Conjunto está presente em muitos aspectos da vida, sejam eles cotidianos, culturais ou científicos. Por exemplo, formamos con- juntos ao organizar a lista de amigos para uma festa agrupar os dias da semana ou simplesmente fazer grupos.
Os componentes de um conjunto são chamados de elementos. Para enumerar um conjunto usamos geralmente uma letra maiúscula. Pode ser definido de duas maneiras:
• Enumerando todos os elementos do conjunto: S={1, 3, 5, 7, 9}
• Simbolicamente: B={x ∈ N|x<8}, enumerando esses elementos temos:
B={0,1,2,3,4,5,6,7}
• Há também um conjunto que não contém elemento e é representado da seguinte forma: S=∅ ou S={ }.
Quando todos os elementos de um conjunto A pertencem também a outro conjunto B, dizemos que:
• A é subconjunto de B
• Ou A é parte de B
• A está contido em B escrevemos:
• A⊂B
• Se existir pelo menos um elemento de A que não pertence a B: A⊄B
Igualdade
Propriedades básicas da igualdade
• Para todos os conjuntos A, B e C,para todos os objetos x ∈ U, temos que:
(1) A = A.
(2) Se A = B, então B = A. (3) Se A = B e B = C, então A = C. (4) Se A = B e x ∈ A, então x∈ B. Se A = B e A ∈ C, então B ∈ C.
Dois conjuntos são iguais se, e somente se, possuem exatamente os mesmos elementos. Em símbolo:
Para saber se dois conjuntos A e B são iguais, precisamos saber apenas quais são os elementos. Não importa ordem:
A={1,2,3} e B={2,1,3} Não importa se há repetição: A={1,2,2,3} e B={1,2,3}
Classificação
Definição
Chama-se cardinal de um conjunto, e representa-se por #, ao número de elementos que ele possui. Exemplo
Por exemplo, se A ={45,65,85,95} então #A = 4. Definições
Dois conjuntos dizem-se equipotentes se têm o mesmo cardinal. Um conjunto diz-se
a) infinito quando não é possível enumerar todos os seus elementos b) finito quando é possível enumerar todos os seus elementos c) singular quando é formado por um único elemento d) vazio quando não tem elementos
Exemplos
N é um conjunto infinito (O cardinal do conjunto N (#N) é infinito (∞)); A = {½, 1} é um conjunto finito (#A = 2);
B = {Lua} é um conjunto singular (#B = 1) { } ou ∅ é o conjunto vazio (#∅ = 0)
Pertinência
O conceito básico da teoria dos conjuntos é a relação de pertinência representada pelo símbolo ∈. As letras minúsculas designam os elementos de um conjunto e as maiúsculas, os conjuntos. Assim, o conjunto das vogais (V) é:
V={a,e,i,o,u}
A relação de pertinência é expressa por: a∈V
A relação de não-pertinência é expressa por:b∉V, pois o elemento b não pertence ao conjunto V.
Inclusão
A Relação de inclusão possui 3 propriedades:
1. Propriedade reflexiva: A⊂A, isto é, um conjunto sempre é subconjunto dele mesmo.
2. Propriedade antissimétrica: se A⊂B e B⊂A, então A=B
3. Propriedade transitiva: se A⊂B e B⊂C, então, A⊂C.
Operações União
Dados dois conjuntos A e B, existe sempre um terceiro formado pelos elementos que pertencem pelo menos um dos conjuntos a que chamamos conjunto união e representamos por: A∪B.
Formalmente temos: A∪B={x|x∈A ou x∈B} Exemplo:
A={1,2,3,4} e B={5,6} A∪B={1,2,3,4,5,6}
Interseção
A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que são ao mesmo tempo de A e de B, e é representada por : A∩B. Simbolicamente: A∩B={x|x∈A e x∈B} Exemplo: A={a,b,c,d,e} e B={d,e,f,g} A∩B={d,e} Diferença
Uma outra operação entre conjuntos é a diferença, que a cada par A, B de conjuntos faz corresponder o conjunto definido por: A – B ou A\B que se diz a diferença entre A e B ou o complementar de B em relação a A.
