Espa¸ cos de Aplica¸ c˜ oes (L)-Anal´ıticas

As Aplica¸ c˜ oes Lorch Anal´ıticas

2.1 Espa¸ cos de Aplica¸ c˜ oes (L)-Anal´ıticas

Defini¸cão 2.1. Uma aplica¸cão f : U → E é derivável no sentido de Lorch (ou (L)-diferenciável) em w0 ∈ U com derivada a ∈ E se para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que

kf (w0+ h) − f (w0) − h ak < εkhk

para todo h ∈ E satisfazendo khk < δ.

E fácil ver através da defini¸cão que tal a ∈ E é único e que se f é (L)-diferenciável em w0, então f é cont´ınua em w0. Denotamos a (L)-derivada de f em w0 por f0(w0).

Defini¸c˜ao 2.2. Dizemos que f ´e (L)-anal´ıtica em U se f tem (L)-derivada em todo ponto de U.

Como a aplica¸c˜ao A(h) = f0(w0)h para todo h ∈ E ´e tal que A ∈ L(E; E), vemos que

se f : U → E é (L)-anal´ıtica em U , então f é (F)-diferenciável em U e, consequentemente, toda aplica¸cão (L)-anal´ıtica de U em E é holomorfa. Porém a rec´ıproca não é verdadeira. Com efeito, consideremos em C2 _{as opera¸c˜}_oes

(γ1, γ2) + (ξ1, ξ2) = (γ1+ ξ1, γ2+ ξ2)

α(γ1, γ2) = (αγ1, αγ2) e (γ1, γ2)(ξ1, ξ2) = (γ1ξ1, γ2ξ2)

e a norma

k(γ1, γ2)k = max{|γ1|, |γ2|}.

A aplica¸c˜_{ao f : C}2 _{−→ C}2 _{definida por}

f (γ1, γ2) = (γ2, γ1) para todo (γ1, γ2) ∈ C2

Teorema 2.1. Se ρ > 0 é o raio de convergência da sérieP∞ n=0an(w −w0)nonde (an)n ⊂ E, então a aplica¸cão f (w) = ∞ X n=0 an(w − w0)n

para todo w ∈ E tal que kw − w0k < ρ ´e (L)-anal´ıtica em Bρ(w0).

Demonstra¸c˜ao. Ver [21], p´agina 116, Teorema 3.19.1.

Por outro lado, temos

Teorema 2.2. Se w0 ∈ U e ρ > 0 são tais que Bρ(w0) ⊂ U , então dada qualquer aplica¸cão

f : U −→ E (L)-anal´ıtica em U temos que existe uma ´unica sequˆencia (an)n ⊂ E tal que

f (w) = ∞ X n=0 an(w − w0)n para todo w ∈ Bρ(w0).

Demonstra¸c˜ao. Ver [21], p´agina 770, Teorema 26.4.1.

O Teorema 2.2 mostra que a série de Taylor das aplica¸cões (L)-anal´ıticas tomam uma forma muito simples. Na nota¸cão usada na teoria das aplica¸cões holomorfas temos que se f (w) =P∞ n=0an(w − w0) n_{, ent˜}_ao 1 n!db n_{f (w} 0)(w − w0) = an(w − w0)n para todo n ∈ N0.

Como consequˆencia dos Teoremas 2.1 e 2.2 temos os seguintes corol´arios.

Corolário 2.1. Uma aplica¸cão f : E −→ E é (L)-anal´ıtica em E se, e somente se, existe uma única sequência (an)n ⊂ E tal que f (w) = P

∞ n=0anw

n _{para todo w ∈ E, onde}

lim

n→∞kank

1 n = 0.

Seja HL(U ; E) o espa¸co das aplica¸c˜oes (L)-anal´ıticas de U em E. Quando U = E,

escrevemos HL(E) em lugar de HL(E; E). Ent˜ao f ∈ HL(E) se, e somente se, existe uma

unica sequˆencia (an)n⊂ E tal que f (w) =

P∞

n=0anwn para todo w ∈ E e lim n→∞kank

1 n = 0.

Pelo Corol´ario 2.1 temos que se f : E −→ E ´e dada por f (w) = ∞ X n=0 wn n!

para todo w ∈ E, ent˜ao f ∈ HL(E). Observe que se E = C, ent˜ao f (w) = exp(w) para todo

w ∈ C.

Definindo P (w) = awn _{para todo w ∈ E, onde a ∈ E, temos que P ∈ P(}n_{E; E) e}

kP k = kak, de modo que o supremo dos números ρ que satisfazem ao Teorema 2.2 é o raio de convergência da série de Taylor de f em w0, e da´ı

rcf (w0) = 1 lim sup n→∞ kank 1 n .

Para todo n ∈ N denotamos por PL(nE) o subespa¸co dos elementos de P(nE; E) que s˜ao

aplica¸cões (L)-anal´ıticas, isto é, PL(nE) = P(nE; E) ∩ HL(E). Quando n = 0, por defini¸cão

PL(0E) = P(0E; E). Temos a seguinte caracteriza¸c˜ao dos elementos de PL(nE).

Proposi¸c˜_{ao 2.1. Para todo n ∈ N}0, P ∈ PL(nE) se, e somente se, existe a ∈ E tal que

P (w) = awn _{para todo w ∈ E.}

Demonstra¸c˜ao. Se n = 0, vale por defini¸c˜_{ao. Fixemos n ∈ N. Se P ∈ P}L(nE), a s´erie de

Taylor de P em torno da origem ´e dada por P (w) = P∞

k=0akwk para todo w ∈ E, onde

(ak)k ⊂ E, e ´e conhecido que se P ∈ P(nE; E) ent˜ao _n!1dbnP (0) = P e 1

k!db

k_{P (0) = 0 para}

todo k 6= n. Assim, P (w) = anwn para todo w ∈ E com an ∈ E. Por outro lado, ´e f´acil

verificar a partir da defini¸c˜ao que se P (w) = awn _{para todo w ∈ E com a ∈ E, ent˜}_{ao P ´}_e

(L)-diferenci´avel em E, ou seja, P ∈ PL(nE).

