As Aplica¸ c˜ oes Lorch Anal´ıticas
2.3 Dualidade de Espa¸ cos de Aplica¸ c˜ oes (L)-Anal´ıticas
Fixado a ∈ E arbitr´ario, para todo n ∈ N0 definimos
Pa,0(w) = a e Pa,n(w) = awn
para todo w ∈ E. Assim, Pa,n ∈ PL(nE) para todo n ∈ N0. Dada f ∈ HL(E), seja
(an)n ⊂ Γ(E) tal que f (w) =
P∞
n=0anwn para todo w ∈ E. Definindo para todo k ∈ N0,
Pk(w) =Pkn=0Pan,n(w) para todo w ∈ E, como Pk
τb
−→ f , temos que f pode ser representada na forma f = ∞ X n=0 Pan,n.
Para todo n ∈ N0, definimos Tn : E → HL(E) por Tn(a) = Pa,n para todo a ∈ E.
Como a topologia τb de HL(E) induz em PL(nE) a topologia usual da norma, ´e claro que a
Proposi¸c˜ao 2.2 garante a continuidade de Tn para todo n ∈ N0.
Proposi¸c˜ao 2.23. Seja φ ∈ HL(E)0. Ent˜ao, existe uma sequˆencia (φn)∞n=0⊂ E
0 tal que (a) (kφnk 1 n)∞ n=1 ´e limitada; (b) φ(f ) =P∞
n=0φn(an) onde (an)n∈ Γ(E) ´e tal que f =
P∞
n=0Pan,n ∈ HL(E).
Demonstra¸c˜ao. Como φ ∈ HL(E)0, para cada n ∈ N0 podemos definir φn : E −→ C por
φn(a) = φ(Pa,n) para todo a ∈ E. ´E claro que φn= φ ◦ Tn para todo n ∈ N0 e, da linearidade
e continuidade de Tn e de φ conclu´ımos que (φn)∞n=0 ⊂ E
0. Para provar a afirma¸c˜ao (a),
observe que para todo n ∈ N temos kφnk = sup kak≤1 |φn(a)| = sup kak≤1 |φ(Pa,n)| ≤ kφk sup kak≤1 kPa,nk ≤ kφk
j´a que kPa,nk = kak para todo a ∈ E e para todo n ∈ N. Por outro lado, dada f ∈ HL(E)
temos que existe (an)n ∈ Γ(E) tal que f =
P∞
n=0Pan,n em (HL(E), τb) e da linearidade e
A rec´ıproca da Proposi¸c˜ao 2.23 tamb´em vale, como veremos a seguir. Proposi¸c˜ao 2.24. Seja uma sequˆencia (φn)∞n=0 ⊂ E
0 tal que (kφ nk 1 n)∞ n=1 ´e limitada. Defi- nindo φ(f ) = ∞ X n=0 φn(an) (2.20) para toda f =P∞
n=0Pan,n ∈ HL(E), temos que φ ∈ HL(E)
0.
Demonstra¸c˜ao. Seja (φn)n ⊂ E0 como no enunciado. Para cada f ∈ HL(E), seja (an)n o
´
unico elemento de Γ(E) tal que f = P∞
n=0Pan,n. Como lim
n→∞kank
1
n = 0 e, por hip´otese,
(kφnk
1 n)∞
n=1 ´e limitada, da desigualdade |φn(an)| ≤ kφnkkank para todo n ∈ N conclu´ımos,
pelo Teste da Raiz, que P∞
n=0|φn(an)| converge e, consequentemente,
P∞
n=0φn(an) ∈ C.