A este conjunto pertencem os elementos de A que não pertencem a B. A\B = {x : x∈A e x∉B}.
Exemplo:
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e B = {5, 6, 7}
Então os elementos de A – B serão os elementos do conjunto A menos os elementos que pertencerem ao conjunto B. Portanto A – B = {0, 1, 2, 3, 4}. Exercícios 1) Dados os conjuntos: A={1,2,3,4,5}; B={4,5,6} Calcular: a) A ∪ B b) A∩B c) A-B
2) Numa escola há n alunos. Sabe-se que 56 alunos leem o jornal A, 21 leem os jornais A e B, 106 leem apenas um dos jornais e 66 não leem o jornal B. O valor de n é:
a) 249 b) 137 c) 158 d) 127 e) 183
3) Em um grupo de 30 crianças, 16 têm olhos azuis e 20 estudam canto. O número de crianças desse grupo que têm olhos azuis e estudam canto é: a) exatamente 16. b) no mínimo 6. c) exatamente 10. d) no máximo 6. e) exatamente 6.
4) Numa escola de 630 alunos, 350 deles estudam Português, 210 estudam Espanhol e 90 estudam as duas matérias. Pergunta-se: a) Quantos alunos estudam apenas Português?
b) Quantos alunos estudam apenas espanhol? c) Quantos alunos estudam Português ou Espanhol?
d) Quantos alunos não estudam nenhuma das duas matérias?
5) Num grupo de estudantes, verificou-se que 310 leram apenas um dos romances A ou B; 270, o romance B; 80, os dois roman- ces, A e B, e 340 não leram o romance A. O número de estudantes desse grupo é igual a:
a) 380 b) 430 c) 480 d) 540 e) 610
Respostas
1) a) A∪B={1, 2, 3, 4, 5, 6}
b) A∩B={4, 5}
c) A-B ={1, 2, 3}
2)
Leem jornal A=56-21=35 Leem jornal B=106-35=71 Não leem o jornal B=66-35=31 O valor de n é :35+21+71+31=158 3) (16-x)+x+(20-x)=30 -x=-6 x=6 4)
P=350-90=260 E=210-90=120
Nenhuma das duas: 630-470=160 a)350-90=260 b)210-90=120 c)260+90+120=470 d)630-470=160 5) B=270-80=190 Não A=340-190=150 A e B=80 A ou B=310-190=12 O número de estudantes é :190+80+120+150=540 FUNÇÕES DE PRIMEIRO E SEGUNDO GRAU Função 1 grau
A função do 1° grau relacionará os valores numéricos obtidos de expressões algébricas do tipo (ax + b), constituindo, assim, a função f(x) = ax + b.
Note que para definir a função do 1° grau, basta haver uma expressão algébrica do 1° grau. Como dito anteriormente, o objetivo da função é relacionar para cada valor de x um valor para o f(x). Vejamos um exemplo para a função f(x)= x – 2.
x = 1, temos que f(1) = 1 – 2 = –1 x = 4, temos que f(4) = 4 – 2 = 2
Note que os valores numéricos mudam conforme o valor de x é alterado, sendo assim obtemos diversos pares ordenados, consti- tuídos da seguinte maneira: (x, f(x)). Veja que para cada coordenada x, iremos obter uma coordenada f(x). Isso auxilia na construção de gráficos das funções.
Portanto, para que o estudo das funções do 1° grau seja realizado com sucesso, compreenda bem a construção de um gráfico e a manipulação algébrica das incógnitas e dos coeficientes.
Estudo dos Sinais
Definimos função como relação entre duas grandezas representadas por x e y. No caso de uma função do 1º grau, sua lei de for- mação possui a seguinte característica: y = ax + b ou f(x) = ax + b, onde os coeficientes a e b pertencem aos reais e diferem de zero. Esse modelo de função possui como representação gráfica a figura de uma reta, portanto, as relações entre os valores do domínio e da imagem crescem ou decrescem de acordo com o valor do coeficiente a. Se o coeficiente possui sinal positivo, a função é crescente, e caso ele tenha sinal negativo, a função é decrescente.
