A análise da possível dependência não-linear que se possa estabelecer entre variáveis tem tido um desenvolvimento muito forte no campo da econometria, tendo sido aplicada a sucessões cronoló- gicas financeiras com o intuito de verificar se a hipótese de eficiência do mercado (forma fraca) é consistente com a realidade. Este tipo de análise surgiu ao se verificar que os usuais testes de autocorrelação linear não eram suficientes, pois só captavam a dependência linear.
Brock, Hsieh e LeBaron (1991) descreveram alguns testes à não-linearidade, com o intuito de verificar se determinado mercado pode ou não ser considerado eficiente. Afonso e Teixeira (1998) aplicaram o teste de Engle, o teste de Tsay, o expoente de Lyapunov e o teste BDS aos índices BVL, PSI 20 e BVL 30, concluindo em todos os testes que existe dependência não-linear.
Os testes de McLeod e Li, de Engle, de Tsay, BDS e expoentes de Lyapunov são descritos seguidamente de forma sumária e posteriormente comparados os seus resultados com os obtidos com o teste da informação mútua.
As propriedades e a forma de estimação da informação mútua foram descritas no Capítulo 2, de acordo com as quais resulta que, teoricamente, a informação mútua poderá constituir uma impor-
tante ferramenta como teste de independência e medida de dependência, dado que não especifica qualquer tipo de estrutura ou modelo para essa mesma dependência, nem pressupõe nenhuma dis- tribuição de probabilidade teórica a priori, facto que permite que os enviesamentos provenientes da assunção de modelos e distribuições de probabilidade pouco adequados, seja minimizado.
O teste de McLeod e Li
McLeod e Li (1983) conceberam um teste à não-linearidade de sucessões cronológicas baseado na análise da correlação dos quadrados dos desvios, sendo análogo às conhecidas estatísticas de Box-Pierce e de Ljung-Box. De acordo com os referidos autores, este teste deve ser aplicado a sucessões cronológicas filtradas de autocorrelação linear e no fundo testa a presença de hetero- cedasticidade condicionada nas observações em causa, que de acordo com a hipótese nula não deveria ser estatisticamente significativa [Altug et al. (1999)].
De modo a testar se uma determinada sucessão cronológica Xté ruído branco, onde k = 1, ..., m
é a ordem dos lags e T é o número de observações da amostra. McLeod e Li (1983) propuseram a seguinte abordagem para determinar o coeficiente não-linear entre as observações
ˆ ρ (k) = T P t=k+1 ¡ Xt2− ˆσ2T¢ ¡Xt−k2 − ˆσ2T¢ T P t=1 ¡ Xt2− ˆσ2T¢2 , (5.1) com ˆ σ2T = 1 T T X t=1 Xt2.
A estatística do teste é calculada então pela seguinte expressão
QM L(m) = T (T + 2) m X k=1 ˆ ρ (k) T − K. (5.2)
Esta estatística segue uma distribuição χ2(m) e a hipótese nula baseia-se na ausência de autocor- relação, ou seja
ρ (k) = cov ¡
Xt2− Xt−k2 ¢
var¡Xt2¢ = 0, ∀k = 1, ..., m, (5.3)
isto é, a hipótese nula e a hipótese alternativa podem ser descritas por
H0 : ρ (1) = ... = ρ (m) = 0
Este teste pode ser usado para detectar não-linearidades do tipo bi-linear, ainda que quando se obtém um resultado estatisticamente significativo não se pode distinguir claramente se se trata de não-linearidade ou má especificação do modelo. De acordo com alguns estudos comparativos realizados por Petruccelli e Davies (1986) este teste é válido para testar a hipótese de linearidade face a alternativas não-lineares tipo ARCH, ainda que a sua potência seja inferior à de outros testes, nomeadamente o teste de Engle.
