Algebras de Aplica¸ c˜ oes Lorch Anal´ıticas

Neste cap´ıtulo seguiremos adotando as mesmas nota¸cões estabelecidas nos Cap´ıtulos 1 e 2. Vamos munir cada um dos espa¸cos de aplica¸cões Lorch anal´ıticas definidos no Cap´ıtulo 2 de uma estrutura de álgebra através do produto pontual. Veremos que estas álgebras munidas da topologia τbse tornam álgebras topológicas comutativas com unidade. Estudaremos então

o espectro destas álgebras topológicas. Veremos que a álgebra H∞_L(BE) apresenta problemas

análogos à álgebra H∞(∆).

Em todo este cap´ıtulo, Id : U → E será a aplica¸cão identidade Id(w) = w para todo w ∈ E e, para cada a ∈ E, ˜fa denotará a aplica¸cão constante ˜fa(w) = a para todo w ∈ U .

3.1 A ´Algebra H

(E)

Vimos na Se¸cão 2.1 que (HL(E), τb) é um espa¸co de Fréchet. E f´´ acil verificar que

e ´e a unidade de E) quando consideramos em HL(E) o produto definido pontualmente.

Para não sobrecarregar a nota¸cão, escrevemos HL(E) para denotar esta álgebra (HL(E), τb).

Teorema 3.1. A aplica¸c˜ao

δ : M(E) × C −→ M(HL(E))

definida por δ(ϕ, λ)(f ) = ϕ(f (λe)) para toda f ∈ HL(E) ´e injetiva e sobrejetiva. Al´em disso,

δ ´e um homeomorfismo.

Demonstra¸cão. Vejamos que δ está bem definida, isto é, δ(ϕ, λ) ∈ M(HL(E)) para toda

ϕ ∈ M(E) e para todo λ ∈ C. De fato, fixados ϕ ∈ M(E) e λ ∈ C ´e f´acil ver que δ(ϕ, λ) ´

e linear e multiplicativa. Como ϕ ∈ M(E), existe w0 ∈ E tal que ϕ(w0) 6= 0; logo existe

fw0 ∈ HL(E) tal que δ(ϕ, λ)( ˜fw0) = ϕ(w0) 6= 0, ou seja, δ(ϕ, λ) 6= 0. Al´em disso, dado > 0,

tomando 0 < δ < e B = {λe} segue que U = {g ∈ HL(E); kg(λe)k < δ} ´e um aberto

em HL(E) tal que |δ(ϕ, λ)(f )| < para toda f ∈ U , isto ´e, δ(ϕ, λ) ´e cont´ınua. Portanto,

δ(ϕ, λ) ∈ M(HL(E)) e da´ı δ est´a bem definida. Sejam ϕ, ψ ∈ M(E) e λ, γ ∈ C tais que

δ(ϕ, λ) ≡ δ(ψ, γ), isto ´e,

ϕ(f (λe)) = ψ(f (γe))

para toda f ∈ HL(E). Em particular, ϕ(Id(λe)) = ψ(Id(γe)), ou seja, ϕ(λe) = ψ(γe) e

como ϕ, ψ ∈ M(E), temos da´ı que λ = γ. Por outro lado, dado w ∈ E, temos tamb´em que ϕ( ˜fw(λe)) = ψ( ˜fw(γe)), isto ´e, ϕ(w) = ψ(w) e como isto vale para todo w ∈ E segue

que ϕ ≡ ψ. Portanto, δ ´e injetiva. Para a sobrejetividade, seja φ ∈ M(HL(E)). Se

φn(a) = φ(Pa,n) para todo a ∈ E e para todo n ∈ N0, j´a sabemos que (φn)∞n=0 ⊂ E 0 _e φ(f ) = ∞ X n=0 φn(an) (3.1) para toda f = P∞

n=0Pan,n ∈ HL(E). Fixado n ∈ N0, como Pa,n = Pa,0(Pe,1)

n _{para todo}

a ∈ E e φ ´e multiplicativa, segue que

para todo a ∈ E. Observe que se φ0 = 0 pela equa¸c˜oes (3.1) e (3.2) ter´ıamos que φ = 0, o

que ´e um absurdo, pois φ ∈ M(HL(E)). Assim, φ0 6= 0. Al´em disso, como Pab,0 = Pa,0Pb,0

para todos a, b ∈ E e φ ´e multiplicativa, temos que φ0(ab) = φ0(a)φ0(b) para todos a, b ∈ E.