Assim, a aplica¸c˜ao φ dada pela equa¸c˜ao (2.20) est´a bem definida. Claramente, temos que φ ´
e linear. Resta verificar que φ ´e cont´ınua com respeito a topologia τb. Para isso, lembramos
que pela observa¸c˜ao ap´os o Teorema 2.3 a topologia τb ´e equivalente a topologia da m´etrica
ρ. Seja (fp)p uma sequˆencia em HL(E) tal que ρ(fp, 0) −→ 0 quando p → ∞. Assim,
fp(w) =P ∞
n=0ap,nw
n para todo w ∈ E, onde (a
p,n)n ⊂ Γ(E) para todo p ∈ N. Por hip´otese,
exite M > 0 tal que
kφ0k ≤ M e kφnk
1
n ≤ M (2.21)
para todo n ∈ N. Dado > 0, fixemos η > 0 tal que Mη < 1 e Mη(1 + 1−M η1 ) < . Como
ρ(fp, 0) −→ 0 quando p → ∞, existe p0 ∈ N tal que ρ(fp, 0) < η para todo p ≥ p0, isto ´e
kap,0k < η e kap,nk
1
n < η (2.22)
para todo n ∈ N e para todo p ≥ p0. Assim, pelas desigualdades (2.21) e (2.22), para todo
p ≥ p0 temos que |φ(fp)| ≤ ∞ X n=0 kφnkkap,nk ≤ M η + ∞ X n=0 (M η)n = M η 1 + 1 1 − M η < ,
Como consequˆencia das Proposi¸c˜oes 2.23 e 2.24, caracterizamos (como conjunto) o dual de HL(E). Assim, temos que
HL(E)0 = {(φn)∞n=0 ⊂ E 0 ; (kφnk 1 n)∞ n=1 ´e limitada}.
Vamos estudar o bidual dos espa¸cos das aplica¸c˜oes Lorch anal´ıticas. No caso cl´assico, se E e F s˜ao espa¸cos de Banach reflexivos e E tem a propriedade da aproxima¸c˜ao temos que, para cada n ∈ N, P(nE; F ) ´e reflexivo se, e somente se, P
f(nE; F ) ´e denso em P(nE; F ) (ver
Teorema 1.3 em [24]). Al´em disso, Hb(E; F ) ´e reflexivo se, e somente se, P(nE; F ) ´e reflexivo
para todo n ∈ N (ver Teorema 1.5 em [24]). No nosso caso, j´a vimos que se a dimens˜ao de E ´
e infinita Pf(nE) n˜ao pode ser denso em PL(nE). Entretanto, a isometria entre E e PL(nE)
no possibilitou mostrar o pr´oximo resultado.
Proposi¸c˜ao 2.25. As seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes.
(a) E ´e reflexivo.
(b) PL(nE) ´e reflexivo para todo n ∈ N0.
(c) HL(E) ´e reflexivo.
Demonstra¸c˜ao. Primeiramente, fixado n ∈ N0, lembramos que E e PL(nE) s˜ao isometrica-
mente isomorfos de modo que E ´e reflexivo se, e somente se PL(nE) ´e reflexivo. O que prova
(a) ⇔ (b). Vejamos que (c) ⇒ (b). De fato, sabemos que {PL(nE)}∞n=0´e uma decomposi¸c˜ao
de Schauder para HL(E). Se HL(E) ´e reflexivo, ent˜ao HL(E) ´e semi-reflexivo. Pelo Te-
orema 1.5 segue que PL(nE) ´e semi-reflexivo, mas como PL(nE) ´e um espa¸co de Banach,
ent˜ao PL(nE) ´e reflexivo para todo n ∈ N0. Para provar que (b) ⇒ (c), como vimos a
decomposi¸c˜ao {PL(nE)}∞n=0 ´e limitadamente completa e contr´atil. Assim, pelo Teorema 1.5,
como por hip´otese PL(nE) ´e semi-reflexivo, segue que HL(E) ´e semi-reflexivo. Mas como
Se U ´e um subconjunto aberto n˜ao vazio de um espa¸co de Banach E, basta tomar y ∈ E tal que kyk = 1 para que a aplica¸c˜ao que leva f ∈ Hb(U ) na aplica¸c˜ao definida por
f ⊗ y(w) = f (w)y para todo w ∈ U estabele¸ca um isomorfismo isom´etrico entre Hb(U ) e
um subspa¸co fechado de Hb(U ; E). Ent˜ao, pelo Teorema 1.7, se U ´e equilibrado temos que
Hb(U ; E) ser reflexivo implica em P(nE) ser reflexivo para todo n ∈ N e, consequentemente,
implica em Pf(nE) ser denso em P(nE) para todo n ∈ N (o que nem sempre acontece, nem
mesmo quando E ´e reflexivo). No nosso caso, a isometria entre E e PL(nE) nos possibilitou
mostrar a proposi¸c˜ao que enunciamos a seguir. A demonstra¸c˜ao deste resultado se faz de modo an´alogo `a demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 2.25, usando a Proposi¸c˜ao 2.13 em lugar da Proposi¸c˜ao 2.8.
