e P(A) = 0,3. Podemos concluir que o valor de P(B) é: (A) 0,5 (B) 5/7 (C) 0,6 (D) 7/15 (E) 0,7
09. Uma urna contém 6 bolas: duas brancas e quatro pretas. Retiram-se quatro bolas, sempre com reposição de cada bola antes de retirar a seguinte. A probabilidade de só a primeira e a terceira serem brancas é:
10. Uma lanchonete prepara sucos de 3 sabores: laranja, abacaxi e limão. Para fazer um suco de laranja, são utilizadas 3 laranjas e a probabilidade de um cliente pedir esse suco é de 1/3. Se na lanchonete, há 25 laranjas, então a probabilidade de que, para o décimo cliente, não haja mais laranjas suficientes para fazer o suco dessa fruta é:
Respostas
01. 02.
A partir da distribuição apresentada no gráfico: 08 mulheres sem filhos.
07 mulheres com 1 filho. 06 mulheres com 2 filhos. 02 mulheres com 3 filhos.
Comoas 23 mulheres têm um total de 25 filhos, a probabilidade de que a criança premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a) é igual a P = 7/25.
03. P(dama ou rei) = P(dama) + P(rei) =
04. No lançamento de dois dados de 6 faces, numeradas de 1 a 6, são 36 casos possíveis. Considerando os eventos A (dois núme- ros ímpares) e B (dois números iguais), a probabilidade pedida é:
05. Sendo Ω, o conjunto espaço amostral, temos n(Ω) = 500 A: o número sorteado é formado por 3 algarismos;
A = {100, 101, 102, ..., 499, 500}, n(A) = 401 e p(A) = 401/500 B: o número sorteado é múltiplo de 10;
B = {10, 20, ..., 500}.
Para encontrarmos n(B) recorremos à fórmula do termo geral da P.A., em que a1 = 10
an = 500 r = 10
Temos an = a1 + (n – 1) . r → 500 = 10 + (n – 1) . 10 → n = 50 Dessa forma, p(B) = 50/500.
A Ω B: o número tem 3 algarismos e é múltiplo de 10; A Ω B = {100, 110, ..., 500}.
De an = a1 + (n – 1) . r, temos: 500 = 100 + (n – 1) . 10 → n = 41 e p(AB) = 41/500 Por fim, p(A.B) =
06.
Sejam A1, A2, A3, A4 as bolas amarelas, B1, B2 as brancas e V1, V2, V3 as vermelhas. Temos S = {A1, A2, A3, A4, V1, V2, V3 B1, B2} → n(S) = 9
A: retirada de bola amarela = {A1, A2, A3, A4}, n(A) = 4
B: retirada de bola branca = {B1, B2}, n(B) = 2
Como AB = , A e B são eventos mutuamente exclusivos; Logo: P(AB) = P(A) + P(B) =
07.
Se apenas um deve acertar o alvo, então podem ocorrer os seguintes eventos: (A) “A” acerta e “B” erra; ou
(B) “A” erra e “B” acerta. Assim, temos: P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) = 40% . 70% + 60% . 30% P (A B) = 0,40 . 0,70 + 0,60 . 0,30 P (A B) = 0,28 + 0,18 P (A B) = 0,46 P (A B) = 46%
08.
Sendo A e B eventos independentes, P(AB) = P(A) . P(B) e como P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB). Temos:
P(AB) = P(A) + P(B) – P(A) . P(B) 0,8 = 0,3 + P(B) – 0,3 . P(B) 0,7 . (PB) = 0,5
P(B) = 5/7.
09. Representando por a probabilidade pedida, temos:
10. Supondo que a lanchonete só forneça estes três tipos de sucos e que os nove primeiros clientes foram servidos com apenas um desses sucos, então:
I- Como cada suco de laranja utiliza três laranjas, não é possível fornecer sucos de laranjas para os nove primeiros clientes, pois seriam necessárias 27 laranjas.
II- Para que não haja laranjas suficientes para o próximo cliente, é necessário que, entre os nove primeiros, oito tenham pedido sucos de laranjas, e um deles tenha pedido outro suco.
A probabilidade de isso ocorrer é:
ANOTAÇÕES ———————————————————————————————————————————————————— ———————————————————————————————————————————————————— ———————————————————————————————————————————————————— ———————————————————————————————————————————————————— ———————————————————————————————————————————————————— ———————————————————————————————————————————————————— ———————————————————————————————————————————————————— ———————————————————————————————————————————————————— ———————————————————————————————————————————————————— ———————————————————————————————————————————————————— ————————————————————————————————————————————————————