O teste de Engle
Os conhecidos modelos ARCH foram desenvolvidos por Engle em 1982, que propôs também um teste à não-linearidade no segundo momento. Na sua forma mais simples um processo ARCH (p) pode ser descrito da seguinte forma
Yt= β1+ β2X2,t+ ... + εt, (5.4)
onde
εt∼ N (0, σt)
e
σ2t = α0+ α1ε2t−1+ ... + αpε2t−p. (5.5)
A hipótese nula do teste baseia-se na ausência de autocorrelação no termo residual, ou seja,
H0: α1 = ... = αp= 0.
O procedimento para testar esta hipótese é o seguinte [ver por exemplo Afonso et al. (1998)]:
(1) Estimar a regressão linear de Yt em Xt (se Xt se refere a observações passadas de Yt então
procede-se simplesmente a um AR(p)) e guardar os resíduos;
(2) Estimar a regressão dos quadrados dos resíduos estimados ε2t numa constante e p desfasamentos dos valores ε2t, ou seja
ε2t = α0+ α1εt−12 + ... + αpε2t−p+ ˆηt (5.6)
e guardar os resíduos ˆηt;
(3) Calcular o R2 da segunda regressão efectuada e testar a hipótese nula usando a estatística nR2, que segue uma distribuição χ2(p), segundo a hipótese nula de ausência de dependência tipo ARCH.
O teste de Tsay
Enquanto que o teste de Engle examina a não-linearidade na variância, o teste de Tsay analisa a possível não-linearidade na média, mais concretamente a possibilidade de ajustamento de um modelo SETAR (Self-Exciting Threshold Autoregressive Model ). O modelo SETAR é um caso geral dos modelos TAR cuja particularidade reside no facto de que quer o regime de transição, quer o número de desfasamentos são detectados estatisticamente através de testes adequados, em vez de serem escolhidos arbitrariamente pelo investigador como nos modelos TAR e M-TAR.
O teste foi desenvolvido e apresentado por Tsay (1986) (F-Test ) e pode ser implementado da seguinte maneira:
(1) Obter os resíduos ˆεt da regressão de Yt em Xt (ou estimar um modelo autorregressivo em
relação a Yt);
(2) Para cada observação de Yt, construir um vector Ztcom os produtos cruzados das observações
passadas, nomeadamente Yt−iYt−j para i, j = 1, ..., p, onde i ≥ j;
(3) Estimar um modelo de regressão entre o vector Zte as variáveis explicativas, retirando-se para
futura análise os resíduos estimados ˆηt;
(4) Estimar um modelo de regressão entre resíduos ˆεt e ˆηtda seguinte forma
ˆ
εt= δ0+ δ1ˆηt−1+ ... + δpˆηt−p+ ˆξt; (5.7)
(5) Assumindo que m = p (p + 1) /2, é possível calcular a estatística Tsay através da expressão
ˆ F = ¡ ˆ εTˆη¢T ¡ˆηTˆη¢−1¡ˆηTˆε¢ m ³ ˆ ξTˆξ´ n − p − m − 1 ; (5.8)
(6) A hipótese nula deste teste consiste em
H0: δ1 = ... = δp= 0.
A estatística em questão [expressão (5.8)] tem uma distribuição F (m, n − p − m − 1) segundo a hipótese nula e é sensível a desvios de linearidade em relação à média.
A aplicação deste teste tem como inconveniente o facto de apenas captar efeitos TAR, de tal modo que se a fonte de não-linearidade nas observações não for do tipo TAR, os resultados deste teste podem ser inconclusivos.
Os expoentes de Lyapunov
Os expoentes de Lyapunov são um dos invariantes métricos mais importantes utilizados em dinâmica não-linear para distinguir comportamentos caóticos de comportamentos aleatórios, medin- do a rapidez com que órbitas vizinhas divergem no espaço de fase [Abarbanel, (1996), Peters (1996)] e dando o expoente de Lyapunov dominante uma indicação do intervalo de tempo onde é possível fazer previsões credíveis acerca do futuro comportamento do sistema.
