Álgebras de Aplicações Lorch Analíticas

(1)

´

Algebras de Aplica¸

c˜

oes Lorch Anal´ıticas

Alex Farah Pereira

Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós-gradua¸cão em Matemática, Instituto de Matemática, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos ne-cessários à obten¸cão do t´ıtulo de Doutor em Matemática.

Orientadora: Luiza Am´alia de Moraes

Rio de Janeiro

(2)

´

Algebras de Aplica¸

c˜

oes Lorch Anal´ıticas

Alex Farah Pereira

Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós-gradua¸cão em Matemática, Insti-tuto de Matemática, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necesários à obten¸cão do t´ıtulo de Doutor em Matemática.

Aprovada por:

Presidente, Profa. Luiza Am´alia de Moraes - IM/UFRJ

Prof. Antˆonio Roberto da Silva - IM/UFRJ

Prof. Jorge T´ulio Mujica Ascui - IMMEC/UNICAMP

Prof. Geraldo M´arcio de Azevedo Botelho - FAMAT/UFU

(3)

Aos meus av´os. Aos meus pais, Celio e Angela. ` A minha irm˜a, Monica. ` A minha namorada, Camila.

(4)

Agradecimentos

A Deus, por mais uma conquista em minha vida. `

A minha orientadora, Professora Luiza Amália de Moraes, por todo seu apoio e dedica¸cão não só na realiza¸cão deste trabalho mas em minha forma¸cão matemática nesses 10 anos de estudo com quem aprendi muito.

Aos meus pais e minha irm˜a por serem as pessoas que sempre estar˜ao ao meu lado em todos os momentos da minha vida.

`

A minha namorada Camila por sempre acreditar que sou capaz de alcan¸car meus obje-tivos.

(5)

Ficha Catalogr´

afica

Pereira, Alex Farah. ´

Algebras de Aplica¸c˜oes Lorch Anal´ıticas/ Alex Farah Pereira. - Rio de Janeiro: UFRJ/ IM, 2010.

viii, 86f; 1cm.

Tese (doutorado) - UFRJ/ Instituto de Matemática/ Programa de Pós-gradua¸cão em Matemática, 2010.

Referˆencias Bibliogr´aficas: f.83-86.

1. Aplica¸c˜oes (L)-Holomorfas. 2. ´Algebras de Banach. 3. Espectros. 4. Homomorfismos. I. Moraes, Luiza

Amália de. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, Programa de Pós-gradua¸cão em Matemática. III. T´ıtulo.

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´

Algebras de Aplica¸c˜

oes Lorch Anal´ıticas

Alex Farah Pereira

Sejam E uma ´algebra de Banach complexa comutativa com unidade e BE a bola

unit´aria aberta de E. Denotamos por HL(U ; E) o espa¸co das aplica¸c˜oes definidas em um

subconjunto aberto conexo U de E em E que são anal´ıticas no sentido de Lorch. Para U = E e U = BE mostramos que HL(U ; E) é uma subálgebra fechada de Hb(U ; E), apresentamos

uma descri¸cão de seu espectro e, como aplica¸cão, provamos que E é semi-simples se, e somente se, HL(U ; E) é semi-simples. Estudamos também o espectro de outras álgebras de aplica¸cões

anal´ıticas no sentido de Lorch. Em particular, descrevemos o espectro da álgebra de Banach AL(BE) das aplica¸cões de BE em E anal´ıticas no sentido de Lorch que são uniformemente

cont´ınuas em BE e da ´algebra de Banach H∞L(BE) das aplica¸c˜oes limitadas de BE em E

que são anal´ıticas no sentido de Lorch (ambas com a norma do sup). No último cap´ıtulo, munimos o espa¸co HL(E; E) do produto de Hadamard e caracterizamos o espectro da álgebra

(7)

Algebras of Lorch Analytic Mappings

Alex Farah Pereira

Supervisor: Luiza Am´alia de Moraes

Let E be a commutative complex Banach algebra with unit and let BE be the open

unit ball of E. Let HL(U ; E) be the space of the mappings from a connected open subset U

of E into E that are analytic in the sense of Lorch. For U = E and U = BE we show that

HL(U ; E) is a closed subalgebra of Hb(U ; E), we give a description of its spectrum and, as an

application, we show that E is semi-simple if and only if HL(U ; E) is semi-simple. We also

study the spectra of other algebras of analytic mappings in the sense of Lorch. In particular we give a description of the spectra of the Banach algebras AL(BE) of the mappings from

BE into E that are analytic in the sense of Lorch and uniformly continuous on BE and

H∞

L(BE) of the bounded mappings from BE into E that are analytic in the sense of Lorch

(both endowed with the sup norm). In the last chapter we endow the space HL(E; E) with

(8)

Sum´

ario

1 Resultados Preliminares 6

1.1 Aplica¸c˜oes Holomorfas . . . 6 1.2 Algebras de Fr´´ echet . . . 18

2 As Aplica¸c˜oes Lorch Anal´ıticas 29

2.1 Espa¸cos de Aplica¸cões (L)-Anal´ıticas . . . 30 2.2 O Espa¸co Γ(E) de Sequências . . . 46 2.3 Dualidade de Espa¸cos de Aplica¸cões (L)-Anal´ıticas . . . 53

3 Algebras de Aplica¸´ c˜oes Lorch Anal´ıticas 59

3.1 A ´Algebra HL(E) . . . 59

3.2 A ´Algebra AL(BE) . . . 64

3.3 A ´Algebra H∞_L(BE) . . . 69

(9)

Introdu¸

c˜

ao

O principal objetivo desta tese é estudar o espectro de álgebras de aplica¸cões anal´ıticas no sentido de Lorch. Se A é uma álgebra complexa topológica comutativa, denotamos por M(A) o espectro de A, isto é, o conjunto dos homomorfismos cont´ınuos não-nulos definidos em A.

Em 1957, durante uma conferência no Institute for Advanced Study em Princeton, um grupo de matemáticos estudou o espectro M(H∞(∆)) da álgebra H∞(∆) das fun¸cões com-plexas anal´ıticas e limitadas no disco aberto unit´_{ario ∆ = {λ ∈ C ; |λ| < 1}. Os resultados} obtidos foram publicados sob o pseudônimo de I. J. Schark (ver [36]).

Aron, Cole e Gamelin consideraram em [2] a álgebra de Banach H∞(B) das fun¸cões com-plexas holomorfas e limitadas na bola unitária aberta B de um espa¸co de Banach complexo E de dimensão infinita. Com o objetivo de obter informa¸cões sobre M(H∞(B)) eles estuda-ram o espectro M(Hb(E)) onde Hb(E) denota a álgebra de Fréchet das fun¸cões complexas

inteiras em E que são limitadas nos limitados de E. Eles mostraram em [3] que se E0 tem a propriedade da aproxima¸cão, então M(Hb(E)) coincide com E00 como conjunto se, e somente

se, o espa¸co Pf(E) dos polinˆomios fracamente cont´ınuos em E ´e denso em Hb(E).

Posteriormente, Garcia, Louren¸co, Moraes e Paques em [18] e Burlandy e Moraes em [7] estenderam este resultado à álgebra de Fréchet Hb(U ; F ) das aplica¸cões holomorfas de um

subconjunto U de um espa¸co de Banach E em uma álgebra de Banach F que são limitadas nos U -limitados de E (ver Defini¸cão 1.9) quando U é o espa¸co E e quando U é um aberto absolutamente convexo, respectivamente. Mais explicitamente, no caso em que E0 tem a propriedade da aproxima¸cão e F é uma álgebra de Banach isometricamente isomorfa a ˆF sob a transformada de Gelfand, a densidade do espa¸co Pf(E; F ) dos polinômios fracamente

cont´ınuos de E em F em Hb(E; F ) é equivalente à existência de uma determinada bije¸cão

(10)

equiva-lente à existência de uma determinada bije¸cão entre M(Hb(U ; F )) e int U w∗

× M(F ) onde int Uw

∗

denota o interior do fecho de U na topologia fraca estrela (cf [7]). Caracteriza¸cões semelhantes são obtidas também em [18] para outras álgebras de aplica¸cões holomorfas no contexto de espa¸cos de Banach e em [1] para Hb(U ; F ) no caso em que E é um espa¸co (DF)

tonelado.

Em geral, as solu¸cões publicadas nos últimos vinte anos para o problema de determinar o espectro de uma subálgebra A de Hb(U ; F ) supõem que o dual de E tenha a propriedade da

aproxima¸c˜ao e que Pf(E; F ) seja denso em A. As ´algebras que consideramos neste trabalho

são álgebras de aplica¸cões holomorfas de um aberto conexo U contido numa álgebra de Banach arbitrária com unidade E e com valores em E. Estas álgebras contém a aplica¸cão identidade de E e, como a densidade de Pf(E; E) em A implicaria em todo elemento de

A ser uma aplica¸cão compacta, é claro que as álgebras A que vamos estudar não podem estar contidas no fecho de Pf(E; E) quando E tem dimensão infinita (que é o caso que nos

interessa).

Nos trabalhos acima citados, a densidade de Pf(E; F ) em A possibilitou o uso da extens˜ao

de Aron-Berner para obter a descri¸cão do espectro da álgebra A e, especialmente, possibilitou definir um elemento de M(A) a partir de um elemento de E00. Já o fato de E0ter a propriedade da aproxima¸cão foi importante na prova de que a caracteriza¸cão obtida para A implica na densidade de Pf(E; F ) em A.

No nosso caso, a metodologia utilizada para caracterizar os espectros é completamente diferente uma vez que não contamos com a densidade de Pf(E; E) em nenhuma das álgebras

por nós consideradas. Mais explicitamente, consideramos uma álgebra de Banach E comuta-tiva com unidade e tal que kek = 1 e um aberto conexo não vazio U de E e estudamos o espa¸co HL(U ; E) das aplica¸cões f : U −→ E que são anal´ıticas no sentido de Lorch (ver Defini¸cão

2.2). A defini¸c˜ao de aplica¸c˜ao Lorch anal´ıtica apareceu pela primeira vez em [28] e estende `

(11)

de um modo muito natural. Embora esta defini¸cão seja mais restritiva do que a defini¸cão de aplica¸cão holomorfa em dimensão infinita como uma aplica¸cão Fréchet diferenciável, a teoria criada por Lorch é em muitos sentidos mais rica do que a teoria conhecida como Holomorfia pois inclui o estudo de expansões de Laurent, aplica¸cões racionais e singularidades feito por Blum em [5]. Além disso, uma generaliza¸cão do Teorema de Mittag-Leffler foi obtida por Glickfeld neste contexto em [19]. Observamos que toda aplica¸cão anal´ıtica no sentido de Lorch é holomorfa mas nem toda aplica¸cão holomorfa é anal´ıtica no sentido de Lorch.