Proposi¸c˜ao 2.26. As seguinte afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes.
(a) E ´e reflexivo.
(b) PL(nE) ´e reflexivo para todo n ∈ N0.
(c) HL(BE) ´e reflexivo.
Observamos que ´e natural fazermos a seguinte pergunta no estudo da reflexividade: se E ´
e reflexivo, ent˜ao HL(E)00 = HL(E00)? Mas esta pergunta pode n˜ao fazer sentido pois para
que HL(E00) esteja bem definido, devemos munir E00 com um produto de modo que E00 seja
uma ´algebra de Banach comutativa com unidade. Para isso, vamos munir E00 com o produto de Arens, que definimos a seguir.
Para todos a ∈ E e ϕ ∈ E0, definimos (ϕ ? a)(b) = ϕ(ab) para todo b ∈ E. ´E f´acil verificar que (ϕ ? a) ∈ E0 e kϕ ? ak ≤ kϕkkak para todos a ∈ X e ϕ ∈ E0.
Para todos ϕ ∈ E0 e T ∈ E00, definimos (T ? ϕ)(a) = T (ϕ ? a) para todo a ∈ E. ´E f´acil verificar que (T ? ϕ) ∈ E0 e kT ? ϕk ≤ kT kkϕk para todos ϕ ∈ E0 e T ∈ E00.
Defini¸c˜ao 2.3. Para todos S, T ∈ E00, definimos em E00 o produto S ? T por (S ? T )(ϕ) = S(T ? ϕ) para todo ϕ ∈ E0. O produto ? ´e chamado o Produto de Arens.
´
E f´acil ver que kS ? T k ≤ kSkkT k para todos S, T ∈ E00, o que significa que E00 munido do produto de Arens ´e uma ´algebra de Banach. Observe que, dados S, T ∈ E00 e ϕ ∈ E0 temos (S ? T )(ϕ) = S(a 7→ T (ϕ ? a)) e (T ? S)(ϕ) = T (a 7→ S(ϕ ? a)) e, em geral, o produto de Arens n˜ao ´e comutativo. Dizemos que E ´e Arens regular quando o produto de Arens em E00 ´e comutativo. Se denotamos por α a imers˜ao canˆonica de E em E00, ´e f´acil verificar que α(e) ? T = T ? α(e) para todo T ∈ E00. A partir daqui iremos supor sempre que E ´e Arens regular e que E00 est´a munido do produto de Arens. Neste caso, como E ´e uma ´algebra de Banach comutativa com unidade e, temos que E00´e uma ´algebra de Banach comutativa com unidade α(e) e ´e f´acil mostrar que α ´e um homomorfismo de E em E00. Observamos que quando E ´e Arens regular HL(E00) est´a bem definido.
Defini¸c˜ao 2.4. Se E ´e Arens regular, dada f ∈ HL(E) dizemos que g ∈ HL(E00) ´e uma
extens˜ao de f se g(α(w)) = α(f (w)) para todo w ∈ E.
Observe que se T ∈ L(E) ∩ HL(E), esta defini¸c˜ao coincide com a defini¸c˜ao usual de
extens˜ao de uma aplica¸c˜ao linear. Como no caso linear, se E00= α(E) (isto ´e, E ´e reflexivo) escrevemos f = g no sentido que g(α(w)) = α(f (w)) para todo w ∈ E.
Se f = P∞
n=0Pan,n ∈ HL(E), temos que lim
n→∞kank
1
n = 0. Como α ´e uma isometria, segue
que lim
n→∞kα(an)k
1
n = 0. Assim, se E ´e Arens regular, f = P∞
n=0Pα(an),n ∈ HL(E
00). Al´em
disso, como α ´e um homomorfismo e ´e cont´ınua, temos que f (α(w)) = α(f (w)) para todo w ∈ E, isto ´e, f ´e uma extens˜ao de f .