Para sucessões cronológicas geradas por sistemas dinâmicos determinísticos, a presença de um expoente de Lyapunov positivo indica a presença de caos [Rosenstein et al. (1993), Abarbanel (1996), Peters (1996)], pois tal significa que as órbitas divergem entre si rapidamente, já um ex- poente de Lyapunov negativo mede a contracção entre as órbitas1[Peters (1996)]. Para um sistema dinâmico caótico, a sensibilidade às condições iniciais é quantificada pelos expoentes de Lyapunov. Considere-se por exemplo, duas trajectórias com condições iniciais muito próximas, se a dinâmica for caótica, as trajectórias divergem, em média, a uma taxa exponencial caracterizada pelo maior expoente de Lyapunov. A soma de todos os expoentes dá a taxa de contracção do volume de fase. Assim se existir um atractor (o sistema é dissipativo) e se pelo menos um dos expoentes de Lyapunov é positivo está-se na presença de um atractor estranho.
A forma de estimação dos expoentes de Lyapunov não é pacífica, dada a sua elevada sensibi- lidade ao método de estimação utilizado. Refere-se o trabalho pioneiro de Wolf, Swift, Swinney e Vastano em 1985 que estimaram o maior expoente de Lyapunov através de uma média das taxas de divergência das órbitas observadas. Rosenstein, Collins e De Luca (1993) consideram que muitos dos métodos vulgarmente utilizados para estimar o expoente de Lyapunov dominante podem a- presentar pelo menos uma das seguintes lacunas: (i) fraca viabilidade para amostras de pequena dimensão; (ii) computacionalmente intensivos; (iii) difícil implementação.
Considerem-se dois pontos, x0 e x0+ ε, afastados um do outro por uma diferença infinitesimal
ε e iteram-se n vezes. A diferença nos resultados será dada por
dn= enλ(xo)ε, (5.9)
em que após se encontrar a convergência (ou divergência) a taxa λ corresponde ao expoente de Lyapunov λ = lim n−→∞ 1 nlog ¯ ¯ ¯ ¯dεn ¯ ¯ ¯ ¯ . (5.10) 1
Peters (1996) dá como exemplo de um sistema com expoente de Lyapunov negativo um pêndulo que volta à posição inicial após ter sido perturbado.
Uma das principais dificuldades no estudo das séries temporais económicas (e outras séries expe- rimentais provenientes de observações empíricas) consiste no facto de que a informação disponível é representada por sequências numéricas discretas, sem qualquer referência às equações (deter- minísticas ou estocásticas) originais e podem conter ruído. Neste contexto, é essencial proceder à reconstrução do espaço de fase e pode não ser trivial a escolha da dimensão de mergulho, assim como o desfasamento temporal (ou atraso de tempo). Tal é possível devido ao contributo de Takens (1981), Grassberger e Proccacia (1983) e Kennel, Brown e Abarbanel (1992), entre outros, para a reconstrução do espaço de fase a partir das observações escalares disponíveis.
Para a estimação dos expoentes de Lyapunov são utilizados três programas baseados em algorit- mos diferentes, mais concretamente, é utilizado um programa baseado no algoritmo de Wolf et al. (1985) em MatlabV.6.5, o pacote TSTOOL que corre em Matlab com um algoritmo melhorado de Wolf et al. (1985) e finalmente o programa CSPW baseado no algoritmo proposto por Abarbanel (1996).
O teste BDS
O teste BDS foi desenvolvido por Brock, Dechert e Scheinkman em 1991. Este teste pode ser utilizado apenas para produzir evidência indirecta sobre as não-linearidades existentes no sistema, uma vez que a sua distribuição estatística não é conhecida [Brock et al. (1991)]. Hsieh (1993) refere que o teste BDS tem a capacidade de detectar três tipos possíveis de observações não i.i.d., nomeadamente a não estacionariedade, a não-linearidade e o caos determinístico. O conceito de independência estatística é normalmente definido em termos da distribuição conjunta das variáveis em estudo. Por razões de simplicidade vários testes tendem a medir diferentes implicações da independência. O teste BDS pode ser interpretado como uma medida não usual de divergência entre os momentos da distribuição conjunta e das distribuições marginais.