Consideramos aqui o espa¸co HL(E) das aplica¸c˜oes f : E −→ E que s˜ao Lorch anal´ıticas

em E, o espa¸co HL(BE) das aplica¸c˜oes f : BE −→ E que s˜ao Lorch anal´ıticas em BE (onde

BE denota a bola aberta unit´aria de E), o espa¸co AL(BE) das aplica¸c˜oes f : BE −→ E

que s˜ao Lorch anal´ıticas em BE e uniformemente cont´ınuas em BE e o espa¸co H∞L(BE) das

aplica¸c˜oes f : BE −→ E que s˜ao Lorch anal´ıticas e limitadas em BE. Mostramos que HL(E)

´

e um subespa¸co fechado de Hb(E; E) e que HL(BE) ´e um subespa¸co fechado de Hb(BE; E),

de modo que (HL(E) , τb) e (HL(BE) , τb) s˜ao espa¸cos de Fr´echet. Com o produto pontual,

(HL(E) , τb) é uma álgebra de Fréchet comutativa com unidade. Mostramos que M(HL(E))

´

e homeomorfo a M(E) × C. Com a norma do sup e o produto pontual, AL(BE) e H∞L(BE)

são álgebras de Banach com unidade e estudamos também seus espectros. No estudo do espectro de AL(BE) obtemos que M(AL(BE)) é homeomorfo a M(E) × ∆. Já no caso

da ´algebra H∞_L(BE), o estudo do espectro apresenta problemas an´alogos aos apresentados

no caso da ´algebra H∞(∆) e, assim como no caso cl´assico, conseguimos apenas resultados parciais. Finalmente, considerando em HL(E) o produto de Hadamard mostramos que, com

este produto, HL(E) se torna uma ´algebra de Fr´echet comutativa sem unidade. Neste caso,

mostramos que o espectro M(HL(E)) ´e homeomorfo a M(E) × N0 (onde N0 = N ∪ {0}).

Mostramos ainda que a álgebra HL(E) com o produto de Hadamard é uma álgebra de

Fréchet comutativa sem unidade tal que todo ideal maximal fechado é o núcleo de um homomorfismo cont´ınuo em HL(E). Sabemos que, em geral, isto não vale para álgebras de

(12)

Nosso estudo de álgebras de Banach de aplica¸cões anal´ıticas no sentido de Lorch implicou num estudo preliminar dos espa¸cos considerados. Neste estágio de nossa pesquisa diversos problemas que não são diretamente vinculados com o objetivo principal de nosso trabalho foram estudados e os resultados obtidos foram inclu´ıdos nesta tese. A existência de um isomorfismo isométrico entre E e o espa¸co dos polinômios n-homogêneos que são Lorch anal´ıticos possibilitou mostrar que muitas propriedades topológicas são compartilhadas por E e HL(E). Além disso, considerando E00 com o produto de Arens, mostramos que se E é

reflexivo, ent˜ao HL(E00) e HL(E)00 s˜ao isomorfos.

As aplica¸c˜oes anal´ıticas no sentido de Lorch foram estudadas por Waldir Quandt em [35], mas ele dirigiu seus estudos numa dire¸c˜ao completamente diferente da nossa.

Este trabalho est´a dividido da seguinte maneira:

No Cap´ıtulo 1, enunciamos sem demonstra¸cão alguns teoremas de Aplica¸cões Holomorfas e Álgebras de Fréchet que serão úteis nos cap´ıtulos posteriores.

No Cap´ıtulo 2, come¸camos estudando os polinômios n-homogêneos que são anal´ıticos no sentido de Lorch e estudamos alguns espa¸cos de aplica¸cões Lorch anal´ıticas. Em particular mostramos que (HL(E) , τb) e (HL(BE) , τb) são espa¸cos de Fréchet. Provamos que E é

separável se, e somente se, (HL(E) , τb) é separável, e que a mesma equivalência ocorre

subs-tituindo separ´avel por reflexivo ou por ter a propriedade de Schur. Neste cap´ıtulo consideramos o espa¸co de sequˆencias Γ(E) = {(an)n ⊂ E ; lim

n→∞kank

1

n = 0} e definimos uma

métrica d em Γ(E) tal que (Γ(E) , d ) é isomorfo a (HL(E) , τb). Este fato é utilizado muitas

vezes no decorrer desta tese.

No Cap´ıtulo 3, munimos os espa¸cos definidos no Cap´ıtulo 2 de uma estrutura de álgebra definindo neles o produto pontual e estudamos os espectros das álgebras assim obtidas. Mostramos que M(HL(E)) é homeomorfo a M(E) × C e, como aplica¸cão, mostramos que E

´

(13)

´

e homeomorfo a M(E) × ∆ e que E ´e semi-simples se, e somente se, AL(BE) ´e semi-simples.

O estudo do espectro da ´algebra de Banach H∞_L(BE) apresenta problemas an´alogos aos

do caso da álgebra H∞(∆) e, como no caso clássico, obtemos apenas resultados parciais relacionados à caracteriza¸cão do espectro. Os resultados que compõem o Cap´ıtulo 3 deram origem a [30].

No Cap´ıtulo 4, consideramos o espa¸co HL(E) munido do produto de Hadamard e

mostra-mos que, com este produto, HL(E) é uma álgebra de Fréchet sem unidade. Mostramos que o

espectro M(HL(E)) é homeomorfo a M(E)×N0 e, como aplica¸cão, mostramos que HL(E) é

semi-simples sempre que E é semi-simples. Considerando o produto pontual em Γ(E), temos que Γ(E) é uma álgebra de Fréchet sem unidade cujo espectro M(Γ(E)) é homeomorfo a M(E) × N0 e, consequentemente, Γ(E) é semi-simples sempre que E é semi-simples. Mais

ainda, provamos que todo ideal maximal fechado de HL(E) com o produto de Hadamard ´e

(14)

Cap´ıtulo 1

Resultados Preliminares

Neste cap´ıtulo, reunimos resultados sobre aplica¸cões holomorfas e álgebras de Fréchet que serão utilizados nesta tese. Durante todo este texto, denotamos o conjunto dos números naturais por N e N∪{0} por N0. Todos os espa¸cos vetoriais considerados são espa¸cos vetoriais

complexos. Se E é um espa¸co vetorial topológico, E0 denota o dual de E com a topologia forte. Para resultados sobre espa¸cos vetoriais topológicos e espa¸cos localmente convexos damos como referência [33].

1.1 Aplica¸

c˜

oes Holomorfas

Nesta se¸cão, E e F s˜_{ao espa¸cos de Banach, n ∈ N}0e U é um subconjunto aberto não vazio

de E. Fixados r > 0 e a ∈ E, denotamos por Br(a) a bola aberta {x ∈ E ; kx − ak < r} e

por Br(a) o fecho de Br(a). Em particular, escrevemos BE = B1(0). As demonstra¸c˜oes dos

resultados desta se¸cão bem como maiores detalhes sobre as teorias das aplica¸cões holomorfas podem ser encontradas em [4], [14], [15] ou [32]. Daremos referências precisas apenas das demonstra¸cões dos resultados que não são, em geral, apresentados num curso introdutório

(15)

de aplica¸c˜oes holomorfas.

Para todo n ∈ N, o espa¸co das aplica¸cões lineares simétricas cont´ınuas A : En _{−→ F é}

denotado por Ls(nE; F ). Se n = 0, Ls(0E; F ) ´e o espa¸co das aplica¸c˜oes constantes de E em

F e identificamos Ls(0E; F ) com o espa¸co de Banach F . ´E claro que L(E; F ) = Ls(1E; F ).

Defini¸cão 1.1. Uma aplica¸cão P : E −→ F é dita um polinômio n-homogêneo cont´ınuo se existe A ∈ Ls(nE; F ) tal que P (x) = Axn= A(x, . . . , x) para todo x ∈ E.

Esta defini¸c˜ao possibilita estabelecer um isomorfismo entre Ls(nE; F ) e o conjunto dos

polinômios n-homogêneos cont´ınuos de E em F . Escrevemos muitas vezes P = bA para explicitar que A é o (único) elemento de Ls(nE; F ) tal que P (x) = A(x, . . . , x).

Denotamos por P(n_{E; F ) o espa¸co dos polinˆ}_{omios n-homogˆ}_{eneos cont´ınuos de E em F}

munido da norma kP k = sup

kxk≤1

kP (x)k para todo P ∈ P(n_{E; F ). Salvo indica¸c˜}_{ao contr´}_aria,

P(n_{E; F ) estar´}_{a sempre munido desta norma.}

Proposi¸c˜ao 1.1. P(n_{E; F ) ´}_{e um espa¸}_{co de Banach.}

Observa¸c˜_{ao 1.1. Se E = C, então todo polinômio n-homogêneo de C em F é da forma} p(λ) = bλn _{para todo λ ∈ C, onde b é um elemento de F .}

Observa¸c˜ao 1.2. Sejam X um espa¸co vetorial e {Xn}n∈N0 uma sequˆencia de subespa¸cos

de X. Denotamos por P

n∈N0Xn o conjunto das somas finitas formados por elementos

escolhidos dos subespa¸cos Xn, isto ´e, x ∈

P

n∈N0Xn se, e somente se, existem n´umeros

n0, . . . , nk em N0 e elementos xnj ∈ Xnj para todo j = 0, . . . , k tais que x = xn0+ . . . + xnk.

Deste modo, P

n∈N0Xn ´e um subespa¸co de X chamado de soma alg´ebrica dos subespa¸cos

Xn. Esta soma algébrica é dita uma soma algébrica direta se xn0 + . . . + xnk = 0 implica

xnj = 0 para todo j = 0, . . . , k. Neste caso, denotamos esta soma alg´ebrica direta por ⊕

n∈N0

Xn

e dizemos que a sequˆencia de subespa¸cos {Xn}n∈N0de X ´e linearmente independente.

Denotamos por F (E; F ) o espa¸co de todas as aplica¸cões de E em F com as opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão por escalar definidas pontualmente.

(16)

Proposi¸cão 1.2. A sequência de subespa¸cos {P(nE; F )}_n∈N0 de F (E; F ) é linearmente

in-dependente.

Defini¸c˜ao 1.2. O espa¸co ⊕

n∈N0

P(n_{E; F ) ´}_{e o espa¸}_{co dos polinˆ}_{omios cont´ınuos de E em F ,}

denotado por P(E; F ).