No caso dos polinômios de E em E (não necessariamente homogêneos), definimos o espa¸co dos polinômios (L)-anal´ıticos de E em E por

Pela proposi¸c˜ao anterior, temos que P ∈ PL(E) se, e somente se, P ´e da forma

P (w) = a0+ a1w + a2w2+ . . . + anwn

para todo w ∈ E e para algum n ∈ N0.

Consideramos PL(nE) como um subespa¸co de P(nE; E) de modo que munimos PL(nE)

com a norma

kP k = sup

kwk≤1

kP (w)k

para todo P ∈ PL(nE). Quando não mencionado em contrário, PL(nE) estará sempre

munida desta norma. A proposi¸cão a seguir nos mostra que do ponto de vista algébrico e topológico, o espa¸co dos polinômios n-homogêneos que são (L)-anal´ıticos e a álgebra de Banach E, são os mesmos.

Proposi¸c˜ao 2.2. PL(nE) ´e isometricamente isomorfo a E.

Demonstra¸c˜ao. Se n = 0, ´_{e claro. Fixemos n ∈ N. Para cada a ∈ E, seja P}a(w) = awn para

todo w ∈ E. Assim, a aplica¸c˜ao T : E −→ PL(nE) tal que T (a) = Pa para todo a ∈ E est´a

bem definida. Além disso, é fácil ver que T é linear e sobrejetiva. Como kPak = kak para

todo a ∈ E, segue a isometria.

Corol´ario 2.2. PL(nE) ´e um espa¸co de Banach.

Como HL(U ; E) ⊂ H(U ; E), podemos considerar em HL(U ; E) e em seus subespa¸cos as

topologias induzidas por τ0 e τw.

Proposi¸c˜ao 2.3. (PL(nE), τ0) ´e completo .

Demonstra¸c˜_{ao. Basta mostrar que para todo n ∈ N}0, PL(nE) munido da topologia τ0 ´e

isomorfo a E. Para n = 0 vale por defini¸c˜_{ao. Fixemos n ∈ N. Seja T a bije¸cão linear definida} na demonstra¸cão da Proposi¸cão 2.2. Vamos mostrar que T é cont´ınua com inversa cont´ınua

quando PL(nE) est´a munido com a topologia τ0. Seja um conjunto compacto K ⊂ E. Logo

existe λ > 0 tal que kwk ≤ λ para todo w ∈ K. Dado a ∈ E temos que kPa(w)k ≤ kakλn

para todo w ∈ K, isto ´e, pK(T (a)) ≤ ckak para algum c > 0, mostrando que T ´e cont´ınua.

Por outro lado, como o conjunto unitário {e} é um compacto de E, então é claro que T−1 é cont´ınua. Portanto, T é um homeomorfismo linear, ou seja, um isomorfismo.

Proposi¸c˜ao 2.4. (PL(nE), τ0) ´e um subespa¸co complementado de (HL(U ; E), τ0) para todo

n ∈ N.

Demonstra¸cão. Sem perda de generalidade podemos supor que 0 ∈ U uma vez que é fácil verificar que (HL(U ; E) , τ0) é isomorfo a (HL(U − w0; E) , τ0) para qualquer w0 ∈ U . Como

1 n!db

n_{f (0) ∈ P}

L(nE) ⊂ HL(U ; E) para toda f ∈ HL(U ; E), o mesmo argumento usado

na demonstra¸cão da Proposi¸cão 3.22(a) de [15] mostra que (PL(nE), τ0) é um subespa¸co

complementado de (HL(U ; E), τ0).

Proposi¸c˜ao 2.5. (HL(U ; E), τ0) ´e completo.

Demonstra¸c˜ao. Seja (fα)α uma sequˆencia generalizada τ0-Cauchy em HL(U ; E). Logo (fα)α

e uma sequˆencia generalizada τ0-Cauchy em H(U ; E) e, como H(U ; E) ´e τ0-completo, existe

f ∈ H(U ; E) tal que fα τ0

−→ f . Para cada w0 ∈ U , existem r > 0 tal que Br(w0) ⊂ U

e uma sequˆencia de polinˆomios Pn ∈ P(nE; E), denotados por Pn = _n!1dbnf (w0), tais que

f (w) = P∞

n=0 1 n!db

n_{f (w}

0)(w − w0) uniformemente em Br(w0). Observamos que a topologia

τ0 de PL(nE) coincide com a topologia da convergˆencia uniforme sobre os subconjuntos

compactos de Br(0) e que, pela desigualdade de Cauchy, se K ´e um subconjunto compacto

equilibrado de Br(0), temos 1 n!db n_{f (w} 0) K ≤ kf kw0+K

para todo n ∈ N. Da´ı e de fα τ0 −→ f segue que 1 n!db n_f α(w0) τ0 −→ 1 n!db n_{f (w} 0). Como PL(nE) ´e

τ0-completo, temos da´ı que _n!1dbnf (w₀) ∈ P_L(nE) para todo n ∈ N. Ent˜ao, para cada n ∈ N existe an∈ E tal que _n!1dbnf (w₀)(w − w₀) = a_n(w − w₀)n. Segue da´ı que f ∈ H_L(U ; E).

Corolário 2.3. Se U é equilibrado, então (HL(U ; E), τω) é completo.

Demonstra¸c˜ao. Seja (fα)α uma sequˆencia generalizada τω-Cauchy em HL(U ; E). Logo (fα)α

e uma sequˆencia generalizada τω-Cauchy em H(U, E) e como H(U, E) ´e τω-completo, existe

f ∈ H(U, E) tal que fα τω

−→ f . Como τ0 ⊂ τω, em particular fα τ0

−→ f . Assim, pela Proposi¸c˜ao 2.5 temos que f ∈ HL(U ; E). Portanto, HL(U ; E) ´e τω-completo.

Como na Proposi¸cão 2.4, usando argumento análogo ao usado na Proposi¸cão 3.22(b) de [15] para mostrar que (P(n_{E; F ), τ}

ω) ´e um subespa¸co complementado de (H(U ; F ), τω),

mostra-se que (PL(nE), τω) ´e um subespa¸co complementado de (HL(U ; E), τω).

