• setor cˆonico com v´ertice na origem e ˆangulo interno de 2θ , Re(z)tgθ < |Im(z)|, acrescenta- se (2.59) no processo de restric¸˜ao.
Caso seja necess´ario fazer algumas restric¸˜oes adicionais, basta acrescentar os termos de restric¸˜ao no processo. No entanto, o processo de restric¸˜ao deve respeitar os limites impostos pela planta, ou seja, estes limites devem obedecer os limites f´ısicos do modelo em estudo, caso contr´ario, o problema pode se tornar n˜ao fact´ıvel(n˜ao existe soluc¸˜ao poss´ıvel) ou existir soluc¸˜ao, mas esta n˜ao ´e satisfat´oria.
2.10
An´alise das incertezas polit´opicas
Num sistema que envolve incertezas, estas podem ser modeladas de duas formas (SHAHIAN; HASSUL, 1993):
• Incertezas estruturadas: ´e o tipo de incerteza cujos parˆametros possuem faixas e limites de variac¸˜ao que s˜ao modelados em projeto, ou seja, as tolerˆancias s˜ao especificadas e estas participam para o projeto do controlador. Os politopos da Sec¸˜ao 2.4 s˜ao consideradas incertezas estruturadas.
• Incertezas n˜ao-estruturadas: estas incertezas s˜ao conhecidas por meio de incertezas aditivas ou multiplicativas. Estas incertezas s˜ao extra´ıdas da planta, seja um modelo dado por G(s) e um modelo com incertezas do tipo ˜G(s). Uma incerteza aditiva ´e dada por:
∆a(s) = ˜G(s) − G(s), (2.60)
em que ˜G(s) ´e um modelo adicionado `as incertezas e ∆a(s) ´e o simbolo de incerteza
aditiva. O diagrama de blocos deste tipo de incerteza pode ser ilustrado pela Figura 2.4(a), em que a incerteza ´e configurada pela camada de sa´ıda, ou configurada pela camada de entrada como na Figura 2.4(c). Uma incerteza multiplicativa ´e dada por:
∆m(s) = ˜ G(s) G(s)− 1 , (2.61)
sendo que ∆m(s) ´e o simbolo da incerteza multiplicativa. O diagrama de blocos deste tipo
de incerteza ´e mostrado na Figura 2.4(b).
Deste modo, tem-se a regi˜ao de incertezas estruturadas, que s˜ao parˆametros limites de pro- jeto do conversor. As incertezas n˜ao estruturadas s˜ao as func¸˜oes de transferˆencia extra´ıdas de acordo com os limites desses parˆametros. Em seu trabalho, Shahian e Hassul (1993) afirma que, para garantir a robustez `as incertezas do processo, o sistema deve admitir a rejeic¸˜ao de
2.10 An´alise das incertezas polit´opicas 24
(a) Incertezas aditivas. (b) Incertezas multiplicativas na camada de sa´ıda.
(c) Incertezas multiplicativas na camada de en- trada.
Figura 2.4: Representac¸˜ao em diagramas de blocos dos tipos de incertezas aplicado na planta (SHAHIAN; HASSUL, 1993).
dist´urbios e a supress˜ao de ru´ıdos. As ferramentas utilizadas para fazer tais an´alises s˜ao a func¸˜ao de transferˆencia de sensibilidade, ou func¸˜ao sensibilidade S(s), e a func¸˜ao de sensibili- dade complementar ou func¸˜ao co-sensibilidade T(s). A func¸˜ao sensibilidade ´e dada por
S(s) = (I + G(s)K(s))−1, (2.62)
em que G(s) ´e modelo do processo e K(s) ´e a func¸˜ao de transferˆencia do controlador. J´a a func¸˜ao co-sensibilidade ´e dada por
T(s) = G(s)K(s) (I + G(s)K(s))−1, (2.63)
de modo que
S(s) + T (s) = I. (2.64)
A func¸˜ao T(s) ´e tamb´em conhecida como a func¸˜ao de transferˆencia de malha fechada de yr(s)(s), sendo y(s) a sa´ıda e r(s) ´e a referencia de rastreio. A an´alise das incertezas e da robustez geralmente ´e estudada no dom´ınio da frequˆencia, em sistemas do tipo SISO, usa-se as curvas de Bode, para casos multivari´aveis, faz-se uso das decomposic¸˜oes em valores singulares, SVD’s. Tanto um como outro leva apenas em considerac¸˜ao as magnitudes da func¸˜ao de transferˆencia no dom´ınio da frequˆencia.
A func¸˜ao sensibilidade mostra o quanto o sistema ´e capaz de rejeitar dist´urbios, que s˜ao caracterizados por serem perturbac¸˜oes com grandes amplitudes e de baixas frequˆencias. J´a a func¸˜ao de sensibilidade complementar mostra a capacidade do sistema de suprimir os efeitos do ruido, que s˜ao perturbac¸˜oes de alta frequˆencia e de pequena amplitude. A Figura 2.5 mostra cada uma das representac¸˜oes tipicas de S(s) e de T (s).