Portanto, φ0 ∈ M(E). Agora, mostraremos que para λ = φ1(e) ∈ C, φ(f ) = φ0(f (λe)) para

toda f ∈ HL(E). Com efeito, se f =

P∞

n=0Pan,n ∈ HL(E), ent˜ao f (λe) =

P∞ n=0an(λe)n e, consequentemente, φ(f ) = ∞ X n=0 φn(an) = ∞ X n=0 φ0(an)(φ1(e))n = φ0 ∞ X n=0 an(λe)n ! = φ0(f (λe))

onde φ0 ∈ M(E). Isto mostra que existem φ0 ∈ M(E) e λ ∈ C tais que φ(f) = δ(φ0, λ)(f )

para toda f ∈ HL(E), isto é, δ é sobrejetiva. Mostraremos agora que δ é cont´ınua. Sejam

((ϕα, λα))α∈I uma sequˆencia generalizada em M(E) × C e (ϕ, λ) ∈ M(E) × C tais que

(ϕα, λα) −→ (ϕ, λ) na topologia produto, isto ´e, ϕα τG

−→ ϕ em M(E) e λα −→ λ em

C. Vamos mostrar que δ(ϕα, λα)(f ) −→ δ(ϕ, λ)(f ) para toda f ∈ M(HL(E)). Fixamos

f =P∞

n=0Pan,n ∈ HL(E) e > 0. Seja tn = kank((1 + |λ|)

n_{+ |λ|}n_{) para todo n ∈ N. Como}

1 n

n ≤ kank

n(1 + 2|λ|) para todo n ∈ N e (a_n)_n ∈ Γ(E), pelo Teste da Raiz a s´erie P∞

n=1tn

converge e, portanto, existe r > 0 tal que

∞ X n=r+1 tn< 2. (3.3)

Agora, como por hip´otse λα −→ λ e ϕα(w) −→ ϕ(w) para todo w ∈ E, existe α0 ∈ I tal que

|λα− λ| ≤ 1 (3.4) e r X n=0 |λn αϕα(an) − λnϕ(an)| < 2 (3.5)

para todo α ≥ α0. Assim, usando as desigualdades (3.3), (3.4) e (3.5), temos que se α ≥ α0

|δ(ϕα, λα)(f ) − δ(ϕ, λ)(f )| = |ϕα(f (λαe)) − ϕ(f (λe))| ≤ ∞ X n=0 |λn αϕα(an) − λnϕ(an)| =

= r X n=0 |λn αϕα(an) − λnϕ(an)| + ∞ X n=r+1 |λn αϕα(an) − λnϕ(an)| < 2 + ∞ X n=r+1 tn< .

Como f ∈ HL(E) foi tomada arbitrariamente, temos que δ(ϕα, λα)(f ) −→ δ(ϕ, λ)(f ) para

toda f ∈ M(HL(E)) e, portanto, δ(ϕα, λα) τG

−→ δ(ϕ, λ) em M(HL(E)). Logo, δ ´e cont´ınua.

Como δ é bijetiva, é invers´ıvel. Vamos denotar sua inversa por Π, isto é, Π = δ−1. Logo Π : M(HL(E)) → M(E) × C

e tal que Π(φ) = (ϕ, λ) para toda φ ∈ M(HL(E)) onde (ϕ, λ) ´e o ´unico elemento de

M(E) × C tal que φ = δ(ϕ, λ). Vejamos que Π ´e cont´ınua. Com efeito, sejam uma sequˆencia generalizada (φα)α em M(HL(E)) e φ ∈ M(HL(E)) tais que φα

τG

−→ φ. Vamos mostrar que Π(φα) −→ Π(φ) na topologia produto. Pela sobrejetividade de δ, existem ϕα, ϕ ∈ M(E) e

λα, λ ∈ C para todo α tais que

φα(f ) = ϕα(f (λαe)) e φ(f ) = ϕ(f (λe))

para todo α e para toda f ∈ HL(E). Por hip´otese, φα τG

−→ φ, ou seja, φα(f ) −→ φ(f ) para

toda f ∈ HL(E). Em particular, para f = Id segue que

λα = ϕα(Id(λαe)) = φα(Id) −→ φ(Id) = ϕ(Id(λe)) = λ,

ou seja, λα −→ λ. Agora, fixado w ∈ E, temos tamb´em que

ϕα(w) = ϕα( ˜fw(λαe)) = φα( ˜fw) −→ φ( ˜fw) = ϕ( ˜fw(λe)) = ϕ(w),

ou seja, ϕα τG

−→ ϕ. Portanto, (ϕα, λα) −→ (ϕ, λ), isto ´e, Π(φα) −→ Π(φ) e, portanto, Π ´e

cont´ınua.

Observa¸cão 3.1. Da versão desta tese submetida à banca, constava apenas a demonstra¸cão da continuidade de Π e o professor Nilson Bernardes melhorou nosso resultado mostrando que na verdade temos um homeomorfismo. Agrade¸co ao professor Nilson por ter autorizado a inclusão, nesta versão final da tese, da demonstra¸cão da continuidade da aplica¸cão δ apresentada acima.