Observa¸cão 1.3. A proposi¸cão anterior nos diz que se P ∈ P(E; F ) é não-nulo, então P pode ser escrito unicamente na forma P = Pn

j=0Pj, onde Pj ∈ P(

j_{E; F ) para todo}

j = 0, . . . , n e Pn 6= 0. No caso particular em que E = C, ent˜ao P (λ) =

Pn

j=0bjλj para todo

λ ∈ C, onde bj ∈ F para todo j = 0, . . . , n com bn6= 0.

Defini¸cão 1.3. Uma série de potências de E em F em torno de a ∈ E é uma série da forma P∞

n=0Pn(x − a), onde Pn ∈ P(

n_{E; F ).}

Proposi¸c˜ao 1.3. Sejam a ∈ E, r > 0 e Pn ∈ P(nE; F ) tais que P ∞

n=0Pn(x − a) = 0 para

todo x ∈ Br(a). Ent˜ao Pn= 0 para todo n ∈ N0.

Defini¸cão 1.4. O raio de convergência da série de potências P∞

n=0Pn(x − a) ´e o supremo

dos ρ ≥ 0 tais que a s´erie converge uniformemente em Br(a) para todo 0 ≤ r < ρ.

Proposi¸cão 1.4. (Fórmula de Cauchy-Hadamard) Seja R o raio de convergência da série de potências P∞ n=0Pn(x − a). Então 1 R = lim supn→∞ kPnk 1 n.

Defini¸cão 1.5. Uma aplica¸cão f : U −→ F é dita holomorfa em U se para cada a ∈ U , existem r > 0 tal que Br(a) ⊂ U e uma sequência de polinômios Pn∈ P(nE; F ) tais que

f (x) = ∞ X n=0 Pn(x − a) uniformemente em Br(a).

Denotamos por H(U ; F ) o espa¸co das aplica¸cões holomorfas de U em F considerando as opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸c˜_{ao por escalar definidas pontualmente. No caso de F = C,}

(17)

escrevemos H(U ) no lugar de H(U ; C). Quando U = E, dizemos que H(E; F ) ´e o espa¸co das aplica¸c˜oes inteiras.

Como consequência da Proposi¸cão 1.3, se f ∈ H(U ; F ), a sequência {Pn}n∈N0 da Defini¸cão

1.5 é única. A série de potências P∞

n=0Pn(x − a) ´e chamada a s´erie de Taylor de f em torno

de a ∈ U .

Defini¸c˜ao 1.6. Sejam f ∈ H(U ; F ), a ∈ U e P∞

n=0Pn(x − a) a s´erie de Taylor de f em

torno de a. Ent˜ao bdn_{f (a) := n!P}

n ∈ P(nE; F ) ´e dita a diferencial de ordem n de f em a.

Quando n = 1, escrevemos bdf (a) ao invés de bd1f (a). Usando esta nota¸cão, podemos escrever a série de Taylor de f ∈ H(U ; F ) em torno de a ∈ U na forma

f (x) = ∞ X n=0 1 n!db n_{f (a)(x − a).}

Defini¸c˜ao 1.7. Seja f ∈ H(U ; F ). A diferencial de f de ordem n, denotada por bdn_{f , ´}_{e a}

aplica¸c˜ao dada por

b

dnf : a ∈ U 7−→ bdnf (a) ∈ P(nE; F ).

O operador diferencial de ordem n, denotado por bdn, ´e a aplica¸c˜ao dada por b

dn: f ∈ H(U ; F ) 7−→ bdnf ∈ F (U ; P(nE; F )).

Observa¸cão 1.4. Resultados como Fórmulas Integrais de Cauchy e o Teorema de Liouville têm seus análogos válidos para as aplica¸cões holomorfas.

Proposi¸c˜ao 1.5. P(E; F ) ´e um subconjunto de H(E; F ).

Lembramos que se f ∈ H(U ; F ) e B ´e um subconjunto de U , ent˜ao kf kB = sup x∈B

kf (x)k. Proposi¸c˜ao 1.6. (Desigualdades de Cauchy) Sejam f ∈ H(U ; F ) e a ∈ U . Se B ´e um subconjunto equilibrado de E tal que a + B ⊂ U , ent˜_{ao para todo n ∈ N}0 temos

1 n!db n f (a) B ≤ kf ka+B.

(18)

Em particular, se r > 0 ´e tal que Br(a) ⊂ U , ent˜ao para todo n ∈ N0 temos 1 n!db n_{f (a)} Br(0) ≤ 1 rnkf kBr(a).

Denotamos por C(U ; F ) o espa¸co das aplica¸c˜oes cont´ınuas de U em F munido da topologia compacto-aberta, denotada por τ0, isto ´e, a topologia localmente convexa gerada pela fam´ılia

de seminormas

pK(f ) = sup w∈K

kf (w)k

para toda f ∈ C(U ; F ), onde K percorre a fam´ılia dos subconjuntos compactos de U . Sabemos que C(U ; F ) ´e τ0-completo.

Proposi¸c˜ao 1.7. H(U ; F ) ´e um subespa¸co fechado de C(U ; F ). Em particular, (H(U ; F ) , τ0)

´

e completo.

Seja X um espa¸co localmente convexo. Lembramos que Y ´e um subespa¸co complemen-tado de X se existe uma aplica¸c˜ao linear cont´ınua T : X −→ X tal que T (X) = Y e T (y) = y para todo y ∈ Y .

Proposi¸c˜ao 1.8. (P(nE; F ) , τ0) ´e um subespa¸co complementado de (H(U ; F ) , τ0).

Dizemos que uma seminorma p sobre H(U ; F ) ´e portada por um subconjunto compacto K ⊂ U se para todo subconjunto aberto V , K ⊂ V ⊂ U , existe c > 0 (que depende de V ) tal que

p(f ) ≤ ckf kV

para toda f ∈ H(U ; F ). Denotamos por τω a topologia localmente convexa gerada pela

fam´ılia de seminormas sobre H(U ; F ) portadas por subconjuntos compactos de U . Proposi¸cão 1.9. Se U é equilibrado, então (H(U ; F ), τω) é completo.

Proposi¸c˜ao 1.10. (P(n_{E; F ) , τ}

(19)

Lembramos que uma aplica¸cão f : U −→ F é localmente limitada em U se f é limitada numa vizinhan¸ca de todo ponto de U , isto é, para todo a ∈ U , existe uma vizinhan¸ca V ⊂ U de a tal que f é limitada em V .

Defini¸cão 1.8. Seja f : U −→ F localmente limitada em a ∈ U . O raio de limita¸cão de f em a, denotado por rbf (a), é o supremo dos ρ > 0 tais que Br(a) ⊂ U e f é limitada em

Br(a) para todo 0 < r < ρ.

Lembramos que se A e B são subconjuntos não vazios de um espa¸co métrico (X, d) então a distância entre A e B é definida por

dist(A, B) = inf{d(a, b) ; a ∈ A , b ∈ B}.

Denotamos por ∂U a fronteira de U . Fixado a ∈ E, escrevemos dU(a) = dist(a, ∂U ). Quando

U = E, escrevemos dU(a) = ∞. Se f ∈ H(U ; F ) e a ∈ U , denotamos por rcf (a) o raio de

convergˆencia da s´erie de Taylor de f em a.

Proposi¸c˜ao 1.11. Sejam f ∈ H(U ; F ) e a ∈ U . Ent˜ao rbf (a) = min{rcf (a) , dU(a)}.

Quando E tem dimens˜ao finita, dados a ∈ U e r > 0 tais que 0 < r < dU(a), temos que

Br(a) é compacta, de modo que se f ∈ H(U ; F ), então f é limitada em Br(a). Da defini¸cão

de rbf (a), junto com a Proposi¸c˜ao 1.11, segue que rbf (a) = dU(a) ≤ rcf (a). J´a no caso de

E ter dimens˜ao infinita, ´e poss´ıvel termos rbf (a) = rcf (a) < dU(a) como nos mostram os

seguintes exemplos.

Exemplo 1.1. Seja c00 o espa¸co das sequˆencias complexas (xn)n que s˜ao eventualmente zero,

isto ´e, existe n0 ∈ N tal que xn = 0 para todo n ≥ n0. Definimos neste espa¸co a norma

kxk∞= sup n∈N

(20)

para todo x = (xn)n∈ c00. Definindo f (x) = ∞ X n=1 x1. . . xn

para todo x = (xn)n∈ c00, temos que f ∈ H(c00) e rbf (0) = rcf (0) = 1.

Exemplo 1.2. Seja c0 o espa¸co das sequˆencias complexas (xn)nque convergem a zero munido

da norma

kxk∞= sup n∈N

|xn|

para todo x = (xn)n∈ c0. Definindo

f (x) =

∞

X

n=1

(xn)n

para todo x = (xn)n∈ c0, temos que f ∈ H(c0) e rbf (0) = rcf (0) = 1.

Exemplo 1.3. Para p > 1, seja `p o espa¸co das sequˆencias complexas (xn)n tais que

P∞ n=0|xn| p _{< ∞ munido da norma} kxkp = ∞ X n=0 |xn|p !_p1

para todo x = (xn)n∈ `p. Definindo

f (x) =

∞

X

n=0

(xn)n

para todo x = (xn)n∈ `p, temos que f ∈ H(`p) e rbf (0) = rcf (0) = 1.

Todos os exemplos anteriores são ainda exemplos de aplica¸cões que não são limitadas nos limitados do seu dom´ınio. Na verdade temos o seguinte resultado que mostra que a situa¸cão no caso de dimensão infinita é completamente diferente da situa¸cão no caso de dimensão finita.

Teorema 1.1. Se E tem dimensão infinita, então existe f ∈ H(E) que não é limitada nos limitados de E.

(21)

Este resultado justifica a introdu¸c˜ao do espa¸co das aplica¸c˜oes holomorfas de tipo limitado, que faremos a seguir.

Defini¸cão 1.9. Um subconjunto não vazio B de E é dito U -limitado se B ⊂ U , B é limitado e dist(B, ∂U ) > 0.

Defini¸cão 1.10. Dizemos que f ∈ H(U ; F ) é de tipo limitado se f é limitada em todo subconjunto U -limitado de U .

Denotamos por Hb(U ; F ) o espa¸co das aplica¸c˜oes holomorfas de U em F de tipo limitado.

Em particular, quando U = E, temos que Hb(E; F ) ´e o espa¸co das aplica¸c˜oes holomorfas de

E em F que s˜ao limitadas nos limitados de E.