2.10 An´alise das incertezas polit´opicas 25
(a) (b)
Figura 2.5: (a) Func¸˜ao sensibilidade S(s).(b) Sensibilidade complementar T (s).
Cita-se ainda que a an´alise de robustez em um sistema incerto deve garantir a estabilidade das pertubac¸˜oes de incertezas aditivas a multiplicativas. Isto ´e justificado pelo teorema do ganho minimo segundo Dorf e Bishop (1998), Shahian e Hassul (1993), Skogestad e Postlethwaite (2005). Com base em Maciejowski (1989), Dorf e Bishop (1998), Shahian e Hassul (1993), Skogestad e Postlethwaite (2005), a incerteza ´e limitada em magnitude, supondo que ˜G(s) e
G(s) tenham o mesmo n´umero de polos no semiplano s da direita. Logo a estabilidade n˜ao se altera se |∆a( jω)| < 1 K( jω)S( jω) , ω ∈ [−∞, ∞], (2.65)
para an´alise com incertezas aditivas e
|∆m( jω)| < 1 T( jω) , ω ∈ [−∞, +∞], (2.66)
para an´alise com incertezas multiplicativas. O modelo de an´alise de estabilidade robusta pode ser feita tanto usando incertezas aditivas como multiplicativas. No entanto, para uso mais pr´atico, a an´alise por incertezas multiplicativas ´e mais cˆomoda pois usa-se apenas a func¸˜ao T(s), j´a que n˜ao ´e pr´atico obter o K(s) em servomecanismos com ac¸˜ao integral. Para este tra- balho, ´e utilizada a an´alise por incertezas multiplicativas para a an´alise de robustez a para o processo de otimizac¸˜ao ´e utilizado o conceito de politopos.
Al´em disso, deve-se considerar o desempenho na frequˆencia da func¸˜ao de transferˆencia do modelo controlado em malha aberta, ou seja, o comportamento de|G( jω)K( jω)|. A Figura 2.6 mostra a curva desej´avel para o modelo controlado do conversor.
Modelos de realimentac¸˜ao no espac¸o de estados sem uso dos observadores de estado pos- suem uma dificuldade matem´atica de extrair o K(s) no modelo em malha fechada. Um artificio vi´avel ´e fazer G(s)K(s) = T (s)/S(s).
Sendo ent˜ao, para cada ponto operac¸˜ao, seu modelo equivalente ´e dado por ˜Gm, o modelo
2.11 Considerac¸˜oes finais 26
Figura 2.6: Curva desej´avel da func¸˜ao de transferˆencia de malha aberta do de um sistema de realimentac¸˜ao.
espac¸o de estado do tipo (OGATA, 2003)
˙
x= Ax + Bu,
y= Cx + Du, (2.67)
transformado modelo de matriz de transferˆencia ´e dada por
G(s) = C (sI − A)−1B+ D. (2.68)
Portanto, para incertezas do tipo ∆mde (2.61) a matriz de transferˆencia ´e dada por
∆m(s) = ∆C (s∆I − ∆A)−1∆B + ∆D, (2.69)
em que ∆m(s) ´e a incerteza multiplicativa definida em (2.61).
2.11
Considera¸c˜oes finais
Neste cap´ıtulo s˜ao definidos os conceitos iniciais de LMI e de estabilidade quadr´atica de Lyapunov. ´E apresentado o conceito de politopos e sua utilidade no processo de otimizac¸˜ao com v´arias restric¸˜oes. Vˆe-se ainda o processo de obtenc¸˜ao do ganho de realimentac¸˜ao de esta- dos. Observa-se que o modelo de estabilidade via LMI do Corol´ario 2.4.1 ´e aplicado tanto no conceito do LQR via LMI como no processo de alocac¸˜ao de polos via LMI.
2.11 Considerac¸˜oes finais 27
s˜ao incertezas estruturadas, que ´e ´util para o processo de otimizac¸˜ao por LMIs. `As incertezas n˜ao estruturadas faz uso da modelagem matem´atica das incertezas em que a adotada s˜ao as incertezas multiplicativas. Deste modo, ´e possivel fazer a an´alise de robustez da variac¸˜ao das incertezas em relac¸˜ao a planta padr˜ao controlada.
Os conceitos abordados sobre LMI e seus procedimentos de otimizac¸˜ao ser˜ao ´uteis na formulac¸˜ao da estrat´egia de controle aplicada ao modelo do conversor no espac¸o de estados m´edio. A an´alise de incertezas polit´opicas ser˜ao ´uteis na an´alise de simulac¸˜ao do modelo padr˜ao adotado em malha fechada e suas incertezas obtidas atrav´es dos pontos de operac¸˜ao do conversor.