Como HL(E) é uma álgebra de Fréchet, segue como aplica¸cão do Teorema 3.1 o seguinte

resultado.

Proposi¸cão 3.1. E é semi-simples se, e somente se, HL(E) é semi-simples.

Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que E seja semi-simples, isto ´e, R(E) = {0}. Se f ∈ R(HL(E)),

temos ψ(f ) = 0 para toda ψ ∈ M(HL(E)) e, pelo Teorema 3.1, obtemos

ϕ(f (λe)) = 0 para toda ϕ ∈ M(E) e para todo λ ∈ C. (3.6) Como f ∈ HL(E), existe (an)n⊂ Γ(E) tal que f (w) =

P∞

n=0anwnpara todo w ∈ E. Usando

(3.6) temos que ∞ X n=0 ϕ(an)λn = ϕ ∞ X n=0 an(λe)n ! = ϕ(f (λe)) = 0 para toda ϕ ∈ M(E) e para todo λ ∈ C. Assim, fixado ϕ ∈ M(E),

∞

n=0

ϕ(an)λn= 0

para todo λ ∈ C. Pela unicidade da s´erie de Taylor segue que ϕ(an) = 0 para todo n ∈ N0.

Como isto vale para toda ϕ ∈ M(E), temos que an ∈ R(E) para todo n ∈ N0. Da´ı

an = 0 para todo n ∈ N0 pois, por hip´otese, R(E) = 0. Isto nos mostra que f ≡ 0 para toda

f ∈ R(HL(E)) e, portanto, R(HL(E)) = {0}. Reciprocamente, suponhamos que HL(E) seja

semi-simples. Dada a ∈ R(E), j´a sabemos que ˜fa ∈ HL(E). Dado ψ ∈ M(HL(E)), pelo

Teorema 3.1 existem ϕ ∈ M(E) e λ ∈ C tais que ψ(f ) = ϕ(f (λe)) para toda f ∈ HL(E). Em

particular, ψ( ˜fa) = ϕ( ˜fa(λe)) = ϕ(a). Mas ϕ(a) = 0 pois a ∈ R(E) e, consequentemente,

ψ( ˜fa) = 0. Como isto vale para todo ψ ∈ M(HL(E)), segue que ˜fa ∈ R(HL(E)). Pela

hip´otese de HL(E) ser semi-simples temos que ˜fa = 0 e, portanto, a = 0. Como isto vale

3.2 A ´Algebra A

(B

)

No cap´ıtulo 2 mostramos que o espa¸co AL(BE) das aplica¸c˜oes (L)-anal´ıticas em BE que

s˜ao uniformemente cont´ınuas em BE munido da norma

kf k = sup

kwk≤1

kf (w)k

para toda f ∈ AL(BE) ´e um espa¸co de Banach. Munindo AL(BE) do produto pontual, ´e

fácil verificar que (AL(BE), k·k) é uma álgebra de Banach comutativa com unidade ˜fe. Neste

cap´ıtulo, AL(BE) denotar´a sempre esta ´algebra de Banach. Vamos estudar o espectro de

AL(BE). As ideias das demonstra¸cões das proposi¸cões contidas nesta se¸cão são semelhantes

as do artigo de Garcia, Louren¸co, Moraes e Paques (ver [18], Proposi¸cão 6.1, Lema 6.2 e Proposi¸cão 6.3). Porém, observamos que a álgebra AL(BE) contém a aplica¸cão identidade e

as aplica¸cões constantes, o que facilita a obten¸cão da caracteriza¸cão do espectro de AL(BE).

Pela Proposi¸c˜ao 2.6, todo elemento de HL(E) ´e uniformemente cont´ınuo em BE, de modo

que podemos definir π1 : HL(E) −→ AL(BE) dada por π1(f ) = f |BE para toda f ∈ HL(E).

Proposi¸c˜ao 3.2. O espa¸co das aplica¸c˜oes f ∈ AL(BE) tais que f = g|BE para alguma

g ∈ HL(E) ´e denso em AL(BE). Em outras palavras, π1(HL(E)) = AL(BE).

Demonstra¸c˜ao. Seja f ∈ AL(BE). Dado > 0, existe 0 < δ < 1 tal que se z, w ∈ BE e

kz − wk < δ ent˜ao kf (z) − f (w)k < /2. Seja s ∈ IR tal que 1 < s < _1−δ1 . Definimos fs(w) = f (1_sw) para todo w ∈ sBE. Deste modo, fs ∈ AL(sBE) e kf (w) − fs(w)k < /2

para todo w ∈ BE. Como f (w) = P ∞ n=0anw

n _{para todo w ∈ B}

E, para alguma sequˆencia

(an)n ⊂ E, segue que fs(w) =

P∞

n=0 1

snanwn para todo w ∈ sBE. Logo, existe N ∈ N tal

que fs(w) − N X n=0 an snw n < 2

para todo w ∈ BE e da´ı f (w) − N X n=0 an snw n ≤ kf (w) − fs(w)k + fs(w) − N X n=0 an snw n < para todo w ∈ BE. Portanto, definindo PN(w) =

PN n=0

snanwn para todo w ∈ E temos

ent˜ao que PN ∈ HL(E) e kf − Π1(PN)k < . Isto nos mostra que f ∈ π1(HL(E)). Assim,

π1(HL(E)) = AL(BE).

