Continuamos denotando por E uma ´algebra de Banach comutativa com unidade e tal que kek = 1. Na Se¸c˜ao 3.1, estudamos a ´algebra HL(E) munida do produto pontual. Vimos que
HL(E) ´e uma ´algebra de Fr´echet comutativa com unidade e que M(HL(E)) = M(E) × C.
Neste cap´ıtulo, vamos definir o produto de Hadamard no espa¸co HL(E). Veremos que a
´
algebra assim obtida ´e uma ´algebra de Fr´echet comutativa sem unidade e caracterizaremos seu espectro.
Sejam f (w) = P∞
n=0anwn e g(w) =
P∞
n=0bnwn para todo w ∈ E tais que (an)n,
(bn)n∈ Γ(E). ´E claro que (anbn)n ∈ Γ(E) e definindo o produto (f · g)(w) =P ∞
n=0anbnw n
para todo w ∈ E temos f · g ∈ HL(E). Este produto ´e chamado o Produto de Hadamard.
Assim o espa¸co HL(E) munido deste produto se torna uma ´algebra comutativa.
Se X e Y s˜ao espa¸cos de Banach, sabemos que a fam´ılia de semi-normas definidas por
pr(f ) = ∞ X n=0 b dnf (0) n! rn
para toda f ∈ Hb(X; Y ) e para todo r ∈ N gera a topologia τb. Como HL(E) ⊂ Hb(E; E) ´e
uma ´algebra de Fr´echet comutativa. Por outro lado, ´e f´acil ver que n˜ao existe (bn)n∈ Γ(E)
tal que (anbn) = (an)n para todo (an)n ∈ Γ(E). Consequentemente, HL(E) ´e uma ´algebra
de Fr´echet comutativa sem unidade. Teorema 4.1. A aplica¸c˜ao
T: M(E) × N0 −→ M(HL(E))
definida por T(ϕ, m)(f ) = ϕ(am) para toda f =
P∞
n=0Pan,n ∈ HL(E) ´e injetiva e sobrejetiva.
Demonstra¸c˜ao. Vejamos que T est´a bem definida, isto ´e, T(ϕ, m) ∈ M(HL(E)) para toda
ϕ ∈ M(E) e para todo m ∈ N0. De fato, fixados ϕ ∈ M(E) e m ∈ N0 ´e f´acil ver que
T(ϕ, m) ´e linear e multiplicativa. Como ϕ ∈ M(E), existe w0 ∈ E tal que ϕ(w0) 6= 0
logo f0(w) = w0wm para todo w ∈ E ´e tal que f0 ∈ HL(E) e T(ϕ, m)(f0) = ϕ(w0) 6= 0,
ou seja, T(ϕ, m) 6= 0. Al´em disso, dado um limitado B ⊂ HL(E), existe λ > 0 tal que
sup
f ∈B
sup
kwk≤1
kf (w)k < λ. Se f =P∞
n=0Pan,n ∈ B, pela desigualdade de Cauchy temos que
kamk = kPam,mk ≤ sup
kwk≤1
kf (w)k < λ,
e da´ı |T(ϕ, m)(f )| = |ϕ(am)| ≤ kamk < λ. Mostramos que T(ϕ, m) ´e limitada em todo li-
mitado de HL(E). Como (HL(E), τb) ´e um espa¸co metriz´avel, ´e bornol´ogico e, portanto,
T(ϕ, m) ´e cont´ınua. Logo, T(ϕ, m) ∈ M(HL(E)) e da´ı T est´a bem definida. Sejam
ϕ, ψ ∈ M(E) e m, n ∈ N0 tais que T(ϕ, m) = T(ψ, n), isto ´e, T(ϕ, m)(f ) = T(ψ, n)(f )
para toda f ∈ HL(E). Fixado a ∈ E, tomando fa(w) = awm + awn para todo w ∈ E
temos que fa ∈ HL(E) e da´ı T(ϕ, m)(fa) = T(ψ, n)(fa). Mas T(ϕ, m)(fa) = ϕ(a) e
T(ψ, n)(fa) = ψ(a) donde ϕ(a) = ψ(a). Como isto vale para todo a ∈ E segue que ϕ = ψ.