A topologia natural de Hb(U ; F ), denotada por τb, ´e a topologia localmente convexa

gerada pela fam´ılia de seminormas

pX(f ) = sup x∈X

kf (x)k

para toda f ∈ Hb(U ; F ), onde X percorre a fam´ılia dos U -limitados de U . Salvo indica¸c˜ao

contr´aria, estaremos sempre considerando Hb(U ; F ) munido da topologia τb.

Defini¸cão 1.11. Um espa¸co de Fréchet é um espa¸co localmente convexo metrizável completo. Proposi¸cão 1.12. Hb(U ; F ) é um espa¸co de Fréchet.

Proposi¸c˜ao 1.13. Seja f ∈ H(E; F ). S˜ao equivalentes:

(a) f ´e de tipo limitado. (b) lim n→∞ 1 n!db n_{f (x)} 1 n = 0 para algum x ∈ E. (c) rcf (x) = ∞ para algum x ∈ E.

(22)

Seja U um subconjunto próprio de E. Denotamos por H∞(U ; F ) o espa¸co das aplica¸cões holomorfas de U em F que são limitadas em U . A topologia natural é dada pela norma

kf kU = sup x∈U

kf (x)k

para toda f ∈ H∞(U ; F ). Estaremos sempre considerando H∞(U ; F ) munido desta norma. Observe que se U = E, então H∞(E; F ) é o espa¸co das aplica¸cões constantes.

Proposi¸c˜ao 1.14. H∞(U ; F ) ´e um espa¸co de Banach.

Defini¸cão 1.12. Seja X um espa¸co localmente convexo. Uma sequência de subespa¸cos {Xn}n∈N0 de X é uma decomposi¸cão de Schauder para X se

(a) para cada x ∈ X existe uma ´unica sequˆencia (xn)n tal que xn ∈ Xn para todo n ∈ N0

e x =P∞ n=0xn = lim_m→∞ Pm n=0xn; (b) as proje¸c˜oes um( P∞ n=0xn) = Pm

n=0xnpara todo x ∈ X s˜ao cont´ınuas para todo m ∈ N0.

Defini¸c˜ao 1.13. Sejam X um espa¸co localmente convexo e {(Xn, k · kn)}n∈N0 uma sequˆencia

de subespa¸cos de X que s˜ao espa¸cos de Banach. Dizemos que {(Xn, k · kn)}n∈N0 ´e uma

R-decomposi¸cão de Schauder para X, 0 < R ≤ ∞, se {(Xn, k · kn)}n∈N0 é uma decomposi¸cão de

Schauder para X e para toda sequˆencia (xn)n, xn ∈ Xn para todo n ∈ N0, a s´erie

P∞

n=0xn

converge em X se, e somente se, lim sup

n→∞ kxnk 1 n n ≤ _R1. ´

E f´acil ver que {P(n_{E; F )}}

n∈N0 ´e uma ∞-decomposi¸c˜ao de Schauder para Hb(E; F ) e

uma R-decomposi¸c˜ao de Schauder para Hb(RBE; F ), R > 0.

Defini¸c˜ao 1.14. Seja S = {(αn)n ⊂ C ; lim sup n→∞

|αn|

1

n ≤ 1}. Uma decomposi¸c˜ao de

Schauder {Xn}n∈N0 de um espa¸co localmente convexo X ´e uma decomposi¸c˜ao S-absoluta

para X se para toda (αn)n∈ S e x =

P∞

n=0xn∈ X, xn∈ Xn, temos que

P∞

n=0αnxn ∈ X e,

para toda seminorma cont´ınua p em X e para todo α = (αn)n∈ S,

pα ∞ X n=0 xn ! = ∞ X n=0 |αn|p(xn)

(23)

define uma seminorma cont´ınua em X.

As no¸cões de polinômios n-homogêneos e aplica¸cões holomorfas podem ser estendidas para espa¸cos localmente convexos. Para maiores detalhes, veja [4].

Teorema 1.2. Seja V um subconjunto aberto equilibrado de um espa¸co localmente convexo X. Ent˜ao {(P(n_{X; F ), τ}

0)}n∈N0 ´e uma decomposi¸c˜ao S-absoluta para (H(V ; F ), τ0).

Demonstra¸c˜ao. Ver [14], p´agina 121, Teorema 3.19.

ω)}n∈N0 ´e uma decomposi¸c˜ao S-absoluta para (H(V ; F ), τω).

Demonstra¸c˜ao. Ver [14], p´agina 122, Teorema 3.22.

b)}n∈N0 ´e uma decomposi¸c˜ao S-absoluta para (Hb(V ; F ), τb).

Demonstra¸c˜ao. Ver [15], p´agina 200, letra (b).

Defini¸c˜ao 1.15. Dizemos que um espa¸co localmente convexo X tem a propriedade de Schur se toda sequˆencia fracamente convergente a zero, converge a zero em X.

Proposi¸cão 1.15. Se X é um espa¸co localmente convexo com uma decomposi¸cão S-absoluta {Xn}n∈N0, então X tem a propriedade de Schur se, e somente se, Xn tem a propriedade de

Schur para todo n ∈ N0.

Demonstra¸c˜ao. Ver [6], Lema 4.2.

Seja X ´e um espa¸co localmente convexo. Denotamos por β(X0, X) a topologia localmente convexa em X0 que tem como sub-base os conjuntos U◦ para todo subconjunto limitado U de X, onde U◦ denota o polar de U em X0.

(24)

Defini¸cão 1.16. Seja X um espa¸co localmente convexo. Uma decomposi¸cão de Schauder {Xn}n∈N0 é dita contrátil se {X

0

n}n∈N0 ´e uma decomposi¸c˜ao de Schauder para (X

0_{, β(X}0_{, X)).}

Como toda decomposi¸cão S-absoluta é contrátil (ver [14], página 119, Corolário 3.14) segue que a decomposi¸cão {(P(n_{X; F ), τ )}}

n∈N0, onde τ ∈ {τ0, τb, τω}, dada pelos Teoremas

1.2, 1.3, 1.4, ´e contr´atil.

Defini¸cão 1.17. Seja X um espa¸co localmente convexo. Uma decomposi¸cão de Schauder {Xn}n∈N0 é dita limitadamente completa se

P∞

n=0xn ∈ X sempre que xn ∈ Xn

e (Pm

n=0xn) ∞

m=0 ´e uma sequˆencia limitada em X.

Sob certas condi¸c˜oes na decomposi¸c˜ao de Schauder {Xn}n∈N0 para X, podemos garantir

quando um espa¸co localmente convexo X ´e semi-reflexivo. O seguinte resultado pode ser visto em [25] (Teorema 3.2).

Teorema 1.5. Sejam X um espa¸co localmente convexo e {Xn}n∈N0 uma decomposi¸c˜ao de

Schauder para X. S˜ao equivalentes:

(a) X ´e semi-reflexivo.

(b) {Xn}n∈N0 é limitadamente completa, contrátil e cada Xn é semi-reflexivo.

Em particular, quando X é um espa¸co de Fréchet temos o seguinte resultado (ver [14], página 142, Corolário 3.61):

Teorema 1.6. Se V é um subconjunto aberto equilibrado de um espa¸co de Fréchet X e τ ∈ {τ0, τω}, então (H(V ; F ), τ ) é semi-reflexivo se, e somente se, (P(nX; F ), τ ) é

semi-reflexivo para todo n ∈ N0.

No caso do espa¸co das aplica¸cões de tipo limitado, o seguinte resultado é um caso parti-cular do Corolário 13 (a) provado por Garcia, Maestre e Rueda em [17]:

(25)

Teorema 1.7. Se U é equilibrado, então (Hb(U ), τb) é reflexivo se, e somente se, P(nE) é

reflexivo para todo n ∈ N0.

Se E = F = C sabemos que f : U −→ C é anal´ıtica (ou diferenciável) em a ∈ U se, e somente se, f é holomorfa em a. Veremos a seguir que o mesmo continua valendo no caso das aplica¸cões holomorfas entre espa¸cos de dimensão infinita. Porém, devemos antes fazer algumas observa¸cões.

Defini¸cão 1.18. Uma aplica¸cão f : U −→ F é dita Fréchet diferenciável, ou (F)-diferenciável em U se para todo a ∈ U , existe uma aplica¸cão A ∈ L(E; F ) tal que

lim

x→a

kf (x) − f (a) − A(x − a)k

kx − ak = 0.

A aplica¸cão A ∈ L(E; F ) que aparece na Defini¸cão 1.18 é determinada de modo único por f e a. Denotamos tal aplica¸cão por Df (a), chamada a diferencial de f em a. É claro que toda aplica¸cão diferenciável f : U −→ F é cont´ınua em U .

Exemplo 1.4. Se f ∈ F (E; F ) é constante, então f é diferenciável e Df (a) = 0 para todo a ∈ E.

Exemplo 1.5. Se A ∈ L(E; F ), então A é diferenciável e Df (a) = A para todo a ∈ E. Exemplo 1.6. Se P ∈ P(nE; F ), então P é diferenciável e DP (a) = nAan−1 para todo a ∈ E, onde P = bA e Aan−1_{: E −→ E ´}_{e definida por Aa}n−1_{(x) = A(a, . . . , a, x).}

Proposi¸cão 1.16. Sejam f : U −→ F e g : U −→ F aplica¸cões diferenciáveis. Então

(a) αf + βg ´e diferenci´_{avel para todo α, β ∈ C e}

D(α f + β g)(a) = αDf (a) + βDg(a) para todo a ∈ U .

(26)

(b) Se F = C, então o produto f g é diferenciável e

D(f g)(a) = g(a)Df (a) + f (a)Dg(a) para todo a ∈ U .

Proposi¸cão 1.17. A aplica¸cão f : U −→ F é Fréchet diferenciável em U se, e somente se, f é holomorfa em U . Neste caso, Df (a) = bdf (a) para todo a ∈ U .

1.2 Algebras de Fr´

´

echet

Durante esta se¸cão, E denotará uma álgebra complexa. As demonstra¸cões dos resultados desta se¸cão podem ser vistas em [20]. Para outras defini¸cões e resultados na teoria das ´

algebras de Banach, damos como referência [26] e [37] e para resultados sobre álgebras de Banach de fun¸cões anal´ıticas em dimensão finita referimos a [22].

Defini¸cão 1.19. Uma álgebra topológica é uma álgebra que é um espa¸co vetorial topológico tal que a opera¸cão de multiplica¸cão é cont´ınua.

Defini¸cão 1.20. Uma álgebra de Fréchet é um espa¸co de Fréchet que é uma álgebra to-pológica e, além disso, sua topologia é definida por uma fam´ılia de seminormas p tais que

p(xy) ≤ p(x)p(y) para todos x, y ∈ E.