Dada f ∈ HL(E), vimos que f (w) = P ∞ n=0anw

n _{para todo w ∈ E onde lim} n→∞kank

1 n =

0. Al´em disso, definindo Pn(w) = anwn para todo w ∈ E, segue que Pn ∈ PL(nE) e

kPnk = kank para todo n ∈ N0. Assim, f (w) = P ∞

n=0Pn(w) para todo w ∈ E, onde

Pn ∈ P(nE, E) para todo n ∈ N e lim n→∞kPnk 1 n = 0, ou seja, lim n→∞ 1 n!db n_{f (0)} 1 n = 0. Portanto, pela Proposi¸c˜ao 1.13, f ´e de tipo limitado, ou seja, f ∈ Hb(E; E). Acabamos de mostrar que

HL(E) ⊂ Hb(E; E). Mais ainda, o exemplo mencionado no in´ıcio deste cap´ıtulo nos mostra

que HL(E) & Hb(E; E). Podemos ent˜ao munir o espa¸co HL(E) com a topologia localmente

convexa τb da convergência uniforme sobre os limitados de E. A seguinte proposi¸cão será

util no cap´ıtulo 3.

Proposi¸c˜ao 2.6. Todo elemento de HL(E) ´e uniformemente cont´ınuo em todo subconjunto

limitado de E.

Demonstra¸c˜ao. Dado f ∈ HL(E), podemos escrever f (w) = P ∞ n=0anw

n _{para todo w ∈ E,}

onde (an)n⊂ E satisfaz lim n→∞kank

n = 0. Seja B um subconjunto limitado de E. Dado > 0,

existe N ∈ N tal que kf (w) − PN(w)k < ₃ para todo w ∈ B onde PN(w) = PN_n=0anwn.

ent˜ao kPN(z) − PN(w)k < ₃. Assim, se z, w ∈ B e kz − wk < δ ent˜ao

kf (z) − f (w)k ≤ kf (z) − PN(z)k + kPN(z) − PN(w)k + kPN(w) − f (w)k < .

Ou seja, f |B ´e uniformemente cont´ınua.

Proposi¸cão 2.7. (HL(E), τb) é um espa¸co de Fréchet.

Demonstra¸cão. Como Hb(E; E) é um espa¸co de Fréchet, basta mostrar que HL(E) é

τb-fechado em Hb(E; E). Seja f ∈ HL(E) e seja (fk)k uma sequˆencia em HL(E) tal que

fk τb

−→ f . Vamos mostrar que f ∈ HL(E). De fato, para cada k ∈ N, como fk ∈ HL(E),

existe uma ´unica sequˆencia (an,k)n⊂ E tal que

fk(w) = ∞

n=0

an,kwn

para todo w ∈ E onde lim

n→∞kan,kk

n = 0. Al´em disso, como f ∈ H_b(E; E) podemos escrever

f (w) = ∞ X n=0 1 n!db n_{f (0)(w)}

para todo w ∈ E onde lim

n→∞k 1 n!db

n_{f (0)k}1_n

= 0. Para todo n ∈ N0, denotando Qn,k(w) = an,kwn

para todo w ∈ E temos que Qn,k ∈ P(nE; E) e lim

n→∞kQn,kk

n = 0. Agora, temos por hip´otese

que (fk)k ´e τb-Cauchy, de modo que dado > 0 existe k0 ∈ N tal que

kfk(w) − fl(w)k < (2.1)

para todo w ∈ BE e para todos k, l > k0. Para todo n ∈ N0, usando a desigualdade de

Cauchy (Proposi¸c˜ao 1.6) temos que

kQn,k− Qn,lk ≤ sup kwk=1

kfk(w) − fl(w)k

e em conjunto com a desigualdade (2.1) nos d´a que kQn,k− Qn,lk <

para todos k, l > k0. Assim, fixado n ∈ N0, temos que (Qn,k)k⊂ PL(nE) ´e uma sequˆencia de

Cauchy e, portanto, existe Pn∈ PL(nE) tal que kQn,k− Pnk −→ 0 quando k → ∞. Vamos

mostrar que _n!1dbnf (0) = P_n. Com efeito, dado > 0, como f_k

τb

−→ f , usando novamente as desigualdades de Cauchy e ainda o fato de que kQn,k − Pnk −→ 0 quando k → ∞, temos

que existe k0 ∈ N tal que

1 n!db n_f k0(0) − 1 n!db n_{f (0)} < 2 (2.2) e kQn,k0 − Pnk < 2. (2.3)

Mas como _n!1dbnf_k₀(0) = Q_n,k₀, pela desigualdade triangular e as desigualdades (2.2) e (2.3) segue que 1 n!db n_{f (0) − P} n < .

Como isto vale para todo > 0, _n!1dbnf (0) = P_n. Portanto, existe a_n∈ E tal que 1

n!db

n_{f (0)(w) = P}

n(w) = anwn (2.4)

para todo w ∈ E. Al´em disso, pela isometria entre E e PL(nE), como f ∈ Hb(E; E) temos

lim n→∞kank 1 n = lim n→∞kPnk 1 n = lim n→∞ 1 n!db n_{f (0)} 1 n = 0. (2.5)

Ou seja, pelas equa¸c˜oes (2.4) e (2.5) temos que f (w) =P∞

n=0anwn para todo w ∈ E, onde

lim

n→∞kank

n = 0, isto ´e, f ∈ H_L(E).

Proposi¸cão 2.8. As seguintes afirma¸cões são verdadeiras:

(a) {PL(nE)}n∈N0 ´e uma ∞-decomposi¸c˜ao de Schauder para (HL(E), τb).

(b) {PL(nE)}n∈N0 ´e uma decomposi¸c˜ao S-absoluta para (HL(E), τb).

Demonstra¸cão. Para provar (a), sabemos que {P(nE; E)}_n∈N0 é uma ∞-decomposi¸cão para

(Hb(E; E), τb). Como HL(E) ⊂ Hb(E; E) e dada f ∈ HL(E) existem ´unicos

Pn ∈ PL(nE) ⊂ P(nE; E) para todo n ∈ N0 tais que f =

P∞

n=0Pn em (HL(E), τb), con-

clu´ımos da´ı que {PL(nE)}n∈N0 é uma ∞-decomposi¸cão para o espa¸co de Fréchet (HL(E), τb).