Função Crescente – a > 0
Função Decrescente – a < 0
Raiz da função
Calcular o valor da raiz da função é determinar o valor em que a reta cruza o eixo x, para isso consideremos o valor de y igual a zero, pois no momento em que a reta intersecta o eixo x, y = 0. Observe a representação gráfica a seguir:
Podemos estabelecer uma formação geral para o cálculo da raiz de uma função do 1º grau, basta criar uma generalização com base na própria lei de formação da função, considerando y = 0 e isolando o valor de x (raiz da função). Veja:
y = ax + b y = 0 ax + b = 0 ax = –b x = –b/a
Função Quadrática
Em geral, uma função quadrática ou polinomial do segundo grau tem a seguinte forma: f(x)=ax²+bx+c, onde a≠0
É essencial que apareça ax² para ser uma função quadrática e deve ser o maior termo.
Considerações
Concavidade
A concavidade da parábola é para cima se a>0 e para baixo se a<0
Relação do na função
Quando , a parábola y=ax²+bx+c intercepta o eixo x em dois pontos distintos, (x1,0) e (x2,0), onde x1 e x2 são raízes da equação ax²+bx+c=0
Quando , a parábola y=ax²+bx+c é tangente ao eixo x, no ponto
Repare que, quando tivermos o discriminante , as duas raízes da equação ax²+bx+c=0 são iguais a . Se, a parábola y=ax²+bx+c não intercepta o eixo.
Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V.
Imagem
O conjunto-imagem Im da função y = ax2 + bx + c, a 0, é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades: 1ª - quando a > 0,
a > 0
2ª quando a < 0,
Exemplo
Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x:
Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.
Exercícios
1) Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes: 1.000 a parte fixa, e uma parte variável que corres- ponde a uma com comissão de 18% do total de vendas que ele fez durante o mês.
a)expressar a função que representa seu salário mensal.
b) calcular o salário do vendedor durante um mês, sabendo-se que vendeu 10.000 em produtos.
2) Um motorista de táxi cobra R$ 3,50 de bandeirada (valor fixo) mais R$ 0,70 por quilômetro rodado (valor variável). Deter- mine o valor a ser pago por uma corrida relativa a um percurso de 18 quilômetros.
3) O salário de um vendedor é composto de uma parte fixa no valor de R$ 800,00, mais uma parte variável de 12% sobre o valor de suas vendas no mês. Caso ele consiga vender R$ 450 000,00, calcule o valor de seu salário.
(A) (B) (C) (D) (E)
5) (UFRGS) Para que a parábola da equação y=ax²+bx-1 contenha os pontos (-2; 1) e (3; 1), os valores de a e b são, respecti- vamente, (A) e (B) e (C) e (D) e (E) e Respostas 1) a)S=1000+0,18V b) S=1000+0,18*10000 = 2800.00
2) Função que define o valor a ser cobrado por uma corrida de x quilômetros: f(x) = 0,70x + 3,50. Valor a ser pago por uma corrida de percurso igual a 18 quilômetros.
f(x) = 0,70x + 3,50 f(18) = 0,70 * 18 + 3,50 f(18) = 12,60 + 3,50 f(18) = 16,10
3) f(x) = 12% de x (valor das vendas mensais) + 800 (valor fixo) f(x) = 12/100 * x + 800 f(x) = 0,12x + 800 f(450 000) = 0,12 * 450 000 + 800 f(450 000) = 54 000 + 800 f(450 000) = 54 800
O salário do vendedor será de R$ 54 800,00. 4) Alternativa C
a>0 pois a concavidade está para cima. c=-9 - onde corta o eixo y
o eixo x é cortado em -3/2 e 3 portanto:0=a(-3/2)²+b(-3/2)-9 0=9a+3b-9
Multiplicando a primeira equação por- 4:
Somando as duas equações 9b+27=0
b=-3 a=2 y=2x²-3x-9 5)Alternativa B
Multiplicando a primeira equação por 3 e a segunda por 2:
NOÇÕES DE PROBABILIDADE