Defini¸cão 1.21. Dizemos que E é uma álgebra de Banach se E é uma álgebra que é um espa¸co de Banach e a norma satisfaz a condi¸cão

kxyk ≤ kxk kyk para todos x, y ∈ E.

(27)

Observa¸cão 1.5. É claro que toda álgebra de Banach é uma álgebra de Fréchet. Porém a rec´ıproca não é verdadeira como veremos mais tarde.

Defini¸cão 1.22. Dizemos que uma álgebra E tem unidade se existe um elemento e ∈ E tal que xe = ex = e para todo x ∈ E. Dizemos que E é comutativa se xy = yx para todos x, y ∈ E.

Observa¸cão 1.6. Definindo ˜_{E = C ⊕ E = {(λ, x) ; λ ∈ C , x ∈ E} com as opera¸cões de} adi¸cão, multiplica¸cão por escalar e multiplica¸cão em ˜E da forma

(λ, x) + (µ, y) = (λ + µ, x + y) µ(λ, x) = (µλ, µx)

(λ, x)(µ, y) = (λµ, µx + λy + xy)

para todos x, y ∈ E e para todos λ, µ ∈ C, tem-se que ˜E é uma álgebra complexa com unidade e = (1, 0) ∈ ˜E. Mais ainda, se E é uma álgebra de Banach com unidade e ∈ E, definindo a norma

|kxk| = sup

kyk≤1

kxyk

para todo x ∈ E temos que |k · k| ´e uma norma equivalente `a norma original k · k, (E, |k · k|) ´

e uma ´algebra de Banach e |kek| = 1.

Quando E for uma álgebra de Banach com unidade e, sem perda de generalidade vamos supor kek = 1. Nos próximos exemplos, E é um espa¸co de Banach, U é um subconjunto aberto de E e F é uma ´_{algebra de Banach. Para n ∈ N, sejam nB}E = {x ∈ E ; kxk < n} e

∆n= {λ ∈ C ; |λ| < n}. Se n = 1, escrevemos ∆ ao inv´es de ∆1, e ´e claro que 1BE = BE.

Exemplo 1.7. C com as opera¸cões usuais é uma álgebra de Banach comutativa com unidade. Exemplo 1.8. Seja K um espa¸co compacto de Hausdorff. Denotamos por C(K; F ) a álgebra das aplica¸cões cont´ınuas f : K −→ F , com as opera¸cões definidas pontualmente. Definindo

(28)

a norma

kf kK = sup x∈K

kf (x)k

para toda f ∈ C(K; F ), tem-se que C(K; F ) ´e uma ´algebra de Banach.

Exemplo 1.9. Seja Ω um espa¸co topol´ogico de Hausdorff. Denotamos por Cb(Ω; F ) a ´algebra

das aplica¸cões cont´ınuas f : Ω −→ F que são limitadas, com as opera¸cões definidas pontu-almente. Definindo a norma

kf kΩ = sup x∈Ω

kf (x)k

para toda f ∈ Cb(Ω; F ), tem-se que Cb(Ω; F ) ´e uma ´algebra de Banach.

Exemplo 1.10. H∞(U ; F ) é uma álgebra de Banach, com as opera¸cões definidas pontual-mente.

Exemplo 1.11. Denotamos por A(BE; F ) a ´algebra das aplica¸c˜oes f : BE −→ F anal´ıticas

em BE e uniformemente cont´ınuas em BE, com as opera¸c˜oes definidas pontualmente.

Defi-nindo a norma

kf k = sup

kxk≤1

kf (x)k

para toda f ∈ A(BE; F ), tem-se que A(BE; F ) ´e uma ´algebra de Banach. Quando E = F =

C, A(BE; F ) = A(∆) ´e chamada a ´algebra de disco.

Exemplo 1.12. Seja `1 = {(xn)+∞n=−∞ ⊂ C ;

P+∞

n=−∞|xn| < ∞}. Definimos as opera¸c˜oes de

espa¸co vetorial de maneira pontual, a norma kxk =

+∞

X

n=−∞

|xn|

para todo x = (xn)+∞n=−∞∈ `1, e o produto de convolu¸c˜ao x ∗ y = (zn)+∞n=−∞, onde

zn = +∞

X

k=−∞

xn−kyk

para todos x = (xn)+∞n=−∞, y = (yn)n=−∞+∞ ∈ `1. Com estas opera¸c˜oes e esta norma, `1 ´e uma

´

algebra de Banach comutativa com unidade e = (αn)+∞n=−∞, onde α0 = 1 e αn = 0 para todo

(29)

Exemplo 1.13. Denotamos por C∞([0, 1]) a álgebra das fun¸cões complexas infinitamente diferenciáveis no intervalo [0, 1], com as opera¸cões definidas pontualmente. Munimos este espa¸co da topologia localmente convexa gerada pela fam´ılia de seminormas

pn(f ) = 2n−1 sup{|f(k)(x)| ; x ∈ [0, 1] , k = 0, 1, . . . , n − 1}

para toda f ∈ C∞_{([0, 1]) e para todo n ∈ N, onde f}(k) _{denota a k-´}_{esima derivada de f . A}

´

algebra C∞([0, 1]) é uma álgebra de Fréchet comutativa com unidade que não é uma álgebra de Banach.

Exemplo 1.14. Hb(U ; F ) é uma álgebra de Fréchet, com as opera¸cões definidas

pontual-mente.

Exemplo 1.15. Seja X um espa¸co de Hausdorff. Denotamos por C(X) o espa¸co das fun¸c˜oes complexas cont´ınuas em X munido da topologia τ0 com as opera¸c˜oes definidas pontualmente.

Se X é um k-espa¸co hemicompacto, então C(X) é uma álgebra de Fréchet comutativa com unidade. Em particular, C(R) é uma álgebra de Fréchet comutativa com unidade.

Observa¸c˜ao 1.7. Com base nos exemplos anteriores, fazemos as seguintes observa¸c˜oes:

(a) Nos exemplos 1.8, 1.9, 1.10, 1.11 e 1.14, se F é comutativa, então estes são exemplos de álgebras comutativas e se F é uma álgebra com unidade, então estes são exemplos de álgebras com unidade.

(b) Se, no Exemplo 1.12, consideramos o produto xy = (xnyn)+∞n=−∞

para quaisquer x = (xn)+∞n=−∞, y = (yn)+∞n=−∞ ∈ `1, temos que `1 ´e uma ´algebra de

Banach comutativa sem unidade.

(c) No Exemplo 1.15, é poss´ıvel provar que quando X é completamente regular e C(X) é uma álgebra de Fréchet, então X é um k-espa¸co hemicompacto.

(30)

Observa¸cão 1.8. Dado um espa¸co normado (E, k · k) é sempre poss´ıvel definir um produto ∗ em E de modo que E com este produto se torna uma álgebra comutativa com unidade. Além disso, é poss´ıvel definir uma norma |k · k| equivalente a norma k · k de modo que E se torna uma álgebra de Banach. Para maiores detalhes, veja [18].

Lembramos que se X e Y são espa¸cos vetoriais topológicos, então dizemos que X e Y são isomorfos se existe uma aplica¸cão linear T : X −→ Y bijetiva cont´ınua com inversa cont´ınua. Se (X, k · kX) e (Y, k · kY) são espa¸cos normados, dizemos que X e Y são isometricamente

isomorfos se existe uma aplica¸c˜ao linear T : X −→ Y sobrejetiva tal que kT (x)kY = kxkX

para todo x ∈ X.

Defini¸cão 1.23. Dizemos que E é uma álgebra de Fréchet uniforme se existe uma sequência de seminormas (pn)n que define a topologia de E e satisfazem pn(x2) = pn(x)2 para todo x ∈

E e para todo n ∈ N. Em particular, E ´e uma ´algebra de Banach uniforme se kx2_{k = kxk}2

para todo x ∈ E.

´

E claro que toda álgebra de Banach uniforme é uma álgebra de Fréchet uniforme. Se X é hemicompacto, então C(X) é uma álgebra de Fréchet uniforme. A álgebra C∞([0, 1]) é uma ´

algebra de Fréchet que não é uniforme.

Defini¸cão 1.24. Se E é uma álgebra de Fr´_{echet, um homomorfismo de E em C é uma} aplica¸c˜_{ao linear ϕ : E −→ C tal que ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) para todos x, y ∈ E. O espectro de} E, denotado por M(E), é o conjunto dos homomorfismos cont´ınuos n˜_{ao nulos de E em C.}

´

E claro que se E tem unidade e e ϕ é um homomorfismo n˜_{ao-nulo de E em C então} ϕ(e) = 1. Observe que se A é uma álgebra topológica, o espectro de A é usualmente definido como sendo o conjunto Ω(A) dos ideais maximais fechados de A. A seguir, veremos

(31)

um resultado que justifica chamar M(E) de espectro de E quando E é uma álgebra de Fréchet.

Proposi¸cão 1.18. Se E é uma álgebra de Fréchet comutativa com unidade, a aplica¸cão T : M(E) −→ Ω(E) dada por T (ϕ) = ϕ−1(0) para toda ϕ ∈ M(E) é bijetiva.

Demonstra¸c˜ao. Ver [20], p´agina 82, Teorema 3.2.11.

A demonstra¸c˜ao desta proposi¸c˜ao usa o Teorema de Gelfand-Mazur, que enunciamos a seguir.

Teorema 1.8. (Teorema de Gelfand-Mazur) Se E é uma álgebra de Fréchet comutativa com unidade que é um corpo, ent˜_{ao existe um isomorfismo entre E e C. Em particular, se} E é uma álgebra de Banach, ent˜_{ao E e C são isometricamente isomorfos.}

No caso em que E é uma álgebra de Banach comutativa com unidade, podemos omitir a continuidade do homomorfismo na defini¸cão de M(E). Mais precisamente temos:

Proposi¸cão 1.19. Se E é uma álgebra de Banach comutativa com unidade, então:

(a) Todo homomorfismo de E em C ´e cont´ınuo. (b) Todo ideal maximal de E em C ´e fechado. (c) kϕk = 1 para toda ϕ ∈ M(E).

Demonstra¸cão. Ver [20], página 9, Teorema 1.2.9 e página 12, Teorema 1.2.5.

No caso das álgebras de Fréchet, os ideais maximais não são, em geral, fechados. O problema de decidir se todo homomorfismo de uma álgebra de Fr´_{echet em C é cont´ınuo, é} um problema em aberto e é conhecido como Problema de Michael.