Como ϕ ∈ M(HL(E)), existe b ∈ E tal que ϕ(b) 6= 0. Se m 6= n, tomando g0(w) = bwn
para todo w ∈ E temos que g0 ∈ HL(E), T(ϕ, m)(g0) = ϕ(0) = 0 e T(ϕ, n)(g0) = ϕ(b) 6= 0
de modo que T(ϕ, m)(g0) 6= T(ϕ, n)(g0), o que ´e um absurdo. Portanto, m = n. Conclu´ımos
para todo a ∈ E e para todo n ∈ N0, j´a sabemos que (φn)∞n=0 ⊂ E0 e φ(f ) =
P∞
n=0φn(an)
para toda f = P∞
n=0Pan,n ∈ HL(E). Fixado n ∈ N0, como Pab,n = Pa,nPb,n para todos
a, b ∈ E e φ ´e multiplicativa, segue que φn(ab) = φn(a)φn(b) para todos a, b ∈ E, isto ´e, φn ´e
multiplicativa para todo n ∈ N0. Como φ 6= 0 ´e claro que existe m ∈ N0 tal que φm 6= 0, de
modo que φm ∈ M(E). Vejamos que tal m ´e ´unico. Sejam m1, m2 ∈ N0 tais que m1 6= m2 e
φm1, φm2 ∈ M(E). Como (Pe,m1 + Pe,m2)
2 = P
e,m1+ Pe,m2 e φm1(e) = φm2(e) = 1 segue que
4 = (φm1(e) + φm2(e)) 2 = (φ(Pe,m1) + φ(Pe,m2)) 2 = (φ(Pe,m1 + Pe,m2)) 2 = φ((Pe,m1 + Pe,m2) 2
) = φ(Pe,m1 + Pe,m2) = φ(Pe,m1) + φ(Pe,m2)
= φm1(e) + φm2(e) = 2,
o que ´e um absurdo. Portanto, existe um ´unico m ∈ N0 tal que φm 6= 0 e φn = 0 para todo
n 6= m e da´ı φ(f ) = P∞
n=0φn(an) = φm(am) para toda f =
P∞
n=0Pan,n ∈ HL(E). Assim,
existem ϕ ∈ M(E) e m ∈ N0 tais que φ(f ) = T(ϕ, m)(f ) para toda f ∈ HL(E), ou seja, T
´
e sobrejetiva.
Para estudarmos a continuidade da aplica¸c˜ao T definida no Teorema 4.1, vamos considerar em N0 a topologia discreta, isto ´e, uma sequˆencia generalizada (nα)α em N0 converge para
um elemento m ∈ N0 se, e somente se existe α0 tal que nα = m para todo α ≥ α0.
Teorema 4.2. O espectro M(HL(E)) de HL(E) ´e homeomorfo a M(E) × N0.
Demonstra¸c˜ao. Pelo Teorema 4.1, j´a vimos que M(HL(E)) = M(E) × N0 como conjuntos.
Vejamos que estes espa¸cos s˜ao homeomorfos. Para isto, mostraremos que a T definida no Teorema 4.1 ´e um homeomorfismo. Primeiramente, vejamos que T ´e cont´ınua. Seja ((ϕα, nα))α∈I uma sequˆencia generalizada em M(HL(E)) × N0 tal que (ϕα, nα) −→ (ϕ, m) ∈
M(HL(E)) × N0 na topologia produto. Ou seja,
ϕα τG
e
nα −→ m em N0. (4.2)
Por (4.2) existe α1 ∈ I tal que nα = m para todo α ≥ α1. Fixada f =P ∞
n=0Pan,n ∈ HL(E)
temos T(ϕα, nα)(f ) = ϕα(am) para todo α ≥ α1. Como am ∈ E, por (4.1) temos que
ϕα(am) −→ ϕ(am). Logo, dado > 0 existe α2 ∈ I tal que |ϕα(am) − ϕ(am)| < para todo
α ≥ α2. Seja α0 ∈ I tal que α0 ≥ α1 e α0 ≥ α2. Ent˜ao, para todo α ≥ α0
|T(ϕα, nα)(f ) − T(ϕ, m)(f )| = |ϕα(am) − ϕ(am)| < .