E sabido que, num espa¸co de Fréchet, toda R-decomposi¸cão de Schauder (0 < R ≤ ∞) é uma decomposi¸cão S-absoluta (ver [16], Lema 6), de modo que PL(nE) é uma decomposi¸cão

S-absoluta para HL(E), provando (b). Para provar (c), basta lembrar que toda decom-

posi¸cão S-absoluta é contrátil, de modo que {PL(nE)}∞n=0é contrátil. Resta provar (d). Seja

(Pm

k=0Pk)∞m=0 uma sequˆencia limitada em (HL(E), τb) onde Pk ∈ PL(kE) para todo k ∈ N0.

Fixado r > 0, seja M > 0 tal que

sup kwk≤r m X k=0 Pk(w) < M

para todo m ∈ N0. Assim

sup kwk≤r kPn(w)k ≤ sup kwk≤r n X k=0 Pk(w) + sup kwk≤r n−1 X k=0 Pk(w) < 2M, isto ´e, sup kwk≤r kPn(w)k !_n1 < (2M )n1.

Tomando w = re segue que

rkPnk

n < (2M ) 1 n.

Assim, para todo n ∈ N0 temos que lim sup n→∞

kPnk

1 n ≤ 1

r. Como isto vale para todo r > 0,

segue que lim sup

n→∞ kPnk 1 n = 0 e consequentemente lim n→∞kPnk 1 n = 0. Assim, P∞ n=0Pnconverge em (HL(E), τb).

No caso cl´assico temos, como caso particular da Proposi¸c˜ao 4.3 de [6], que P(n_{E; E) tem}

a propriedade de Schur para todo n ∈ N se, e somente se, E e E0 tem a propriedade de Schur. No nosso caso, como E ´e isometricamente isomorfo a PL(nE), temos trivialmente que

PL(nE) tem a propriedade de Schur para todo n ∈ N se, e somente se, E tem a propriedade

de Schur. Da´ı temos tamb´em que E ter a propriedade de Schur ´e equivalente a HL(E) ter

a propriedade de Schur (ver Proposi¸c˜ao 2.9, a seguir) e ´e equivalente a (HL(BE), τb) ter a

propriedade de Schur (ver a Proposi¸cão 2.14, mais adiante). Proposi¸cão 2.9. As seguintes afirma¸cões são equivalentes:

(a) E tem a propriedade de Schur.

(b) PL(nE) tem a propriedade de Schur para todo n ∈ N0.

Demonstra¸cão. Como E e PL(nE) são isometricamente isomorfos para todo n ∈ N0, é claro

que (a) ⇔ (b). Agora, para provar que (b) ⇔ (c), basta lembrar que {PL(nE)}n∈N0 ´e uma

decomposi¸c˜ao S-absoluta para (HL(E), τb) e usarmos a Proposi¸c˜ao 1.15.

Lembramos que um espa¸co topológico X satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade se todo ponto de X possui uma base de vizinhan¸cas enumerável. Se X possui uma base enumerável para sua topologia, dizemos que X satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade. Pode-se provar que (ver [31], Teoremas 30.2 e 30.3 (b) da página 191, e exerc´ıcio 5 (a) da página 194 ou ver [27], Teorema 9.6 das páginas 133 e 137):

(a) Todo subespa¸co de um espa¸co topológico que satisfaz o primeiro (segundo) axioma de enumerabilidade, também satistaz o primeiro (segundo) axioma de enumerabilidade. (b) Se um espa¸co topológico X satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade, então X é

separ´avel.

Se E é um espa¸co de Banach separável, pode ser que L(E; E) não seja separável. Por exemplo, se E = `2 é fácil verificar que `∞ é um subespa¸co de L(`2; `2) e isto implica

em L(`2; `2) não ser separável. Consequentemente, Hb(`2; `2) não é separável embora `2

seja separ´avel. No nosso caso, a isometria entre E e PL(nE) nos possibilita mostrar as

Proposi¸c˜oes 2.10 e 2.15.

Proposi¸cão 2.10. As seguintes afirma¸cões são equivalentes.

(a) E ´e separ´avel.

(b) PL(nE) ´e separ´avel para todo n ∈ N0.

Demonstra¸c˜ao. Como PL(nE) ´e isometricamente isomorfo a E para todo n ∈ N0, segue direto

que (a) ⇔ (b). Vamos denotar (HL(E), τb) simplesmente por HL(E). Agora, suponhamos

que HL(E) seja separável. Como HL(E) é metrizável, então HL(E) satisfaz o segundo

axioma de enumerabilidade. Mas PL(nE) ⊂ HL(E), de modo que PL(nE) satisfaz o segundo

axioma de enumerabilidade e, portanto, PL(nE) ´e separ´avel e assim (c) ⇒ (b). Por fim,

suponhamos que E é separável. Lembramos que a topologia usual de P(E; E) coincide com a topologia induzida em P(E; E) pela topologia τb de Hb(E; E). Assim, PL(E) é um

subespa¸co topológico de (Hb(E; E), τb). Como E é separável e é isometricamente isomorfo

a PL(nE) para todo n ∈ N0, temos que PL(E) ´e separ´avel. Assim, existe um subconjunto

enumer´avel D de PL(E) que ´e denso em PL(E). Dado f ∈ HL(E), existe ak ∈ E para todo

k ∈ N0 tal que a sequˆencia (Pn_k=0Pak,k)

∞

n=0 converge a f na topologia τb. Assim, dados > 0

e B um subconjunto limitado de E, existe n0 ∈ N0 tal que

f − n0 X k=0 Pak,k B < 2.

Como Pn0

k=0Pak,k ∈ PL(E), existe Q ∈ D tal que

n0 X k=0 Pak,k− Q B < 2. Portanto, kf − QkB ≤ f − n0 X k=0 Pak,k B + n0 X k=0 Pak,k− Q B < .

Isto nos mostra que D = HL(E) e como D é enumerável, temos que HL(E) é separável.

Provamos que (a) ⇒ (c) e, assim, a proposi¸c˜ao est´a provada.