(32)

Exemplo 1.16. Seja S1 = {λ ∈ C ; |λ| = 1} e definamos Tλ(a) =

P+∞

n=−∞anλn para todo

a = (an)+∞n=−∞ ∈ `1. ´E claro que Tλ ∈ M(`1) para todo λ ∈ S1. Definindo T : S1 −→ M(`1),

onde T (λ) = Tλ para todo λ ∈ S1, mostra-se que T ´e bijetiva. Portanto M(`1) = S1 (como

conjuntos).

Exemplo 1.17. Seja ϕ ∈ M(C). Logo ϕ ∈ C0 de modo que existe λ ∈ C tal que ϕ(z) = λz para todo z ∈ C. Como ϕ(1) = 1, temos que λ = 1. Assim, ϕ = Id, onde Id ´e a fun¸c˜ao identidade de C. Portanto, M(C) = {Id} (como conjuntos).

Exemplo 1.18. Para cada x ∈ R, seja Tx : C(R) −→ C tal que Tx(f ) = f (x) para toda

f ∈ C(R). ´E claro que Tx∈ M(C(R)) para todo x ∈ R. Definindo T : R −→ M(C(R)), onde

T (x) = Tx para todo x ∈ R, mostra-se que T ´e bijetiva. Portanto, M(C(R)) = R (como

conjuntos). Mais ainda, ´e poss´ıvel provar que M(C(X)) = X quando X ´e um k-espa¸co hemicompacto.

Defini¸cão 1.25. O radical de uma álgebra E, denotado por R(E), é a interse¸cão de todos os ideais maximais em E. Dizemos que E é semi-simples se R(E) = {0}.

Proposi¸cão 1.20. Se E é uma álgebra de Fréchet comutativa com unidade, então

R(E) = \

ϕ∈M(E)

ϕ−1(0).

Defini¸cão 1.26. Seja E uma álgebra de Banach. Dizemos que x ∈ E é quasi-nilpotente se lim

n→∞kx

n_k_n1 _{= 0.}

Proposi¸cão 1.21. Sejam E uma álgebra de Banach comutativa com unidade e x ∈ E. Então x ∈ R(E) se, e somente se, x é quasi-nilpotente. Em particular, E é semi-simples se, e somente se, x ∈ E quasi-nilpotente implica x = 0.

Segue da proposi¸cão anterior que toda álgebra de Banach uniforme comutativa com unidade é semi-simples. Mais ainda, é poss´ıvel provar que toda álgebra de Fréchet uniforme comutativa com unidade é semi-simples.

(33)

Observe que para cada x ∈ E podemos definir a fun¸c˜ao ˆ_{x : M(E) −→ C dada por} ˆ

x(ϕ) = ϕ(x) para toda ϕ ∈ M(E). A fun¸cão ˆx é dita a transformada de Gelfand de x. Por defini¸cão

ˆ

E = {ˆx ; x ∈ E}.

Como M(E) ⊂ E0, a topologia fraca σ(E0, E) induz em M(E) uma topologia que ´e dita a topologia de Gelfand, denotada por τG. Salvo quando for dito explicitamente o contr´ario,

M(E) estar´a sempre munido da topologia de Gelfand. Assim, uma sequˆencia generalizada (ϕα)α ⊂ M(E) converge para ϕ ∈ M(E) se, e somente se, ϕα(x) −→ ϕ(x) para todo x ∈ E.

Proposi¸cão 1.22. Se E é uma álgebra de Banach comutativa com unidade, então M(E) é um espa¸co compacto de Hausdorff não-vazio.

Observe que se E é uma álgebra de Banach, Ê é uma subálgebra da álgebra uniforme C(M(E)).

Exemplo 1.19. Considerando a ´algebra do Exemplo 1.8, fixado x ∈ K, seja δx : C(K) −→ C

onde δx(f ) = f (x) para toda f ∈ C(K). E claro que δ´ x ∈ M(C(K)) para todo x ∈ K.

Definimos δ : K −→ M(C(K)) dada por δ(x) = δx para todo x ∈ K. Mostra-se que δ ´e um

homeomorfismo. Portanto, M(C(K)) ´e homeomorfo a K.

Exemplo 1.20. Para cada z ∈ ∆, seja δz : A(∆) −→ C onde δz(f ) = f (z) para toda

f ∈ A(∆). ´E claro que δz ∈ M(A(∆)) para todo z ∈ ∆. Definimos δ : ∆ −→ M(A(∆))

dada por δ(z) = δz para todo z ∈ ∆. Mostra-se que δ ´e um homeomorfismo. Portanto,

M(A(∆)) ´e homeomorfo a ∆.

Em 1957, durante uma conferência no Institute for Advanced Study em Princeton, um grupo de matemáticos se reuniu para estudar M(H∞(∆)). Os resultados foram publica-dos sob o pseudônimo de I. J. Schark em [36]. Naquela época pouco se conhecia sobre M(H∞_{(∆)). As duas proposi¸c˜}_{oes a seguir foram obtidas por este grupo de matem´}_{aticos e}

(34)

Proposi¸c˜ao 1.23. A aplica¸c˜ao δ : ∆ −→ M(H∞(∆)) definida por δλ(f ) = f (λ) para toda

f ∈ H∞(∆) e para todo λ ∈ ∆ é injetiva mas não é sobrejetiva.

Temos ent˜_{ao que δ(∆) & M(H}∞(∆)). Por outro lado, observe que para toda ϕ ∈ M(H∞_{(∆)) temos}

|ϕ(Id)| ≤ kϕkkIdk = 1

de modo que ϕ(Id) ∈ ∆. Assim, podemos definir a aplica¸cão Π : M(H∞(∆)) −→ ∆ por Π(ϕ) = ϕ(Id) para toda ϕ ∈ M(H∞(∆)). Observamos que, se (ϕα)α é uma sequência

gene-ralizada em M(H∞(∆)) tal que ϕα τG

−→ ϕ ∈ M(H∞_{(∆)), em particular, ϕ}

α(Id) −→ ϕ(Id),

isto ´e, Π(ϕα) −→ Π(ϕ), donde segue que Π ´e cont´ınua.

Proposi¸cão 1.24. Se Π é a aplica¸cão de M(H∞(∆)) em ∆ definida acima, valem as se-guintes afirma¸cões:

(a) Π ´e sobrejetiva. (b) Π|δ(∆) ´e injetiva.

(c) Π−1 leva ∆ homeomorficamente sobre o subconjunto aberto δ(∆) de M(H∞(∆)). Assim, dado λ ∈ ∆ \ ∆, como Π ´e sobrejetiva existe ϕ ∈ M(H∞(∆)) tal que λ = Π(ϕ). Como Π(δ(∆)) = ∆ e Π(ϕ) /∈ ∆, temos que ϕ ∈ M(H∞_{(∆))\δ(∆). Por outro lado, sabemos}

que M(H∞(∆)) ´e fechado, donde δ(∆) ⊂ M(H∞(∆)). Portanto, ´e natural perguntar se

δ(∆) = M(H∞(∆)). (1.1)

Este problema, proposto no caso mais geral para H∞(D) onde D ´e um subconjunto aberto de C, ´e conhecido como Problema da Corona e, no caso geral, permanece em aberto. Carleson provou em [8] o seguinte resultado:

(35)

Teorema 1.9. Se f1, . . . , fn ∈ A(∆) satisfazem |f1(z)| + . . . + |fn(z)| > 0 para todo z ∈ ∆,

ent˜ao existem g1, . . . , gn ∈ A(∆) tais que f1g1+ . . . + fngn= 1.

Mais tarde Cohen apresentou em [11] uma prova mais construtiva para este fato. Vale ressaltar que as seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes:

(a) δ(∆) = M(H∞(∆));

(b) Para qualquer fam´ılia f1, . . . , fn∈ H∞(∆) satisfazendo

|f1(z)| + . . . + |fn(z)| ≥ δ (1.2)

para algum δ > 0 para todo z ∈ ∆, existem g1, . . . , gn ∈ H∞(∆) tais que

f1g1+ . . . + fngn = 1. (1.3)

Carleson mostrou em [9] que vale (b) resolvendo, assim, positivamente, o Problema da Corona no caso particular quando D = ∆.

Vários autores estudaram o espectro de álgebras de aplica¸cões holomorfas no caso de um espa¸co de Banach E de dimensão infinita. Neste caso, tem-se a necessidade de supor que o dual de E tenha a propriedade da aproxima¸cão. Sabemos que todo espa¸co de Banach que possui uma base de Schauder tem a propriedade da aproxima¸cão e que E tem a propriedade da aproxima¸cão sempre que E0 tem a propriedade da aproxima¸cão. Em particular, se E é reflexivo, então E tem a propriedade da aproxima¸cão se, e somente se, E0 tem a propriedade da aproxima¸cão. Mas, em geral, pode acontecer que E tenha a propriedade da aproxima¸cão sem que E0tenha esta propriedade. Por exemplo, por um resultado de A. Szankowski em [38], L(`2; `2) não tem a propriedade da aproxima¸cão (ver também [34]) enquanto que L(`2; `2)

pode ser visto como um dual de um espa¸co com a propriedade da aproxima¸c˜ao (ver [23], p´agina 416).

(36)

Teorema 1.10. Seja E um espa¸co de Banach tal que E0 tem a propriedade da aproxima¸c˜ao. O espectro de Hb(E) coincide com E00 (como conjunto) se, e somente se, o conjunto dos

polinˆomios complexos fracamente cont´ınuos ´e denso em Hb(E).

No caso vetorial, Garcia, Louren¸co, Moraes e Paques em [18] e Burlandy e Moraes em [7] obtiveram os seguintes resultados, respectivamente.

Teorema 1.11. Seja E um espa¸co de Banach tal que E0 tem a propriedade da aproxima¸cão e seja F uma álgebra de Banach isometricamente isomorfa a ˆF pela transformada de Gelfand. O espectro de Hb(E, F ) coincide com E00×M(F ) se, e somente se, o conjunto dos polinômios

fracamente cont´ınuos de E em F ´e denso em Hb(E, F ).

Teorema 1.12. Seja U um subconjunto convexo aberto de um espa¸co de Banach E e seja F uma ´algebra de Banach isometricamente isomorfa a ˆF pela transformada de Gelfand. Suponhamos que E0 tem a propriedade da aproxima¸c˜ao. O espectro de Hb(U, F ) coincide

com int U◦◦× M(F ) se, e somente se, o conjunto dos polinˆomios fracamente cont´ınuos de E em F ´e denso em Hb(U, F ).