Seja j1 : AL(BE)0 −→ HL(E)0 a aplica¸c˜ao definida por

j1(ϕ) = ϕ ◦ π1

para toda ϕ ∈ AL(BE)0. Deste modo, fixado ϕ ∈ AL(BE)0, temos que j1(ϕ) : HL(E) −→ C

e dada por

j1(ϕ)(f ) = ϕ(f |BE)

para toda f ∈ HL(E).

Teorema 3.2. O espectro M(AL(BE)) de AL(BE) ´e homeomorfo a M(E) × ∆.

Demonstra¸c˜ao. Definimos δ : M(E) × ∆ −→ M(AL(BE)) por δ(ϕ, λ)(f ) = ϕ(f (λe)) para

toda f ∈ AL(BE). De modo análogo à demonstra¸cão do Teorema 3.1, mostra-se que δ está

bem definida. Vejamos que δ ´e bijetiva. De fato, se ϕ, ψ ∈ M(E) e λ, γ ∈ ∆ s˜ao tais que δ(ϕ, λ) = δ(ψ, γ), temos

λ = ϕ(λe) = δ(ϕ, λ)(Id) = δ(ψ, γ)(Id) = ψ(γe) = γ e

ϕ(w) = ϕ( ˜fw(λe)) = ψ( ˜fw(γe)) = ψ(w) para todo w ∈ E,

e, portanto, δ ´e injetiva. Al´em disso, dado φ ∈ M(AL(BE)) temos j1(φ) ∈ M(HL(E)) e pelo

Teorema 3.1 existem ϕ ∈ M(E) e λ ∈ C tais que j1(φ)(f ) = ϕ(f (λe)) para toda f ∈ HL(E).

Vejamos que λ ∈ ∆. De fato,

Agora, para toda f ∈ π1(HL(E)), existe g ∈ HL(E) tal que f = π1(g), isto ´e, f = g|BE.

Assim, como λ ∈ ∆,

φ(f ) = φ(π1(g)) = j1(φ)(g) = ϕ(f (λe)) = δ(ϕ, λ)(f ).

Mas como δ(ϕ, λ) e φ são cont´ınuas, pela Proposi¸cão 3.2 temos que φ(f ) = δ(ϕ, λ)(f ) para toda f ∈ AL(BE). Ou seja, δ é sobrejetiva. Por fim, mostraremos que δ é um homeo-

morfismo. A continuidade da inversa Π = δ−1 segue usando os mesmos argumentos usados na demonstra¸cão do Teorema 3.1 para mostrar que Π é cont´ınua. Finalmente, como δ é uma aplica¸cão injetiva de M(E) × ∆ sobre o espa¸co compacto M(AL(BE)) cuja inversa é

cont´ınua, usando um argumento de compacidade temos que δ ´e um homeomorfismo.

Como AL(BE) é uma álgebra de Banach, segue como aplica¸cão do Teorema 3.2 o seguinte

resultado.

Proposi¸cão 3.3. E é semi-simples se, e somente se, AL(BE) é semi-simples.

Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que E seja semi-simples, isto ´e, R(E) = {0}. Se f ∈ R(AL(BE)),

temos ψ(f ) = 0 para toda ψ ∈ M(AL(BE)) e, pelo Teorema 3.2, obtemos

ϕ(f (λe)) = 0 para toda ϕ ∈ M(E) e para todo λ ∈ ∆. (3.7) Como f ∈ HL(BE), existe (an)n ⊂ E tal que f (w) =

P∞

n=0anwn para todo w ∈ BE onde

lim sup

n→∞

kank

n ≤ 1. Usando (3.7) temos que

∞ X n=0 ϕ(an)λn = ϕ ∞ X n=0 an(λe)n ! = ϕ(f (λe)) = 0

para toda ϕ ∈ M(E) e para todo λ ∈ ∆. Assim, fixado ϕ ∈ M(E), temos que

∞

n=0

para todo λ ∈ ∆. Pela unicidade da s´erie de Taylor segue que ϕ(an) = 0 para todo n ∈ N0.