Observa¸c˜ao 2.1. Se a ∈ U , ent˜ao BdU(a)(a) ⊂ U . Com efeito, suponhamos que exista

x ∈ BdU(a)(a) ∩ (E \ U ). Por um resultado conhecido sobre conjuntos conexos (ver, por

exemplo (3.19.9) de [13]) existe z ∈ ∂U ∩ BdU(a)(a) e neste caso temos um absurdo j´a que,

pela defini¸c˜ao de dU(a), temos que dU(a) ≤ kz − ak. Portanto, BdU(a)(a) ⊂ U .

Proposi¸c˜ao 2.11. Se f ∈ HL(U ; E) e w0 ∈ U , ent˜ao rbf (w0) = dU(w0).

Demonstra¸c˜ao. Seja f ∈ HL(U ; E) e w0 ∈ U . Como BdU(w0)(w0) ⊂ U , pelo Teorema 2.2,

existem ´unicos an∈ E para todo n ∈ N tais que

f (w) =

∞

n=0

an(w − w0)n

para todo w ∈ BdU(w0)(w0). Fixemos 0 < s < r < dU(w0) e considere w = w0+ re. Ent˜ao

w ∈ BdU(w0)(w0) ⊂ U e assim

P∞

n=0an(re)

n _{converge. Da´ı segue que (a}

nrn)n ´e limitada

donde existe c > 0 tal que

kank ≤

c rn

para todo n ∈ N. Agora, se w ∈ Bs(w0), pela desigualdade acima temos que

kan(w − w0)nk ≤ kanksn≤ c

s r

n para todo n ∈ N. Como 0 < s < r, isto nos mostra que a s´erie P∞

n=0an(w − w0)n converge

temos que dU(w0) ≤ rcf (w0). Por outro lado, f ∈ H(U ; E) e como E ´e um espa¸co de Banach

temos que rbf (w0) = min{dU(w0) , rcf (w0)}. Portanto, rbf (w0) = dU(w0).

Veremos a seguir que quando U = Br(w0), onde w0 ∈ E e r > 0, HL(U ; E) ´e um

subespa¸co fechado de Hb(U ; E). Faremos a demonstra¸c˜ao apenas para o caso r = 1. Deno-

tamos por HL(BE) o espa¸co HL(BE; E). Em geral, podemos ter HL(U ; E) & Hb(U ; E) pois,

o exemplo mencionado logo ap´os a Defini¸c˜ao 2.2 mostra que HL(BE) & Hb(BE; E).

Proposi¸cão 2.12. (HL(BE), τb) é um espa¸co de Fréchet.

Demonstra¸cão. Seja f ∈ HL(BE). Pela Proposi¸cão 2.11 temos que rbf (0) = 1. Assim, f é

limitada em Bs(0) para todo 0 < s < 1. Agora, dado um BE-limitado B, pelo Lema 1.3 de [7],

existe λ > 1 tal que λB ´e BE-limitado, isto ´e, existe 0 < ρ < 1 tal que B ⊂ ρBE ⊂ Bρ(0).

Assim, f ´e limitada em B e da´ı f ∈ Hb(BE; E). Portanto, HL(BE) ´e um subespa¸co de

Hb(BE; E).

Agora mostraremos que (HL(BE), τb) é um espa¸co de Fréchet. Como Hb(BE; E) é um

espa¸co de Fr´echet, basta mostrar que HL(BE) ´e τb-fechado em Hb(BE; E). Seja f ∈ HL(BE)

e seja (fk)k uma sequˆencia em HL(BE) tal que fk τb

−→ f . Vamos mostrar que f ∈ HL(BE).

Para cada k ∈ N, como fk∈ HL(BE) existe uma ´unica sequˆencia (an,k)n⊂ E tal que

fk(w) = ∞

n=0

an,kwn

para todo w ∈ BE. Mais ainda, para todo n ∈ N0, denotando Qn,k(w) = an,kwn para todo

w ∈ E temos que Qn,k ∈ P(nE; E). Al´em disso, como f ∈ Hb(BE; E) temos que para todo

w ∈ BE f (w) = ∞ X n=0 1 n!db n f (0)(w) onde lim sup

n→∞

k1 n!db

n_{f (0)k}_n1

≤ 1. Fixemos n ∈ N0 e 0 < r < 1. Por hip´otese temos que (fk)k

e τb-Cauchy, de modo que dado > 0 existe k0 ∈ N tal que

para todo w ∈ Br(0) e para todos k, l > k0. Logo, usando a desigualdade de Cauchy

(Proposi¸c˜ao 1.6) temos que

kQn,k− Qn,lkBr(0) ≤

1 rn sup

kwk≤r

kfk(w) − fl(w)k

e da´ı a desigualdade (2.6) nos d´a que

kQn,k− Qn,lkBr(0) <

para todos k, l > k0. Da´ı, como (Qn,k)k é uma sequência de polinômios n-homogêneos,

conclu´ımos que (Qn,k)k ´e uma sequˆencia de Cauchy em PL(nE) donde existe Pn ∈ PL(nE)

tal que kQn,k− Pnk −→ 0 quando k → ∞. Vamos mostrar que _n!1dbnf (0) = P_n. Com efeito, dado > 0, de fk

τb

−→ f em conjunto com a desigualdade de Cauchy e ainda o fato de que kQn,k− Pnk −→ 0 quando k → ∞ temos que existe k1 ∈ N tal que

Qn,k1 − 1 n!db n_{f (0)} Br(0) < (2.7) e kQn,k1 − PnkBr(0) < . (2.8)

Agora pela desigualdade triangular e pelas desigualdades (2.7) e (2.8) segue que 1 n!db n_{f (0) − P} n Br(0) < 2

e isto vale para todo > 0 de modo que _n!1dbnf (0)(w) = P_n(w) para todo w ∈ B_r(0). Como _n!1dbnf (0) e P_n são ambos polinômios n-homogêneos, isto implica em _n!1dbnf (0) = P_n. Portanto, existe an∈ E tal que

1 n!db

n_{f (0)(w) = P}

n(w) = anwn (2.9)

para todo w ∈ E e isto vale para todo n ∈ N0. Ou seja, pela equa¸c˜ao (2.9) temos que

f (w) =P∞

n=0anwn para todo w ∈ BE e como lim sup n→∞ kank 1 n = lim sup n→∞ k1 n!db n_{f (0)k}_n1 _{≤ 1 do}

Usando os fatos de que {P(nE; E)}_n∈N0´e uma 1-decomposi¸c˜ao de Schauder para Hb(BE; E)

e para toda f ∈ HL(BE) existe uma ´unica sequˆencia (an)n ⊂ E tal que f (w) =

P∞

n=0anw n

para todo w ∈ BE, com a mesma demonstra¸c˜ao das Proposi¸c˜oes 2.8, 2.9 e 2.10, obtemos os

seguintes resultados:

Proposi¸cão 2.13. As seguintes afirma¸cões são verdadeiras:

(a) {PL(nE)}n∈N0 ´e uma 1-decomposi¸c˜ao de Schauder para (HL(BE), τb).