Assim, T(ϕα, nα)(f ) −→ T(ϕ, m)(f ). Como isto vale para toda f ∈ HL(E), temos que
T(ϕα, nα) τG
−→ T(ϕ, m) em M(HL(E)). Isto nos mostra que T ´e cont´ınua. Mostraremos agora
que a inversa de T ´e cont´ınua. Ou seja, se (ϕα)α∈I e (nα)α∈I s˜ao sequˆencias generalizadas
em M(E) e N0, respectivamente e ϕ ∈ M(E) e m ∈ N0 s˜ao tais que
T(ϕα, nα) τG
−→ T(ϕ, m) em M(HL(E)), (4.3)
ent˜ao (ϕα, nα) −→ (ϕ, m) em M(E) × N0 na topologia produto, ou seja, ϕα τG
−→ ϕ em M(E) e nα −→ m em N0. Provemos, inicialmente, que nα −→ m em N0. Suponhamos que isto n˜ao
ocorra. Dizer que nα n˜ao converge para m em N0 ´e equivalente a dizer que para todo α ∈ I
existe βα ≥ α tal que nβα 6= m. Fixado a ∈ E arbitr´ario, como Pa,m∈ HL(E) e como nα n˜ao
converge para m em N0, temos que para todo α ∈ I existe βα ≥ α tal que T(ϕβα, nβα)(Pa,m) =
ϕβα(0) = 0. Por (4.3) existe α0 ∈ I tal que |T(ϕα, nα)(Pa,m) − T(ϕ, m)(Pa,m)| < para todo
α ≥ α0. Em particular, tomando β0 ≥ α0 tal que nβ0 6= m temos T(ϕβ0, nβ0)(Pa,m) = 0
e |T(ϕβ0, nβ0)(Pa,m) − ϕ(a)| < . Isto ´e, |ϕ(a)| < para todo > 0 donde segue que
ϕ(a) = 0. Como a ∈ E foi tomado arbitrariamente, segue que ϕ = 0, o que contraria o fato de ϕ ∈ M(E). Portanto, nα −→ m em N0. Vejamos, finalmente, que ϕα
τG
−→ ϕ em M(E). Com efeito, como nα −→ m em N0 existe α1 ∈ I tal que nα = m para todo α ≥ α1.
Fixado a ∈ E, temos que Pa,m ∈ HL(E) e da´ı T(ϕα, nα)(Pa,m) = ϕα(a) para todo α ≥ α1.
que |T(ϕα, nα)(Pa,m) − T(ϕ, m)(Pa,m)| < para todo α ≥ α2. Seja α0 ∈ I tal que α0 ≥ α1 e
α0 ≥ α2. Ent˜ao, para todo α ≥ α0,
|ϕα(a) − ϕ(a)| = |T(ϕα, nα)(Pa,m) − T(ϕ, m)(Pa.m)| < .
Assim, ϕα(a) −→ ϕ(a). Como isto vale para todo a ∈ E, ϕα τG
−→ ϕ em M(E), o que conclui a demonstra¸c˜ao.
Na Se¸c˜ao 2.2, definimos o espa¸co das sequˆencias Γ(E) = {(an)n ∈ E ; lim
n→∞kank 1 n = 0}, e consideramos a m´etrica d(a, b) = sup{ka0− b0k ; kan− bnk 1 n, n ∈ N}
para todos a = (an)n, b = (bn)n ∈ Γ(E). Na demonstra¸c˜ao do Teorema 2.3 definimos
T : (Γ(E), d) −→ (HL(E), τb) dada por T (a) =
P∞
n=0Pan,n para todo a = (an)n∈ Γ(E) onde
Pan,n(w) = anw
npara todo w ∈ E e para todo n ∈ N
0 e mostramos que T ´e um isomorfismo.
Como E ´e uma ´algebra de Banach, o produto natural definido em Γ(E) ´e o produto pontual dado por (an)n.(bn)n = (anbn)n ∈ Γ(E) para todos (an)n, (bn)n ∈ Γ(E). ´E claro que Γ(E)
munido deste produto ´e uma ´algebra de Fr´echet sem unidade.
Proposi¸c˜ao 4.1. O espectro M(Γ(E)) de Γ(E) ´e homeomorfo a M(E) × N0.