Como isto vale para toda ϕ ∈ M(E), temos que an ∈ R(E) para todo n ∈ N0. Da´ı an = 0

para todo n ∈ N0 pois, por hip´otese, R(E) = {0}. Consequentemente, f (w) = 0 para todo

w ∈ BE e, da continuidade de f em BE obtemos que f ≡ 0. Isto nos mostra que f ≡ 0

para toda f ∈ R(AL(BE)) e, portanto, R(AL(BE)) = {0}. Reciprocamente, suponhamos

que AL(BE) seja semi-simples. Dada a ∈ R(E) j´a sabemos que ˜fa ∈ AL(BE). Dado

ψ ∈ M(AL(BE)), pelo Teorema 3.2, existem ϕ ∈ M(E) e λ ∈ ∆ tais que ψ(f ) = ϕ(f (λe))

para toda f ∈ AL(BE). Em particular, ψ( ˜fa) = ϕ( ˜fa(λe)) = ϕ(a). Mas ϕ(a) = 0 pois

a ∈ R(E) e, consequentemente, ψ( ˜fa) = 0. Como isto vale para todo ψ ∈ M(AL(BE)),

segue que ˜fa∈ R(AL(BE)). Pela hip´otese de AL(BE) ser semi-simples temos que ˜fa = 0 e,

portanto, a = 0. Como isto vale para todo a ∈ R(E), temos R(E) = {0}.

Observa¸c˜_{ao 3.2. A cada n ∈ N podemos associar a ´algebra A}L(nBE) das aplica¸c˜oes f :

nBE −→ F (L)-anal´ıticas em nBE e uniformemente cont´ınuas em nBE, onde a norma

considerada ´e a norma usual

kf kn= sup kwk≤n

kf (w)k

para toda f ∈ AL(nBE). Todas as AL(nBE) s˜ao isomorfas a AL(BE) e podem ser vistas

como a mesma ´_{algebra. Para cada n ∈ N podemos definir π}n : HL(E) −→ AL(nBE) dada

por πn(f ) = f |nBE para toda f ∈ HL(E) e jn : AL(nBE)

0 _{−→ H}

L(E)0 por jn(ϕ) = ϕ ◦ πn

para toda ϕ ∈ AL(nBE)0. Os mesmos argumentos usados para mostrar a Proposi¸c˜ao 3.2 e o

Teorema 3.2 mostram, respectivamente, que πn(HL(E)) = AL(nBE) e que M(AL(nBE)) ´e

homeomorfo a M(E) × ∆n. No que segue veremos que M(HL(E)) =

[

n∈N

jn(M(AL(nBE))).

Proposi¸c˜_{ao 3.4. Para todo n ∈ N, a aplica¸c˜ao j}n ´e linear e injetiva.

Demonstra¸c˜_{ao. Fixemos n ∈ N. ´}E fácil ver que jn é uma aplica¸cão linear. Vejamos que é

injetiva. Seja ϕ ∈ AL(nBE)0 tal que jn(ϕ) = 0, isto ´e, ϕ(πn(f )) = 0 para toda f ∈ HL(E).

Da´ı segue que ϕ(πn(HL(E))) = 0. Pela continuidade de ϕ e pela Proposi¸c˜ao 3.2 segue que

Proposi¸c˜ao 3.5.

HL(E)0 =

[

n∈N

jn(AL(nBE)0).

Demonstra¸c˜ao. Pela defini¸c˜ao de jn temos que jn(AL(nBE)0) ⊂ HL(E)0 para todo n ∈ N,

donde segue que

[

n∈N

jn(AL(nBE)0) ⊂ HL(E)0. (3.8)

Por outro lado, seja u ∈ HL(E)0. Como u ´e linear e τb-cont´ınua, existem n ∈ N e c > 0

tais que |u(f )| ≤ ckf kn para toda f ∈ HL(E). Observe que fixada f ∈ πn(HL(E)), existe

gf ∈ HL(E) tal que πn(gf) = f . Assim, a aplica¸c˜ao linear un : πn(HL(E)) −→ C dada por

un(f ) = u(gf) para toda f ∈ πn(HL(E)) esta bem definida. Vejamos que ´e cont´nua. De

fato, se f ∈ πn(HL(E)) temos que |un(f )| = |u(gf)| ≤ ckgfkn = ckf kn e da´ı segue que un

e cont´ınua. Portanto, un ∈ πn(HL(E))0. Estendendo un a πn(HL(E)), pela Proposi¸c˜ao 3.2

existe un ∈ AL(nBE)0 tal que un|πn(HL(E)) = un. Agora, se g ∈ HL(E),

jn(un)(g) = un(πn(g)) = un(πn(g)) = u(g),

e assim, jn(un) = u. Ou seja, u ∈ jn(AL(nBE)0) donde

HL(E)0 ⊂

[

n∈N

jn(AL(nBE)0). (3.9)

De (3.8) e (3.9) segue a igualdade dos conjuntos. Proposi¸c˜ao 3.6.