(b) {PL(nE)}n∈N0 ´e uma decomposi¸c˜ao S-absoluta para (HL(BE), τb).

(d) {PL(nE)}n∈N0 ´e limitadamente completa.

Proposi¸cão 2.14. As seguintes afirma¸cões são equivalentes:

(a) E tem a propriedade de Schur.

(b) PL(nE) tem a propriedade de Schur para todo n ∈ N0.

Proposi¸cão 2.15. As seguintes afirma¸cões são equivalentes.

(a) E ´e separ´avel.

(b) PL(nE) ´e separ´avel para todo n ∈ N0.

Seja H∞_L(U ; E) o espa¸co das f ∈ HL(U ; E) que s˜ao limitadas em U . Observe que se

U = E, como HL(E) ⊂ H(E; E), ent˜ao pelo Teorema de Liouville H∞L(E) denota o espa¸co

das aplica¸c˜oes constantes de E em E. O seguinte exemplo nos mostra que podemos ter H∞

Exemplo 2.1. Para todo w ∈ BE temos que w − e ´e invert´ıvel de modo que podemos definir

f : BE −→ E por f (w) = (e − w)−1 para todo w ∈ BE. Logo f ∈ HL(BE). Agora, tomando

wn = (1 − 1_n)e ∈ BE para todo n ∈ N temos que kf (w)k = n para todo n ∈ N donde

f /∈ H∞ L(BE).

Temos ent˜ao que H∞_L(U ; E) ´e um subespa¸co de H∞(U ; E) de modo que munimos este espa¸co com a norma usual

kf kU = sup w∈U

kf (w)k

para toda f ∈ H∞_L(U ; E). Em geral podemos ter H∞_L_{(U ; E) & H}∞(U ; E) pois, o exemplo mencionado logo ap´os a Defini¸c˜ao 2.2 mostra que H∞_L(BE) & H∞(BE; E).

Proposi¸c˜ao 2.16. H∞_L(U ; E) ´e um espa¸co de Banach.

Demonstra¸cão. Como H∞_L(U ; E) é um subespa¸co do espa¸co de Banach H∞(U ; E), basta provar que H∞_L(U ; E) é fechado. Seja f ∈ H_L∞(U ; E) e seja (fk)kuma sequência em H∞L(U ; E)

tal que fk −→ f quando k → ∞. Vamos mostrar que f ∈ HL∞(U ; E). Fixado w0 ∈ U , escolha

0 < r < 1 tal que Br(w0) ⊂ U . Agora, usando um argumento an´alogo ao da demonstra¸c˜ao

da Proposi¸c˜ao 2.12, temos que f ∈ HL(U ; E). Como f ∈ H∞(U ; E), ent˜ao f ∈ H∞L(U ; E),

donde segue que H_L∞(U ; E) ´e um espa¸co de Banach.

Vamos denotar o espa¸co das aplica¸c˜oes (L)-anal´ıticas em BE e uniformemente cont´ınuas

em BE por AL(BE). Deste modo AL(BE) ´e um subespa¸co de A(BE; E). Munimos ent˜ao

este espa¸co com a norma usual

kf k = sup

kwk≤1

kf (w)k para toda f ∈ AL(BE).

Demonstra¸c˜ao. Como AL(BE) ´e um subespa¸co do espa¸co de Banach A(BE; E), basta provar

que AL(BE) ´e fechado. Seja f ∈ AL(BE) e seja (fk)k uma sequˆencia em AL(BE) tal que

fk−→ f quando k → ∞. Vamos mostrar que f ∈ AL(BE). Em particular, f ∈ A(BE; E) e,

portanto, f ´e uniformemente cont´ınua em BE. Assim, temos que provar que f ∈ HL(BE).

Para isto, observe que AL(BE) ´e tamb´em um subespa¸co do espa¸co de Banach H∞L(BE) e

como fk−→ f quando k → ∞ segue que f ∈ H∞L(BE).

2.2 O Espa¸co Γ(E) de Sequˆencias

Consideremos o seguinte conjunto de sequˆencias Γ(E) =n(an)n⊂ E ; lim n→∞kank 1 n = 0 o . Observe que dados (an)n, (bn)n ∈ Γ(E) e λ ∈ C, como

kan+ bnk 1 n ≤ ka nk 1 n + kb nk 1 n e kλank 1 n = |λ| 1 nka_nk 1 n

para todo n ∈ N, temos que lim

n→∞kan+bnk 1 n = 0 e lim n→∞kλank 1 n = 0. Isto ´e, (a_n+b_n)_n∈ Γ(E) e

(λan)n∈ Γ(E). Definindo em Γ(E) a adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao por escalar da seguinte maneira

(an)n+ (bn)n= (an+ bn)n

λ(an)n= (λan)n

para todos (an)n, (bn)n∈ Γ(E) e para todo λ ∈ C, temos que Γ(E) ´e um espa¸co vetorial.

Proposi¸c˜ao 2.18. A fun¸c˜_{ao d : Γ(E) × Γ(E) −→ R definida por} d(a, b) = sup{ka0− b0k; kan− bnk

n, n ∈ N}

para todos a = (an)n ∈ Γ(E) e b = (bn)n ∈ Γ(E), é uma métrica em Γ(E) que é invariante

Demonstra¸c˜ao. Dados a = (an)n∈ Γ(E) e b = (bn)n ∈ Γ(E) temos que a − b ∈ Γ(E) e, como

lim

n→∞kan− bnk

n = 0, segue que d(a, b) < ∞. Assim d(a, b) ∈ R para todos a, b ∈ Γ(E). ´E

trivial verificar que d(a, b) ≥ 0 para todos a, b ∈ Γ(E), que d(a, b) = 0 se, e somente se, a = b, e que d(a, b) = d(b, a) para todos a, b ∈ Γ(E). Para a desigualdade triangular, se a = (an)n,

b = (bn)n, c = (cn)n∈ Γ(E), de kan− cnk 1 n ≤ ka n− bnk 1 n + kb n− cnk 1 n

para todo n ∈ N segue que d(a, c) ≤ d(a, b) + d(b, c). Mostramos assim que d é uma métrica em Γ(E). Finalmente, a partir da defini¸cão de d é fácil verificar que d(a + c, b + c) = d(a, b) para todos a, b, c ∈ Γ(E).