(37)

Cap´ıtulo 2

As Aplica¸

c˜

oes Lorch Anal´ıticas

Neste cap´ıtulo definiremos diversos espa¸cos de aplica¸cões Lorch anal´ıticas e faremos um estudo preliminar das propriedades topológicas destes espa¸cos. Come¸caremos apresentando a defini¸cão de aplica¸cão anal´ıtica dada por Lorch em [28]. O espa¸co HL(U ; E) das aplica¸cões

Lorch anal´ıticas de um aberto conexo U de E em E ser´a denotado por HL(E) quando U = E

e por HL(BE) quando U = BE. Mostraremos que HL(E) e HL(BE) s˜ao subespa¸cos fechados

de Hb(E; E) e de Hb(BE; E), respectivamente, e portanto s˜ao espa¸cos de Fr´echet. Usando

o fato de E ser isometricamente isomorfo ao espa¸co dos polinômios n-homogêneos que são Lorch anal´ıticos, mostraremos que muitas propriedades topológicas de E são compartilhadas com os espa¸cos HL(E) e HL(BE). Estudaremos também os espa¸cos AL(BE) das aplica¸cões

Lorch anal´ıticas em BE que s˜ao uniformemente cont´ınuas em BE e H∞L(BE) das aplica¸c˜oes

Lorch anal´ıticas em BE que s˜ao limitadas e mostraremos que, munidos da norma do sup,

ambos s˜ao espa¸cos de Banach.

Em todo este cap´ıtulo, E denotará uma álgebra de Banach comutativa com unidade e tal que kek = 1 e U será um subconjunto aberto conexo de E.

(38)

2.1 Espa¸

cos de Aplica¸

c˜

oes (L)-Anal´ıticas

Defini¸cão 2.1. Uma aplica¸cão f : U → E é derivável no sentido de Lorch (ou (L)-diferenciável) em w0 ∈ U com derivada a ∈ E se para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que

kf (w0+ h) − f (w0) − h ak < εkhk

para todo h ∈ E satisfazendo khk < δ.

´

E fácil ver através da defini¸cão que tal a ∈ E é único e que se f é (L)-diferenciável em w0, então f é cont´ınua em w0. Denotamos a (L)-derivada de f em w0 por f0(w0).

Defini¸c˜ao 2.2. Dizemos que f ´e (L)-anal´ıtica em U se f tem (L)-derivada em todo ponto de U.

Como a aplica¸c˜ao A(h) = f0(w0)h para todo h ∈ E ´e tal que A ∈ L(E; E), vemos que

se f : U → E é (L)-anal´ıtica em U , então f é (F)-diferenciável em U e, consequentemente, toda aplica¸cão (L)-anal´ıtica de U em E é holomorfa. Porém a rec´ıproca não é verdadeira. Com efeito, consideremos em C2 _{as opera¸c˜}_oes

(γ1, γ2) + (ξ1, ξ2) = (γ1+ ξ1, γ2+ ξ2)

α(γ1, γ2) = (αγ1, αγ2) e (γ1, γ2)(ξ1, ξ2) = (γ1ξ1, γ2ξ2)

e a norma

k(γ1, γ2)k = max{|γ1|, |γ2|}.

A aplica¸c˜_{ao f : C}2 _{−→ C}2 _{definida por}

f (γ1, γ2) = (γ2, γ1) para todo (γ1, γ2) ∈ C2

´

(39)

Teorema 2.1. Se ρ > 0 é o raio de convergência da sérieP∞ n=0an(w −w0)nonde (an)n ⊂ E, então a aplica¸cão f (w) = ∞ X n=0 an(w − w0)n

para todo w ∈ E tal que kw − w0k < ρ ´e (L)-anal´ıtica em Bρ(w0).

Por outro lado, temos

Teorema 2.2. Se w0 ∈ U e ρ > 0 são tais que Bρ(w0) ⊂ U , então dada qualquer aplica¸cão

f : U −→ E (L)-anal´ıtica em U temos que existe uma ´unica sequˆencia (an)n ⊂ E tal que

f (w) = ∞ X n=0 an(w − w0)n para todo w ∈ Bρ(w0).

O Teorema 2.2 mostra que a série de Taylor das aplica¸cões (L)-anal´ıticas tomam uma forma muito simples. Na nota¸cão usada na teoria das aplica¸cões holomorfas temos que se f (w) =P∞ n=0an(w − w0) n_{, ent˜}_ao 1 n!db n_{f (w} 0)(w − w0) = an(w − w0)n para todo n ∈ N0.

Como consequˆencia dos Teoremas 2.1 e 2.2 temos os seguintes corol´arios.

Corolário 2.1. Uma aplica¸cão f : E −→ E é (L)-anal´ıtica em E se, e somente se, existe uma única sequência (an)n ⊂ E tal que f (w) = P

∞ n=0anw

n _{para todo w ∈ E, onde}

lim

n→∞kank

1 n = 0.

Seja HL(U ; E) o espa¸co das aplica¸c˜oes (L)-anal´ıticas de U em E. Quando U = E,

escrevemos HL(E) em lugar de HL(E; E). Ent˜ao f ∈ HL(E) se, e somente se, existe uma

´

unica sequˆencia (an)n⊂ E tal que f (w) =

P∞

n=0anwn para todo w ∈ E e lim n→∞kank

1 n = 0.

(40)

Pelo Corol´ario 2.1 temos que se f : E −→ E ´e dada por f (w) = ∞ X n=0 wn n!

para todo w ∈ E, ent˜ao f ∈ HL(E). Observe que se E = C, ent˜ao f (w) = exp(w) para todo

w ∈ C.

Definindo P (w) = awn _{para todo w ∈ E, onde a ∈ E, temos que P ∈ P(}n_{E; E) e}

kP k = kak, de modo que o supremo dos números ρ que satisfazem ao Teorema 2.2 é o raio de convergência da série de Taylor de f em w0, e da´ı

rcf (w0) = 1 lim sup n→∞ kank 1 n .

Para todo n ∈ N denotamos por PL(nE) o subespa¸co dos elementos de P(nE; E) que s˜ao

aplica¸cões (L)-anal´ıticas, isto é, PL(nE) = P(nE; E) ∩ HL(E). Quando n = 0, por defini¸cão

PL(0E) = P(0E; E). Temos a seguinte caracteriza¸c˜ao dos elementos de PL(nE).

Proposi¸c˜_{ao 2.1. Para todo n ∈ N}0, P ∈ PL(nE) se, e somente se, existe a ∈ E tal que

P (w) = awn _{para todo w ∈ E.}

Demonstra¸c˜ao. Se n = 0, vale por defini¸c˜_{ao. Fixemos n ∈ N. Se P ∈ P}L(nE), a s´erie de

Taylor de P em torno da origem ´e dada por P (w) = P∞

k=0akwk para todo w ∈ E, onde

(ak)k ⊂ E, e ´e conhecido que se P ∈ P(nE; E) ent˜ao _n!1dbnP (0) = P e 1

k!db

k_{P (0) = 0 para}

todo k 6= n. Assim, P (w) = anwn para todo w ∈ E com an ∈ E. Por outro lado, ´e f´acil

verificar a partir da defini¸c˜ao que se P (w) = awn _{para todo w ∈ E com a ∈ E, ent˜}_{ao P ´}_e

(L)-diferenci´avel em E, ou seja, P ∈ PL(nE).

No caso dos polinômios de E em E (não necessariamente homogêneos), definimos o espa¸co dos polinômios (L)-anal´ıticos de E em E por

(41)

Pela proposi¸c˜ao anterior, temos que P ∈ PL(E) se, e somente se, P ´e da forma

P (w) = a0+ a1w + a2w2+ . . . + anwn

para todo w ∈ E e para algum n ∈ N0.

Consideramos PL(nE) como um subespa¸co de P(nE; E) de modo que munimos PL(nE)

com a norma

kP k = sup

kwk≤1

kP (w)k

para todo P ∈ PL(nE). Quando não mencionado em contrário, PL(nE) estará sempre

munida desta norma. A proposi¸cão a seguir nos mostra que do ponto de vista algébrico e topológico, o espa¸co dos polinômios n-homogêneos que são (L)-anal´ıticos e a álgebra de Banach E, são os mesmos.

Proposi¸c˜ao 2.2. PL(nE) ´e isometricamente isomorfo a E.

Demonstra¸c˜ao. Se n = 0, ´_{e claro. Fixemos n ∈ N. Para cada a ∈ E, seja P}a(w) = awn para

todo w ∈ E. Assim, a aplica¸c˜ao T : E −→ PL(nE) tal que T (a) = Pa para todo a ∈ E est´a

bem definida. Além disso, é fácil ver que T é linear e sobrejetiva. Como kPak = kak para

todo a ∈ E, segue a isometria.

Corol´ario 2.2. PL(nE) ´e um espa¸co de Banach.

Como HL(U ; E) ⊂ H(U ; E), podemos considerar em HL(U ; E) e em seus subespa¸cos as

topologias induzidas por τ0 e τw.

Proposi¸c˜ao 2.3. (PL(nE), τ0) ´e completo .

Demonstra¸c˜_{ao. Basta mostrar que para todo n ∈ N}0, PL(nE) munido da topologia τ0 ´e

isomorfo a E. Para n = 0 vale por defini¸c˜_{ao. Fixemos n ∈ N. Seja T a bije¸cão linear definida} na demonstra¸cão da Proposi¸cão 2.2. Vamos mostrar que T é cont´ınua com inversa cont´ınua

(42)

quando PL(nE) est´a munido com a topologia τ0. Seja um conjunto compacto K ⊂ E. Logo

existe λ > 0 tal que kwk ≤ λ para todo w ∈ K. Dado a ∈ E temos que kPa(w)k ≤ kakλn

para todo w ∈ K, isto ´e, pK(T (a)) ≤ ckak para algum c > 0, mostrando que T ´e cont´ınua.

Por outro lado, como o conjunto unitário {e} é um compacto de E, então é claro que T−1 é cont´ınua. Portanto, T é um homeomorfismo linear, ou seja, um isomorfismo.

Proposi¸c˜ao 2.4. (PL(nE), τ0) ´e um subespa¸co complementado de (HL(U ; E), τ0) para todo

n ∈ N.

Demonstra¸cão. Sem perda de generalidade podemos supor que 0 ∈ U uma vez que é fácil verificar que (HL(U ; E) , τ0) é isomorfo a (HL(U − w0; E) , τ0) para qualquer w0 ∈ U . Como

1 n!db

n_{f (0) ∈ P}

L(nE) ⊂ HL(U ; E) para toda f ∈ HL(U ; E), o mesmo argumento usado

na demonstra¸cão da Proposi¸cão 3.22(a) de [15] mostra que (PL(nE), τ0) é um subespa¸co

complementado de (HL(U ; E), τ0).

Proposi¸c˜ao 2.5. (HL(U ; E), τ0) ´e completo.