M(HL(E)) =

[

n∈N

jn(M(AL(nBE))).

Demonstra¸c˜_{ao. Fixemos n ∈ N. Seja u ∈ j}n(M(AL(nBE))). Logo, existe ϕ ∈ M(AL(nBE))

tal que jn(ϕ) = u. J´a vimos que u ∈ HL(E)0. Como ϕ 6= 0 e jn ´e linear e injetiva, temos

que u 6= 0. Além disso, se f, g ∈ HL(E) então como ϕ é multiplicativa segue que

Logo, u ∈ M(HL(E)) e como isto vale para todo n ∈ N temos que

[

n∈N

jn(M(AL(nBE))) ⊂ M(HL(E)). (3.10)

Reciprocamente, se u ∈ M(HL(E)), definimos un ∈ AL(nBE)0 tal que jn(un) = u para

algum n ∈ N como feito na demonstra¸cão da proposi¸cão anterior. Como u 6= 0 e jn é linear

e injetiva, temos que un6= 0. Al´em disso, pela continuidade de un, pela Proposi¸c˜ao 3.2, pela

constru¸c˜ao de un e un, e como u ∈ M(HL(E)) temos que un∈ M(AL(nBE)), e assim

M(HL(E)) ⊂

[

n∈N

jn(M(AL(nBE))). (3.11)

De (3.10) e (3.11) segue a igualdade dos conjuntos.

3.3 A ´Algebra H

∞_L

(B

)

Lembramos que no Cap´ıtulo 2 mostramos que o espa¸co H∞_L(BE) dos elementos de HL(BE)

que s˜ao aplica¸c˜oes limitadas em BE, munido da norma

kf k = sup

w∈BE

kf (w)k

para toda f ∈ HL(BE) ´e um espa¸co de Banach. Definindo em HL∞(BE) o produto pontual,

temos que H∞_L(BE) ´e uma ´algebra de Banach comutativa com unidade ˜fe. Nosso objetivo

e estudar o espectro de H∞_L(BE). J´a sabemos que M(H∞L(BE)) ´e τG-compacto. Como

no caso da ´algebra H∞(∆), o estudo do espectro de H∞_L(BE) apresenta problemas e n˜ao

foi poss´ıvel determiná-lo como fizemos, nos parágrafos anteriores, com outras álgebras de aplica¸cões (L)-anal´ıticas. Mas obtivemos importantes informa¸cões sobre este espectro.

Observamos que as demonstra¸c˜oes obtidas nesta se¸c˜ao para o estudo do espectro da ´

algebra H∞_L(BE), seguem ideias semelhantes ao caso do estudo do espectro da ´algebra H∞(∆)

A cada ϕ ∈ M(E) e λ ∈ ∆ podemos associar a aplica¸c˜ao δ(ϕ, λ) : H∞_L(BE) −→ C

definida por δ(ϕ, λ)(f ) = ϕ(f (λe)) para toda f ∈ H∞_L(BE). Com argumento an´alogo ao

usado na prova do Teorema 3.1, mostra-se que δ(ϕ, λ) ∈ M(H∞_L(BE)). Observamos que

|δ(ϕ, λ)(f )| ≤ kf k para toda f ∈ H∞ L(BE).

Proposi¸c˜ao 3.7. A aplica¸c˜ao

δ : M(E) × ∆ −→ M(H∞_L(BE))

que associa a cada (ϕ, λ) ∈ M(E) × ∆ a fun¸c˜ao δ(ϕ, λ) definida anteriormente ´e injetiva mas δ(M(E) × ∆) & M(H∞L(BE)).

Demonstra¸cão. Como δ é a restri¸cão a M(E) × ∆ da aplica¸cão definida no Teorema 3.1, δ é injetiva. Agora, seja I = {f ∈ H∞_L(BE) : f (λe) → 0 se λ → 1, λ ∈ R+}. É fácil ver

que I é um ideal próprio de H∞_L(BE). Como H∞L(BE) é uma álgebra de Banach comutativa

com unidade, existe um ideal maximal (fechado) J de H∞_L(BE) tal que I ⊂ J . Mais ainda,

pela Proposi¸c˜ao 1.18, existe φ ∈ M(H∞_L(BE)) tal que J = φ−1(0). Fixemos arbitrariamente

ϕ ∈ M(E) e λ ∈ ∆. Tomamos w0 ∈ E tal que ϕ(w0) 6= 0, e definimos g0(w) = ϕ(w0)(w − e)

para todo w ∈ E. Assim, g0 ∈ I e, portanto, φ(g0) = 0. Por outro lado δ(ϕ, λ)(g0) =

ϕ(g0(λe)) = ϕ(w0)(λ − 1) 6= 0, isto ´e, δ(ϕ, λ) 6= φ. Como ϕ ∈ M(E) e λ ∈ ∆ s˜ao

arbitrários, segue que δ(ϕ, λ) 6= φ para todo ϕ ∈ M(E) e λ ∈ ∆, o que nos mostra que δ(M(E) × ∆) & M(H∞L(BE)). Ou seja, δ não é sobrejetiva.