Observa¸cão 2.2. A métrica d definida na Proposi¸cão 2.18 satisfaz as seguintes propriedades:

(a) Para todos λ ∈ C e a, b ∈ Γ(E) vale d(λa, λb) ≤ A(λ)d(a, b) onde A(λ) = max{1, |λ|}. Com efeito, se λ ∈ C e a = (an)n, b = (bn)n∈ Γ(E) ent˜ao kλa0− λb0k ≤ |λ|ka0− b0k

e kλan− λbnk 1 n ≤ |λ| 1 nka_n− b_nk 1

n para todo n ∈ N. Agora, lembramos que se |λ| ≤ 1,

ent˜ao |λ|n1 ≤ 1 e que se |λ| > 1, ent˜ao |λ| 1

n ≤ |λ|.

(b) Usando o fato de d ser m´etrica invariante por transla¸c˜oes temos que d(a + b, 0) ≤ d(a, 0) + d(b, 0)

para todos a, b ∈ Γ(E).

Proposi¸cão 2.19. (Γ(E), d) é um espa¸co vetorial topológico.

Demonstra¸c˜ao. Pela Observa¸c˜ao 2.2 (b) temos que

d(a + b, 0) ≤ d(a, 0) + d(b, 0)

para todos a, b ∈ Γ(E), o que mostra a continuidade da adi¸cão na origem e, como d é invariante por transla¸cões, segue da´ı a continuidade da adi¸cão. Para provarmos a continuidade

do produto escalar, como d é invariante por transla¸cões, basta mostrar que se ap, a ∈ Γ(E) e λp ∈ C para todo p ∈ N são tais que d(ap, a) −→ 0 e λp −→ 0, então d(λpap, 0) −→ 0.

Podemos supor sem perda de generalidade que |λp| ≤ 1 para todo p ∈ N. Vamos denotar

ap _{= (a}

p,n)n para todo p ∈ N e a = (an)n. Fixemos > 0. Como a = (an)n ∈ Γ(E), existe

n0 ∈ N tal que

kank

1 n <

2 (2.10)

para todo n ≥ n0. Al´em disso, tomando p0 ∈ N suficientemente grande, temos que para

todo p ≥ p0 kλpa0k < 2 e kλpank 1 n < 2 para n = 1, 2, . . . , n0− 1 (2.11) e d(ap_{, a) <} 2 o que implica em kap,0− a0k < 2 e kap,n− ank 1 n < 2 para todo n ∈ N. (2.12) Agora, para todo p ≥ p0, usando as desigualdades (2.11) e (2.12) e lembrando que |λp| ≤ 1

para todo p ∈ N obtemos

kλpap,0k ≤ |λp|kap,0− a0k + kλpa0k < (2.13) e kλpap,nk 1 n ≤ |λ_p| 1 nka_p,n− a_nk 1 n + kλ_pa_nk 1 n < (2.14)

para n = 1, 2, . . . , n0 − 1. Por outro lado, para todo p ≥ p0 e para todo n ≥ n0, usando a

desigualdade (2.10) e lembrando novamente que |λp| ≤ 1 obtemos

kλpap,nk 1 n ≤ |λ_p| 1 nka_p,n− a_nk 1 n + |λ_p| 1 nka_nk 1 n < . (2.15)

Assim, das desigualdades (2.13), (2.14) e (2.15) segue que d(λpap, 0) ≤ para todo p ≥ p0,

ou seja, d(λpap, 0) −→ 0, o que prova a continuidade do produto por escalar.

Demonstra¸cão. Já vimos que Γ(E) é um espa¸co métrico. Vejamos que é completo. Seja (ap₎

p uma sequˆencia de Cauchy em Γ(E). Vamos denotar ap = (ap,n)n para todo p ∈ N.

Dado 0 < < 1, existe r ∈ N tal que d(ap, aq) < para todos p, q ≥ r, isto ´e,

kap,0− aq,0k < (2.16)

kap,n− aq,nk

n < (2.17)

para todo n ∈ N e para todos p, q ≥ r. Da´ı segue que para todo n ∈ N0 a sequˆencia (ap,n)p ´e

de Cauchy em E donde existe an∈ E tal que ap,n−→ an quando p → ∞, para todo n ∈ N0.

Fixando n ∈ N0 e p ≥ r, fazendo q → ∞ nas desigualdades (2.16) e (2.17), temos que

kap,0− a0k ≤ (2.18)

kap,n− ank

n ≤ para todo n ≥ 1, (2.19)

para todo p ≥ r. Fixado p ∈ N, como (ap,n)n ∈ Γ(E) temos lim n→∞kap,nk

n = 0. Assim,

tomando p = r existe n0 ∈ N tal que kar,nk

n < para todo n ≥ n₀ e pela desigualdade

(2.19) obtemos que kank 1 n ≤ ka_n− a_r,nk 1 n + ka_r,nk 1 n ≤ 2

para todo n ≥ n0. Segue da´ı que lim n→∞kank

n = 0 donde definindo a = (a_n)_n temos que

a ∈ Γ(E). Al´em disso, de (2.18) e (2.19) segue que d(ap_{, a) ≤ para todo p ≥ r. Portanto,}

Γ(E) ´e completo com a m´etrica d.