Demonstra¸c˜ao. Seja (fα)α uma sequˆencia generalizada τ0-Cauchy em HL(U ; E). Logo (fα)α

´

e uma sequˆencia generalizada τ0-Cauchy em H(U ; E) e, como H(U ; E) ´e τ0-completo, existe

f ∈ H(U ; E) tal que fα τ0

−→ f . Para cada w0 ∈ U , existem r > 0 tal que Br(w0) ⊂ U

e uma sequˆencia de polinˆomios Pn ∈ P(nE; E), denotados por Pn = _n!1dbnf (w0), tais que

f (w) = P∞

n=0 1 n!db

n_{f (w}

0)(w − w0) uniformemente em Br(w0). Observamos que a topologia

τ0 de PL(nE) coincide com a topologia da convergˆencia uniforme sobre os subconjuntos

compactos de Br(0) e que, pela desigualdade de Cauchy, se K ´e um subconjunto compacto

equilibrado de Br(0), temos 1 n!db n_{f (w} 0) K ≤ kf kw0+K

para todo n ∈ N. Da´ı e de fα τ0 −→ f segue que 1 n!db n_f α(w0) τ0 −→ 1 n!db n_{f (w} 0). Como PL(nE) ´e

τ0-completo, temos da´ı que _n!1dbnf (w₀) ∈ P_L(nE) para todo n ∈ N. Ent˜ao, para cada n ∈ N existe an∈ E tal que _n!1dbnf (w₀)(w − w₀) = a_n(w − w₀)n. Segue da´ı que f ∈ H_L(U ; E).

(43)

Corolário 2.3. Se U é equilibrado, então (HL(U ; E), τω) é completo.

Demonstra¸c˜ao. Seja (fα)α uma sequˆencia generalizada τω-Cauchy em HL(U ; E). Logo (fα)α

´

e uma sequˆencia generalizada τω-Cauchy em H(U, E) e como H(U, E) ´e τω-completo, existe

f ∈ H(U, E) tal que fα τω

−→ f . Como τ0 ⊂ τω, em particular fα τ0

−→ f . Assim, pela Proposi¸c˜ao 2.5 temos que f ∈ HL(U ; E). Portanto, HL(U ; E) ´e τω-completo.

Como na Proposi¸cão 2.4, usando argumento análogo ao usado na Proposi¸cão 3.22(b) de [15] para mostrar que (P(n_{E; F ), τ}

ω) ´e um subespa¸co complementado de (H(U ; F ), τω),

mostra-se que (PL(nE), τω) ´e um subespa¸co complementado de (HL(U ; E), τω).

Dada f ∈ HL(E), vimos que f (w) = P ∞ n=0anw

n _{para todo w ∈ E onde lim} n→∞kank

1 n =

0. Al´em disso, definindo Pn(w) = anwn para todo w ∈ E, segue que Pn ∈ PL(nE) e

kPnk = kank para todo n ∈ N0. Assim, f (w) = P ∞

n=0Pn(w) para todo w ∈ E, onde

Pn ∈ P(nE, E) para todo n ∈ N e lim n→∞kPnk 1 n = 0, ou seja, lim n→∞ 1 n!db n_{f (0)} 1 n = 0. Portanto, pela Proposi¸c˜ao 1.13, f ´e de tipo limitado, ou seja, f ∈ Hb(E; E). Acabamos de mostrar que

HL(E) ⊂ Hb(E; E). Mais ainda, o exemplo mencionado no in´ıcio deste cap´ıtulo nos mostra

que HL(E) & Hb(E; E). Podemos ent˜ao munir o espa¸co HL(E) com a topologia localmente

convexa τb da convergência uniforme sobre os limitados de E. A seguinte proposi¸cão será

´

util no cap´ıtulo 3.

Proposi¸c˜ao 2.6. Todo elemento de HL(E) ´e uniformemente cont´ınuo em todo subconjunto

limitado de E.

Demonstra¸c˜ao. Dado f ∈ HL(E), podemos escrever f (w) = P ∞ n=0anw

n _{para todo w ∈ E,}

onde (an)n⊂ E satisfaz lim n→∞kank

1

n = 0. Seja B um subconjunto limitado de E. Dado > 0,

existe N ∈ N tal que kf (w) − PN(w)k < ₃ para todo w ∈ B onde PN(w) = PN_n=0anwn.

(44)

ent˜ao kPN(z) − PN(w)k < ₃. Assim, se z, w ∈ B e kz − wk < δ ent˜ao

kf (z) − f (w)k ≤ kf (z) − PN(z)k + kPN(z) − PN(w)k + kPN(w) − f (w)k < .

Ou seja, f |B ´e uniformemente cont´ınua.

Proposi¸cão 2.7. (HL(E), τb) é um espa¸co de Fréchet.

Demonstra¸cão. Como Hb(E; E) é um espa¸co de Fréchet, basta mostrar que HL(E) é

τb-fechado em Hb(E; E). Seja f ∈ HL(E) e seja (fk)k uma sequˆencia em HL(E) tal que

fk τb

−→ f . Vamos mostrar que f ∈ HL(E). De fato, para cada k ∈ N, como fk ∈ HL(E),

existe uma ´unica sequˆencia (an,k)n⊂ E tal que

fk(w) = ∞

X

n=0

an,kwn

para todo w ∈ E onde lim

n→∞kan,kk

1

n = 0. Al´em disso, como f ∈ H_b(E; E) podemos escrever

f (w) = ∞ X n=0 1 n!db n_{f (0)(w)}

para todo w ∈ E onde lim

n→∞k 1 n!db

n_{f (0)k}1_n

= 0. Para todo n ∈ N0, denotando Qn,k(w) = an,kwn

para todo w ∈ E temos que Qn,k ∈ P(nE; E) e lim

n→∞kQn,kk

1

n = 0. Agora, temos por hip´otese

que (fk)k ´e τb-Cauchy, de modo que dado > 0 existe k0 ∈ N tal que

kfk(w) − fl(w)k < (2.1)

para todo w ∈ BE e para todos k, l > k0. Para todo n ∈ N0, usando a desigualdade de

Cauchy (Proposi¸c˜ao 1.6) temos que

kQn,k− Qn,lk ≤ sup kwk=1

kfk(w) − fl(w)k

e em conjunto com a desigualdade (2.1) nos d´a que kQn,k− Qn,lk <

(45)

para todos k, l > k0. Assim, fixado n ∈ N0, temos que (Qn,k)k⊂ PL(nE) ´e uma sequˆencia de

Cauchy e, portanto, existe Pn∈ PL(nE) tal que kQn,k− Pnk −→ 0 quando k → ∞. Vamos

mostrar que _n!1dbnf (0) = P_n. Com efeito, dado > 0, como f_k

τb

−→ f , usando novamente as desigualdades de Cauchy e ainda o fato de que kQn,k − Pnk −→ 0 quando k → ∞, temos

que existe k0 ∈ N tal que

1 n!db n_f k0(0) − 1 n!db n_{f (0)} < 2 (2.2) e kQn,k0 − Pnk < 2. (2.3)

Mas como _n!1dbnf_k₀(0) = Q_n,k₀, pela desigualdade triangular e as desigualdades (2.2) e (2.3) segue que 1 n!db n_{f (0) − P} n < .

Como isto vale para todo > 0, _n!1dbnf (0) = P_n. Portanto, existe a_n∈ E tal que 1

n!db

n_{f (0)(w) = P}

n(w) = anwn (2.4)

para todo w ∈ E. Al´em disso, pela isometria entre E e PL(nE), como f ∈ Hb(E; E) temos

lim n→∞kank 1 n = lim n→∞kPnk 1 n = lim n→∞ 1 n!db n_{f (0)} 1 n = 0. (2.5)

Ou seja, pelas equa¸c˜oes (2.4) e (2.5) temos que f (w) =P∞

n=0anwn para todo w ∈ E, onde

lim

n→∞kank

1

n = 0, isto ´e, f ∈ H_L(E).

Proposi¸cão 2.8. As seguintes afirma¸cões são verdadeiras:

(a) {PL(nE)}n∈N0 ´e uma ∞-decomposi¸c˜ao de Schauder para (HL(E), τb).

(b) {PL(nE)}n∈N0 ´e uma decomposi¸c˜ao S-absoluta para (HL(E), τb).

(c) {PL(nE)}n∈N0 ´e contr´atil.

(46)

Demonstra¸cão. Para provar (a), sabemos que {P(nE; E)}_n∈N0 é uma ∞-decomposi¸cão para

(Hb(E; E), τb). Como HL(E) ⊂ Hb(E; E) e dada f ∈ HL(E) existem ´unicos

Pn ∈ PL(nE) ⊂ P(nE; E) para todo n ∈ N0 tais que f =

P∞

n=0Pn em (HL(E), τb),

con-clu´ımos da´ı que {PL(nE)}n∈N0 é uma ∞-decomposi¸cão para o espa¸co de Fréchet (HL(E), τb).

´

E sabido que, num espa¸co de Fréchet, toda R-decomposi¸cão de Schauder (0 < R ≤ ∞) é uma decomposi¸cão S-absoluta (ver [16], Lema 6), de modo que PL(nE) é uma decomposi¸cão

S-absoluta para HL(E), provando (b). Para provar (c), basta lembrar que toda

decom-posi¸cão S-absoluta é contrátil, de modo que {PL(nE)}∞n=0é contrátil. Resta provar (d). Seja

(Pm

k=0Pk)∞m=0 uma sequˆencia limitada em (HL(E), τb) onde Pk ∈ PL(kE) para todo k ∈ N0.

Fixado r > 0, seja M > 0 tal que

sup kwk≤r m X k=0 Pk(w) < M

para todo m ∈ N0. Assim

sup kwk≤r kPn(w)k ≤ sup kwk≤r n X k=0 Pk(w) + sup kwk≤r n−1 X k=0 Pk(w) < 2M, isto ´e, sup kwk≤r kPn(w)k !_n1 < (2M )n1.

Tomando w = re segue que

rkPnk

1

n < (2M ) 1 n.

Assim, para todo n ∈ N0 temos que lim sup n→∞

kPnk

1 n ≤ 1

r. Como isto vale para todo r > 0,

segue que lim sup

n→∞ kPnk 1 n = 0 e consequentemente lim n→∞kPnk 1 n = 0. Assim, P∞ n=0Pnconverge em (HL(E), τb).

No caso cl´assico temos, como caso particular da Proposi¸c˜ao 4.3 de [6], que P(n_{E; E) tem}

a propriedade de Schur para todo n ∈ N se, e somente se, E e E0 tem a propriedade de Schur. No nosso caso, como E ´e isometricamente isomorfo a PL(nE), temos trivialmente que