Demonstra¸c˜ao. Seja S : M(Γ(E)) −→ M(HL(E)) definida por S(φ) = φ ◦ T−1 para toda
φ ∈ M(Γ(E)), onde T−1´e a inversa de aplica¸c˜ao T definida no Teorema 2.3. Como estamos considerando HL(E) munido do produto de Hadamard, ´e claro que T−1 ´e multiplicativa
e, consequentemente, φ ◦ T−1 ´e um homomorfismo de HL(E) em C. Al´em disso, como
φ ∈ M(Γ(E)) e T−1 ´e sobrejetiva, existe f ∈ HL(E) tal que φ ◦ T−1(f ) 6= 0 e temos que
sobrejetividade de S ´e clara. Assim, S estabelece uma bije¸c˜ao entre M(Γ(E)) e M(HL(E)).
Por outro lado, da continuidade de T e de T−1 obtemos a continuidade de S e de S−1, de modo que S ´e um isomorfismo entre M(Γ(E)) e M(HL(E)). Daqui segue o resultado via
Teoremas 4.1 e 4.2.
W. Zelazko ([39]) e R. Choukri e El Kinani ([10]) provaram, independentemente, que uma ´algebra de Fr´echet comutativa A ´e noetheriana se, e somente se, todo ideal em A ´e fechado. ´E bem conhecido que se A ´e uma ´algebra de Fr´echet comutativa com unidade, ent˜ao a aplica¸c˜ao que leva cada elemento de M(A) no seu n´ucleo estabelece uma bije¸c˜ao entre M(A) e o conjunto dos ideais maximais fechados de A (ver, por exemplo, o teorema na p´ag. 82 de [20]). Mas se a ´algebra n˜ao tem unidade n˜ao podemos garantir, em geral, que todo ideal maximal fechado ´e o n´ucleo de um homomorfismo cont´ınuo. No caso particular da ´algebra HL(E) munido do produto de Hadamard vale o seguinte resultado.
Proposi¸c˜ao 4.2. Seja um ideal maximal fechado I de HL(E). Ent˜ao existe φ ∈ M(HL(E))
tal que I = φ−1(0).
Demonstra¸c˜ao. Seja I um ideal maximal fechado de HL(E). Para todo k ∈ N0 definimos
πk : HL(E) −→ E por πk(f ) = ak para toda f =
P∞
n=0Pan,n ∈ HL(E) e Ik = πk(I). ´E
f´acil ver que πk ´e um homomorfismo sobrejetivo e que Ik ´e um ideal de E. Afirmamos que
existe m ∈ N0 tal que Im & E. Com efeito, suponhamos por contradi¸c˜ao que Ik = E para
todo k ∈ N0. Seja f = P ∞
n=0Pan,n ∈ HL(E) e fixemos k ∈ N0 arbitrariamente. Como
E = πk(I) existe g ∈ I tal que πk(g) = πk(f ). Considerando h(w) = ewk para todo w ∈ E
(onde e ´e a identidade de E) temos que h ∈ HL(E) e, como I ´e um ideal de HL(E), segue
que g · h ∈ I. Mas πn ´e um homomorfismo para todo n ∈ N0 e da´ı πn(g.h) = 0 se n 6= k
e πk(g.h) = πk(g)πk(h) = πk(f )e = πk(f ), isto ´e, Pak,k = g.h ∈ I. Como k foi tomado
arbitrariamente em N0, temos que Pak,k ∈ I para todo k ∈ N0. Como I ´e um ideal de
HL(E) temos da´ı quePjn=0Pan,n ∈ I para todo j ∈ N0. Mas
Pj
n=0Pan,n
τb
fechado temos f ∈ I. Assim Ik = E para todo k ∈ N0 implica em I = HL(E), o que ´e um
absurdo pois I ´e um ideal maximal de HL(E). Portanto existe m ∈ N0 tal que Im & E.
Agora mostraremos que Im ´e um ideal maximal de E. Com efeito, seja Km um ideal
de E tal que Im & Km e vamos mostrar que Km = E. Temos que K = π−1m (Km) ´e um
ideal de HL(E) pois πm ´e um homomorfismo e Km ´e um ideal de E. Al´em disso, como
Im & Km existe w ∈ Km tal que w /∈ Im e pela sobrejetividade de πm existe g ∈ HL(E) tal
que πm(g) = w ∈ Km, isto ´e, g ∈ K. Por outro lado, w /∈ Im implica g /∈ I e da´ı K ´e um
ideal de HL(E) tal que I & K. Pela hip´otese de I ser um ideal maximal de HL(E) temos
K = HL(E) e da´ı πm(K) = πm(HL(E)). Como πm ´e sobrejetiva segue que Km = E e assim
Im ´e um ideal maximal de E.