Proposi¸c˜ao 2.27. Suponhamos que E seja Arens regular e seja α : HL(E) −→ HL(E00)
definida por α(f ) = f para toda f ∈ HL(E). Ent˜ao α(HL(E)) = {g ∈ HL(E00) ; g(α(E)) ⊂
Demonstra¸c˜ao. Como vimos no par´agrafo anterior, a aplica¸c˜ao α est´a bem definida. Al´em disso, ´e f´acil verificar que α ´e linear e injetiva. Seja f ∈ HL(E). Como vimos, f ´e uma
extens˜ao de f , ou seja, f (α(w)) = α(f (w)) ∈ α(E) para todo w ∈ E pois f (E) ⊂ E. Assim, f (α(E)) ⊂ α(E). Portanto α(HL(E)) ⊂ {g ∈ HL(E00) ; g(α(E)) ⊂ α(E)}. Por outro
lado, seja g = P∞
n=0Pbn,n ∈ HL(E
00) tal que g(α(E)) ⊂ α(E). Logo, g|
α(E) : α(E) −→
α(E). Como α(E) ´e um espa¸co de Banach, temos que Pbn,n : α(E) −→ α(E), isto ´e,
Pbn,n(α(w)) ∈ α(E) para todo w ∈ E e para todo n ∈ N0. Mas α(e) ´e a unidade de E
00,
donde bn= Pbn,n(α(e)) ∈ α(E), ou seja, existe an∈ E tal que α(an) = bn para todo n ∈ N0.
Al´em disso, como (bn)n∈ Γ(E00) e α ´e uma isometria, temos que (an)n∈ Γ(E). Assim, existe
f =P∞
n=0Pan,n∈ HL(E) tal que α(f ) = g. Mostramos ent˜ao que {g ∈ HL(E
00) ; g(α(E)) ⊂
α(E)} ⊂ α(HL(E)) e da´ı conclu´ımos que α(HL(E)) = {g ∈ HL(E00) ; g(α(E)) ⊂ α(E)}.
Observa¸c˜ao 2.5. Se E ´e reflexivo, ent˜ao E00 = α(E), de modo que E ´e Arens regular e α(HL(E)) = HL(E00). Al´em disso, como α ´e uma isometria, usando a Observa¸c˜ao 2.4
(a) obtemos que α ´e uma isometria. Assim, se E ´e reflexivo, α estabelece um isomorfismo isom´etrico entre HL(E) e HL(E00).
Proposi¸c˜ao 2.28. Se E ´e reflexivo, ent˜ao HL(E)00 e HL(E00) s˜ao isomorfos.
Demonstra¸c˜ao. Vamos denotar por J a imers˜ao canˆonica de HL(E) em HL(E)00. Como E
´
e reflexivo, pela Proposi¸c˜ao 2.25 temos que J ´e um isomorfismo e, pela Observa¸c˜ao 2.5, α estabelece um isomorfismo entre HL(E) e HL(E00). Assim, a composta α ◦ J−1 estabelece
Cap´ıtulo 3
´
Algebras de Aplica¸c˜oes Lorch
Anal´ıticas
Neste cap´ıtulo seguiremos adotando as mesmas nota¸c˜oes estabelecidas nos Cap´ıtulos 1 e 2. Vamos munir cada um dos espa¸cos de aplica¸c˜oes Lorch anal´ıticas definidos no Cap´ıtulo 2 de uma estrutura de ´algebra atrav´es do produto pontual. Veremos que estas ´algebras munidas da topologia τbse tornam ´algebras topol´ogicas comutativas com unidade. Estudaremos ent˜ao
o espectro destas ´algebras topol´ogicas. Veremos que a ´algebra H∞L(BE) apresenta problemas
an´alogos `a ´algebra H∞(∆).
Em todo este cap´ıtulo, Id : U → E ser´a a aplica¸c˜ao identidade Id(w) = w para todo w ∈ E e, para cada a ∈ E, ˜fa denotar´a a aplica¸c˜ao constante ˜fa(w) = a para todo w ∈ U .
3.1
A ´Algebra H
L(E)
Vimos na Se¸c˜ao 2.1 que (HL(E), τb) ´e um espa¸co de Fr´echet. E f´´ acil verificar que