Observa¸cão 2.3. Alguns autores (por exemplo, Conway em [12]) definem espa¸co de Fréchet como sendo um espa¸co vetorial topológico X cuja topologia vem de uma métrica d tal que (X, d) é um espa¸co métrico completo. Então, a Proposi¸cão 2.19 e a Proposi¸cão 2.20 nos dizem que Γ(E) é um espa¸co de Fréchet neste sentido. Entretanto, a maioria dos textos exige que o espa¸co de Fréchet seja um espa¸co localmente convexo. O próximo resultado irá

garantir que Γ(E) possui uma base de vizinhan¸cas convexas do zero e portanto Γ(E) ´e um espa¸co localmente convexo.

Teorema 2.3. (Γ(E), d) e (HL(E), τb) s˜ao isomorfos.

Demonstra¸c˜ao. Seja T : (Γ(E), d) −→ (HL(E), τb) definida por T (a) =

P∞

n=0Pan,n para

todo a = (an)n ∈ Γ(E) onde Pan,n(w) = anw

n _{para todo w ∈ E e para todo n ∈ N} 0.

Lembrando que f ∈ HL(E) se, e somente se existe uma ´unica sequˆencia (an)n ∈ Γ(E) tal

que f = P∞

n=0Pan,n, é fácil ver que T está bem definida e é uma bije¸cão linear. Resta

mostrar que T ´e um homeomorfismo. Para isto, basta mostrar que se a = (an)n ∈ Γ(E) e

(ap₎

p ⊂ Γ(E), ent˜ao d(ap, a) −→ 0 quando p → ∞ se, e somente se, T (ap) τb

−→ T (a) quando p → ∞. Para cada p ∈ N, seja ap _{= (a}

p,n)n. Da defini¸c˜ao de T temos que T (a) = f ∈ HL(E)

e, para cada p ∈ N, T (ap_{) = f} p ∈ HL(E), onde f (w) = P ∞ n=0anw n _{para todo w ∈ E e} fp(w) = P∞

n=0ap,nwn para todo w ∈ E e para todo p ∈ N. Seja B um limitado de E. Logo,

existe R > 1 tal que kwk ≤ R para todo w ∈ B. Dado > 0, escolhemos η > 0 tal que ηR < 1 e η(1 + _1−ηRR ) ≤ . Suponhamos que d(ap_{, a) −→ 0. Assim, existe p}

0 ∈ N tal que

para todo p ≥ p0 temos

kap,0− a0k ≤ η

kap,n− ank ≤ ηn

para todo n ≥ 1. Da´ı, para todo w ∈ B e para todo p ≥ p0

kfp(w) − f (w)k ≤ ∞ X n=0 kap,n− ankkwkn ≤ η + ∞ X n=1 (ηR)n= η 1 + R 1 − ηR ≤ , isto ´e, fp(w) −→ f (w) uniformemente em B. Como B foi tomado um limitado arbitr´ario em

E temos que fp τb

−→ f . Reciprocamente, suponhamos que fp τb

−→ f . Em particular, tomando B = {0} obtemos kap,0− a0k → 0. Dado > 0, seja R ≥ 1/. Por hip´otese, existe p0 ∈ N

tal que para todo p ≥ p0 temos que

kfp(w) − f (w)k ≤ 1

para todo kwk ≤ R. Pela desigualdade de Cauchy, para todos n ∈ N e p ≥ p0 temos

kap,n−ank = sup kwk≤1 kap,nwn−anwnk ≤ sup kwk≤R kap,nwn−anwnk ≤ 1 Rn sup kwk≤R kfp(w)−f (w)k ≤ 1 Rn donde kap,n− ank 1 n ≤ 1

R ≤ . Assim, segue que d(a

p_{, a) ≤ para todo p ≥ p}

0. Isto ´e,

d(ap_{, a) −→ 0.}

Como (HL(E), τb) ´e um espa¸co localmente convexo, pelo Teorema 2.3 e pela Proposi¸c˜ao

2.20, segue que (Γ(E), d) é um espa¸co de Fréchet no sentido usual. Lembramos que um subconjunto B de um espa¸co vetorial topológico X é limitado se para cada vizinhan¸ca U do zero, existe λ > 0 tal que B ⊂ λU . Dizemos que X é normável quando sua topologia provém de uma norma.

Proposi¸cão 2.21. (Γ(E), d) é um espa¸co de Fréchet que não é normável.

Demonstra¸cão. Como (Γ(E), d) é um espa¸co localmente convexo, pelo Teorema de Kolmogorov (ver [12], página 107, Proposi¸cão 2.6), basta mostrar que Γ(E) não contém uma vizinhan¸ca limitada do zero. Como os conjuntos U(0) = {a ∈ Γ(E) ; d(a, 0) < } para

todo > 0 formam uma base de vizinhan¸cas do zero, basta mostrar que estes conjuntos n˜ao s˜ao limitados. Fixemos > 0 e seja η = /4. Para λ > 0 arbitr´_{ario, tomemos m ∈ N} suficientemente grande tal que λm1 < 2. Tomando a = (a_n)_n ∈ Γ(E) definida por a_n = 0

para todo n 6= m e am = (₂)me, ´e claro que a ∈ U(0) e, como ka_λmk

m > /4 = η, a /∈ λU_η(0).

Mostramos que dado um aberto U(0) existe um aberto Uη(0) tal que n˜ao existe λ > 0 que

satisfaz U(0) ⊂ λUη(0), ou seja, U(0) n˜ao ´e limitado.

Observa¸c˜ao 2.4. Como vimos no Teorema 2.3, podemos representar o espa¸co HL(E) pelo

(a) Como f ∈ HL(E) se, e somente se existe uma ´unica sequˆencia (an)n ∈ Γ(E) tal que

f (w) = P∞

n=0anw

n _{para todo w ∈ E, podemos equivalentemente definir em H}

L(E) a

seguinte m´etrica

ρ(f, g) = sup{ka0− b0k; kan− bnk

n, n ∈ N}

para todas f, g ∈ HL(E) tais que f (w) = P ∞ n=0anw n _{e g(w) =} P∞ n=0bnw n _{para todo} w ∈ E.

(b) Todos os resultados deste parágrafo, com exce¸cão do Teorema 2.3, valem sempre que E é um espa¸co de Banach, sem necessidade de supor que E seja uma álgebra de Banach. O Teorema 2.3 serviu para mostrar que (Γ(E), d) é um espa¸co de Fréchet no sentido usual. Este fato vale para qualquer espa¸co de Banach. Com efeito, já observamos que

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