6 DESCRIÇÃO E ANÁLISE DOS DADOS
6.3 A reta tangente à curva por um dado ponto
6.3.1 Algumas considerações preliminares
Discutimos, inicialmente, tal conceito em sala de aula nas aulas regulares. Parece fácil discutir o conceito de reta tangente no Cálculo, mas não é. Primeiramente, devemos considerar o que é uma reta tangente, e esse problema permeou o pensamento de diversos matemáticos ao longo da história e foi com Isaac Newton (1642-1727) que esse conceito foi aperfeiçoado, dando origem aos fundamentos do Cálculo como conhecemos hoje. Quando tratamos do termo tangente em matemática, a sua definição encerra dois significados: um em geometria e outro em trigonometria. Na primeira, entende-se que se trata de uma
espécie de reta que intercepta uma curva ou uma circunferência um único ponto. cuja generalização provém da situação observada no caso da circunferência. Por outro lado, a tangente é a razão entre duas medidas de um triângulo retângulo – o cateto oposto pelo cateto adjacente a este ângulo.
Ao discutir tais conceitos em sala, observei no discurso dos alunos certa confusão quanto aos conceitos. Procurei evidenciar o percurso histórico que essas questões foram tratadas pelos matemáticos em determinados períodos da história da matemática. Num primeiro momento, escolhi não tratar do conceito de reta tangente à curva por um ponto como o limite da secante, pois, evidentemente, tal conceito é abstrato demais para ser abordado de início, segundo a minha opinião. Comecei discutindo o conceito de tangente apenas de modo a provocar a turma para a discussão que, de fato, sucedeu.
Essa discussão em sala suscitou muitos questionamentos principalmente como relação à frase “tocar em um único ponto”. Nesse dia, não fiz nada mais que apresentar no quadro alguns exemplos em que a reta e uma curva poderiam interceptar-se.
As Figuras 18 e 19 descrevem o fato da reta tocar em um único ponto.
Figura 18 – A reta tangente toca a circunferência em um único ponto
Figura 19 – A reta tangente toca a parábola em um único ponto
Fonte: Acervo do autor – produzida com o auxílio do GeoGebra.
Nas Figuras 18 e 19, é indubitável a questão do “tocar em um único ponto” e, em qualquer posição que a reta seja colocada em relação à curva, prevalece essa situação.
Na aula seguinte, utilizei o GeoGebra para apresentar as curvas descritas nas Figuras 18, 19 e 20 de modo que os alunos videntes pudessem perceber as diferenças discutidas na aula anterior. Nas Figuras 18 e 19 de início, parece que a reta “toca” a curva em mais de um ponto. Contudo, percebemos que, dependendo do zoom que se utiliza no GeoGebra, a curva e a reta tendem a se confundir, aproximando-se de um ponto. Mas essa é uma noção intuitiva e ela só é entendida, de fato, com o conceito de limites e a aproximação da tangente pela secante. Do contrário, visualmente, temos de acreditar que isso acontecerá. Daniel acompanhou tudo isso ouvindo as explicações.
Na Figura 20, surge o primeiro problema: como toda reta é infinita, a reta tangente à curva em certo ponto toca a curva nesse ponto, contudo atravessa a curva em outro ponto.
Figura 20 – A reta tangente toca a curva em um dado ponto e a atravessa em outro ponto
Fonte: Acervo do autor.
Da situação descrita pela Figura 20, percebemos que o conceito de reta tangente a uma curva em um único ponto está longe de ser geral. Funciona em determinadas situações e, no entanto, em outras situações, não. Também não é um consenso pensar que localmente a reta toca a curva sem atravessá-la. Só iremos, de fato, resolver essa situação ao abordar o tema tratando-o com limites. Tendo por base o livro texto de Stewart (2013), que define que se tivermos uma curva C com equação 𝑦 = 𝑓(𝑥) e quisermos encontrar a reta tangente a C em um ponto
𝑃(𝑎(𝑓(𝑎))
, consideramos ainda um outro ponto próximo𝑄(𝑥(𝑓(𝑥)
, de modo que 𝑥 ≠ 𝑎 , basta calcularmos a inclinação da reta secante PQ𝑚
𝑃𝑄=
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)𝑥 − 𝑎
Então, fazendo Q aproximar-se de P ao longo da curva C teremos que, o valor “x” será obrigado a tender a “a”. Neste caso, 𝑚𝑃𝑄 vai tender a um número m.
Somente desta forma, definimos a tangente t de maneira única, sendo a reta tangente à curva da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) em um ponto 𝑃(𝑎(𝑓(𝑎)) a reta que passa por P com inclinação
𝑚 = lim
𝑥→𝑎𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)𝑥 − 𝑎
desde que esse limite exista (Figura 21).
Figura 21 – Reta tangente à curva como posição limite da reta secante
Fonte: Stewart (2013, p. 131) – redesenhada pelo autor.
Durante a realização das atividades referentes ao cálculo das inclinações das retas, os alunos perceberam que não era única a inclinação encontrada. Naquele momento, expliquei a eles que só chegaríamos a um único valor utilizando limites e fazendo a reta secante tender para a reta tangente. Contudo, não demonstrei esse fato no momento em que surgiram os questionamentos. Apenas ao final de todas as atividades, formalizei o conceito de derivada. Confesso que o conceito de derivada e o de função derivada foram misturados por mim, visto que as atividades levadas a
cabo culminaram no conceito de função derivada que foi visto antes do de derivada propriamente. Contudo, parece que os alunos compreenderam o que representava propriamente a derivada e a função derivada, apesar da confusão, pois perceberam a necessidade de uma conceituação que tornasse a reta tangente única. Não saberia avaliar se essa inversão, levando-os primeiramente à relação entre as funções primitivas e sua função derivada, seria interessante do ponto de vista do entendimento posterior do conceito de derivadas.
Imaginei que, dessa forma, conseguiria que Daniel também participasse, uma vez que seria mais fácil para ele entender os conceitos de “tangente” e “inclinação da reta” a partir de uma construção no Multiplano.
Nas aulas em que discutimos esses conceitos, Daniel permanecera calado. Trabalhou sozinho, ora utilizando o Multiplano, ora utilizando as folhas com os gráficos em alto-relevo. Mas, durante tais momentos, pouco ou nada perguntou. Também teve pouca contribuição de suas colegas. Instiguei, algumas vezes, a sua participação, mas ele recusava meus convites. Talvez porque estivesse absorto em sua tarefa. Trazia consigo algumas anotações e apontamentos e lia essas observações e tentava representar objetos de nossa discussão no Multiplano.
Durante os momentos que explicava a todos os alunos, utilizando o quadro ou o GeoGebra, Daniel se manteve trabalhando no seu Multiplano para representar um período da função seno x.
Convidei os alunos a desenharem as tangentes, tendo por base a atividade IV (Anexo A), utilizando o gráfico da função seno pelos pontos P1, P2, P3 e P4.
Nessa etapa, apenas desenharam as retas sem inferir ainda sobre o valor da inclinação (Figura 20).