Definimos Π : M(H∞_L(BE)) → M(E) × ∆ por

Π(φ) = (A(φ), B(φ)) para toda φ ∈ M(H∞_L(BE)) onde

B(φ) = φ(Id). ´

E f´acil verificar que Π est´a bem definida.

Teorema 3.3. Seja Π : M(H∞_L(BE)) → M(E) × ∆ definida como anteriormente. As

seguintes afirma¸c˜oes s˜ao verdadeiras:

(a) Π ´e cont´ınua. (b) Π ´e sobrejetiva.

(d) Π−1(M(E) × ∆) = δ(M(E) × ∆).

Demonstra¸c˜ao. (a) Seja uma sequˆencia generalizada (φα)α ⊂ M(H∞L(BE)) tal que

φα τG

−→ φ ∈ M(H∞

L(BE)). Logo, φα(f ) −→ φ(f ) para toda f ∈ H∞L(BE). Em particular,

tomando f = Id ∈ H∞_L(BE) obtemos que B(φα) −→ B(φ). Al´em disso, para a ∈ E ar-

bitr´ario, temos φα( ˜fa) −→ φ( ˜fa), e pela defini¸c˜ao de A, obtemos que A(φα)(a) −→ A(φ)(a).

Portanto, A(φα) τG

−→ A(φ). Da´ı, Π(φα) −→ Π(φ) na topologia produto de M(E) × ∆.

(b) Como Π é cont´ınua e M(H∞_L(BE)) é τG-compacto temos que Π(M(H∞L(BE))) é

fechado. Agora, dados ϕ ∈ M(E) e λ ∈ ∆

A(δ(ϕ, λ))(a) = δ(ϕ, λ)( ˜fa) = ϕ( ˜fa(λe)) = ϕ(a)

para todo a ∈ E e consequentemente A(δ(ϕ, λ)) ≡ ϕ. Al´em disso, B(δ(ϕ, λ)) = δ(ϕ, λ)(Id) = ϕ(Id(λe)) = ϕ(λe) = λ,

donde segue que Π(δ(ϕ, λ)) = (ϕ, λ) para todos ϕ ∈ M(E) e λ ∈ ∆. Segue da´ı que M(E) × ∆ ⊂ Π(M(H∞_L(BE))) ⊂ M(E) × ∆.

Como M(E) × ∆ = M(E) × ∆ e Π(M(H∞_L(BE))) ´e fechado, temos que

Π(M(H∞_L(BE))) = M(E) × ∆,

o que mostra que Π ´e sobrejetiva.

(d) Temos a seguinte situa¸c˜ao M(E) × ∆ ,→

δ M(H ∞

L(BE)) −→

Π M(E) × ∆

e queremos mostrar que Π−1(M(E) × ∆) = δ(M(E) × ∆). Dado φ ∈ δ(M(E) × ∆), existe (ϕ, λ) ∈ M(E) × ∆ tal que φ ≡ δ(ϕ, λ) e da´ı δ(M(E) × ∆) ⊂ Π−1(M(E) × ∆). Reciprocamente, se φ ∈ Π−1(M(E) × ∆) existem ϕ ∈ M(E) e λ ∈ ∆ tais que Π(φ) = (ϕ, λ), ou seja, φ( ˜fa) = ϕ(a) para todo a ∈ E e φ(Id) = λ. Mostraremos que φ ≡ δ(ϕ, λ), isto ´e,

φ(f ) = ϕ(f (λe)) para toda f ∈ H∞_L(BE). De fato, dado f ∈ H∞L(BE) existe (an)n ⊂ Γ(E) tal

que f (w) = P∞ n=0anw n _{para todo w ∈ B} E. Equivalentemente, f (w) = (P ∞ n=0f˜an.Id n_)(w)

para todo w ∈ BE. Mas, φ( ˜fan) = ϕ(an) para todo n ∈ N0 e φ(Id) = λ, e da´ı

ϕ(f (λe)) = ϕ ∞ X n=0 anλn ! = ∞ X n=0 ϕ(an)λn = ∞ X n=0 φ( ˜fan).[φ(Id)] n = φ ∞ X n=0 ˜ fan.Id n ! = φ(f ),

o que completa a prova de (d). Proposi¸c˜ao 3.8. S˜ao equivalentes:

(b) Para toda fam´ılia f1, . . . , fn ∈ H∞L(BE) para a qual existe δ > 0 tal que para todo

λ ∈ ∆ e para toda ϕ ∈ M(E), vale

i=1

|ϕ(fi(λe))| ≥ δ, (3.12)

existem g1, . . . , gn ∈ H∞L(BE) tais que n

i=1

fi(w)gi(w) = e para todo w ∈ BE. (3.13)

Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que alguma fam´ılia f1, . . . , fn ∈ H∞L(BE) satisfaz (3.12) para

algum δ > 0, para todo λ ∈ ∆ e para toda ϕ ∈ M(E), mas n˜ao satisfaz (3.13) para toda g1, . . . , gn ∈ H∞L(BE). Seja I = [f1, . . . , fn] o ideal de H∞L(BE) gerado por f1, . . . , fn.

Vejamos que I ´e um ideal pr´oprio de H∞_L(BE). De fato, se ˜fe ∈ I, existem λ1, . . . .λn ∈ C

tais que Pn

i=1λifi(w) = e para todo w ∈ BE. Assim, definindo gi(w) = ˜fλie para todo

i = 1, . . . , n, temos g1, . . . , gn ∈ H∞L(BE) satisfazendo (3.13), o que contradiz a escolha da

fam´ılia f1, . . . , fn. Portanto, I é um ideal próprio de HL∞(BE) e, como HL∞(BE) é uma

algebra de Banach comutativa com unidade ˜fe, existe um ideal maximal fechado J tal que

I ⊂ J . Consequentemente, existe φ0 ∈ M(H∞L(BE)) tal que J = φ−10 (0), e da´ı φ0(fi) = 0

para todo i = 1, . . . , n. ´E claro que o conjunto U = φ ∈ M(H∞_L(BE)) : |φ(fi)| < δ n + 1 para todo i = 1, . . . , n ´

e uma vizinhan¸ca de φ0 em M(H∞L(BE)). Se existe (ϕ, λ) ∈ M(E) × ∆ tal que δ(ϕ, λ) ∈ U,

temos que

|ϕ(fi(λe))| <

δ n + 1 para todo i = 1, . . . , n, donde segue que

i=1

|ϕ(fi(λe))| < δ,

o que contradiz a escolha da fam´ılia f1, . . . , fn. Portanto, δ(M(E) × ∆) $ M(H∞L(BE)).

em H∞_L(BE) que satisfaz (3.12) para algum δ > 0, para todo λ ∈ ∆ e para toda ϕ ∈ M(E),

existem g1, . . . , gn ∈ H∞L(BE) satisfazendo (3.13).

Reciprocamente, suponhamos que existe φ0 ∈ M(H∞L(BE)) tal que φ0 ∈ δ(M(E) × ∆)./

Logo, existem δ > 0 e h1, . . . , hn∈ H∞L(BE) tais que o conjunto

W = {φ ∈ M(H∞_L(BE)) : |φ(hi) − φ0(hi)| < δ para todo i = 1, . . . , n}

e tal que W ∩ δ(M(E) × ∆) = ∅. Equivalentemente, para todo i = 1, . . . , n, tomando fi = hi − φo(hi) ˜fe, o conjunto

V = {φ ∈ M(H∞_L(BE)) : |φ(fi)| < δ para todo i = 1, . . . , n}

e tal que V = W , e da´ı, V ∩ δ(M(E) × ∆) = ∅. Al´em disso, para toda ϕ ∈ M(E) e para todo λ ∈ ∆ existe i0 ∈ {1, . . . , n} tal que

|ϕ(fi0(λe))| ≥ δ,

e consequentemente a fam´ılia f1, . . . , fn∈ H∞L(BE) satisfaz (3.12) para este δ > 0, para toda

ϕ ∈ M(E) e para todo λ ∈ ∆. Se existem g1, . . . , gn∈ H∞L(BE) satisfazendo (3.13), ent˜ao n

i=1

figi ≡ ˜fe.

Mas φ0 ∈ M(H∞L(BE)) ´e tal que φ0(fi) = 0 para todo i = 1, . . . , n, de modo que

φ0( ˜fe) = n

i=1

φ0(fi)φ0(gi) = 0.

Logo φ0 ≡ 0, o que ´e um absurdo pois φ0 ∈ M(H∞L(BE)). Isto mostra que se exis-

tem g1, . . . , gn ∈ H∞L(BE) satisfazendo (3.13) sempre que f1, . . . , fn ∈ H∞L(BE) satisfaz

(3.12) para algum δ > 0, para todo λ ∈ ∆ e para toda ϕ ∈ M(E), ent˜ao obtemos que δ(M(E) × ∆) = M(H∞_L(BE)).

Cap´ıtulo 4

No documento Álgebras de Aplicações Lorch Analíticas (páginas 67-83)