De modo a ser possível captar apenas a dependência não-linear, é conveniente que este teste seja aplicado a sucessões cronológicas filtradas da dependência linear que comportem, que serão à partida linearmente independentes [Díaz et al. (2002)].
As suas hipóteses baseiam-se em:
H0 : as observações são perfeitamente independentes (geradas por um processo estocástico i.i.d.)
H1 : existe dependência não-linear.
Seja a correlação integral como uma medida de fracção entre pares de pontos (xmt , xms ) na série com distância entre eles ε, definida por
Cmn (ε) = 2 N (N − 1) N −1X t=1 N X s=i+1 I (xmt , xms ) , (5.11)
onde I (a, b) = ⎧ ⎨ ⎩ 1 se ka − bk ≤ ε 0 noutros casos , (5.12)
e onde k.k é a norma supremo : L∞= max {|a|}, N = n−m+1 com n o número de observações e m
a dimensão de mergulho. Se as observações forem geradas por um processo puramente estocástico estacionário, então a equação (5.11) pode ser reescrita da seguinte forma [Brock et al. (1991)]
Cm(ε) = lim n→+∞C n m(ε) = Z rm Z rm I (a, b) dFm(a) dFm(b) , (5.13)
concluindo estes autores que no caso de as variáveis (ou observações) serem i.i.d. então: Cm(ε) =
C1(ε)m. A estatística BDS é dada por
Wmn(ε) = √
N (Cmn (ε) − (C1n(ε))m) σm(ε)
, (5.14)
onde Wmn(ε) converge para uma distribuição normal N (0, 1), à medida que n tende para infinito. De acordo com Brock, Dechert e Scheinkman (1991) e Hsieh (1993) a distribuição normal pode ser uma boa aproximação para a estatística BDS para amostras com mais de 500 observações.
Este teste tem sido alvo de algumas críticas, especialmente por o mesmo requerer a definição da dimensão de mergulho (m) e da dimensão da distância ( ) , cujas escolhas podem alterar de forma substancial os resultados obtidos. É usual que a dimensão da distância seja medida em termos do desvio-padrão (normalmente assumindo valores entre 0, 5σ e 2σ), enquanto que na dimensão de mergulho são tidos em conta m = 2, ..., 6.2 Hsieh (1991) afirma ainda que a não rejeição da hipótese nula, não implica forçosamente que as observações sejam i.i.d..
Granger, Maasoumi e Racine (2004) concluem que os testes de independência baseados na en- tropia e informação mútua poderão apresentar maior poder para rejeitar a hipótese nula (total independência) para amostras pequenas, que o teste BDS que pode incorporar contradições em si consoante a dimensão de mergulho (m) e a dimensão da distância ( ) seleccionadas. Estes autores argumentam que as medidas baseadas na entropia são medidas mais generalistas e que apresen- tam vantagens, nomeadamente o facto de terem em conta apenas a distribuição de probabilidade empírica e serem medidas sem dimensão. Ao contrário do teste BDS a entropia não se limita a testar a existência ou não de dependência não-linear, mas sim informar do grau de dependência em causa. A detecção de dependência não-linear por parte dos modelos de entropia demonstra ser tão boa quanto o teste BDS e melhor que a tradicional correlação ou análise de outros momentos [Maasoumi (1993), Maasoumi et al. (2002)] especialmente no caso de existência de não-linearidade.
2Neste estudo para o cálculo da estatística BDS usaram-se as dimensões de mergulho m = 2, ..., 5 e as dimensões
Racine a Maasoumi (2004) acrescentam ainda que o teste BDS pode apresentar fortes distorções, nomeadamente o facto de rejeitar a 100% a hipótese nula de independência, quando esta se verifica na realidade.