28
3
Teoria e Modelagem do Conversor boost
Este capitulo apresenta aspectos b´asicos da teoria do conversor CC-CC boost, al´em de mostrar o conceito sobre conversor boost de alto ganho de tens˜ao com c´elula de comutac¸˜ao de trˆes estados . O cap´ıtulo apresenta tamb´em o processo de reduc¸˜ao do conversor original ao modelo equivalente de um boost cl´assico. ´E apresentado o modelo no espac¸o de estados m´edio do conversor boost equivalente no modo de conduc¸˜ao cont´ınua. Al´em disso, ´e abordado o conceito de incertezas polit´opicas no modelo equivalente, incluindo o procedimento de extrac¸˜ao das incertezas.
3.1
Topologia cl´assica dos conversores CC-CC
Segundo Mohan (1995, 2003), Rashid (2001), Erickson (2001), as topologias de converso- res CC-CC cl´assicos mais conhecidos s˜ao mostradas na Figura 3.1. Dentre estes, o conversor em estudo ´e o boost da Figura 3.1(b). O conversor boost consiste no chopper CC-CC elevador de tens˜ao (step-up), cuja tens˜ao de sa´ıda ´e superior `a tens˜ao de entrada.
Sendo Dd o ciclo de trabalho, Vg ´e a tens˜ao de entrada e Vo ´e a tens˜ao de sa´ıda, a relac¸˜ao
Vo
Vg
, para o modo de conduc¸˜ao cont´ınua, ´e
Vo
Vg
= 1
1− Dd
, 0, 5 ≤ Dd ≤ 1. (3.1)
Este conversor possui a caracter´ıstica de o ciclo de trabalho ideal ser superior ou igual a 0,5 e estritamente menor que 1. Isto porque Dd = 1 −
Vg
Vo
a partir de (3.1). Observa-se que se Dd → 0 implica que Vo → Vg, mas se Dd → 1 implica que Vo → ∞, exigindo um grande
armazenamento de energia para que a relac¸˜aoVo
Vg
seja realizada (RASHID, 2001).
Apesar dos conversores CC-CC cl´assicos apresentarem baixo consumo de energia, por se tratarem de conversores est´aticos, pesquisas mais recentes propuseram topologias alternativas e mais eficientes aos modelos cl´assicos de choppers. Bascop´e e Barbi (2000) propˆos uma nova fam´ılia de conversores est´aticos cuja comutac¸˜ao ocorre em 3 estados. Essa proposta consiste em alterar a composic¸˜ao diodo-chave-indutor, denominada de c´elula de comutac¸˜ao, para um formato mais eficiente e com chaveamento com defasagem, possibilitando a reduc¸˜ao da ampli-
3.1 Topologia cl´assica dos conversores CC-CC 29
(a) Buck. (b) boost. (c) Buck-boost.
(d) C´uk. (e) Zeta.
(f) sepic.
Figura 3.1: Topologias cl´assicas de conversores CC-CC.
tude do ripple de corrente no indutor e consequentemente aumentando a taxa de rendimento do conversor. A Figura 3.2 mostra o circuito proposto em que o ganho ´e dado por (3.1).
A Figura 3.3 mostra o princ´ıpio de chaveamento do modelo proposto por Bascop´e e Barbi (2000). Este tipo de chaveamento ´e valido principalmente para o sistema operando no modo de conduc¸˜ao cont´ınua.
Al´em disso, de acordo com Bascop´e e Barbi (2000), Torrico-Bascope et al. (2006a, 2006b, 2006c), o conversor boost com CCTE ´e modificado de modo a operar com alto ganho de tens˜ao de acordo com a Figura 3.4. Os trabalhos de Orellana-Lafuente et al. (2010), Reis et al. (2011) mostram a implementac¸˜ao pr´atica do conversor da Figura 3.4. O trabalho de Orellana-Lafuente
et al.(2010) analisa o principio de funcionamento e o modo de operac¸˜ao com resultados experi- mentais, j´a o trabalho de Reis et al. (2011) mostra a implementac¸˜ao pr´atica do mesmo conversor atrav´es do controle LQI, que ´e o controle LQR com ac¸˜ao integral.
Para encontrar o modelo matem´atico de controle, ´e necess´ario transformar o formato do conversor proposto em uma topologia equivalente conhecida na literatura. Deste modo, ´e esco- lhida a estrat´egia de controle com base na topologia equivalente. Para o caso do conversor boost de alto ganho de tens˜ao com c´elula de comutac¸˜ao de trˆes estados , este ´e denominado de conver- sor original. Logo o conversor equivalente ´e um conversor boost cl´assico. Cita-se tamb´em que os parˆametros do conversor original devem ser adequados ao conversor equivalente. Portanto, deve-se garantir a conservac¸˜ao de energia na transformac¸˜ao da topologia original ao equivalente.
3.1 Topologia cl´assica dos conversores CC-CC 30
3.1 Topologia cl´assica dos conversores CC-CC 31
Figura 3.3: Princ´ıpio de chaveamento da c´elula de comutac¸˜ao em 3 estados proposto por Bascop´e e Barbi (2000) e aplicado por Santero (2006) .
Figura 3.4: Conversor proposto por Torrico-Bascope et al. (2006b, 2006c), Bascop´e e Barbi (2000) do boost alto ganho .