Mostraremos agora que I = π−1m (Im). Com efeito, como πm ´e um homomorfismo e Im
´
e um ideal de E ent˜ao πm−1(Im) ´e um ideal de HL(E) e al´em disso cont´em I. Mas Im
´
e um ideal maximal de E donde existe w ∈ E tal que w /∈ Im e como πm ´e sobrejetiva
existe g ∈ HL(E) tal que πm(g) = w. Da´ı g /∈ πm−1(Im), isto ´e, existe g ∈ HL(E) tal que
g /∈ π−1
m (Im). Assim, I ⊂ π−1m (Im) & HL(E) e como I ´e um ideal maximal de HL(E) segue
que I = πm−1(Im) = {f ∈ HL(E) ; πm(f ) ∈ Im}.
Por fim, como Im ´e um ideal maximal da ´algebra de Banach comutativa com unidade E
existe ϕ ∈ M(E) tal que Im = ϕ−1(0). Da´ı
I = {f = ∞ X n=0 Pan,n ∈ HL(E) ; am ∈ ϕ −1 (0)} = {f = ∞ X n=0 Pan,n ∈ HL(E) ; ϕ(am) = 0}.
Mas definindo φ(f ) = ϕ(am) para toda f =
P∞
n=0Pan,n ∈ HL(E), pelo Teorema 4.1 temos
que φ = T(ϕ, m) ∈ M(HL(E)). Assim, existe φ ∈ M(HL(E)) tal que
I = {f ∈ HL(E) ; φ(f ) = 0} = φ−1(0),
Como o radical de uma ´algebra comutativa A ´e a interse¸c˜ao dos ideais maximais de A e o n´ucleo de qualquer homomorfismo cont´ınuo n˜ao nulo em A ´e um ideal maximal fechado (ver, por exemplo, o Lema 7.1 na p´agina 68 de [29]), temos que
R(HL(E)) ⊂
\
φ∈M(HL(E))
φ−1(0)
quando HL(E) est´a munido do produto de Hadamard. O problema de decidir se vale a
igualdade continua aberto. Como aplica¸c˜ao do Teorema 4.1 temos o seguinte resultado. Proposi¸c˜ao 4.3. A ´algebra HL(E) ´e semi-simples sempre que E ´e semi-simples.
Demonstra¸c˜ao. Afirmamos inicialmente que para cada ϕ ∈ M(E) e m ∈ N0 o conjunto
Xϕ,m = {f = ∞ X n=0 Pan,n ∈ HL(E) ; am ∈ ϕ −1 (0)} ´
e um ideal maximal fechado de HL(E). Com efeito, fixados ϕ ∈ HL(E) e m ∈ N0, seja
φ = T (ϕ, m). Dada f =P∞
n=0Pan,n um elemento de HL(E) temos que φ(f ) = T (ϕ, m)(f ) =
ϕ(am) e da´ı φ(f ) = 0 se e somente se ϕ(am) = 0. Mostramos ent˜ao que f ∈ φ−1(0)
se e somente se am ∈ ϕ−1(0). Ou seja, existe φ ∈ M(HL(E)) tal que Xϕ,m = φ−1(0).
Ent˜ao pelo Lema 7.1, p´agina 68 de [29] e pelo fato de φ ser cont´ınua segue que Xϕ,m ´e
um ideal maximal fechado de HL(E). Seja f ∈ R(HL(E)) e suponhamos que E ´e semi-
simples. Em particular, f ∈ Xϕ,m para toda ϕ ∈ M(E) e para todo m ∈ N0. Da´ı, se
f =P∞
n=0Pan,n temos que an ∈
\
ϕ∈M(E)
ϕ−1(0), para todo n ∈ N0. Como E ´e uma ´algebra de
Banach, R(E) = \
ϕ∈M(E)
ϕ−1(0) e, por hip´otese, R(E) = {0} pois E ´e semi-simples. Assim an = 0 para todo n ∈ N0 e da´ı f = 0. Portanto R(HL(E)) = {0} e segue que HL(E) ´e